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2023-2024学年新疆昌吉州八年级（上）期末数学试卷(含解析）
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这是一份2023-2024学年新疆昌吉州八年级（上）期末数学试卷(含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列四个手机应用图标中，是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.要使分式21−x有意义，则x应满足( )
A. x>1B. x<1C. x≠1D. x=1
3.下列运算结果正确的是( )
A. a3⋅a2=a6B. (2a2)3=8a6
C. a(a+1)=a2+1D. (a3+a)÷a=a2
4.下列各组长度的线段能构成三角形的是( )
A. 1cm，3cm，2cmB. 3cm，7cm，3cm
C. 6cm，1cm，6cmD. 4cm，10cm，4cm
5.在直角坐标系中，点P(2,1)关于x轴对称的点的坐标是( )
A. (2,1)B. (−2,1)C. (2,−1)D. (−2,−1)
6.如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠B=70°，则∠BAC的度数为( )
A. 75°
B. 70°
C. 65°
D. 35°
7.式子从左到右的变形中，属于因式分解的是( )
A. x2−1=x⋅x−1B. x2+2xy+1=x(x+2y)+1
C. a2b+ab3=ab(a+b2)D. x(x+y)=x2+xy
8.如图，B、E、C、F在同一直线上，BE=CF，AB=DE，添加下列哪个条件可以推证△ABC≌△DEF( )
A. BC=EFB. ∠A=∠DC. AC=DFD. AC//DF
9.我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形揭示了(a+b)n(n为非负整数)展开式的项数及各项系数的有关规律，根据“杨辉三角”请计算(a+b)6的展开式中从左起第四项的系数为( )
(a+b)0=1
(a+b)1=a+b
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
…
A. 10B. 15C. 20D. 25
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
10.计算：(2x+y)(2x−y)=______．
11.已知多边形的内角和为540°，则该多边形的边数为 ．
12.甲、乙二人做某种机械零件，已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个零件所用的时间与乙做60个零件所用的时间相等．设甲每小时做x个零件，依题意列方程为______．
13.如图，在△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB.若∠BOC=110°，则∠A=______．
14.若3x=2，3y=5，则32x−y= ______．
15.对于实数a，b定义一种新运算“⊗”：a⊗b=1a−b2，例如，1⊗3=11−32=−18.则方程x⊗2=2x−4−1的解是______．
三、解答题：本题共8小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题13分)
计算：
(1)( 2+1)( 2−1)−(2 2−1)2；
(2)先化简，再求值：(1x+2+1)÷x2+6x+9x+3，其中x=−1．
17.(本小题13分)
(1)因式分解(a+3)(a−7)+21；
(2)下面是小李同学解方程2x−3+5=1−x3−x的过程，请认真阅读并解答相应问题．
解：方程两边同乘(x−3)，得：
2+5(x−3)=x−1…第一步
2+5x−3=x−1…第二步
5x−x=−1−2+3…第三步
x=0…第四步
①第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______．
②写出正确的解该方程的过程．
18.(本小题8分)
已知△ABC，求证：∠A+∠B+∠C=180°．
19.(本小题8分)
如图，在等边三角形ABC中，D是AC的中点，延长BC到点E，使CE=CD．
求证：BD=ED．
20.(本小题12分)
如图，已知△ABC，按如下步骤作图：
①分别以点A、C为圆心，大于12AC的长为半径画弧，两弧交于P、Q两点；
②作直线PQ，分别交AB，AC于点E、D，连接CE；
③过C作CF//AB交PQ于点F，连接AF．
(1)求证：△AED≌△CFD；
(2)当∠ACF=32°，∠B=46°时，求∠BCE的度数．
21.(本小题10分)
某水果店老板用960元从批发市场购进某种水果销售，由于春节临近，几天后他又用1800元以每千克比第一次高出2元的价格购进这种水果，第二次购进水果的重量是第一次购进水果的重量的1.5倍，设第一次购进水果的重量为x千克．
(1)用含x的式子表示：第一次购进水果的单价为______元/千克，第二次购进水果的重量为______千克；
(2)该水果店老板两次购进水果各多少千克？
22.(本小题12分)
已知点P在∠MON内.如图1，点P关于射线OM的对称点是G，点P关于射线ON的对称点是H，连接OG、OH、OP．
(1)若∠MON=50°，求∠GOH的度数；
(2)如图2，若OP=6，当△PAB的周长最小值为6时，求∠MON的度数．
23.(本小题14分)
如图(1)，大正方形的面积可以表示为(a+b)2，同时大正方形的面积也可以表示成两个小正方形面积与两个长方形的面积之和，即a2+2ab+b2.同一图形(大正方形)的面积，用两种不同的方法求得的结果应该相等，从而验证了完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2．
