数学九年级下册4 解直角三角形教学设计

这是一份数学九年级下册4 解直角三角形教学设计，共6页。教案主要包含了思考问题，问题探究等内容，欢迎下载使用。


课题
1.4 解直角三角形
单元
第一单元
学科
数学
年级
九年级
学习
目标
知识与技能：
①归纳直角三角形的边、角之间的关系；
②利用这些关系式解直角三角形，并利用解直角三角形的有关知识解决实际问题．
过程与方法：
①正确运用直角三角形中的边角关系解直角三角形；
②逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；
③领会教学活动中的类比思想，提高学生学习数学的积极性；
情感态度与价值观：
①通过解答实际问题，激发学生学数学的兴趣，增长社会见识。
②使学生亲身经历用直角三角形中的边角关系解直角三角形的过程，感受数学实用性，培养学生积极情感.
重点
灵活运用锐角三角函数解直角三角形。
难点
灵活运用锐角三角函数解直角三角形。
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
知识探究
在上节课中，我们已经学习了有关正弦、余弦以及正切的定义，以及特殊角度的正弦、余弦、正切的值。而我们这节课要进一步探究直角三角形的三角函数。在上新课之前，我们一起回忆下前面学习的知识。
生活中，我们常常遇到与直角三角形有关的问题．知道直角三角形的边可以求出角，知道角也可以求出相应的边．
直角三角形中有6个元素，分别是三条边和三个角．
在Rt△ABC中，共有六个元素（三条边，三个角），其中∠C=90°，那么其余五个元素之间有怎样的关系呢？
（1）直角三角形的三边关：
a2+b2=c2(勾股定理)
（2）直角三角形的锐角关系： ∠A+∠B=90°.
（3）直角三角形的边和锐角之间关系:
sin A==ac cs A==bc tan A==ab
【思考问题】在一个直角三角形中，除直角外有5个元素（3条边、2个锐角），要至少知道其中的几个元素就可以求出其余的元素？
如果知道的2个元素都是角，不能求解.因为此时的直角三角形有无数多个.
如果已知2个元素，且至少有一个边是边就可以了.
【问题探究】在直角三角形ABC中，如果已知其中两边的长，你能求出这个三角形的其他元素吗？
【例1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，a=15，b=5求这个直角三角形的其他元素.
解：在Rt△ABC中，a2+b2=c2, a=15，b=5
∴c=b2+a²=25.
在Rt△ABC中，sinB=bc=525=12
∴ ∠ B = 30° ，∠ A = 60°
已知直角三角形两边的长度，可以求出其他元素.
在直角三角形ABC中，如果已知一边和一个锐角，你能求出这个三角形的其他元素吗？
【例1】在 Rt△ABC 中，∠ C 为直角，∠ A，∠ B，∠ C 所对的边分别为 a， b，c，且 b = 30，∠ B=25° ，求这个三角形的其他元素（边长精确到1）．
解：在 Rt△ABC 中，∠ C = 90° ，∠ B = 25°，
∴ ∠ A = 65
∵ sin B =bc，b = 30， ∴ c = bsin B=30sin25° ≈ 71.
∵ tan B =ba b = 30， ∴ a =btan B =30tan 25° ≈ 64.
如果已知直角三角形的一边和一个锐角，可以求出其他元素.
学生思考并回答问题。并跟着教师的讲解思路思考问题，并探究知识。
导入新课，利用导入的例子引起学生的注意力。
讲授新课
例题讲解
从刚刚导入新课的探究中，我们可以发现：
在直角三角形中，除直角外的5个元素(即3条边和2个锐角)，只要知道其中的2个元素(至少有一个是边)，根据三角函数，就可以求出其余的3个未知元素。
在直角三角形中，由直角三角形中已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形.
解直角三角形的依据：
(1)三边之间的关系:a2＋b2＝c2（勾股定理）；
(2)锐角之间的关系:∠A＋∠B＝ 90°；
(3)边角关系:sin A＝ac，cs A=bc，tan A=ab.
(4)面积公式：S△ABC=12ab=12c·ℎ
接下来，我们再看一些具体的例子：
【例3】如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D.若AB＝12，CD＝6，tan A＝32，求sin B＋cs B的值．
解：在Rt△ACD中，∵∠ADC＝90°，
∴tan A＝CDAD＝6AD＝32，∴AD＝4，∴BD＝AB－AD＝12－4＝8.
