河北省唐山市2023-2024学年八年级上学期期末数学试卷

这是一份河北省唐山市2023-2024学年八年级上学期期末数学试卷，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．第19届杭州亚运会刚刚落下帷幕，在以下给出的运动图片中，属于轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．要使分式的值为0，则x的值应满足（ ）
A．x≠1B．x＝1C．x≠0D．x＝0
3．x8÷x2＝（ ）
A．x4B．x6C．x10D．x16
4．已知（2x+1）（x+3）＝2x2+mx+3，则m的值是（ ）
A．5B．﹣5C．7D．﹣7
5．约分的结果是（ ）
A．B．C．D．
6．四边形的内角和等于x°，五边形的外角和等于y°，则下列关系成立的是（ ）
A．x＝yB．x＝2yC．x＝y+180D．y＝x+180
7．如果把分式中的x和y都扩大为原来的2倍，那么这个分式的值（ ）
A．不变B．扩大为原来的2倍
C．扩大为原来的4倍D．缩小为原来的
8．如图，将△ABC沿折痕l折叠，使AC边落在AB边上，则得到结论一定正确的是（ ）
A．AD＝ACB．BD＝CDC．∠ADC＝90°D．∠BAD＝∠CAD
9．已知（3x+2）（ax+b）＝9x2﹣4，则a+b的值是（ ）
A．﹣5B．﹣1C．1D．5
10．如图，已知△ABC，以B为圆心，BA长为半径画弧，交BC于D点，以C为圆心，CA长为半径画弧，交BC于E点．若∠B＝40°，∠C＝36°，则∠EAD的度数是（ ）
A．34°B．36°C．38°D．40°
11．对于下列多项式，能用平方差公式进行因式分解的是（ ）
①a2+b2；
②a2﹣b2；
③﹣a2+b2；
④﹣a2﹣b2．
A．①②B．①④C．③④D．②③
12．如图，点P在线段AB外，且PA＝PB．求证：点P在线段AB的垂直平分线上．在证明该结论时，三位同学辅助线的作法如下：
甲：作∠APB的平分线PC交AB于点C．
乙：过点P作PC⊥AB，垂足为C．
丙：过点P作PC⊥AB于点C，且AC＝BC．
其中，正确的是（ ）
A．甲和乙B．甲和丙C．乙和丙D．全对
13．嘉淇准备完成题目：解方程+＝0．发现分母的位置印刷不清，查阅答案后发现标准答案是x＝﹣1，请你帮助嘉淇推断印刷不清的位置可能是（ ）
A．x﹣1B．﹣x﹣1C．x+1D．x2﹣1
14．在△ABC和△A′B′C′中，∠B＝∠B'＝30°，AB＝AB′＝3，AC＝A'C＝4，已知∠C＝n°，则∠C′的度数是（ ）
A．30°B．n°
C．n°或180°﹣n°D．30°或150°
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
15．20＝ ．
16．如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，∠B＝40°，∠A＝70°，则∠ACD等于 °．
17．如图，△ABC是等边三角形，AC＝4，AD⊥BC于点D，则BD＝ ．
18．如图，将一张三角形纸片沿着DE折叠（点D、E分别在边AB、AC上），点A落在点A′的位置，若∠A＝70°，则∠1+∠2＝ °．
三、解答题（本大题共7个小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（1）a2•a4﹣（a2）3﹣（2a）3；
（2）（x+2）2﹣（x+1）（x﹣1）．
20．如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝20°．
（1）求∠B的度数；
（2）求∠C的度数．
21．化简：，下面是甲、乙两同学的部分运算过程：
（1）甲同学解法的依据是 ，乙同学解法的依据是 ；（填序号）
①等式的基本性质；
②分式的基本性质；
③乘法分配律；
④乘法交换律．
（2）请选择一种解法，写出完整的解答过程．
22．如图，∠A＝∠B＝50°，P为AB中点，过P点作直线分别交射线AC、BD于点M、N（分别不与点A、B重合），设∠BPN＝α．
（1）求证：PM＝PN；
（2）当△APM为直角三角形时，求α的度数．
23．已知k为任意整数，设a＝2k+3，b比a小3．
（1）b＝ ；（用含k的代数式表示）
（2）求证：a2﹣b2总能被3整除．