把这种“同一图形的面积，用两种不同的方法求出的结果相等，从而构建等式，根据等式解决相关问题”的方法称为“面积法”．
(1)用上述“面积法”，通过如图(2)中图形的面积关系，直接写出一个等式：______．
(2)如图(3)，直角△ABC中，∠ACB=90°，CA=3，CB=4，AB=5，CH是斜边AB边上的高.用上述“面积法”求CH的长；
(3)如图(4)，等腰△ABC中，AB=AC，点O为底边BC上任意一点，OM⊥AB，ON⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为点M，N，H，连接AO，用上述“面积法”求证：OM+ON=CH．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A、是轴对称图形，故本选项符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故选：A．
根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2.【答案】C
【解析】解：∵分式21−x有意义，
∴1−x≠0，
解得x≠1．
故选：C．
根据分式有意义的条件得出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：A、a3⋅a2=a3+2=a5，故此选项计算错误，不符合题意；
B、(2a2)3=8a6，故此选项计算正确，符合题意；
C、a(a+1)=a2+a，故此选项计算错误，不符合题意；
D、(a3+a)÷a=a2+1，故此选项计算错误，不符合题意；
故选：B．
根据同底数幂乘法、积的乘方、幂的乘方以及整式的乘除运算法则进行判断即可．
本题考查了幂的相关运算以及整式的乘除运算法则，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：根据三角形的三边关系，得
A、1+2=3，不能组成三角形，故此选项错误；
B、3+3<7，不能组成三角形，故此选项错误；
C、1+6>6，能够组成三角形，故此选项正确；
D、4+4<10，不能组成三角形，故此选项错误．
故选：C．
根据“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”对各选项进行进行逐一分析即可．
此题主要考查了三角形三边关系，判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．
5.【答案】C
【解析】解：点P(2,1)关于x轴对称的点的坐标是(2,−1)，
故选：C．
根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可直接得到答案．
此题主要考查了关于x轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．
6.【答案】A
【解析】解：∵AB=AD，∠B=70°，
∴∠ADB=70°．
∵AD=DC，
∴∠C=∠DAC，
∴∠C=35°，
∴∠BAC=180°−70°−35°=75°．
故选：A．
先根据AB=AD，∠B=70°求出∠ADB的度数，再由AD=DC得出∠C=∠DAC，根据三角形外角的性质得出∠C的度数，再根据三角形内角和定理即可得出结论．
本题考查的是等腰三角形的性质，熟知等腰三角形的两底角相等是解答此题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：A、不符合因式分解的定义，不是因式分解，，故本选项不符合题意；
B、不符合因式分解的定义，不是因式分解，，故本选项不符合题意；
C、符合因式分解的定义，是因式分解，故本选项符合题意；
D、是整式乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意．
故选：C．
根据因式分解的定义逐个判断即可．
本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
8.【答案】C
【解析】解：∵BE=CF，
∴BE+CE=CF+EC，
即BC=EF，
A、添加BC=EF不能推证△ABC≌△DEF，故此选项不合题意；
B、添加∠A=∠D不能推证△ABC≌△DEF，故此选项不合题意；
C、添加AC=DF可利用SSS推证△ABC≌△DEF，故此选项符合题意；
D、添加AC//DF不能推证△ABC≌△DEF，故此选项不合题意；
故选：C．
利用全等三角形的判定方法进行推理即可．
此题主要考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
9.【答案】C
【解析】解：找规律发现(a+b)4的第四项系数为4=3+1；
(a+b)5的第四项系数为10=6+4；
∴(a+b)6的第四项系数为20=10+10．
故选：C．
根据图形中的规律即可求出(a+b)6的展开式中从左起第四项的系数．
此题考查了数字变化规律，通过观察、分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题的能力．
10.【答案】4x2−y2
【解析】【分析】
本题主要考查平方差公式，属于基础题．
运用平方差公式(a+b)(a−b)=a2−b2计算求解即可．
【解答】
解：(2x+y)(2x−y)，
=(2x)2−y2，
=4x2−y2；
故答案为4x2−y2．
11.【答案】5
【解析】【分析】
本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．
多边形的内角和可以表示成(n−2)⋅180°，因为已知多边形的内角和为540°，所以可列方程求解．
【解答】
解：设所求多边形边数为n，
