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- 1.4 解直角三角形教案教学设计 教案 1 次下载
- 1.5 三角函数的应用教案教学设计 教案 1 次下载
- 2.1二次函数教案教学设计 教案 2 次下载
- 2.2 二次函数的图象与性质（2）教案教学设计 教案 2 次下载
- 2.2.1二次函数的图像与性质教案教学设计 教案 2 次下载
初中数学北师大版九年级下册6 利用三角函数测高教案
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这是一份初中数学北师大版九年级下册6 利用三角函数测高教案，共8页。教案主要包含了思考问题，例题讲解等内容，欢迎下载使用。
课题
1.6 利用三角函数测高
单元
第一单元
学科
数学
年级
九年级
学习
目标
知识与技能：
①能够设计方案、步骤，能够说明测量的理由；
②能够综合运用直角三角形边角关系的知识解决实际问题
过程与方法：
①经历活动设计方案，自制仪器过程；通过综合运用直角三角形边角关系的知识，利用数形结合的思想解决实际问题，提高解决问题的能力。
②逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；
③领会教学活动中的类比思想，提高学生学习数学的积极性；
情感态度与价值观：
①通过积极参与数学活动过程，培养吃苦精神，发展合作意识和科学精神.
②选择生活中学生感兴趣的题材，使学生能积极参与数学活动，提高学习数学、学好数学的欲望.
重点
灵活运用锐角三角函数、测倾器来解决实际问题。
难点
灵活运用锐角三角函数、测倾器解决实际问题。
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
回顾知识
导入新课
活动探究
在上节课中，我们已经学习了有关正弦、余弦以及正切的定义，以及直角三角函数。而我们这节课要进一步探究用直角三角形的三角函数解决实际问题的相关知识。在上新课之前，我们一起回忆下前面学习的知识。
1.直角三角形的边角关系：
（1）直角三角形的三边关：
a2+b2=c2(勾股定理)
（2）直角三角形的锐角关系： ∠A+∠B=90°.
（3）直角三角形的边和锐角之间关系:
sin A==ac cs A==bc tan A==ab
2.仰角、俯角：
从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；
从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
【思考问题】某探险者某天到达如图所示的点A 处时，他准备估算出离他的目的地——海拔为3 500 m的山峰顶点B处的水平距离.他能想出一个可行的办法吗？
活动课题：利用直角三角形的边角关系测量物体的高度．
活动方式：分组活动、全班交流研讨．
活动工具：测倾器（或经纬仪、测角仪等）、皮尺等测量工具．
【活动一】测量倾斜角
问题1：如何测量倾斜角？
测量倾斜角可以用测倾器.
简单的侧倾器组成：度盘、铅锤和支杆.
问题2：如何使用测倾器？
步骤1：把支架竖直插入地面，使支架的中心线、铅垂线和度盘的0°刻度线重合，这时度盘的顶线PQ在水平位置.
步骤2：转动转盘，使度盘的直径对准目标M，记下此时铅垂线所指的度数.
【活动二】测量底部可以到达的物体的高度
所谓“底部可以到达”，就是在地面上可以无障碍地直接测得测点与被测物体的底部之间的距离．
如图,要测量物体MN的高度,需测量哪些数据？
步骤如下:
1.在测点A处安置测倾器，测得M的仰角∠MCE=α.
2.量出测点A到物体底部N的水平距离AN=L.
3.量出测倾器的高度AC=a
根据测量数据，你能求出物体 MN 的 高度吗？说说你的理由.
在RT△MCE中，
ME=EC·tanα=AN·tanα=L·tanα
MN=ME+EN=ME+AC=L·tanα+ a
学生思考并回答问题。并跟着教师的讲解思路思考问题，并探究知识。
学生思考并回答问题。并跟着教师的讲解思路思考问题，并探究知识。
导入新课，利用导入的例子引起学生的注意力。
导入新课，利用导入的例子引起学生的注意力。
讲授新课
例题讲解
课堂小结
从刚刚的或者探究中中，我们可以发现：
测量底部可以到达的物体的高度
测量物体MN的高度的步骤：
（1）在测点A安置测倾器，测得M的仰角∠MCE=α；
（2）量出测点A到物体底部N的水平距离AN=l；
（3）量出测倾器的高度AC=a.
（4）MN=ME+EN=l·tanα+a；
【例题讲解】【例1】如图，某中学在主楼的顶部和大门的上方之间挂一些彩旗．经测量，得到大门的高度是５m，大门距主楼的距离是30m，在大门处测得主楼顶部的仰角是30°，而当时侧倾器离地面1.4m，求学校主楼的高度(精确到0.01m).
