河北省沧州市2023-2024学年高二上学期期末教学质量监测数学试卷（Word版附解析）

这是一份河北省沧州市2023-2024学年高二上学期期末教学质量监测数学试卷（Word版附解析），共20页。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知数列的通项公式，则123是该数列的（ ）
A. 第9项B. 第10项C. 第11项D. 第12项
2. 已知直线方程为，则其倾斜角为（ ）
A B. C. D.
3. 已知，，若与垂直，则（ ）
A. B. C. 2D.
4. 已知A(m，3)，B(2m，m+4)，C(m+1，2)，D(1，0)，且直线AB与直线CD平行，则m的值为 ( )
A 1B. 0
C. 0或2D. 0或1
5. 若焦点为F的抛物线上一点P的纵坐标为，则原点O到直线PF的距离（ ）
A. B. C. 1D.
6. 已知双曲线C：（，），若四个点，，，（，）中有三个点在C上，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
7. 在等差数列中，p，，且，若，，则（ ）
A. B. C. D.
8. 已知平面上两定点A，B，满足（，且）的点P的轨迹是一个圆．这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称作阿氏圆．利用上述结论，解决下面的问题：若直线与x，y轴分别交于A，B两点，点M，N满足，，，则直线MN的方程为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 有两个单调区间B. 有两个极值点
C. 有最小值D. 有最大值e
10. 在各项均为正数的等比数列中，公比为q（），前n项和为，则下列结论正确的是（ ）
A. （m，）B.
C. 是等比数列D.
11. 在棱长为2的正四面体A-BCD中，E，F分别是AD，BC的中点，G是△BCD的重心，则下列结论正确的是（ ）
A B.
C. 在上的投影向量为D.
12. 已知是双曲线C：（，）的右焦点，过点F向C的一条渐近线引垂线，垂足为A，交另一条渐近线于点B，若，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. 离心率D. 若，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 直线被圆截得的弦长为______________．
14. 已知，则______________．
15. 在棱长为3的正方体中，点到平面的距离为______________．
16. 已知数列各项均正数，且首项为1，，则______________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 在△OAB中，O是坐标原点，，．
（1）求AB边上高所在直线的方程；
（2）求△OAB的外接圆方程
18. 已知数列是公差不为0的等差数列，，且，，成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）设是数列的前n项和，证明：．
19. 已知P为抛物线C：（）上一点，且点P到抛物线的焦点F的距离为12，到y轴的距离为10．
（1）求p的值；
（2）过点F作直线l交C于A，B两点，求AB中点M的轨迹方程．
20. 已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若函数在上单调递增，求实数a的取值范围．
21. 如图，在斜三棱柱中，所有棱长均相等，O，D分别是AB，的中点．
（1）证明：OD∥平面；
（2）若，且，求平面与平面所成角的余弦值．
22. 已知椭圆C：（），F是其右焦点，点在椭圆上，且PF⊥x轴，O为原点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若M，N是椭圆C上的两点，且△OMN的面积为，求证：直线OM与ON的斜率之积为定值．沧州市2023-2024学年第一学期期末教学质量监测
高二数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知数列的通项公式，则123是该数列的（ ）
A. 第9项B. 第10项C. 第11项D. 第12项
【答案】C
【解析】
【分析】根据通项公式可直接求出.
【详解】由，解得（舍去），
故选：C．
．
2. 已知直线方程，则其倾斜角为（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由直线方程可得斜率，根据斜率与倾斜角的关系即可求倾斜角大小.
【详解】由题知直线斜率为，若直线的倾斜角为，则，
∵，∴，
故选：D．
3. 已知，，若与垂直，则（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据两个向量垂直的坐标表示计算即可.
【详解】，∴，解得，
故选：A．
4. 已知A(m，3)，B(2m，m+4)，C(m+1，2)，D(1，0)，且直线AB与直线CD平行，则m的值为 ( )
A. 1B. 0
C. 0或2D. 0或1
【答案】D
【解析】
【详解】当AB与CD斜率均不存在时， 故得m=0，此时两直线平行；
此时AB∥CD，当kAB=kCD时，，得到m=1，此时AB∥CD.
故答案选D．
点睛：解答本题易出现选A错误，导致出现这种错误的原因是忽略了直线AB与CD的斜率不存在的情况.在已知直线的位置关系，求参数时，在用到了直线的斜率时，首先要考虑直线的斜率是否存在，然后再列式子．
5. 若焦点为F的抛物线上一点P的纵坐标为，则原点O到直线PF的距离（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求出点P的坐标，然后利用焦半径公式求出，再根据等面积法列式求解即可.
