山东省菏泽市鄄城县2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷

这是一份山东省菏泽市鄄城县2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．如果证明平行四边形ABCD为正方形，那么我们需要进一步证明（ ）
A．AB＝AD且AC＝BDB．AB＝AD且AC⊥BD
C．∠A＝∠B且AC＝BDD．AC和BD互相垂直平分
2．已知2+是方程x2﹣4x+c＝0的一个根，则方程的另一个根和c的值分别为（ ）
A．﹣6，﹣1B．2﹣，﹣1C．2﹣，1D．﹣6，1
3．如图所示几何体的左视图是（ ）
A．B．
C．D．
4．若点A（﹣3，y1），B（2，y2），C（5，y3）都在反比例函数y＝（a为常数）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y2＜y3＜y1D．y3＜y2＜y1
5．如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比为1：．坝高BC为4m，则AB的长度为（ ）
A．4mB．8mC．8mD．16m
6．关于二次函数y＝x2﹣4x+7，下列说法中正确的是（ ）
A．函数图象是抛物线，且开口向下
B．函数图象与x轴有两个交点
C．当x≤2时，y随x的增大而增大
D．函数图象的顶点坐标是（2，3）
7．已知：如图，直线y1＝kx+1与双曲线y2＝在第一象限交于点P（1，t），与x轴、y轴分别交于A，B两点，则下列结论错误的是（ ）
A．t＝2
B．△AOB是等腰直角三角形
C．k＝1
D．当x＞1时，y2＞y1
8．如图，一段抛物线y＝﹣x2+6x（0≤x≤6），记为抛物线C1，它与x轴交于点O、A1；将抛物线C1绕点A1旋转180°得抛物线C2，交x轴于点A2；将抛物线C2绕点A2旋转180°得抛物线C3，交x轴于点A3，…如此进行下去，得到一条“波浪线”，若点M（2021，m）在此“波浪线”上，则m的值为（ ）
A．﹣5B．5C．﹣8D．8
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面分别刻有1、2、3、4、5、6六个数字，投掷这个骰子一次，则向上一面的数字大于3的概率是 ．
10．已知关于x的一元二次方程（m+1）x2+4x+m2+m＝0的一个根为0，则m的值是 ．
11．“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学著作《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图获得，则井深为 尺．
12．2017年5月5日我国自主研发的大型飞机C919成功首飞，如图给出了一种机翼的示意图，其中m＝1，n＝，则AB的长为 ．
13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P是AB上的任意一点，作PD⊥AC于点D，PE⊥CB于点E，连接DE，则DE的最小值为 ．
14．如图，A、B是反比例函数y＝在第一象限内的图象上的两点，且A、B两点的横坐标分别是2和4，则△OAB的面积是 ．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．计算：cs45°﹣sin60°+tan230°
16．已知x2﹣x﹣5＝0，求代数式（x+1）2﹣x（2x+1）的值．
17．解方程：3x2﹣2x﹣1＝0．
18．如图，在大楼AB正前方有一斜坡CD，坡角∠DCE＝30°，楼高AB＝60米，在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°，在斜坡上的D处测得楼顶B的仰角为45°，其中点A，C，E在同一直线上．
（1）求坡底C点到大楼距离AC的值；
（2）求斜坡CD的长度．
19．如图，在▱ABCD中，BF平分∠ABC交AD于点F，AE⊥BF于点O，交BC于点E，连接EF．
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）连接CF，若∠ABC＝60°，AB＝4，AF＝2DF，求CF的长．
20．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数y＝kx的图象与反比例函数y＝的图象经过点A（2，2）．
（1）分别求这两个函数的表达式；
（2）将直线OA向上平移3个单位长度后与y轴交于B，与反比例函数图象在第一象限内的交点为C，连接AB，AC，求点C的坐标及△ABC的面积；
21．在一个不透明的盒子中装有大小和形状相同的3个红球和2个白球，把它们充分搅匀．
（1）“从中任意抽取1个球不是红球就是白球”是 事件，“从中任意抽取1个球是黑球”是 事件；
（2）从中任意抽取1个球恰好是红球的概率是 ；
（3）学校决定在甲、乙两名同学中选取一名作为学生代表发言，制定如下规则：从盒子中任取两个球，若两球同色，则选甲；若两球异色，则选乙．你认为这个规则公平吗？请用列表法或画树状图法加以说明．