则(n−2)⋅180°=540°，
解得n=5．
故答案为5．
12.【答案】90x=60x−6
【解析】解：设甲每小时做x个零件，则乙每小时做(x−6)个零件，
依题意，得：90x=60x−6．
故答案为：90x=60x−6．
设甲每小时做x个零件，则乙每小时做(x−6)个零件，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合甲做90个零件所用的时间与乙做60个零件所用的时间相等，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
13.【答案】40°
【解析】解：∵BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，
∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，
而∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，
∴∠BOC=180°−(∠OBC+∠OCB)=180°−12(∠ABC+∠ACB)，
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠ABC+∠ACB=180°−∠A，
∴∠BOC=180°−12(180°−∠A)=90°+12∠A，
而∠BOC=110°，
∴90°+12∠A=110°
∴∠A=40°．
故答案为40°．
先根据角平分线的定义得到∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，再根据三角形内角和定理得∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，则∠BOC=180°−12(∠ABC+∠ACB)，由于∠ABC+∠ACB=180°−∠A，所以∠BOC=90°+12∠A，然后把∠BOC=110°代入计算可得到∠A的度数．
本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
14.【答案】45
【解析】解：∵3x=2，3y=5，
∴32x−y
=(3x)2÷3y
=22÷5
=4÷5
=45．
故答案为：45．
把32x−y化为(3x)2÷3y，再把3x=2，3y=5代入进行计算即可．
本题考查的是同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方法则，熟知以上知识是解题的关键．
15.【答案】x=5
【解析】解：根据题中的新定义，化简得：1x−4=2x−4−1，
去分母得：1=2−x+4，
解得：x=5，
经检验，x=5是分式方程的解，
故答案为：x=5．
已知等式利用题中的新定义化简，求出分式方程的解即可．
此题考查了解分式方程以及实数的运算，解分式方程时，一定要检验．弄清题中的新定义是解本题的关键．
16.【答案】解：(1)原式=2−1−(8−4 2+1)
=1−8+4 2−1
=−8+4 2；
(2)原式=1+x+2x+2⋅x+3(x+3)2
=x+3x+2⋅1x+3
=1x+2．
当x=−1时，
原式=1−1+2=1．
【解析】(1)先用平方差公式，完全平方公式展开，再合并即可；
(2)先通分算括号内的，把除化为乘，再将分子，分母分解因式约分，化简后将x的值代入计算即可．
本题考查实数的运算和分式化简求值，解题的关键是掌握实数运算，分式运算的相关法则．
17.【答案】二 利用乘法分配律计算时括号中第二项没有乘5
【解析】解：(1)(a+3)(a−7)+21
=a2−7a+3a−21+21
=a2−4a
=a(a−4)；
(2)①第二步开始出现错误，这一步错误的原因是利用乘法分配律计算时括号中第二项没有乘5；
故答案为：二，利用乘法分配律计算时括号中第二项没有乘5；
②正确的解该方程的过程如下：
解：方程两边同乘(x−3)，得：
2+5(x−3)=x−1
2+5x−15=x−1
5x−x=−1−2+15
4x=12，
x=3，
检验：把x=3代入得：x−3=0，
所以x=3是增根，分式方程无解．
(1)原式整理后，提取公因式即可；
(2)①观察解方程过程，找出错误的步骤，分析其原因即可；
②写出正确的解方程过程即可．
此题考查了解分式方程，因式分解，解一元一次方程，熟练掌握因式分解的方法及方程的解法是解本题的关键．
18.【答案】解：过C作CF//AB，
则∠B=∠BCF，
∴∠B+∠ACB=∠ACF，
∵CF//AB，∴∠A+∠ACF=180°，
∴∠B+∠ACB+∠A=180°，
即∠A+∠B+∠C=180°．
【解析】过C作CF//AB，则∠B=∠BCF，再根据平行线的性质解答即可．
此题比较简单，解答此题的关键是过C点作出AB的平行线，利用平行线的性质解答．
19.【答案】证明：∵△ABC是等边三角形，D是AC的中点，
∴∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=12∠ABC=30°，
∵CD=CE，
∴∠EDC=∠CED，
∵∠ACB=∠CDE+∠CED，
∴∠CED=12∠ACB=30°，
∴∠DBE=∠CED，
∴BD=ED．
【解析】根据等边三角形的性质得∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=12∠ABC=30°，结合CD=CE，以及角角之间的等量关系，得到∠DBE=∠CED，即可求出BD=ED．
本题主要考查等边三角形的性质的知识点，解答本题的关键是熟练掌握等边三角形边角之间的关系．
20.【答案】(1)证明：由作法得PQ垂直平分AC，
∴AD=CD，
∵CF//AB，
∴∠EAD=∠FCD，
在△AED和△CFD中，
∠EAD=∠FCDAD=CD∠ADE=∠CDF，
∴△AED≌△CFD(ASA)；
(2)解：∵CF//AB，