【详解】由已知可得点P的横坐标为，由抛物线定义知，
因为且，
所以，解得.
故选：B．
6. 已知双曲线C：（，），若四个点，，，（，）中有三个点在C上，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先根据双曲线的对称性，通过数形结合来排除一个点，然后将代入，求出的值，进而得到双曲线的渐近线方程.
【详解】∵，关于原点对称，线段垂直于y轴且在x轴的同侧，
∴不在双曲线上，将代入双曲线方程，
解得，代入点解得，
所以该双曲线的渐近线方程为．
故选：D．
7. 在等差数列中，p，，且，若，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设出首项和公差并表示出和，然后表示出公差，最后求出结果即可．
【详解】设等差数列公差为d，则，，
两式相减得，则，
故选：C．
8. 已知平面上两定点A，B，满足（，且）的点P的轨迹是一个圆．这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称作阿氏圆．利用上述结论，解决下面的问题：若直线与x，y轴分别交于A，B两点，点M，N满足，，，则直线MN的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意得出点M，点N是两个圆的公共点，所以将两圆直接作差即可得到公共弦所在直线方程.
【详解】由题得，，设，∵，∴点M在圆：上．
∵，∴，整理得，
∴点M也在圆：上，同理点N也在这两个圆上，
∴MN是这两圆的公共弦，两圆方程作差，得，即直线MN的方程为，
故选：A．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 有两个单调区间B. 有两个极值点
C. 有最小值D. 有最大值e
【答案】AC
【解析】
【分析】求出导函数，结合导函数的正负分析原函数的单调性，进而得出极值最值情况.
【详解】由已知得，
由解得，由解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
∴只有一个极值点，且在处取得极小值也是最小值，无最大值，
故选：AC．
10. 在各项均为正数的等比数列中，公比为q（），前n项和为，则下列结论正确的是（ ）
A. （m，）B.
C. 是等比数列D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据等比数列通项性质判断A，根据等比数列求和化简判断B，根据对数运算及等差数列定义判断C，根据等比数列求和判断D.
【详解】，，两式相除可得，故A正确；
因为，由等比数列求和公式，可得，故B正确；
因为（常数），所以是等差数列，故C不正确；
对于D，，，…，，可看作是以为首项，（）为公比的等比数列，
所以，故D正确.
故选：ABD
11. 在棱长为2的正四面体A-BCD中，E，F分别是AD，BC的中点，G是△BCD的重心，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. 在上的投影向量为D.
【答案】AB
【解析】
【分析】取DC的中点M，根据CD⊥平面ABM判断A；取BD的中点H，判断B；根据投影向量定义判断C；根据空间向量线性运算判断D.
【详解】
如图，取DC的中点M，连接AM，BM，
∵AM⊥CD，BM⊥CD，平面，
∴CD⊥平面，平面，∴CD⊥AB，故A正确；
取BD的中点H，连接HE，HF，则，，
∴HE⊥FH，即，又，∴，，
∴，故B正确；
由B知，在上的投影向量为，故C不正确；
，故D不正确，
故选：AB．
12. 已知是双曲线C：（，）的右焦点，过点F向C的一条渐近线引垂线，垂足为A，交另一条渐近线于点B，若，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. 离心率D. 若，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据点F到两条渐近线的距离相等，结合对称性几面积关系即可判断A；根据长度关系可求得，进而可判断；根据渐近线的斜率可算出离心率，进而了判断C；解三角形可得，所以，，，求出直角三角形的面积，列出方程即可判定D.
【详解】
如图，∵，∴，，
∵点F到两条渐近线的距离相等，∴，故A正确；
∵AB⊥OA，，∴，，，，故B正确；
由B知，一条渐近线的斜率，则，故C不正确；
由C知，，所以，，，∴，∴，，，故D正确，
故选：ABD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 直线被圆截得的弦长为______________．
【答案】
【解析】
【分析】先求出圆心和半径，再求出圆心到直线的距离，最后利用弦长公式求出结果.
【详解】由已知得圆的半径，圆心为，
圆心到直线的距离，所以弦长为．
故答案为：.
14. 已知，则______________．
【答案】
【解析】
【分析】对函数求导，然后将代入导函数中，求得相应的导数值.
【详解】由已知得，
则，解得．
故答案为：．
15. 在棱长为3的正方体中，点到平面的距离为______________．
【答案】
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，用向量法求点到平面的距离.
【详解】
以B为坐标原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图：，
，，
因为，所以，
又平面，所以平面，
所以是平面的一个法向量，又，
∴点到平面的距离．
故答案为：.