22．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+2与反比例函数y＝的图象交于点P（1，a）．
（1）求点P的坐标及反比例函数的解析式；
（2）点Q（n，0）是x轴上的一个动点，若PQ≤5，直接写出n的取值范围．
23．已知二次函数的图象经过点（0，﹣3），且顶点坐标为（﹣1，﹣4）．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）设该二次函数的图象与x轴的交点为A、B，与y轴的交点为C，求△ABC的面积．
24．矩形AOBC中，OB＝4，OA＝3，分别以OB，OA所在直线为x轴，y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，F是BC边上一个动点（不与B，C重合），过点F的反比例函数y＝（k＞0）的图象与边AC交于点E．
（1）当点F为边BC的中点时，求点E的坐标；
（2）连接EF，求∠EFC的正切值．
参考答案
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把最后结果填在答题卡的相应位置）
1．如果证明平行四边形ABCD为正方形，那么我们需要进一步证明（ ）
A．AB＝AD且AC＝BDB．AB＝AD且AC⊥BD
C．∠A＝∠B且AC＝BDD．AC和BD互相垂直平分
【分析】根据正方形的判定对各个选项进行分析从而得到最后的答案．
解：A、根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线相等的平行四边形为矩形，所以能判断四边形ABCD是正方形；
B、根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，或者对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以不能判断平行四边形ABCD是正方形；
C、一组邻角相等的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形也是矩形，即只能证明四边形ABCD是矩形，不能判断四边形ABCD是正方形；
D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以不能判断四边形ABCD是正方形．
故选：A．
【点评】本题考查了正方形的判别方法，掌握正方形的概念是关键．
2．已知2+是方程x2﹣4x+c＝0的一个根，则方程的另一个根和c的值分别为（ ）
A．﹣6，﹣1B．2﹣，﹣1C．2﹣，1D．﹣6，1
【分析】设方程的另一个根为t，利用根与系数的关系得到2++t＝4，（2+）•t＝c，然后先求出t，再计算c的值．
解：设方程的另一个根为t，
根据根与系数的关系得2++t＝4，（2+）•t＝c，
所以t＝2﹣，c＝（2+）（2﹣）＝1，
即方程的另一个根和c的值分别为2﹣，1．
故选：C．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，x1+x2＝﹣，x1x2＝．
3．如图所示几何体的左视图是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】左视图：从物体左面所看的平面图形，注意：看到的棱画实线，看不到的棱画虚线，据此进行判断即可．
解：如图所示，几何体的左视图是：
故选：C．
【点评】本题考查简单组合体的三视图，正确掌握观察角度是解题关键．
4．若点A（﹣3，y1），B（2，y2），C（5，y3）都在反比例函数y＝（a为常数）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y2＜y3＜y1D．y3＜y2＜y1
【分析】根据反比例函数的性质得出反比例函数的图象在第一、三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小，再根据点的坐标特点得出即可．
解：∵反比例函数的解析式为y＝（a为常数），
∴反比例函数的图象在第一、三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小，
∵点A（﹣3，y1），B（2，y2），C（5，y3）都在反比例函数y＝（a为常数）的图象上，
∴A在第三象限内，B、C在第一象限内，
∴y1＜0，0＜y3＜y2，
∴y1＜y3＜y2，
故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数图象和性质，能熟记反比例函数的性质的内容是解此题的关键．
5．如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比为1：．坝高BC为4m，则AB的长度为（ ）
A．4mB．8mC．8mD．16m
【分析】根据坡度的概念求出AC，再根据勾股定理计算，得到答案．