∴∠EAD=∠ACF=32°，
由作法得PQ垂直平分AC，
∴AE=CE，
∴∠ECA=∠EAD=32°，
∴∠AEC=180°−∠EAD−∠ECA=116°，
∵∠AEC=∠B+∠BCE，
∴∠BCE=116°−46°=70°．
【解析】(1)先利用基本作图得到PQ垂直平分AC，所以AD=CD，再根据平行线的性质得到∠EAD=∠FCD，然后利用“ASA”可判断△AED≌△CFD；
(2)先利用平行线的性质得到∠EAD=∠ACF=32°，再根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质得到∠ECA=∠EAD=32°，接着根据三角形内角和可计算出∠AEC=116°，然后利用三角形外角性质可计算出∠BCE的度数．
本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质．
21.【答案】960x 1.5x
【解析】解：(1)根据题意得：第一次购进水果的单价为960x元/千克，
第二次购进水果的重量为1.5x千克．
故答案为：960x，1.5x；
(2)根据题意得：18001.5x−960x=2，
解得：x=120，
经检验，x=120是所列方程的解，且符合题意，
∴1.5x=1.5×120=180(千克)．
答：该水果店老板第一次购进这种水果120千克，第二次购进这种水果180千克．
(1)利用第一次购进水果的单价=总价÷数量，可用含x的代数式表示出第一次购进水果的单价；利用第二次购进水果的重量=第一次购进水果的重量×1.5，可用含x的代数式表示出第二次购进水果的重量；
(2)利用单价=总价÷数量，结合第二次购进水果的单价比第一次购进水果的单价高出2元，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出该水果店老板第一次购进这种水果的重量，再将其代入1.5x中，即可求出该水果店老板第二次购进这种水果的重量．
本题考查了分式方程的应用以及列代数式，解题的关键是：(1)根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出第一次购进水果的单价及第二次购进水果的重量；(2)找准等量关系，正确列出分式方程．
22.【答案】解：(1)∵点P关于射线OM的对称点是G，
∴∠GOM=∠POM．
∵点P关于射线ON的对称点是H，
∴∠HON=∠PON．
∵∠MON=∠MOP+∠NOP=50°，
∴∠GOH=∠GOM+∠MOP+∠NOP+∠HON=2∠MON=100°；
(2)作点P关于OM、ON的对称点P′和P″，连接P′P″、OP′、OP″、OP.P
∴PA=P′A，PB=P″B，OP′=OP，OP″=OP，∠P′OM=∠POM，∠PON=∠P″ON．
∵△PAB的周长最小值为6，OP=6，
∴P′P″=OP′=OP″=6．
∴△OP′P″为等边三角形．
∴∠P′OP″=60°．
∵∠P′OP″=∠P′OM+∠POM+∠PON+∠P″ON=2∠MON，
∴∠MON=30°．
【解析】(1)根据轴对称的性质可得对称轴两边的对应角相等，那么∠GOM=∠POM，∠HON=∠PON，那么∠GOH=2∠MON；
(2)作点P关于OM、ON的对称点P′和P″，连接P′P″、OP′、OP″、OP.那么△PAB的周长最小值即为P′P″的长，易得△OP′P″为等边三角形，那么∠P′OP″=60°，所以∠MON=30°．
本题考查轴对称的综合应用．根据轴对称的性质可得关于轴对称的两个图形，对称轴两边的对应角相等，对应边相等是解决本题的关键．
23.【答案】(1)x2+5x+6=(x+3)(x+2)
(2)如图(3)，直角△ABC中，∠C=90°，CA=3，CB=4，AB=5，
∵S△ABC=12AC⋅BC=12AB⋅CH，
∴CH=CA⋅CBAB=3×45=125；
答：CH的长为125；
(3)证明：如图(4)，
∵OM⊥AB，ON⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为点M，N，H，
∴S△ABC=S△ABO+S△AOC，
∴12AB⋅CH=12AB⋅OM+12AC⋅ON，
∵AB=AC，
∴CH=OM+ON．
即OM+ON=CH．
(1)大正方形的面积为一个正方形的面积与三个小长方形面积之和，即x2+5x+6，同时大长方形的面积也可以为(x+3)(x+2)，列出等量关系即可；
(2)根据S△ABC=12AC⋅BC=12AB⋅CH，代入数值解之即可；
(3)由S△ABC=S△ABO+S△AOC和三角形面积公式即可得证．
本题考查了因式分解的几何背景、图形的拆拼前后的面积相等、类比法等，解答的关键是根据已知条件和图形特点，利用拆拼前后的面积相等分析、推理和计算．
【解析】解：(1)如图(2)，大正方形的面积为一个正方形的面积与三个小长方形面积之和，
即x2+5x+6，
同时大长方形的面积也可以为(x+3)(x+2)，
所以x2+5x+6=(x+3)(x+2)；
故答案为：x2+5x+6=(x+3)(x+2)；
(2)如图(3)，Rt△ABC中，∠C=90°，CA=3，CB=4，AB=5，
∵S△ABC=12AC⋅BC=12AB⋅CH，
∴CH=CA⋅CBAB=3×45=125；
答：CH的长为125；
(3)证明：如图(4)，
∵OM⊥AB，ON⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为点M，N，H，
∴S△ABC=S△ABO+S△AOC，
∴12AB⋅CH=12AB⋅OM+12AC⋅ON，
∵AB=AC，
∴CH=OM+ON．
即OM+ON=CH．
(1)大正方形的面积为一个正方形的面积与三个小长方形面积之和，即x2+5x+6，同时大长方形的面积也可以为(x+3)(x+2)，列出等量关系即可；
(2)根据S△ABC=12AC⋅BC=12AB⋅CH，代入数值解之即可；
(3)由S△ABC=S△ABO+S△AOC和三角形面积公式即可得证．