在Rt△BCD中，∵∠BDC＝90°，BD＝8，CD＝6，
∴BC＝BD2+CD2＝10，
∴sin B＝CDBC＝35，cs B＝BDBC＝45，∴sin B＋cs B＝35+45＝75.
说说解直角三角形时，有哪些注意点？
1.做标注：在遇到解直角三形的问题时，先画一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，以得于分析解决问题.
2.找关系式：选取关系式时要尽量利用原始数据，以防止“累积错误”.
3.遵循规则：遵循“有斜用弦，无斜用切；宁乘勿除，化斜为直”.
结合导入的思考和老师的讲解，利用探究理解和掌握解直角三角形的定义和方法。
老师在例题讲解的时候，自己先思考，然后再听老师讲解。
讲授知识，让学生熟练利用探究理解和掌握解直角三角形的定义和方法。
巩固加深对知识的理解与应用，也让学生知道本节课的学习内容和重点。
随堂练习
随堂练习
1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别记作a，b，c.
(1)直角三角形的三边之间的关系为a2+b2=c2(勾股定理)_；
(2)直角三角形的两个锐角之间的关系为_∠A+∠B=90°；
(3)直角三角形的边和锐角之间的关系为sin A＝__ac__，
cs A＝__bc__，tan A＝__ab__，tan B＝__ba__．
2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝15，则∠A的度数为( D )
A．90° B．60° C．45° D．30°
3.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则cs A的值是( A )
A.35 B. 45 C. 43 D. 54
4.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，a=5，求∠B，b，c.
解：∵∠B=90°-∠A=60° ,∠A=30°.且tan B=ba.
∴b=a·tan B=5·tan60°=53
∵sin A=ac
∴c=asin A= 5sin30°=512=10.
5.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，cs A = 13，BC = 5， 试求AB的长.
解：∵ ∠C=90° ，cs A = 13，∴ACAB=13
设AB=x，则AC=13x.
又AB²=AC²+BC²，则x²=（13x）²+5²
∴x1=1524,x2=−1524（舍去）
∴AB的长为1524.
学生自主完课堂练习中的练习，然后在做完之后根据老师的讲解进一步巩固知识。
学生自主完课堂练习中的练习，然后在做完之后根据老师的讲解进一步巩固知识。
借助练习，检测学生的知识掌握程度，同时便于学生巩固知识。
借助练习，检测学生的知识掌握程度，同时便于学生巩固知识。
中考链接
（2018·上海）如图，已知△ABC中，AB＝BC＝5，tan∠ABC=34．
（1）求边AC的长；
（2）设边BC的垂直平分线与边AB的交点为D，求ADDB的值．
解：（1）作A作AE⊥BC.
在Rt△ABE中，tan∠ABC=AEBE=34，AB＝5，
∴AE＝3，BE＝4，
（2）∵DF垂直平分BC，
∴BD＝CD，BF＝CF=52，
∵tan∠DBF=DFBF=34，
∴DF=158，
在Rt△BFD中，根据勾股定理得：BD=(52)2+(158)2=258，
∴AD＝5−258=158，则ADBD=35．
学生自主完课堂练习中的练习，然后在做完之后根据老师的讲解进一步巩固知识。
借助练习，检测学生的知识掌握程度，同时便于学生巩固知识。
课堂小结
在课堂的最后，我们一起来回忆总结我们这节课所学的知识点：
1.概念：在直角三角形中，由直角三角形中已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形.
2.依据：
(1)三边之间的关系:a2＋b2＝c2（勾股定理）；
(2)锐角之间的关系:∠A＋∠B＝ 90°；
(3)边角之间的关系:sin A＝ac，cs A=bc，tan A=ab.
(4)面积公式：S△ABC=12ab=12c·ℎ
跟着老师回忆知识，并记忆本节课的知识。
帮助学生加强记忆知识。
板书
解直角三角形
1.概念：在直角三角形中，由直角三角形中已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形.
2.依据：
(1)三边之间的关系:a2＋b2＝c2（勾股定理）；
(2)锐角之间的关系:∠A＋∠B＝ 90°；
(3)边角之间的关系:sin A＝ac，cs A=bc，tan A=ab.
(4)面积公式：S△ABC=12ab=12c·ℎ
借助板书，让学生知识本节课的重点。
课后练习
教材第17页习题1.5第1、2题.
教材第18页习题1.5第3、4题.