24．如图，已知点A、B、C在同一直线上，AB＝6km，AC＝10km，甲、乙两人同时从A地出发，同向而行，分别前往B地和C地，甲、乙的速度比是3：4，结果甲比乙提前20min到达目的地．
（1）设甲的速度为3x km/h，完成下表：
（2）求甲、乙的速度．
25．如图1和图2，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝6，BC＝6，点P从点A出发沿折线AB﹣BC匀速移动，速度为1单位/秒，运动到C时停止，点Q在AC边上随P移动，且始终保持∠APQ＝∠B．（设点P的运动时间为t秒）
（1）如图1，点P在AB上时，AP＝ ，CQ＝ ；（用含t的代数式表示）
（2）如图2，点P在边BC上，∠APC＝60°时，∠BAP＝ °，∠AQP＝ °；
（3）如图2，点P在边BC上，若BP＝6﹣6，求证：△ABP≌△PCQ；
（4）当6≤t≤6+6时，若△CPQ为等腰三角形，直接写出AQ的长．
参考答案
一、选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．第19届杭州亚运会刚刚落下帷幕，在以下给出的运动图片中，属于轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形的概念解答即可．
解：A，B，C选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
D选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．要使分式的值为0，则x的值应满足（ ）
A．x≠1B．x＝1C．x≠0D．x＝0
【分析】根据分式的值为零的条件可得x＝0且x﹣1≠0，再解即可．
解：由题意得：x＝0且x﹣1≠0，
解得：x＝0，
故选：D．
【点评】此题主要考查了分式的值为零的条件，熟知分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解题的关键．
3．x8÷x2＝（ ）
A．x4B．x6C．x10D．x16
【分析】利用同底数幂幂的除法公式求解即可．
解：x8÷x2＝x8﹣2＝x6；
故选：B．
【点评】本题考查了同底数幂的除法运算，熟练掌握该运算法则是关键．
4．已知（2x+1）（x+3）＝2x2+mx+3，则m的值是（ ）
A．5B．﹣5C．7D．﹣7
【分析】先根据多项式乘多项式计算（2x+1）（x+3），然后根据（2x+1）（x+3）＝2x2+mx+3，求出m即可．
解：（2x+1）（x+3）
＝2x2+6x+x+3
＝2x2+7x+3，
∵（2x+1）（x+3）＝2x2+mx+3，
∴m＝7，
故选：C．
【点评】本题主要考查了多项式乘多项式，解题关键是熟练掌握多项式乘多项式法则．
5．约分的结果是（ ）
A．B．C．D．
【分析】先确定分式的分子与分母的公因式，再约分即可．
解：＝＝﹣，
故选：B．
【点评】本题考查的是分式的约分，约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．
6．四边形的内角和等于x°，五边形的外角和等于y°，则下列关系成立的是（ ）
A．x＝yB．x＝2yC．x＝y+180D．y＝x+180
【分析】根据多边形的内角和定理与多边形外角的关系即可得出结论．
解：∵四边形的内角和等于x°，
∴x°＝（4﹣2）•180°＝360°．
∵五边形的外角和等于y°，
∴y°＝360°，
∴x＝y．
故选：A．
【点评】本题考查的是多边形的内角与外角，熟知多边形的内角和定理是解答此题的关键．
7．如果把分式中的x和y都扩大为原来的2倍，那么这个分式的值（ ）
A．不变B．扩大为原来的2倍
C．扩大为原来的4倍D．缩小为原来的
【分析】根据题意得出新的分式，然后约分比较即可．
解：把分式中的x和y都扩大为原来的2倍，
则，
即分式的值不变，
故选：A．
【点评】本题考查了分式的基本性质：分式的分子、分母都乘以或除以同一个不为0的数，分式的值不变．
8．如图，将△ABC沿折痕l折叠，使AC边落在AB边上，则得到结论一定正确的是（ ）
A．AD＝ACB．BD＝CDC．∠ADC＝90°D．∠BAD＝∠CAD
【分析】由折叠的性质即可得出结果．
解：由折叠的性质得：∠BAD＝∠CAD，
而AD长和AC长不一定相等，BD长和CD长不一定相等，∠ADC不一定是90°，
故选：D．