本题考查了因式分解的几何背景、图形的拆拼前后的面积相等、类比法等，解答的关键是根据已知条件和图形特点，利用拆拼前后的面积相等分析、推理和计算．
1.下列四个手机应用图标中，是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.要使分式21−x有意义，则x应满足( )
A. x>1B. x<1C. x≠1D. x=1
3.下列运算结果正确的是( )
A. a3⋅a2=a6B. (2a2)3=8a6
C. a(a+1)=a2+1D. (a3+a)÷a=a2
4.下列各组长度的线段能构成三角形的是( )
A. 1cm，3cm，2cmB. 3cm，7cm，3cm
C. 6cm，1cm，6cmD. 4cm，10cm，4cm
5.在直角坐标系中，点P(2,1)关于x轴对称的点的坐标是( )
A. (2,1)B. (−2,1)C. (2,−1)D. (−2,−1)
6.如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠B=70°，则∠BAC的度数为( )
A. 75°
B. 70°
C. 65°
D. 35°
7.式子从左到右的变形中，属于因式分解的是( )
A. x2−1=x⋅x−1B. x2+2xy+1=x(x+2y)+1
C. a2b+ab3=ab(a+b2)D. x(x+y)=x2+xy
8.如图，B、E、C、F在同一直线上，BE=CF，AB=DE，添加下列哪个条件可以推证△ABC≌△DEF( )
A. BC=EFB. ∠A=∠DC. AC=DFD. AC//DF
9.我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形揭示了(a+b)n(n为非负整数)展开式的项数及各项系数的有关规律，根据“杨辉三角”请计算(a+b)6的展开式中从左起第四项的系数为( )
(a+b)0=1
(a+b)1=a+b
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
…
A. 10B. 15C. 20D. 25
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
10.计算：(2x+y)(2x−y)=______．
11.已知多边形的内角和为540°，则该多边形的边数为 ．
12.甲、乙二人做某种机械零件，已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个零件所用的时间与乙做60个零件所用的时间相等．设甲每小时做x个零件，依题意列方程为______．
13.如图，在△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB.若∠BOC=110°，则∠A=______．
14.若3x=2，3y=5，则32x−y= ______．
15.对于实数a，b定义一种新运算“⊗”：a⊗b=1a−b2，例如，1⊗3=11−32=−18.则方程x⊗2=2x−4−1的解是______．
三、解答题：本题共8小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题13分)
计算：
(1)( 2+1)( 2−1)−(2 2−1)2；
(2)先化简，再求值：(1x+2+1)÷x2+6x+9x+3，其中x=−1．
17.(本小题13分)
(1)因式分解(a+3)(a−7)+21；
(2)下面是小李同学解方程2x−3+5=1−x3−x的过程，请认真阅读并解答相应问题．
解：方程两边同乘(x−3)，得：
2+5(x−3)=x−1…第一步
2+5x−3=x−1…第二步
5x−x=−1−2+3…第三步
x=0…第四步
①第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______．
②写出正确的解该方程的过程．
18.(本小题8分)
已知△ABC，求证：∠A+∠B+∠C=180°．
19.(本小题8分)
如图，在等边三角形ABC中，D是AC的中点，延长BC到点E，使CE=CD．
求证：BD=ED．
20.(本小题12分)
如图，已知△ABC，按如下步骤作图：
①分别以点A、C为圆心，大于12AC的长为半径画弧，两弧交于P、Q两点；
②作直线PQ，分别交AB，AC于点E、D，连接CE；
③过C作CF//AB交PQ于点F，连接AF．
(1)求证：△AED≌△CFD；
(2)当∠ACF=32°，∠B=46°时，求∠BCE的度数．
21.(本小题10分)
某水果店老板用960元从批发市场购进某种水果销售，由于春节临近，几天后他又用1800元以每千克比第一次高出2元的价格购进这种水果，第二次购进水果的重量是第一次购进水果的重量的1.5倍，设第一次购进水果的重量为x千克．
(1)用含x的式子表示：第一次购进水果的单价为______元/千克，第二次购进水果的重量为______千克；
(2)该水果店老板两次购进水果各多少千克？
22.(本小题12分)
已知点P在∠MON内.如图1，点P关于射线OM的对称点是G，点P关于射线ON的对称点是H，连接OG、OH、OP．
(1)若∠MON=50°，求∠GOH的度数；
(2)如图2，若OP=6，当△PAB的周长最小值为6时，求∠MON的度数．
23.(本小题14分)
如图(1)，大正方形的面积可以表示为(a+b)2，同时大正方形的面积也可以表示成两个小正方形面积与两个长方形的面积之和，即a2+2ab+b2.同一图形(大正方形)的面积，用两种不同的方法求得的结果应该相等，从而验证了完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2．
把这种“同一图形的面积，用两种不同的方法求出的结果相等，从而构建等式，根据等式解决相关问题”的方法称为“面积法”．
