湘教版七下数学第3章因式分解小结与复习教案

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第3章因式分解小结与复习教案主备人： 审核人： 本章课时序号：6课 题因式分解小结与复习课型新授课教学目标1、 掌握因式分解的概念，知道与整式乘法的联系和区别2、 掌握提公因式法的要点及因式分解的步骤3、 能识别可用平方差公式、完全平方公式因式分解的多项式，能套用公式正确地进行因式分解4、 熟悉一些需要变形或两步以上的因式分解5、 能运用因式分解解决一些求代数式的值的问题教学重点1、 因式分解的方法2、 梳理知识要点，熟悉考试题型，提高解题能力教学难点1、 需要将多项式变形的因式分解，两步以上的因式分解2、 利用因式分解解决求值、简便计算等问题 教 学 活 动一、要点复习1、 提问：什么是因式分解？学生回答，教师用ppt展示：因式分解就是把一个多项式分解成几个多项式的积2、 提问：什么叫做提公因式法？（1）学生回答，教师用ppt展示：把多项式各项的公因式提到括号外面，其它因式连同各项的符号放到括号里面，这种因式分解的方法叫做提公因式法。 （2）教师用ppt展示：提公因式法的步骤是：一提，二放。3、 提问：如何运用平方差公式因式分解？学生回答，教师用ppt展示：运用公式a²-b²=(a+b)(a-b)，先把多项式写成两数的平方的差，再写成这两数的和×差.4、 提问：如何运用完全平方公式因式分解？学生回答，教师用ppt展示：运用公式a²+2ab+b²=(a+b)²，a²-2ab+b²=(a-b)²，先把多项式写成两数的平方的和，加或减这两数的积的2倍，再写成这两数和的平方或差的平方.5、 因式分解还有哪些需要注意的地方？（1）学生交流后回答，教师用ppt展示：确定公因式：取各项系数的公约数、相同字母或式子的最低次幂的积，作为要提取的公因式.。（2）有公因式先提公因式，无公因式考虑公式法，每个因式都要分解彻底。（设计说明：用提问方式，引导学生回顾、梳理知识要点，把学生置于主体地位。通过师生互动，学生不但梳理了知识要点，而且有了对所学知识的再认知。）二、考点突破❉考点一 因式分解的概念例1 下列变形不是因式分解的是（ ） A. a²-3ab+a=a(a-3b+1) B. x²+10x+25=(x+5)² C. -6(x-1)²=-6x²+12x-6 D. a²-2a-8=(a+2)(a-4)【答案】C【解析】因式分解是把一个多项式表示成几个多项式的积。C是整式乘法，不是因式分解。例2 把下列多项式因式分解，正确的是（ ） A. 2a²-7ab=2a(a-7b) B. b²-4b+16=(b-4)² C. m²-3mn+n²=m(m-3n)+n² D. x²-9y²=(x+3y)(x-3y)【答案】D【解析】A提取的公因式错误. B不是完全平方式，不能用完全平方公式分解. C没有把整个多项式因式分解. D因式分解x²-9y²=x²-(3y)²=(x+3y)(x-3y)，正确。【方法小结】1、 因式分解是把一个多项式变形成几个多项式的积。要根据概念判断是否为因式分解把因式分解与整式乘法区别开来。2、 因式分解是否正确，可以从①提的公因式是否正确；②提公因式后放到括号里面的多项式是否正确；③是否符合乘法公式的结构特征等方面进行判断。还可以计算多项式的乘法检验因式分解的正确性。❉考点二 提公因式法例3 9a²b³-12ab²+6ab是的公因式是 ，提出公因式后另一个因式是 。【答案】3ab，3ab²-4b+2【解析】多项式中系数9、12、6的公约数是3，字母a、b的次数都是1，故公因式为3ab。提出公因式后，各项剩下的因式分别是3ab²、-4b、2，故放到括号内的因式为3ab²-4b+2.例4 因式分解-4a(x-y)²+16a(x-y)= 。【答案】-4a(x-y)(x-y-4)【解析】多项式第一项系数为负数时，负号要连同公因式提到括号外面，放到括号里面的每一项都要改变符号。例5 因式分解2a(m-n)-6bm+6bn。解： 2a(m-n)-6bm+6bn=2a(m-n)-6b(m-n) （先把-6bm+6bn因式分解）=2(m-n)·a-2(m-n)·3b=2(m-n)(a-3b). （再用提公因式法因式分解）【方法小结】1、 提公因式法，先要确定公因式。取各项系数的公约数、各项都有的字母或式子的最低次幂的积作要提取的公因式。2、 提公因式法，就是把公因式提到括号外面，把各项的其它因式连同符号放到括号里面。 3、 多项式第一项前面有“－”，则把公因式连同“－”提到括号外面，放到括号里面的各项都要变号。❉考点三 公式法例6 把多项式49m²-81n²因式分解。解 49m²-81n² =(7m)²-(9n)² （第一步：写成两数的平方的差） =(7m+9n)(7m-9n). （第二步：写成这两数的和乘差.）例7 把多项式x²-18x+81因式分解解 x²-18x+81 =x²-2·x·9+9² （第一步：写成两数的平方和，减积的2倍.） =(x-9)² （第二步：写成这两数的和或差的平方.）