解：∵迎水坡AB的坡比为1：，
∴＝，
∵BC＝4m，
∴AC＝4m，
由勾股定理得：AB＝＝＝8（m），
故选：B．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度的概念是解题的关键．
6．关于二次函数y＝x2﹣4x+7，下列说法中正确的是（ ）
A．函数图象是抛物线，且开口向下
B．函数图象与x轴有两个交点
C．当x≤2时，y随x的增大而增大
D．函数图象的顶点坐标是（2，3）
【分析】利用二次函数的性质直接对A进行判断；方程x2﹣4x+7＝0的判别式小于0可对B进行判断；通过配方把一般式化为顶点式，然后根据二次函数的性质对C、D进行判断．
解：∵a＝1＞0，
∴抛物线开口向上，所以A选项的说法错误；
∵y＝0时，x2﹣4x+7＝0，
而Δ＝42﹣4×7＝﹣12＜0，
∴函数图象与x轴没有交点，所以B选项的说法错误；
∵y＝x2﹣4x+7＝（x﹣2）2+3，
∴抛物线的对称轴为直线＝2，当x≤2时，y随x的增大而减小，所以C选项的说法错误；
抛物线的顶点坐标为（2，3），所以D选项的说法正确．
故选：D．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
7．已知：如图，直线y1＝kx+1与双曲线y2＝在第一象限交于点P（1，t），与x轴、y轴分别交于A，B两点，则下列结论错误的是（ ）
A．t＝2
B．△AOB是等腰直角三角形
C．k＝1
D．当x＞1时，y2＞y1
【分析】利用待定系数法求得t，k，利用直线的解析式求得A，B的坐标，可得线段OA，OB的长度，利用图象可以判断函数值的大小．
解：∵点P（1，t）在双曲线y2＝上，
∴t＝＝2，正确；
∴A选项不符合题意；
∴P（1，2）．
∵P（1，2）在直线y1＝kx+1上，
∴2＝k+1．
∴k＝1，正确；
∴C选项不符合题意；
∴直线AB的解析式为y＝x+1
令x＝0，则y＝1，
∴B（0，1）．
∴OB＝1．
令y＝0，则x＝﹣1，
∴A（﹣1，0）．
∴OA＝1．
∴OA＝OB．
∴△OAB为等腰直角三角形，正确；
∴B选项不符合题意；
由图象可知，当x＞1时，y1＞y2．
∴D选项不正确，符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查了一次函数的图象与反比例函数图象的交点问题，待定系数法，数形结合．利用待定系数法求得函数的解析式是解题的关键．
8．如图，一段抛物线y＝﹣x2+6x（0≤x≤6），记为抛物线C1，它与x轴交于点O、A1；将抛物线C1绕点A1旋转180°得抛物线C2，交x轴于点A2；将抛物线C2绕点A2旋转180°得抛物线C3，交x轴于点A3，…如此进行下去，得到一条“波浪线”，若点M（2021，m）在此“波浪线”上，则m的值为（ ）
A．﹣5B．5C．﹣8D．8
【分析】根据y＝﹣x2+6x（0≤x≤6）可以得到：整个函数图象每隔6×2＝12个单位长度，函数值就相等，而2021＝12×168+5，由此即可计算．
解：∵y＝﹣x2+6x＝﹣x（x﹣6）（0≤x≤6），
∴A1（6，0），
∴整个函数图象每隔6×2＝12个单位长度，函数值就相等，
∵2021＝12×168+5，
所以m的值等于x＝5时的纵坐标，
所以m＝﹣52+6×5＝5．
故选：B．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数与几何变换，解决此题的关键在于能根据函数图象发现规律：m的值等于x＝5时的纵坐标．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面分别刻有1、2、3、4、5、6六个数字，投掷这个骰子一次，则向上一面的数字大于3的概率是 ．
【分析】由于一枚质地均匀的正方体骰子，骰子向上的一面点数可能为1、2、3、4、5、6，共有6种可能，大于3的点数有4、5，6则根据概率公式可计算出骰子向上的一面点数大于3的概率．
解：掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子向上的一面点数共有6种可能，而只有出现点数为4、5，6才大于3，
所以这个骰子向上的一面点数大于3的概率＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了概率公式，正确记忆随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数是解题关键．
10．已知关于x的一元二次方程（m+1）x2+4x+m2+m＝0的一个根为0，则m的值是 0 ．
【分析】先把x＝0代入方程得到m2+m＝0，然后解关于m的方程，再利用一元二次方程的定义确定满足条件的m的值．
解：把x＝0代入方程（m+1）x2+4x+m2+m＝0得m2+m＝0，解得m1＝0，m2＝﹣1，
而m+1≠0，
所以m＝0．
故答案为0．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