16. 已知数列各项均为正数，且首项为1，，则______________．
【答案】210
【解析】
【分析】对原方程化简得，然后利用累乘法求解即可.
【详解】由已知，得，
∵，∴，得，
由累乘法得，∴,
故答案为：210.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 在△OAB中，O是坐标原点，，．
（1）求AB边上的高所在直线的方程；
（2）求△OAB外接圆方程
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先求出边上的高线的斜率，再利用点斜式求出边上的高所在直线的方程；
（2）设的外接圆的方程为（），则把的坐标代入求得的值，可得圆的方程．
【小问1详解】
∵直线AB的斜率，
∴AB边上的高所在直线的斜率，
又AB边上的高所在直线过原点O，
∴AB边上的高所在直线的方程为．
【小问2详解】
设的外接圆的方程为（），
则，解得，
∴的外接圆方程为．
18. 已知数列是公差不为0的等差数列，，且，，成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）设是数列的前n项和，证明：．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据等差数列基本量，列方程，即可求解；
（2）根据（1）的结果，裂项相消法求和，即可证明不等式.
【小问1详解】
设数列的公差为，
∴，
∴，，．
由已知得，解得或（舍），
∴数列的通项公式为．
【小问2详解】
由（1）知，，
∴，
∴．
19. 已知P为抛物线C：（）上一点，且点P到抛物线的焦点F的距离为12，到y轴的距离为10．
（1）求p的值；
（2）过点F作直线l交C于A，B两点，求AB中点M的轨迹方程．
【答案】（1）4 （2）
【解析】
【分析】（1）根据抛物线的定义列出方程即可求解；
（2）设，，，利用点差法化简计算即可得出结果.
【小问1详解】
由抛物线的定义得，
故．
【小问2详解】
由（1）得，，则抛物线C的方程为，焦点，
设，，，
∴，，
当M，F不重合时，相减整理得，，
∴，即，
当M，F重合时，满足上式．
∴点M的轨迹方程为．
20. 已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若函数在上单调递增，求实数a的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的几何意义，即可求得答案；
（2）函数在上单调递增，可得当时，恒成立，分离参数，将问题转化为求解二次函数的最值问题，即可求得答案.
【小问1详解】
当时，，则，
∴，，
曲线在点处的切线方程为，即．
【小问2详解】
由题意得当时，恒成立，
∴在时恒成立，
∵，则，由于二次函数在上单调递减，
∴当时，，
∴，即实数a的取值范围是．
21. 如图，在斜三棱柱中，所有棱长均相等，O，D分别是AB，的中点．
（1）证明：OD∥平面；
（2）若，且，求平面与平面所成角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）连接交于点E，连接OE，，可得四边形为平行四边形，则有，利用线面平行的判定定理可证得OD∥平面；
（2）可证得平面ABC，以O为原点，OA，，OC所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面与平面所成二面角的余弦值.
【小问1详解】
连接交于点E，连接OE，，
∵O，E分别是AB，的中点，D为的中点，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴．
∵平面，平面，
∴OD∥平面．
【小问2详解】
连接OC，
∵，
∴为正三角形，
∴，
∵，且，
∴平面ABC，
∵△ABC是正三角形，
∴CO⊥AB．
以O为原点，OA，，OC所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，，，，
由，可得．
则，，，
设平面的法向量为，
∴，即，
令，
∴，
设平面的法向量为，
∴，即，
令，∴，
设平面与平面所成的角为，
则，
即平面与平面所成角的余弦值为．
22. 已知椭圆C：（），F是其右焦点，点在椭圆上，且PF⊥x轴，O为原点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若M，N是椭圆C上的两点，且△OMN的面积为，求证：直线OM与ON的斜率之积为定值．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据椭圆的几何性质，求，即可求解；
（2）当直线的斜率不存在时，求得点的坐标，再表示的值，当直线的斜率存在时，直线与椭圆方程联立，并表示的面积，并利用韦达定理表示.
【小问1详解】
由已知得，，
∵，
∴，，
∴椭圆C的方程为．
【小问2详解】
设，，
当直线MN的斜率不存在时，不妨令点M在x轴上方，点N在x轴下方，
此时，，即，且
解得：，
得，或，，则；
当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为，
代入椭圆方程，整理得，
，即，
由根与系数的关系得，，
∴，
设点O到直线MN的距离为d，则，
∴，整理得．
∵，
∴．
综上，直线OM与ON的斜率之积为定值．
【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键需讨论两种情况，重点是根据面积公式，得到这个关键条件.