【点评】本题考查了折叠的性质等知识，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
9．已知（3x+2）（ax+b）＝9x2﹣4，则a+b的值是（ ）
A．﹣5B．﹣1C．1D．5
【分析】根据平方差公式进行计算，从而可得：a＝3，b＝﹣2，然后把a，b的值代入式子中进行计算，即可解答．
解：∵（3x+2）（3x﹣2）＝9x2﹣4，
∴a＝3，b＝﹣2，
∴a+b＝3+（﹣2）＝1，
故选：C．
【点评】本题考查了平方差公式，多项式乘多项式，熟练掌握平方差公式的特征是解题的关键．
10．如图，已知△ABC，以B为圆心，BA长为半径画弧，交BC于D点，以C为圆心，CA长为半径画弧，交BC于E点．若∠B＝40°，∠C＝36°，则∠EAD的度数是（ ）
A．34°B．36°C．38°D．40°
【分析】由等腰三角形的性质推出∠BAD＝∠BDA，∠CAE＝∠CEA，而∠B＝40°，∠C＝36°，即可求出∠BDA＝70°，∠CEA＝72°，由三角形内角和定理即可求出∠EAD＝180°﹣70°﹣72°＝38°．
解：由题意得：BA＝BD，CA＝CE，
∴∠BAD＝∠BDA，∠CAE＝∠CEA，
∵∠B＝40°，∠C＝36°，
∴∠BDA＝×（180°﹣40°）＝70°，∠CEA＝×（180°﹣36°）＝72°，
∴∠EAD＝180°﹣70°﹣72°＝38°．
故选：C．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，关键是由等腰三角形的性质求出∠BDA、∠CEA的度数．
11．对于下列多项式，能用平方差公式进行因式分解的是（ ）
①a2+b2；
②a2﹣b2；
③﹣a2+b2；
④﹣a2﹣b2．
A．①②B．①④C．③④D．②③
【分析】利用平方差公式检验即可．
解：①a2+b2，不能用平方差公式分解；
②a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），符合题意；
③﹣a2+b2＝（﹣a+b）（a+b），符合题意；
④﹣a2﹣b2，不能用平方差公式分解．
故选：D．
【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
12．如图，点P在线段AB外，且PA＝PB．求证：点P在线段AB的垂直平分线上．在证明该结论时，三位同学辅助线的作法如下：
甲：作∠APB的平分线PC交AB于点C．
乙：过点P作PC⊥AB，垂足为C．
丙：过点P作PC⊥AB于点C，且AC＝BC．
其中，正确的是（ ）
A．甲和乙B．甲和丙C．乙和丙D．全对
【分析】利用三角形全等的判定与性质、线段垂直平分线的判定判断四个选项是否成立即可．
解：∵作∠APB的平分线PC交AB于点C，
∴∠APC＝∠BPC，
在△PCA和△PCB中，
，
∴△PCA≌△PCB（SAS），
∴CA＝CB，∠PCA＝∠PCB＝90°，
∴点P在线段AB的垂直平分线上，
故甲符合题意；
∵PC⊥AB，
∴△PCA和△PCB是直角三角形，
在Rt△PCA和Rt△PCB中，
，
∴△PCA≌△PCB（HL），
∴CA＝CB，
∴点P在线段AB的垂直平分线上，
故乙符合题意；
∵过线段外一点作已知线段的垂线，不能保证也平分此条线段，
故丙不符合题意；
故选：A．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判断方法是解本题的关键．
13．嘉淇准备完成题目：解方程+＝0．发现分母的位置印刷不清，查阅答案后发现标准答案是x＝﹣1，请你帮助嘉淇推断印刷不清的位置可能是（ ）
A．x﹣1B．﹣x﹣1C．x+1D．x2﹣1
【分析】设印刷不清的位置的式子为a，把x＝﹣1代入分式方程计算确定出a即可．
解：设印刷不清的位置的式子为a，即+＝0，
把x＝﹣1代入得：+1＝0，
解得：a＝﹣2，
检验：把a＝﹣2代入得：a≠0，
∴分式方程的解为a＝﹣2，即x﹣1＝﹣1﹣1＝﹣2，
则推断印刷不清的位置可能是x﹣1．
故选：A．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
14．在△ABC和△A′B′C′中，∠B＝∠B'＝30°，AB＝AB′＝3，AC＝A'C＝4，已知∠C＝n°，则∠C′的度数是（ ）
A．30°B．n°
C．n°或180°﹣n°D．30°或150°