11．“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学著作《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图获得，则井深为 57.5 尺．
【分析】根据题意可知△ABF∽△ADE，根据相似三角形的性质可求AD，进一步得到井深．
解：如图，依题意有△ABF∽△ADE，
∴AB：AD＝BF：DE，
即5：AD＝0.4：5，
解得AD＝62.5，
∴BD＝AD﹣AB＝62.5﹣5＝57.5（尺）．
故答案为57.5．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是得到△ABF∽△ADE．
12．2017年5月5日我国自主研发的大型飞机C919成功首飞，如图给出了一种机翼的示意图，其中m＝1，n＝，则AB的长为 2﹣ ．
【分析】延长BA交CE于点E，设CF⊥BF于点F，通过解直角三角形可求出DF、AE的长度，再利用AB＝CD+DF﹣AE即可求出结论．
解：延长BA交CE于点E，设CF⊥BF于点F，如图所示．
在Rt△BDF中，BF＝n，∠DBF＝30°，
∴DF＝BF•tan∠DBF＝n．
在Rt△ACE中，∠AEC＝90°，∠ACE＝45°，
∴AE＝CE＝BF＝n，
∴AB＝BE﹣AE＝CD+DF﹣AE＝m+n﹣n，
∵m＝1，n＝，
∴AB＝2﹣，
故答案为：2﹣．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，通过解直角三角形求出DF、AE的长度是解题的关键．
13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P是AB上的任意一点，作PD⊥AC于点D，PE⊥CB于点E，连接DE，则DE的最小值为 4.8 ．
【分析】连接CP，根据矩形的性质可知：DE＝CP，当DE最小时，则CP最小，根据垂线段最短可知当CP⊥AB时，则CP最小，再根据三角形的面积为定值即可求出CP的长．
解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝10，
连接CP，
∵PD⊥AC于点D，PE⊥CB于点E，
∴四边形DPEC是矩形，
∴DE＝CP，
当DE最小时，则CP最小，根据垂线段最短可知当CP⊥AB时，则CP最小，
∴DE＝CP＝＝4.8，
故答案为：4.8．
【点评】本题考查了勾股定理的运用、矩形的判定和性质以及直角三角形的面积的不同求法，题目难度不大，设计很新颖，解题的关键是求DE的最小值转化为其相等线段CP的最小值．
14．如图，A、B是反比例函数y＝在第一象限内的图象上的两点，且A、B两点的横坐标分别是2和4，则△OAB的面积是 3 ．
【分析】先根据反比例函数图象上点的坐标特征及A，B两点的横坐标，求出A（2，2），B（4，1）．再过A，B两点分别作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，根据反比例函数系数k的几何意义推导S四边形AODB＝S△AOB+S△BOD＝S△AOC+S梯形ABDC，得出S△AOB＝S梯形ABDC，利用梯形面积公式求出S梯形ABDC，从而得出S△AOB＝3．
解：∵A，B是反比例函数y＝在第一象限内的图象上的两点，且A，B两点的横坐标分别是2和4，
∴当x＝2时，y＝2，即A（2，2），
当x＝4时，y＝1，即B（4，1）．
如图，过A，B两点分别作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，则S△AOC＝S△BOD＝×4＝2．
∵S四边形AODB＝S△AOB+S△BOD＝S△AOC+S梯形ABDC，
∴S△AOB＝S梯形ABDC，
∵S梯形ABDC＝（BD+AC）•CD＝（1+2）×2＝3，
∴S△AOB＝3．
故答案为：3．
【点评】主要考查了反比例函数k的几何意义，即图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S＝|k|．也考查了反比例函数图象上点的坐标特征，梯形的面积．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．计算：cs45°﹣sin60°+tan230°
【分析】首先代入特殊角的三角函数，然后再进行有理数的加减即可．
解：原式＝×﹣×+（）2，
＝1﹣+，
＝﹣．
【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．
16．已知x2﹣x﹣5＝0，求代数式（x+1）2﹣x（2x+1）的值．
【分析】首先对所求的式子进行化简，把所求的式子化成x2﹣x＝5的形式，然后代入求解即可．
解：原式＝x2+2x+1﹣2x2﹣x
＝﹣x2+x+1．
∵x2﹣x﹣5＝0，
∴x2﹣x＝5．
∴原式＝﹣x2+x+1＝﹣（x2﹣x）+1＝﹣5+1＝﹣4．