解：如图，作EM垂直CD于M点。根据题意，可知： EB=1.4m∠DEM=30°,BC=EM=30 m, CM=BE=1.4m
在Rt△DEM中，DM=EM·tan30°≈30×0.577 =17.32(m)，
CD=DM+CM=17.32+1.4=18.72(m).
【活动二】测量底部不可以到达的物体的高度
所谓“底部不可以到达”，就是在地面上不能直接测得测点与被测物体的底部之间的距离．
如图,要测量物体MN的高度,需测量哪些数据？
步骤如下:
1.在测点 A 处安置测倾器，测得此时M的仰角∠MCE = α .
2.在测点 A 与物体之间的 B 处安置测倾器（A，B 与 N 在一条直线上，且 A，B 之间的距离可以直接测得），测得此时 M 的仰角∠ MDE = β.
3.量出测倾器的高度 AC = BD = a，以及测点 A，B 之间的距离 AB = b．
根据测量数据，你能求出物体 MN 的 高度吗？说说你的理由.
测量底部不可以到达的物体的高度
测量物体MN的高度的计算过程：
在Rt△MDE中，ED=MEtanβ；
在Rt△MCE中，EC =MEtanα ；EC-ED=MEtanα－MEtanβ=b
MEtanβ−MEtanαtanαtanβ=b，即 ME(tanβ−tanα)tanαtanβ=b
ME=btanαtanβtanβ−tanα , ∴MN=btanαtanβtanβ−tanα+a.
【例题讲解】【例2】下表是小亮所填实习报告的部分内容，请根据数据求大楼的高.
解：由表格中数据，得α=30° ，β=45° ,
在Rt△AEG中，EG=AGtanα=AGtan30°=3AG；
在Rt△AFG中，FG=AGtanβ=AGtan45°=AG ；
∴CD=EF= EG-FG =(3−1)AG .
∴AG=CD3−1=603−1=30(3+1)（m），
∵CD=60m，BG=EC=1m
∴AB=AG+BG= 30(3+1)+1= 303+31m
答：大楼高度为303+31 m.
【小结】用三角函数知识测高：
结合导入的思考和老师的讲解，利用探究学会用锐角三角函数测高、解决实际问题。
老师在例题讲解的时候，自己先思考，然后再听老师讲解。
学生跟着老师一起进行本节课的小结，学习一些新的方法。
讲授知识，让学生熟练利用探究会用锐角三角函数测高、解决实际问题。
巩固加深对知识的理解与应用，也让学生知道本节课的学习内容和重点。
巩固加深对知识的理解与应用，也让学生知道本节课的学习内容和重点。
随堂练习
随堂练习
随堂练习
1.如图，在高20米的建筑物CD的顶部C测得塔顶A的仰角为60°，测得塔底B的俯角为30°，则塔高AB = 80 米；
2.如图，小明想测量电线杆AB的高度，发现电线杆的影子恰好落在地面BC和斜坡的坡面CD上，测得BC = 10米，CD = 4米，CD与地面成30°角，且此时测得1米杆的影长为2米，则电线杆的高度为 7+3 米.
3. 如图，两建筑物的水平距离为a米，从A点测得D点的俯角为α，测得C点的俯角为β. 则较低建筑物CD的高度为（ D ）.
A. a米
B. αtanα
C. αtanβ
D. a(tanβ-tanα)
4. 如图所示，在离上海东方明珠塔1000m的A处，用仪器测得塔顶的仰角∠BAC为25°(在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫作仰角，在水平线下方的叫作俯角)，仪器距地面高为1.7m.求上海东方明珠塔的高BD. （结果精确到1m.）
解：如图，在Rt△ABC中，∠BAC =25°，AC =1000m，
因此tan25°=BCAC=BC1000
从而BC=1000×tan25°≈466.3（m）
因此，上海东方明珠塔的高度：BD=466.3+1.7=468（m）
答：上海东方明珠塔的高度BD为468 m.
5.如图，小明想测量塔AB的高度.他在D处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50m至C处.测得仰角为60°，小明的身高为1.5 m. 你能帮小明算出该塔有多高吗? (结果精确到1 m)
解：如图，由题意可知， ∠AD′B′=30°，∠AC′B′=60°， D′C′=50m.