【分析】分两种情况讨论，当BC＝B′C′时，则△ABC≌△A′B′C′，得出∠C′＝∠C＝n°，当BC≠B′C′时，如图，利用等腰三角形的性质求得∠A′C″C′＝∠C′＝n°，从而求得∠A′C″B′＝180°﹣n°．
解：在△ABC和△A′B′C′中，
∴△ABC≌△A′B′C′（SSA），
∴∠C′＝∠C＝n°，
当BC≠B′C′时，
利用等腰三角形的性质求得∠A′C″C′＝∠C′＝n°，
∠A′C″B′＝180°﹣n°．
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形全等的性质，熟练掌握等腰三角形两底角相等是解题的关键．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
15．20＝ 1 ．
【分析】根据零指数幂的性质得出答案．
解：20＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查零指数幂，掌握“任意一个不为0的零次幂等于1”是正确解答的关键．
16．如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，∠B＝40°，∠A＝70°，则∠ACD等于 110 °．
【分析】利用三角形的外角的性质解决问题即可．
解：∵∠ACD是△ABC的外角，
∴∠ACD＝∠A+∠B＝40°+70°＝110°，
故答案为：110．
【点评】本题考查三角形的外角的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
17．如图，△ABC是等边三角形，AC＝4，AD⊥BC于点D，则BD＝ 2 ．
【分析】由等边三角形的性质推出BC＝AC＝4，BD＝BC＝2．
解：∵△ABC是等边三角形，
∴BC＝AC＝4，
∵AD⊥BC于点D，
∴BD＝BC＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查等边三角形的性质，关键是由等边三角形的性质推出BD＝BC．
18．如图，将一张三角形纸片沿着DE折叠（点D、E分别在边AB、AC上），点A落在点A′的位置，若∠A＝70°，则∠1+∠2＝ 140 °．
【分析】在△ADE中，利用三角形内角和定理，可求出∠ADE+∠AED的度数，由折叠的性质，可知∠A′DE＝∠ADE，∠A′ED＝∠AED，再结合∠ADE+∠A′DE+∠2＝180°，∠AED+∠A′ED+∠1＝180°，即可求出∠1+∠2的度数．
解：在△ADE中，∠A＝70°，
∴∠ADE+∠AED＝180°﹣∠A＝180°﹣70°＝110°．
由折叠的性质，可知：∠A′DE＝∠ADE，∠A′ED＝∠AED．
∵∠ADE+∠A′DE+∠2＝180°，∠AED+∠A′ED+∠1＝180°，
∴∠ADE+∠A′DE+∠2+∠AED+∠A′ED+∠1＝180°+180°，
即2（∠ADE+∠AED）+∠1+∠2＝360°，
∴∠1+∠2＝360°﹣2（∠ADE+∠AED）＝360°﹣2×110°＝140°．
故答案为：140．
【点评】本题考查了三角形内角和定理以及翻折变换（折叠问题），牢记“三角形内角和是180°”是解题的关键．
三、解答题（本大题共7个小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（1）a2•a4﹣（a2）3﹣（2a）3；
（2）（x+2）2﹣（x+1）（x﹣1）．
【分析】（1）先算乘方，再算乘法，后算加减，即可解答；
（2）利用完全平方公式，平方差公式进行计算，即可解答．
解：（1）a2•a4﹣（a2）3﹣（2a）3
＝a6﹣a6﹣8a3
＝﹣8a3；
（2）（x+2）2﹣（x+1）（x﹣1）
＝x2+4x+4﹣（x2﹣1）
＝x2+4x+4﹣x2+1
＝4x+5．
【点评】本题考查了整式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
20．如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝20°．
（1）求∠B的度数；
（2）求∠C的度数．
【分析】（1）由题意，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝20°，根据等腰三角形的性质可以求出底角，
（2）根据三角形内角与外角的关系即可求出内角∠C，