例8 因式分解： (x+y)²-4(x+y-1) 解： (x+y)²-4(x+y-1) =(x+y)²-4(x+y)+4 （把-4(x+y-1)拆成两项后可用公式法） =(x+y)²-2·(x+y)·2+2²=(x+y-2)².【方法小结】1、 公式法是把乘法公式倒过来使用，进行因式分解。2、 用平方差公式因式分解，先要把多项式写成两个数或式子的平方的差，再把多项式写成这两数或式的和乘差。 3、 用完全平方公式因式分解，先要把多项式写成两数的平方和，加它们的积的2倍，再把多项式写成这两数的和或差的平方。 ❉考点四 两步或两步以上的因式分解例9 因式分解： (x³-x)+(x-1)解： (x³-x)+(x-1)=x(x²-1)+(x-1)=x(x+1)(x-1)+(x-1)=(x-1)[x(x+1)+1]=(x-1)(x²+x+1).（先把多项式的某一部分因式分解，再把整个多项式因式分解。）例10 因式分解： y²-(x²-10x+25).解： y²-(x²-10x+25)=y²-(x-5)²=(y+x-5)(y-x+5).（先用完全平方公式，再用平方差公式。）【方法小结】认真观察多项式，先看多项式的各项或某几项是否有公因式，再看整个多项式或多项式的某部分，是否具有两数平方差，或完全平方式的特征。分解一步，考虑下一步，一直分解每个因式不能再分解为止。简单地说，就是：提一提，套一套，做彻底。❉考点五 因式分解的应用—求值问题例11 已知a-b=9，ab=-20，求a²b-ab²的值。解：a²b-ab²=ab(a-b)=9×(-20)=-180.【点拨】通过因式分解解决一些整体代入求值问题。例12 已知2x-1=3，求代数式(x-3)²-2(x-3)+1的值.解： (x-3)²-2(x-3)+1=(x-3)²-2·(x-3)·1+1²=(x-3-1)²=(x-4)²由2x-1=3，得x=2，所以，原式=(2-4)²=4.【点拨】有时将多项式因式分解化简，求值比较简单。例13 已知a²+b²-2a+8b+17=0，求a-b的值. 解： a²+b²-2a+8b+17=a²-2a+1+b²+8b+16-1-16+17=(a-1)²+(b+4)². ∵ (a-1)²+(b+4)²=0，∴ a-1=0，且b+4=0，即a=1，b=-4.∴ a-b=1-(-4)=5.【点拨】将多项式的某部分因式分解，利用非负数的性质解决求值问题。【方法小结】对一些多项式通过因式分解，可以找到多项式与已知条件的关系，或者把多项式转化成一个简单式子的平方，或者变形后能发现一个规律或性质，从而把一个复杂的求值问题，转化为较为简单的问题。❉考点六 因式分解的应用—简便运算问题例14 计算：199.8²-200.2² 解： 199.8²-200.2² =(200-0.2)²-(200+0.2)²=[(200-0.2)+(200+0.2)]×[(200-0.2)-(200+0.2)]=400×(-0.4)=-160.【点拨】运用完全平方公式因式分解，把算式转化为求整数或整十、整百数的平方。例15 计算：37²+37×26+13²解： 37²+37×26+13²=37²+2×37×13+13²=(37+13)²=50²=2500.【点拨】运用完全平方公式因式分解，把算式转化为求整数或整十、整百数的平方。【方法小结】对一些数字为小数或分数、按常规运算顺序计算比较困难的运算，如果仔细观察，运用乘法公式进行恰当的因式分解，有时会找到简便的方法。 三、知识拓展❉考点七 用“找数法”分解二次三项式利用公式：x²+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)，先找出两个数a，b，使ab=常数项，a+b=一次项的系数，再把二次三项式写成(x+a)(x+b)的形式，即可完成因式分解。例如：x²-7x+6。通过观察，两个负数-1，-6相乘得常数项6，而相加得-7，则x²-7x+6=(x-1)(x-6).用“找数法”直接因式分解a²+3a-18= .【答案】(a-3)(a+6)四、作业布置1. 因式分解： （1）3x²+xy+4x （2）2a(a-5)-6b(5-a) （3）4m²-16n² （4）9x²y-6y+y【点拨】(2)题中-6b(5-a)=+6b(a-5)，(3)、(4)题要先提公因式，再继续下一步的分解。2. 因式分解： （1）ax+bx-ay -by （2）(x-2)-(x³-4x ) （2）-m²(a+b)+4mn(a+b)-4n²(a+b)【点拨】(1)题先把多项式分成两部分进行因式分解。(2)题先把(x³-4x )分解。(3)题先把-(a+b)提到括号外面。每道题都要注意分解到每个因式不能再分解为止。3. 已知m-n=8，求的值。【解析】 4. 已知|a-2b|+b²+2b+1=0，求a、b的值。【点拨】先因式分解b²+2b+1=(b+1)²，再利用非负数的性质—几个非负数的和为0，则这几个非负数都为0，进行解答。 板书设计第3章因式分解小结与复习1、 因式分解的概念 2、 因式分解的方法：提公因式法、公式法3、 因式分解的求值问题、简便计算问题。