(1)用上述“面积法”，通过如图(2)中图形的面积关系，直接写出一个等式：______．
(2)如图(3)，直角△ABC中，∠ACB=90°，CA=3，CB=4，AB=5，CH是斜边AB边上的高.用上述“面积法”求CH的长；
(3)如图(4)，等腰△ABC中，AB=AC，点O为底边BC上任意一点，OM⊥AB，ON⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为点M，N，H，连接AO，用上述“面积法”求证：OM+ON=CH．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A、是轴对称图形，故本选项符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故选：A．
根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2.【答案】C
【解析】解：∵分式21−x有意义，
∴1−x≠0，
解得x≠1．
故选：C．
根据分式有意义的条件得出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：A、a3⋅a2=a3+2=a5，故此选项计算错误，不符合题意；
B、(2a2)3=8a6，故此选项计算正确，符合题意；
C、a(a+1)=a2+a，故此选项计算错误，不符合题意；
D、(a3+a)÷a=a2+1，故此选项计算错误，不符合题意；
故选：B．
根据同底数幂乘法、积的乘方、幂的乘方以及整式的乘除运算法则进行判断即可．
本题考查了幂的相关运算以及整式的乘除运算法则，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：根据三角形的三边关系，得
A、1+2=3，不能组成三角形，故此选项错误；
B、3+3<7，不能组成三角形，故此选项错误；
C、1+6>6，能够组成三角形，故此选项正确；
D、4+4<10，不能组成三角形，故此选项错误．
故选：C．
根据“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”对各选项进行进行逐一分析即可．
此题主要考查了三角形三边关系，判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．
5.【答案】C
【解析】解：点P(2,1)关于x轴对称的点的坐标是(2,−1)，
故选：C．
根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可直接得到答案．
此题主要考查了关于x轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．
6.【答案】A
【解析】解：∵AB=AD，∠B=70°，
∴∠ADB=70°．
∵AD=DC，
∴∠C=∠DAC，
∴∠C=35°，
∴∠BAC=180°−70°−35°=75°．
故选：A．
先根据AB=AD，∠B=70°求出∠ADB的度数，再由AD=DC得出∠C=∠DAC，根据三角形外角的性质得出∠C的度数，再根据三角形内角和定理即可得出结论．
本题考查的是等腰三角形的性质，熟知等腰三角形的两底角相等是解答此题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：A、不符合因式分解的定义，不是因式分解，，故本选项不符合题意；
B、不符合因式分解的定义，不是因式分解，，故本选项不符合题意；
C、符合因式分解的定义，是因式分解，故本选项符合题意；
D、是整式乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意．
故选：C．
根据因式分解的定义逐个判断即可．
本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
8.【答案】C
【解析】解：∵BE=CF，
∴BE+CE=CF+EC，
即BC=EF，
A、添加BC=EF不能推证△ABC≌△DEF，故此选项不合题意；
B、添加∠A=∠D不能推证△ABC≌△DEF，故此选项不合题意；
C、添加AC=DF可利用SSS推证△ABC≌△DEF，故此选项符合题意；
D、添加AC//DF不能推证△ABC≌△DEF，故此选项不合题意；
故选：C．
利用全等三角形的判定方法进行推理即可．
此题主要考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
9.【答案】C
【解析】解：找规律发现(a+b)4的第四项系数为4=3+1；
(a+b)5的第四项系数为10=6+4；
∴(a+b)6的第四项系数为20=10+10．
故选：C．
根据图形中的规律即可求出(a+b)6的展开式中从左起第四项的系数．
此题考查了数字变化规律，通过观察、分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题的能力．
10.【答案】4x2−y2
【解析】【分析】
本题主要考查平方差公式，属于基础题．
运用平方差公式(a+b)(a−b)=a2−b2计算求解即可．
【解答】
解：(2x+y)(2x−y)，
=(2x)2−y2，
=4x2−y2；
故答案为4x2−y2．
11.【答案】5
【解析】【分析】
本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．
多边形的内角和可以表示成(n−2)⋅180°，因为已知多边形的内角和为540°，所以可列方程求解．
【解答】
解：设所求多边形边数为n，
则(n−2)⋅180°=540°，
解得n=5．
故答案为5．
12.【答案】90x=60x−6
【解析】解：设甲每小时做x个零件，则乙每小时做(x−6)个零件，
依题意，得：90x=60x−6．
故答案为：90x=60x−6．