解：（1）在△ABD中，AB＝AD，∠BAD＝20°，
∴∠B＝∠ADB＝（180°﹣20°）×＝80°，
（2）∵AD＝DC，
∴∠C＝∠CAD＝∠ADB＝×80°＝40°．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理及内角与外角的关系．利用三角形的内角求角的度数是一种常用的方法，要熟练掌握．
21．化简：，下面是甲、乙两同学的部分运算过程：
（1）甲同学解法的依据是 ② ，乙同学解法的依据是 ③ ；（填序号）
①等式的基本性质；
②分式的基本性质；
③乘法分配律；
④乘法交换律．
（2）请选择一种解法，写出完整的解答过程．
【分析】（1）根据乘法分配律，以及分式的基本性质进行计算，即可解答；
（2）若选择甲同学的解法：先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答；若选择乙同学的解法：先利用乘法分配律计算分式的乘法，再算加减，即可解答．
解：（1）甲同学解法的依据是分式的基本性质，乙同学解法的依据是乘法分配律，
故答案为：②；③；
（2）若选择甲同学的解法：
＝[+]•
＝•
＝•
＝2x；
若选择乙同学的解法：
＝•+•
＝•+•
＝x﹣1+x+1
＝2x．
【点评】本题考查了分式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
22．如图，∠A＝∠B＝50°，P为AB中点，过P点作直线分别交射线AC、BD于点M、N（分别不与点A、B重合），设∠BPN＝α．
（1）求证：PM＝PN；
（2）当△APM为直角三角形时，求α的度数．
【分析】（1）根据AAS证明△APM≌△BPN，根据全等三角形的性质即可得解；
（2）分两种情况，根据三角形内角和定理求解即可．
【解答】（1）证明：∵P是AB的中点，
∴PA＝PB，
在△APM和△BPN中，
，
∴△APM≌△BPN（ASA），
∴PM＝PN；
（2）解：∵∠A＝50°，
∴当△APM为直角三角形时，∠APM＝90°或∠AMP＝90°，
当∠APM＝90°时，α＝∠APM＝90°，
当∠AMP＝90°时，∠APM＝180°﹣∠AMP﹣∠A＝40°，
∴α＝40°，
综上，当△APM为直角三角形时，α的度数为90°或40°．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键．
23．已知k为任意整数，设a＝2k+3，b比a小3．
（1）b＝ 2k ；（用含k的代数式表示）
（2）求证：a2﹣b2总能被3整除．
【分析】（1）已知a＝2k+3，b比a小3，可得b的值；
（2）先因式分解a2﹣b2，再代值，最后化简可证．
解：（1）∵a＝2k+3，b比a小3，
∴b＝2k，
故答案为：2k；
（2）证明：a2﹣b2
＝（a+b）（a﹣b）
＝（2k+3+2k）（2k+3﹣2k）
＝（4k+3）×3，
∵（4k+3）×3总能被3整除，
∴a2﹣b2总能被3整除．
【点评】本题考查了列代数式、因式分解的应用，关键是掌握因式分解的运用．
24．如图，已知点A、B、C在同一直线上，AB＝6km，AC＝10km，甲、乙两人同时从A地出发，同向而行，分别前往B地和C地，甲、乙的速度比是3：4，结果甲比乙提前20min到达目的地．
（1）设甲的速度为3x km/h，完成下表：
（2）求甲、乙的速度．
【分析】（1）设甲的速度为3x km/h，则乙的速度为4x km/h，得乙到达C地所用的时间为h即可；
（2）根据甲比乙提前20min到达目的地．列出分式方程，解方程即可．
解：（1）设甲的速度为3x km/h，则乙的速度为4x km/h，
∴乙到达C地所用的时间为：h，
故答案为：4x，；
（2）由题意得：﹣＝，
解得：x＝1.5，
经检验，x＝1.5是原方程的解，且符合题意，
∴3x＝3×1.5＝4.5，
4x＝4×1.5＝6，
答：甲的速度为4.5km/h，乙的速度为6km/h．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
25．如图1和图2，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝6，BC＝6，点P从点A出发沿折线AB﹣BC匀速移动，速度为1单位/秒，运动到C时停止，点Q在AC边上随P移动，且始终保持∠APQ＝∠B．（设点P的运动时间为t秒）