【点评】本题考查了整式的化简求值，正确理解完全平方公式的结构，对所求的式子进行变形是关键．
17．解方程：3x2﹣2x﹣1＝0．
【分析】方程左边利用十字相乘法分解因式后，利用两数相乘积为0两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
解：由原方程得：（3x+1）（x﹣1）＝0，
可得3x+1＝0或x﹣1＝0，
解得：x1＝﹣，x2＝1．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，利用此方法解方程时，首先将方程右边化为0，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
18．如图，在大楼AB正前方有一斜坡CD，坡角∠DCE＝30°，楼高AB＝60米，在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°，在斜坡上的D处测得楼顶B的仰角为45°，其中点A，C，E在同一直线上．
（1）求坡底C点到大楼距离AC的值；
（2）求斜坡CD的长度．
【分析】（1）在直角三角形ABC中，利用锐角三角函数定义求出AC的长即可；
（2）设CD＝2x，则DE＝x，CE＝x，构建方程即可解决问题；
解：（1）在直角△ABC中，∠BAC＝90°，∠BCA＝60°，AB＝60米，则AC＝＝＝20（米）
答：坡底C点到大楼距离AC的值是20米．
（2）设CD＝2x，则DE＝x，CE＝x，
在Rt△BDF中，∵∠BDF＝45°，
∴BF＝DF，
∴60﹣x＝20+x，
∴x＝40﹣60，
∴CD＝2x＝（80﹣120）（米），
∴CD的长为（80﹣120）米．
【点评】此题考查了解直角三角形﹣仰角俯角问题，坡度坡角问题，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
19．如图，在▱ABCD中，BF平分∠ABC交AD于点F，AE⊥BF于点O，交BC于点E，连接EF．
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）连接CF，若∠ABC＝60°，AB＝4，AF＝2DF，求CF的长．
【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，得到AD∥BC，证明AF与BE平行且相等，可得四边形ABEF是平行四边形，再说明AB＝AF，于是得出结论；
（2）过点A作AG⊥BC于点G，由菱形的性质和等边三角形的性质解答即可．
【解答】（1）证明：∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBF．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC．
∴∠AFB＝∠CBF．
∴∠ABF＝∠AFB．
∴AB＝AF．
∵AE⊥BF，
∴∠BAO＝∠FAE
∵∠FAE＝∠BEO
∴∠BAO＝∠BEO．
∴AB＝BE．
∴AF＝BE．
∴四边形ABEF是平行四边形．
∴▱ABEF是菱形．
（2）解：∵AD＝BC，AF＝BE，
∴DF＝CE．
∵AF＝2DF
∴BE＝2CE．
∵AB＝BE＝4，
∴CE＝2．
过点A作AG⊥BC于点G．
∵∠ABC＝60°，AB＝BE，
∴△ABE是等边三角形．
∴BG＝GE＝2．
∴AF＝CG＝4．
∴四边形AGCF是平行四边形．
∴▱AGCF是矩形．
∴AG＝CF．
在△ABG中，∠ABC＝60°，AB＝4，
∴AG＝．
∴CF＝．
【点评】本题主要考查了菱形的判定和性质、勾股定理、平行四边形和矩形的性质和判定，熟练掌握菱形的判定是关键．
20．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数y＝kx的图象与反比例函数y＝的图象经过点A（2，2）．
（1）分别求这两个函数的表达式；
（2）将直线OA向上平移3个单位长度后与y轴交于B，与反比例函数图象在第一象限内的交点为C，连接AB，AC，求点C的坐标及△ABC的面积；
【分析】（1）把A点坐标分别代入y＝kx和y＝中分别求出k、m即可；
（2）利用直线平移的规律得到直线BC的解析式为y＝x+3，则B（0，3）再解方程组得点C的坐标为（1，4）；连接OC，根据三角形面积公式，利用S△ABC＝S△OBC进行计算．
解：（1）把A（2，2）代入y＝kx得2k＝2，解得k＝1；
把A（2，2）代入y＝得m＝2×2＝4，
∴正比例函数的解析式为y＝x；反比例函数的解析式为y＝；
（2）直线y＝x向上平移3的单位得到直线BC的解析式为y＝x+3，
当x＝0时，y＝x+3＝3，则B（0，3），
解方程组得或，
∴点C的坐标为（1，4）；
连接OC，
S△ABC＝S△OBC＝×3×1＝．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．
21．在一个不透明的盒子中装有大小和形状相同的3个红球和2个白球，把它们充分搅匀．
