专题一　第5讲　母题突破3　零点问题 2024年高考数学大二轮复习课件（含讲义）

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　　已知函数f(x)＝sin x－　　，判断f(x)在(0，π)上零点的个数，并说明理由.
思路分析❶等价转换f(x)＝0❷判断g(x)＝ex·sin x－x＋1的零点
可得ex·sin x－x＋1＝0，令g(x)＝ex·sin x－x＋1，x∈(0，π)，所以g′(x)＝(sin x＋cs x)ex－1，
令h(x)＝(sin x＋cs x)ex－1，所以h′(x)＝2cs x·ex<0，
g(π)＝－π＋1<0，
综上所述，f(x)在(0，π)上有且只有一个零点.
　　(2023·安庆模拟)已知函数f(x)＝eln x＋bx2e1－x.若f(x)的导函数f′(x)恰有两个零点，求b的取值范围.
解方程x2－5x＋4＝0得，x1＝4，x2＝1，因此函数g(x)在(0,1)和(4，＋∞)上单调递增，在(1,2)和(2,4)上单调递减，
g(x)的大致图象如图所示.
直线y＝b与曲线y＝g(x)的图象分别有两个交点，即函数f′(x)恰有两个零点.
　　设函数f(x)＝aln(x＋1)＋x2(a∈R)，函数g(x)＝ax－1.证明：当a≤2时，函数H(x)＝f(x)－g(x)至多有一个零点.
因为H(x)＝aln(x＋1)＋x2－ax＋1，
当x→－1＋时，H(x)→－∞；当x→＋∞时，H(x)→＋∞.①当a＝2时，H′(x)≥0，函数H(x)在定义域(－1，＋∞)上为增函数，有一个零点；
令H′(x)>0，得x>0，令H′(x)<0，得－10，此时函数H(x)无零点；
因为函数H(0)＝1>0，
所以当0(1)求解函数零点(方程根)个数问题的步骤①将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图象与x轴(或直线y＝k)在该区间上的交点问题.②利用导数研究该函数在该区间上的单调性、极值(最值)、端点值等性质.③结合图象求解.
(2)已知零点求参数的取值范围①结合图象与单调性，分析函数的极值点.②依据零点确定极值的范围.③对于参数选择恰当的分类标准进行讨论.
1.(2023·郑州模拟)已知函数f(x)＝xln x＋a－ax(a∈R).若函数f(x)在区间[1，e]上有且只有一个零点，求实数a的取值范围.
f(x)＝xln x－ax＋a，易知f(1)＝0，所求问题等价于函数f(x)＝xln x－ax＋a在区间(1，e]上没有零点，因为f′(x)＝ln x＋1－a，所以当0ea－1时，f′(x)>0，f(x)在(ea－1，＋∞)上单调递增.①当ea－1≤1，即a≤1时，函数f(x)在区间(1，e]上单调递增，所以f(x)>f(1)＝0，此时函数f(x)在区间(1，e]上没有零点，满足题意.
②当1③当e≤ea－1，即a≥2时，函数f(x)在区间(1，e]上单调递减，f(x)在区间(1，e]上满足f(x)2.(2023·商洛模拟)已知函数f(x)＝(x－2)ex，其中e为自然对数的底数.函数g(x)＝f(x)－ln x，证明：g(x)有且仅有两个零点.
因为g(x)＝f(x)－ln x＝(x－2)ex－ln x，
故g′(x)在(0，＋∞)上单调递增.
所以存在唯一x0∈(1,2)，使得g′(x0)＝0.
故当x∈(0，x0)时，g′(x)<0；当x∈(x0，＋∞)时，g′(x)>0.即g(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增.因为g(x0)0，
1.(2023·连云港调研)已知函数f(x)＝x2＋xln x.(1)求f(x)在x＝1处的切线方程；
f′(x)＝2x＋1＋ln x，∴f′(1)＝3，又f(1)＝1，∴切点坐标为(1,1)，∴f(x)在x＝1处的切线方程为y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0.
(2)若关于x的方程f(x)＝ax3有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围.
函数f(x)＝x2＋xln x的定义域为(0，＋∞)，
令h(x)＝1－x－2ln x，其中x>0，
所以函数h(x)在定义域(0，＋∞)上单调递减，且h(1)＝0，当00，则g′(x)>0，所以函数g(x)在(0,1)上单调递增，当x>1时，h(x)<0，则g′(x)<0，所以函数g(x)在(1，＋∞)上单调递减，所以g(x)极大值＝g(1)＝1，当x→＋∞时，g(x)→0，且g(x)>0，当x→0时，g(x)→－∞，由题意可知，直线y＝a与函数g(x)的图象有两个交点，如图所示.由图可知，02.(2023·广州模拟)已知函数f(x)＝ex－1＋e－x＋1，g(x)＝a(x2－2x)(a<0).(1)求函数f(x)的单调区间；
由f(x)＝ex－1＋e－x＋1，
令f′(x)＝0，解得x＝1，当x<1时，x－1<0，可得f′(x)<0，f(x)在(－∞，1)上单调递减；当x>1时，x－1>0，可得f′(x)>0，f(x)在(1，＋∞)上单调递增，故函数f(x)的单调递减区间是(－∞，1)，单调递增区间是(1，＋∞).
(2)讨论函数h(x)＝f(x)－g(x)的零点个数.
由h(x)＝0，得f(x)＝g(x)，因此函数h(x)的零点个数等价于函数f(x)与g(x)的图象的交点个数，因为g(x)＝a(x2－2x)(a<0)，所以g(x)的单调递增区间是(－∞，1)，单调递减区间是(1，＋∞)，所以当x＝1时，g(x)取最大值g(1)＝－a，由(1)可知，当x＝1时，f(x)取最小值f(1)＝2，当－a<2，即－2当－a＝2，即a＝－2时，函数f(x)与g(x)的图象只有一个交点，即函数h(x)有一个零点；当－a>2，即a<－2时，函数h(x)有两个零点，理由如下：因为h(x)＝f(x)－g(x)＝ex－1＋e－x＋1－a(x2－2x)，所以h(1)＝2＋a<0，h(2)＝e＋e－1>0，由函数零点存在定理，知h(x)在(1,2)内有零点.又f(x)在(1，＋∞)上单调递增，g(x)在(1，＋∞)上单调递减，
所以h(x)＝f(x)－g(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以h(x)＝f(x)－g(x)在(1，＋∞)上只有一个零点.又因为f(2－x)＝e(2－x)－1＋e－(2－x)＋1＝e1－x＋ex－1＝f(x)，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，因为g(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f(x)与g(x)的图象都关于直线x＝1对称，所以h(x)＝f(x)－g(x)在(－∞，1)上只有一个零点.所以当a<－2时，h(x)＝f(x)－g(x)有两个零点.
综上，当－2