（1）如图1，点P在AB上时，AP＝ t ，CQ＝ 6﹣t ；（用含t的代数式表示）
（2）如图2，点P在边BC上，∠APC＝60°时，∠BAP＝ 15 °，∠AQP＝ 60 °；
（3）如图2，点P在边BC上，若BP＝6﹣6，求证：△ABP≌△PCQ；
（4）当6≤t≤6+6时，若△CPQ为等腰三角形，直接写出AQ的长．
【分析】（1）由AB＝AC＝6，得∠B＝∠C，因为点P在AB上，∠APQ＝∠B，所以AP＝t，PQ∥BC，可证明∠APQ＝∠AQP，则AQ＝AP＝t，所以CQ＝6﹣t，于是得到问题的答案；
（2）由∠BAC＝90°，AB＝AC，得∠APQ＝∠B＝∠C＝45°，而∠APC＝60°，则∠PAC＝180°﹣∠APC﹣∠C＝75°，可求得∠BAP＝∠BAC﹣∠PAC＝15°，∠AQP＝180°﹣∠APQ﹣∠PAC＝60°，于是得到问题的答案；
（3）由∠B＝∠C＝∠APQ＝45°，推导出∠BAP＝∠CPQ＝135°﹣∠APB，则BC＝6，BP＝6﹣6，求得PC＝BC﹣BP＝6，则AB＝PC，即可根据“AAS”证明△ABP≌△PCQ；
（4）当PQ＝CQ，则∠QPC＝∠C＝45°，则∠APC＝∠APQ+∠PQC＝90°，∠PQC＝180°﹣∠QPC﹣∠C＝90°，所以AP⊥BC，PQ⊥AC，则AP＝CP＝BP＝BC，所以AQ＝AC＝3；当CP＝CQ，则∠CPQ＝∠CQP＝67.5°，可推导出∠BPA＝∠BAP＝67.5°，则PB＝AB＝6，所以CP＝CQ＝6﹣6，求得AQ＝AC﹣CQ＝12﹣6；若PQ＝PC，则∠PQC＝∠C＝45°，可推导出∠BAP＝90°＝∠BAC，则点P与C重合，所以不存在以PQ和PC为腰的等腰三角形，则AQ的长是3或12﹣6．
【解答】（1）解：如图1，∵AB＝AC＝6，
∴∠B＝∠C，
∵点P在AB上，∠APQ＝∠B，
∴AP＝t，PQ∥BC，
∴∠AQP＝∠C，
∴∠APQ＝∠AQP，
∴AQ＝AP＝t，
∴CQ＝6﹣t，
故答案为：t，6﹣t．
（2）解：如图2，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠APQ＝∠B＝∠C＝45°，
∵∠APC＝60°，
∴∠PAC＝180°﹣∠APC﹣∠C＝180°﹣60°﹣45°＝75°，
∴∠BAP＝∠BAC﹣∠PAC＝90°﹣75°＝15°，∠AQP＝180°﹣∠APQ﹣∠PAC＝180°﹣45°﹣75°＝60°，
故答案为：15，60．
（3）证明：如图2，∵∠B＝∠C＝∠APQ＝45°，
∴∠BAP＝180°﹣∠B﹣∠APB＝135°﹣∠APB，∠CPQ＝180°﹣∠APQ﹣∠APB＝135°﹣∠APB，
∴∠BAP＝∠CPQ，
∵BC＝6，BP＝6﹣6，
∴PC＝BC﹣BP＝6﹣（6﹣6）＝6，
∴AB＝PC，
在△ABP和△PCQ中，
，
∴△ABP≌△PCQ（AAS）．
（4）解：AQ的长为3或12﹣6，
理由：如图3，△CPQ为等腰三角形，且PQ＝CQ，则∠QPC＝∠C＝45°，
∴∠APC＝∠APQ+∠PQC＝90°，∠PQC＝180°﹣∠QPC﹣∠C＝90°，
∴AP⊥BC，PQ⊥AC，
∴AP＝CP＝BP＝BC，
∴PQ＝AQ＝CQ＝AC＝×6＝3，
∴AQ的长是3；
如图4，△CPQ为等腰三角形，且CP＝CQ，则∠CPQ＝∠CQP＝×（180°﹣45°）＝67.5°，
∴∠BPA＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，
∴∠BAP＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，
∴∠BPA＝∠BAP，
∴PB＝AB＝6，
∴CP＝CQ＝BC﹣PB＝6﹣6，
∴AQ＝AC﹣CQ＝6﹣（6﹣6）＝12﹣6，
∴AQ的长是12﹣6；
若PQ＝PC，则∠PQC＝∠C＝45°，
∴∠CPQ＝90°，
∴∠APB＝180°﹣45°﹣90°＝45°，
∴∠BAP＝90°＝∠BAC，
∴点P与C重合，
∴不存在以PQ和PC为腰的等腰三角形，
综上所述，AQ的长是3或12﹣6．
【点评】此题重点考查等腰直角三角的性质、三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．

解：原式＝[+]•…
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