∴ ∠D′AB′=60°，∠C′AB′=30°，D′C′=50m ，设AB′=x (m)
∵tan∠D′AB′=D'B'X, tan∠C′AB′=C'B'X,
∴D'B'=x·tan60°，C'B'= x·tan30°
∴ x·tan60° - x·tan30° =50
∴AB’=x=50tan60°−tan60°=253≈43.3m
∴AB=x+1.5==43.3+1.5=44.8≈45（m）
学生自主完课堂练习中的练习，然后在做完之后根据老师的讲解进一步巩固知识。
学生自主完课堂练习中的练习，然后在做完之后根据老师的讲解进一步巩固知识。
借助练习，检测学生的知识掌握程度，同时便于学生巩固知识。
借助练习，检测学生的知识掌握程度，同时便于学生巩固知识。
中考链接
1.（2016•济南）济南大明湖畔的“超然楼”被称作“江北第一楼”，某校数学社团的同学对超然楼的高度进行了测量，如图，他们在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往楼的方向前进60m至B处，测得仰角为60°，若学生的身高忽略不计，3≈1.7，结果精确到1m，则该楼的高度CD为（B ）
2.（2018•丹东）如图，小明利用长为2m的标尺ED测量某建筑物BC的高度，观测点A、标尺底端D与建筑物底端C在同一条水平直线上，标尺ED⊥AC．从点A处测得建筑物顶端B的仰角为22°，此时点E恰好在AB上；从点D处测得建筑物顶端B的仰角为38.5°，求建筑物BC的高度．（参考数据sin22°≈0.37，cs22°≈0.93，tan22°≈0.40，sin38.5°≈0.62，cs38.5°≈0.70，tan38.5°≈0.80）
解：∵ED⊥AC，BC⊥AC，
∴ED∥BC，
∴△AED∽△ABC，
∴EDBC=ADAD+DC，
在Rt△AED中，DE=2米，∠A=22°，
∴tan22°=2AD,即AD=2tan22°=5米
在Rt△BDC中，tan∠BDC=BCDC，tan38.5°=BCDC=0.8①，
∵tan22°=BCAD+DC=BC5+DC=0.4②，
联立①②得：BC=4米．
答：建筑物BC的高度为4米．
学生自主完课堂练习中的练习，然后在做完之后根据老师的讲解进一步巩固知识。
借助练习，检测学生的知识掌握程度，同时便于学生巩固知识。
课堂小结
在课堂的最后，我们一起来回忆总结我们这节课所学的知识点：
跟着老师回忆知识，并记忆本节课的知识。
帮助学生加强记忆知识。
板书
利用三角函数测高
借助板书，让学生知识本节课的重点。
课后练习
教材第23页习题1.7第2、3题.
教材第27页复习题第19、20题.
课题
1.6 利用三角函数测高
单元
第一单元
学科
数学
年级
九年级
学习
目标
知识与技能：
①能够设计方案、步骤，能够说明测量的理由；
②能够综合运用直角三角形边角关系的知识解决实际问题
过程与方法：
①经历活动设计方案，自制仪器过程；通过综合运用直角三角形边角关系的知识，利用数形结合的思想解决实际问题，提高解决问题的能力。
②逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；
③领会教学活动中的类比思想，提高学生学习数学的积极性；
情感态度与价值观：
①通过积极参与数学活动过程，培养吃苦精神，发展合作意识和科学精神.
②选择生活中学生感兴趣的题材，使学生能积极参与数学活动，提高学习数学、学好数学的欲望.
重点
灵活运用锐角三角函数、测倾器来解决实际问题。
难点
灵活运用锐角三角函数、测倾器解决实际问题。
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
回顾知识
导入新课
活动探究
在上节课中，我们已经学习了有关正弦、余弦以及正切的定义，以及直角三角函数。而我们这节课要进一步探究用直角三角形的三角函数解决实际问题的相关知识。在上新课之前，我们一起回忆下前面学习的知识。
1.直角三角形的边角关系：
（1）直角三角形的三边关：
a2+b2=c2(勾股定理)
（2）直角三角形的锐角关系： ∠A+∠B=90°.
（3）直角三角形的边和锐角之间关系:
sin A==ac cs A==bc tan A==ab
2.仰角、俯角：
从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；
从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
【思考问题】某探险者某天到达如图所示的点A 处时，他准备估算出离他的目的地——海拔为3 500 m的山峰顶点B处的水平距离.他能想出一个可行的办法吗？
活动课题：利用直角三角形的边角关系测量物体的高度．
活动方式：分组活动、全班交流研讨．
活动工具：测倾器（或经纬仪、测角仪等）、皮尺等测量工具．
【活动一】测量倾斜角
问题1：如何测量倾斜角？
测量倾斜角可以用测倾器.