（1）“从中任意抽取1个球不是红球就是白球”是 必然 事件，“从中任意抽取1个球是黑球”是 不可能 事件；
（2）从中任意抽取1个球恰好是红球的概率是 ；
（3）学校决定在甲、乙两名同学中选取一名作为学生代表发言，制定如下规则：从盒子中任取两个球，若两球同色，则选甲；若两球异色，则选乙．你认为这个规则公平吗？请用列表法或画树状图法加以说明．
【分析】（1）直接利用必然事件以及怒不可能事件的定义分别分析得出答案；
（2）直接利用概率公式求出答案；
（3）首先画出树状图，进而利用概率公式求出答案．
解：（1）“从中任意抽取1个球不是红球就是白球”是必然事件，“从中任意抽取1个球是黑球”是不可能事件；
故答案为：必然，不可能；
（2）从中任意抽取1个球恰好是红球的概率是：；
故答案为：；
（3）这个规则不公平．
理由：
如图所示：
，
由树状图可得：一共有20种等可能的结果，两球同色的有8种情况，故选择甲的概率为：＝；
则选择乙的概率为：，
故这个规则不公平．
【点评】此题主要考查了游戏公平性，正确列出树状图是解题关键．
22．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+2与反比例函数y＝的图象交于点P（1，a）．
（1）求点P的坐标及反比例函数的解析式；
（2）点Q（n，0）是x轴上的一个动点，若PQ≤5，直接写出n的取值范围．
【分析】（1）依据直线y＝x+2与反比例函数y＝的图象交于点P（1，a），即可得到点P的坐标为（1，3），进而得出反比例函数的解析式为y＝．
（2）依据点P的坐标为（1，3），Q（n，0）是x轴上的一个动点，PQ≤5，即可得到n的取值范围为﹣3≤n≤5．
解：（1）∵直线y＝x+2与反比例函数y＝的图象交于点P（1，a），
∴a＝1+2＝3．
∴点P的坐标为（1，3），
∴k＝1×3＝3，
∴反比例函数的解析式为y＝．
（2）∵点P的坐标为（1，3），Q（n，0）是x轴上的一个动点，PQ≤5，
由勾股定理得＝4，
∴1﹣4＝﹣3，1+4＝5，
∴n的取值范围为﹣3≤n≤5．
【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题，求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．
23．已知二次函数的图象经过点（0，﹣3），且顶点坐标为（﹣1，﹣4）．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）设该二次函数的图象与x轴的交点为A、B，与y轴的交点为C，求△ABC的面积．
【分析】（1）先设所求函数解析式是y＝a（x+1）2﹣4，再把（0，﹣3）代入，即可求a，进而可得函数解析式；
（2）令函数等于0，解关于x一元二次方程，即可求A、B两点的坐标；
（3）△ABC的面积等于AB×OC的一半．
解：（1）设y＝a（x+1）2﹣4，把点（0，﹣3）代入得：a＝1，
∴函数解析式y＝（x+1）2﹣4或y＝x2+2x﹣3；
（2）∵x2+2x﹣3＝0，
解得x1＝1，x2＝﹣3，
∴A（﹣3，0），B（1，0），C（0，﹣3），
∴△ABC的面积＝．
【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式、抛物线与x轴的交点、三角形的面积，解题的关键是先求出函数解析式．
24．矩形AOBC中，OB＝4，OA＝3，分别以OB，OA所在直线为x轴，y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，F是BC边上一个动点（不与B，C重合），过点F的反比例函数y＝（k＞0）的图象与边AC交于点E．
（1）当点F为边BC的中点时，求点E的坐标；
（2）连接EF，求∠EFC的正切值．
【分析】（1）先确定出点A，B坐标，进而求出点C坐标，再用点F是BC中点，求出点F坐标，利用待定系数法求出k，最后将点E的纵坐标为3代入反比例函数解析式中即可求出点E坐标；
（2）设出点E（m，3），F（4，n），代入反比例函数y＝中得出n＝m，进而用m表示出CE，CF即可得出结论．
解：（1）∵OB＝4，OC＝3，
∴A（0，3），B（4，0），
∵四边形AOBC是矩形，
∴∠OAC＝∠OBC＝90°，AC＝OB＝4，BC＝OA＝3，
∴C（4，3），
∵点F是BC的中点，F（4，），
∵点F在反比例函数y＝的图象上，
∴k＝4×＝6，
∴反比例函数的解析式为y＝，
∵点E在反比例函数y＝的图象上，且纵坐标为3，
∴点E的横坐标为＝2，
∴E（2，3）；
（2）如图，设点E（m，3），F（4，n），AE＝m，BF＝n，
∵点E，F在反比例函数y＝的图象上，
∴k＝3m＝4n，
∴n＝m，
∴CE＝AC﹣AE＝4﹣AE＝4﹣m，CF＝BC﹣BF＝3﹣BF＝3﹣m，
在Rt△ECF中，tan∠EFC＝＝＝＝．
【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，矩形的性质，锐角三角函数，掌握反比例函数的性质是解本题的关键．