设甲每小时做x个零件，则乙每小时做(x−6)个零件，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合甲做90个零件所用的时间与乙做60个零件所用的时间相等，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
13.【答案】40°
【解析】解：∵BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，
∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，
而∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，
∴∠BOC=180°−(∠OBC+∠OCB)=180°−12(∠ABC+∠ACB)，
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠ABC+∠ACB=180°−∠A，
∴∠BOC=180°−12(180°−∠A)=90°+12∠A，
而∠BOC=110°，
∴90°+12∠A=110°
∴∠A=40°．
故答案为40°．
先根据角平分线的定义得到∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，再根据三角形内角和定理得∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，则∠BOC=180°−12(∠ABC+∠ACB)，由于∠ABC+∠ACB=180°−∠A，所以∠BOC=90°+12∠A，然后把∠BOC=110°代入计算可得到∠A的度数．
本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
14.【答案】45
【解析】解：∵3x=2，3y=5，
∴32x−y
=(3x)2÷3y
=22÷5
=4÷5
=45．
故答案为：45．
把32x−y化为(3x)2÷3y，再把3x=2，3y=5代入进行计算即可．
本题考查的是同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方法则，熟知以上知识是解题的关键．
15.【答案】x=5
【解析】解：根据题中的新定义，化简得：1x−4=2x−4−1，
去分母得：1=2−x+4，
解得：x=5，
经检验，x=5是分式方程的解，
故答案为：x=5．
已知等式利用题中的新定义化简，求出分式方程的解即可．
此题考查了解分式方程以及实数的运算，解分式方程时，一定要检验．弄清题中的新定义是解本题的关键．
16.【答案】解：(1)原式=2−1−(8−4 2+1)
=1−8+4 2−1
=−8+4 2；
(2)原式=1+x+2x+2⋅x+3(x+3)2
=x+3x+2⋅1x+3
=1x+2．
当x=−1时，
原式=1−1+2=1．
【解析】(1)先用平方差公式，完全平方公式展开，再合并即可；
(2)先通分算括号内的，把除化为乘，再将分子，分母分解因式约分，化简后将x的值代入计算即可．
本题考查实数的运算和分式化简求值，解题的关键是掌握实数运算，分式运算的相关法则．
17.【答案】二 利用乘法分配律计算时括号中第二项没有乘5
【解析】解：(1)(a+3)(a−7)+21
=a2−7a+3a−21+21
=a2−4a
=a(a−4)；
(2)①第二步开始出现错误，这一步错误的原因是利用乘法分配律计算时括号中第二项没有乘5；
故答案为：二，利用乘法分配律计算时括号中第二项没有乘5；
②正确的解该方程的过程如下：
解：方程两边同乘(x−3)，得：
2+5(x−3)=x−1
2+5x−15=x−1
5x−x=−1−2+15
4x=12，
x=3，
检验：把x=3代入得：x−3=0，
所以x=3是增根，分式方程无解．
(1)原式整理后，提取公因式即可；
(2)①观察解方程过程，找出错误的步骤，分析其原因即可；
②写出正确的解方程过程即可．
此题考查了解分式方程，因式分解，解一元一次方程，熟练掌握因式分解的方法及方程的解法是解本题的关键．
18.【答案】解：过C作CF//AB，
则∠B=∠BCF，
∴∠B+∠ACB=∠ACF，
∵CF//AB，∴∠A+∠ACF=180°，
∴∠B+∠ACB+∠A=180°，
即∠A+∠B+∠C=180°．
【解析】过C作CF//AB，则∠B=∠BCF，再根据平行线的性质解答即可．
此题比较简单，解答此题的关键是过C点作出AB的平行线，利用平行线的性质解答．
19.【答案】证明：∵△ABC是等边三角形，D是AC的中点，
∴∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=12∠ABC=30°，
∵CD=CE，
∴∠EDC=∠CED，
∵∠ACB=∠CDE+∠CED，
∴∠CED=12∠ACB=30°，
∴∠DBE=∠CED，
∴BD=ED．
【解析】根据等边三角形的性质得∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=12∠ABC=30°，结合CD=CE，以及角角之间的等量关系，得到∠DBE=∠CED，即可求出BD=ED．
本题主要考查等边三角形的性质的知识点，解答本题的关键是熟练掌握等边三角形边角之间的关系．
20.【答案】(1)证明：由作法得PQ垂直平分AC，
∴AD=CD，
∵CF//AB，
∴∠EAD=∠FCD，
在△AED和△CFD中，
∠EAD=∠FCDAD=CD∠ADE=∠CDF，
∴△AED≌△CFD(ASA)；
(2)解：∵CF//AB，
∴∠EAD=∠ACF=32°，
由作法得PQ垂直平分AC，
∴AE=CE，
∴∠ECA=∠EAD=32°，
∴∠AEC=180°−∠EAD−∠ECA=116°，
∵∠AEC=∠B+∠BCE，
∴∠BCE=116°−46°=70°．