简单的侧倾器组成：度盘、铅锤和支杆.
问题2：如何使用测倾器？
步骤1：把支架竖直插入地面，使支架的中心线、铅垂线和度盘的0°刻度线重合，这时度盘的顶线PQ在水平位置.
步骤2：转动转盘，使度盘的直径对准目标M，记下此时铅垂线所指的度数.
【活动二】测量底部可以到达的物体的高度
所谓“底部可以到达”，就是在地面上可以无障碍地直接测得测点与被测物体的底部之间的距离．
如图,要测量物体MN的高度,需测量哪些数据？
步骤如下:
1.在测点A处安置测倾器，测得M的仰角∠MCE=α.
2.量出测点A到物体底部N的水平距离AN=L.
3.量出测倾器的高度AC=a
根据测量数据，你能求出物体 MN 的 高度吗？说说你的理由.
在RT△MCE中，
ME=EC·tanα=AN·tanα=L·tanα
MN=ME+EN=ME+AC=L·tanα+ a
学生思考并回答问题。并跟着教师的讲解思路思考问题，并探究知识。
学生思考并回答问题。并跟着教师的讲解思路思考问题，并探究知识。
导入新课，利用导入的例子引起学生的注意力。
导入新课，利用导入的例子引起学生的注意力。
讲授新课
例题讲解
课堂小结
从刚刚的或者探究中中，我们可以发现：
测量底部可以到达的物体的高度
测量物体MN的高度的步骤：
（1）在测点A安置测倾器，测得M的仰角∠MCE=α；
（2）量出测点A到物体底部N的水平距离AN=l；
（3）量出测倾器的高度AC=a.
（4）MN=ME+EN=l·tanα+a；
【例题讲解】【例1】如图，某中学在主楼的顶部和大门的上方之间挂一些彩旗．经测量，得到大门的高度是５m，大门距主楼的距离是30m，在大门处测得主楼顶部的仰角是30°，而当时侧倾器离地面1.4m，求学校主楼的高度(精确到0.01m).
解：如图，作EM垂直CD于M点。根据题意，可知： EB=1.4m∠DEM=30°,BC=EM=30 m, CM=BE=1.4m
在Rt△DEM中，DM=EM·tan30°≈30×0.577 =17.32(m)，
CD=DM+CM=17.32+1.4=18.72(m).
【活动二】测量底部不可以到达的物体的高度
所谓“底部不可以到达”，就是在地面上不能直接测得测点与被测物体的底部之间的距离．
如图,要测量物体MN的高度,需测量哪些数据？
步骤如下:
1.在测点 A 处安置测倾器，测得此时M的仰角∠MCE = α .
2.在测点 A 与物体之间的 B 处安置测倾器（A，B 与 N 在一条直线上，且 A，B 之间的距离可以直接测得），测得此时 M 的仰角∠ MDE = β.
3.量出测倾器的高度 AC = BD = a，以及测点 A，B 之间的距离 AB = b．
根据测量数据，你能求出物体 MN 的 高度吗？说说你的理由.
测量底部不可以到达的物体的高度
测量物体MN的高度的计算过程：
在Rt△MDE中，ED=MEtanβ；
在Rt△MCE中，EC =MEtanα ；EC-ED=MEtanα－MEtanβ=b
MEtanβ−MEtanαtanαtanβ=b，即 ME(tanβ−tanα)tanαtanβ=b
ME=btanαtanβtanβ−tanα , ∴MN=btanαtanβtanβ−tanα+a.
【例题讲解】【例2】下表是小亮所填实习报告的部分内容，请根据数据求大楼的高.
解：由表格中数据，得α=30° ，β=45° ,
在Rt△AEG中，EG=AGtanα=AGtan30°=3AG；
在Rt△AFG中，FG=AGtanβ=AGtan45°=AG ；
∴CD=EF= EG-FG =(3−1)AG .
∴AG=CD3−1=603−1=30(3+1)（m），
∵CD=60m，BG=EC=1m
∴AB=AG+BG= 30(3+1)+1= 303+31m
答：大楼高度为303+31 m.