【解析】(1)先利用基本作图得到PQ垂直平分AC，所以AD=CD，再根据平行线的性质得到∠EAD=∠FCD，然后利用“ASA”可判断△AED≌△CFD；
(2)先利用平行线的性质得到∠EAD=∠ACF=32°，再根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质得到∠ECA=∠EAD=32°，接着根据三角形内角和可计算出∠AEC=116°，然后利用三角形外角性质可计算出∠BCE的度数．
本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质．
21.【答案】960x 1.5x
【解析】解：(1)根据题意得：第一次购进水果的单价为960x元/千克，
第二次购进水果的重量为1.5x千克．
故答案为：960x，1.5x；
(2)根据题意得：18001.5x−960x=2，
解得：x=120，
经检验，x=120是所列方程的解，且符合题意，
∴1.5x=1.5×120=180(千克)．
答：该水果店老板第一次购进这种水果120千克，第二次购进这种水果180千克．
(1)利用第一次购进水果的单价=总价÷数量，可用含x的代数式表示出第一次购进水果的单价；利用第二次购进水果的重量=第一次购进水果的重量×1.5，可用含x的代数式表示出第二次购进水果的重量；
(2)利用单价=总价÷数量，结合第二次购进水果的单价比第一次购进水果的单价高出2元，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出该水果店老板第一次购进这种水果的重量，再将其代入1.5x中，即可求出该水果店老板第二次购进这种水果的重量．
本题考查了分式方程的应用以及列代数式，解题的关键是：(1)根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出第一次购进水果的单价及第二次购进水果的重量；(2)找准等量关系，正确列出分式方程．
22.【答案】解：(1)∵点P关于射线OM的对称点是G，
∴∠GOM=∠POM．
∵点P关于射线ON的对称点是H，
∴∠HON=∠PON．
∵∠MON=∠MOP+∠NOP=50°，
∴∠GOH=∠GOM+∠MOP+∠NOP+∠HON=2∠MON=100°；
(2)作点P关于OM、ON的对称点P′和P″，连接P′P″、OP′、OP″、OP.P
∴PA=P′A，PB=P″B，OP′=OP，OP″=OP，∠P′OM=∠POM，∠PON=∠P″ON．
∵△PAB的周长最小值为6，OP=6，
∴P′P″=OP′=OP″=6．
∴△OP′P″为等边三角形．
∴∠P′OP″=60°．
∵∠P′OP″=∠P′OM+∠POM+∠PON+∠P″ON=2∠MON，
∴∠MON=30°．
【解析】(1)根据轴对称的性质可得对称轴两边的对应角相等，那么∠GOM=∠POM，∠HON=∠PON，那么∠GOH=2∠MON；
(2)作点P关于OM、ON的对称点P′和P″，连接P′P″、OP′、OP″、OP.那么△PAB的周长最小值即为P′P″的长，易得△OP′P″为等边三角形，那么∠P′OP″=60°，所以∠MON=30°．
本题考查轴对称的综合应用．根据轴对称的性质可得关于轴对称的两个图形，对称轴两边的对应角相等，对应边相等是解决本题的关键．
23.【答案】(1)x2+5x+6=(x+3)(x+2)
(2)如图(3)，直角△ABC中，∠C=90°，CA=3，CB=4，AB=5，
∵S△ABC=12AC⋅BC=12AB⋅CH，
∴CH=CA⋅CBAB=3×45=125；
答：CH的长为125；
(3)证明：如图(4)，
∵OM⊥AB，ON⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为点M，N，H，
∴S△ABC=S△ABO+S△AOC，
∴12AB⋅CH=12AB⋅OM+12AC⋅ON，
∵AB=AC，
∴CH=OM+ON．
即OM+ON=CH．
(1)大正方形的面积为一个正方形的面积与三个小长方形面积之和，即x2+5x+6，同时大长方形的面积也可以为(x+3)(x+2)，列出等量关系即可；
(2)根据S△ABC=12AC⋅BC=12AB⋅CH，代入数值解之即可；
(3)由S△ABC=S△ABO+S△AOC和三角形面积公式即可得证．
本题考查了因式分解的几何背景、图形的拆拼前后的面积相等、类比法等，解答的关键是根据已知条件和图形特点，利用拆拼前后的面积相等分析、推理和计算．
【解析】解：(1)如图(2)，大正方形的面积为一个正方形的面积与三个小长方形面积之和，
即x2+5x+6，
同时大长方形的面积也可以为(x+3)(x+2)，
所以x2+5x+6=(x+3)(x+2)；
故答案为：x2+5x+6=(x+3)(x+2)；
(2)如图(3)，Rt△ABC中，∠C=90°，CA=3，CB=4，AB=5，
∵S△ABC=12AC⋅BC=12AB⋅CH，
∴CH=CA⋅CBAB=3×45=125；
答：CH的长为125；
(3)证明：如图(4)，
∵OM⊥AB，ON⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为点M，N，H，
∴S△ABC=S△ABO+S△AOC，
∴12AB⋅CH=12AB⋅OM+12AC⋅ON，
∵AB=AC，
∴CH=OM+ON．
即OM+ON=CH．
(1)大正方形的面积为一个正方形的面积与三个小长方形面积之和，即x2+5x+6，同时大长方形的面积也可以为(x+3)(x+2)，列出等量关系即可；
(2)根据S△ABC=12AC⋅BC=12AB⋅CH，代入数值解之即可；
(3)由S△ABC=S△ABO+S△AOC和三角形面积公式即可得证．
本题考查了因式分解的几何背景、图形的拆拼前后的面积相等、类比法等，解答的关键是根据已知条件和图形特点，利用拆拼前后的面积相等分析、推理和计算．
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