【小结】用三角函数知识测高：
结合导入的思考和老师的讲解，利用探究学会用锐角三角函数测高、解决实际问题。
老师在例题讲解的时候，自己先思考，然后再听老师讲解。
学生跟着老师一起进行本节课的小结，学习一些新的方法。
讲授知识，让学生熟练利用探究会用锐角三角函数测高、解决实际问题。
巩固加深对知识的理解与应用，也让学生知道本节课的学习内容和重点。
巩固加深对知识的理解与应用，也让学生知道本节课的学习内容和重点。
随堂练习
随堂练习
随堂练习
1.如图，在高20米的建筑物CD的顶部C测得塔顶A的仰角为60°，测得塔底B的俯角为30°，则塔高AB = 80 米；
2.如图，小明想测量电线杆AB的高度，发现电线杆的影子恰好落在地面BC和斜坡的坡面CD上，测得BC = 10米，CD = 4米，CD与地面成30°角，且此时测得1米杆的影长为2米，则电线杆的高度为 7+3 米.
3. 如图，两建筑物的水平距离为a米，从A点测得D点的俯角为α，测得C点的俯角为β. 则较低建筑物CD的高度为（ D ）.
A. a米
B. αtanα
C. αtanβ
D. a(tanβ-tanα)
4. 如图所示，在离上海东方明珠塔1000m的A处，用仪器测得塔顶的仰角∠BAC为25°(在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫作仰角，在水平线下方的叫作俯角)，仪器距地面高为1.7m.求上海东方明珠塔的高BD. （结果精确到1m.）
解：如图，在Rt△ABC中，∠BAC =25°，AC =1000m，
因此tan25°=BCAC=BC1000
从而BC=1000×tan25°≈466.3（m）
因此，上海东方明珠塔的高度：BD=466.3+1.7=468（m）
答：上海东方明珠塔的高度BD为468 m.
5.如图，小明想测量塔AB的高度.他在D处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50m至C处.测得仰角为60°，小明的身高为1.5 m. 你能帮小明算出该塔有多高吗? (结果精确到1 m)
解：如图，由题意可知， ∠AD′B′=30°，∠AC′B′=60°， D′C′=50m.
∴ ∠D′AB′=60°，∠C′AB′=30°，D′C′=50m ，设AB′=x (m)
∵tan∠D′AB′=D'B'X, tan∠C′AB′=C'B'X,
∴D'B'=x·tan60°，C'B'= x·tan30°
∴ x·tan60° - x·tan30° =50
∴AB’=x=50tan60°−tan60°=253≈43.3m
∴AB=x+1.5==43.3+1.5=44.8≈45（m）
学生自主完课堂练习中的练习，然后在做完之后根据老师的讲解进一步巩固知识。
学生自主完课堂练习中的练习，然后在做完之后根据老师的讲解进一步巩固知识。
借助练习，检测学生的知识掌握程度，同时便于学生巩固知识。
借助练习，检测学生的知识掌握程度，同时便于学生巩固知识。
中考链接
1.（2016•济南）济南大明湖畔的“超然楼”被称作“江北第一楼”，某校数学社团的同学对超然楼的高度进行了测量，如图，他们在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往楼的方向前进60m至B处，测得仰角为60°，若学生的身高忽略不计，3≈1.7，结果精确到1m，则该楼的高度CD为（B ）
2.（2018•丹东）如图，小明利用长为2m的标尺ED测量某建筑物BC的高度，观测点A、标尺底端D与建筑物底端C在同一条水平直线上，标尺ED⊥AC．从点A处测得建筑物顶端B的仰角为22°，此时点E恰好在AB上；从点D处测得建筑物顶端B的仰角为38.5°，求建筑物BC的高度．（参考数据sin22°≈0.37，cs22°≈0.93，tan22°≈0.40，sin38.5°≈0.62，cs38.5°≈0.70，tan38.5°≈0.80）
解：∵ED⊥AC，BC⊥AC，
∴ED∥BC，
∴△AED∽△ABC，
∴EDBC=ADAD+DC，
在Rt△AED中，DE=2米，∠A=22°，
∴tan22°=2AD,即AD=2tan22°=5米
在Rt△BDC中，tan∠BDC=BCDC，tan38.5°=BCDC=0.8①，
∵tan22°=BCAD+DC=BC5+DC=0.4②，
联立①②得：BC=4米．
答：建筑物BC的高度为4米．
学生自主完课堂练习中的练习，然后在做完之后根据老师的讲解进一步巩固知识。
借助练习，检测学生的知识掌握程度，同时便于学生巩固知识。
课堂小结
在课堂的最后，我们一起来回忆总结我们这节课所学的知识点：
跟着老师回忆知识，并记忆本节课的知识。
帮助学生加强记忆知识。
板书
利用三角函数测高
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