湘教版数学八年级下册1.1.1直角三角形的性质与判定练习题

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1.1.1直角三角形的性质与判定练习题一、选择题1. 若直角三角形中的两个锐角之差为22°，则较小的一个锐角的度数是( ) A.24° B.34° C.44° D.46°2. 如图，某同学在课桌上无意中将一块三角板叠放在直尺上，则∠1+∠2等于( ) A.60° B.75° C.90° D.105°3. 在△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，BC=2，则AC=（　　） A.1      B.4      C.      D.4. 在△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高，那么与∠B互余的角的个数有（ ）A. 1个； B. 2个； C. 3个； D. 4个；5.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AC=cm，则AB边上的中线长为（　　） A.1cm    B.1.5cm   C.2cm    D.cm6.某市在旧城改造中，计划在一块如图所示的△ABC空地上种植草皮以美化环境，已知∠A=150°，这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要（　　） A.300a元   B.150a元   C.450a元   D.225a元二、填空题7. 如图，BE、CF分别是△ABC的高，M为BC的中点，EF=5，BC=8，则△EFM的周长是__________.8. Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠B=30°，AD=2cm，则AB的长度是 ______ cm．9. 如图，Rt△ABC中，DC是斜边AB上的中线，EF过点C且平行于AB.若∠BCF=35°，则∠ACD的度数 .10.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，若AD=6，则AC= ______ ．11. 如图，在△ABC中，∠B=∠C，D、E分别是BC、AC的中点，AB=8，则DE的长是 .三、解答题12. 已知，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=8cm，D为AB中点，DE⊥AC于E，∠A=30°，求BC，CD和DE的长13. 已知，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，CE为AB边上的中线，且∠BCD=3∠DCA。求证：DE=DC。14. 已知：△ABC中，AB=AC=BC （△ABC为等边三角形）D为BC边上的中点，DE⊥AC于E.求证：.15. 在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB边的中点，点F在AC边上，DE与CF平行且相等。求证：AE=DF。参考答案：1. B分析：可设其中的小角的度数为X，则另一个角的度数为x+22,根据直角三角形的性质可计算得到。解：设其中的小角的度数为X，则另一个角的度数为x+22，则有X+ x+22=90，解得x=34,故选B。2. C分析：根据对顶角的性质可判断∠1+∠2等于90°。解：∠1+∠2等于90°故选C3. C分析：根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AB=2BC，然后利用勾股定理列出方程求解即可．解：∵∠C=90°，∠B=60°，∴∠A=90°-60°=30°， ∴AB=2BC=4，由勾股定理得，AC2=AB2-BC2， ∴AC=2． 故选 C．4. C分析：由“直角三角形的两锐角互余”，结合题目条件，找出与∠A互余的角．解：∵∠ACB=90°，CD是AB边上的高线，∴∠A+∠B=90°，∠A+∠ACD=90°，∴与∠A互余的角有2个，故选C．5.A分析：设斜边AB=2x，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得BC=x，再利用勾股定理列式求出x的值，从而得到AB，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．解：设斜边AB=2x， ∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴BC= QUOTE AB=x， 由勾股定理得，AB2=AC2+BC2， 即（2x）2=（）2+x2， 解得x=1，∴AB=2×1=2cm， AB边上的中线长= QUOTE AB= QUOTE ×2=1cm．故选A． 6.B分析：作BA边的高CD，设与BA的延长线交于点D，则∠DAC=30°，由AC=30m，即可求出CD=15m，然后根据三角形的面积公式即可推出△ABC的面积为150m2，最后根据每平方米的售价即可推出结果．解：如图，作BA边的高CD，设与BA的延长线交于点D，∵∠BAC=150°，∴∠DAC=30°， ∵CD⊥BD，AC=30m， ∴CD=15m， ∵AB=20m， ∴S△ABC= QUOTE AB×CD= QUOTE ×20×15=150m2， ∵每平方米售价a元，∴购买这种草皮的价格：150a元． 故选B．7. 分析：根据直角三角形中线的性质解答即可。解：∵BE、CF分别是△ABC的高，M为BC的中点，∴在Rt△BCE中，EM=12BC=4，在Rt△BCF中，FM=12BC=4，∴△EFM的周长=EM+FM+EF=4+4+5=13．8.分析：先求出∠ACD=30°，然后根据30°所对的直角边等于斜边的一半解答．解：在Rt△ABC中，∵CD是斜边AB上的高， ∴∠ADC=90°， ∴∠ACD=∠B=30°（同角的余角相等），∵AD=2cm， 在Rt△ACD中，AC=2AD=4cm， 在Rt△ABC中，AB=2AC=8cm． ∴AB的长度是8cm．9. 解：∵EF∥AB，∴∠BCF=∠B. ∵∠BCF=35°，∴∠B=35°. ∵△ABC为直角三角形， ∴∠CAB=90°-35°=55°. ∵DC是斜边AB上的中线， ∴AD=BD=CD， ∴∠ACD=∠A=55°10. 分析：根据三角形内角和定理和角平分线定义求出∠A=∠ABD=∠CBD=30°，求出AD=BD=6，CD=BD=3，即可求出答案．解：∵在△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC， ∠A=90°-60°=30°，∠CBD=∠ABD= QUOTE ∠ABC=30°， ∴∠A=∠ABD， ∴AD=BD=， ∵AD=6， ∴BD=6， ∴CD= QUOTE BD=3， ∴AC=6+3=9，故答案为：9． 11. 解：∵∠B=∠C，∴AB=AC. 又D是BC的中点， ∴AD⊥BC.∴∠ADC=90°. 又E是AC的中点，∴DE=AC. ∵AB=AC，AB=8， ∴DE=AB=×8=4.12.分析：由30°的锐角所对的直角边为斜边的一半，BC可求，由直角三角形斜边中线的性质可求CD.在Rt△ADE中，有∠A=30°，则DE可求.解：在Rt△ABC中　　∵∠ACB=90 ∠A=30°∴　　∵AB=8 ∴BC=4　　∵D为AB中点，CD为中线　　∴　　∵DE⊥AC，∴∠AED=90°　　在Rt△ADE中，， ∴13.证明：∵∠BCD=3∠DCA且∠BCA=90°　　∴∠DCA=22. 5°∠BCD=67.5°∠B=22.5°　　∴∠CEA=45°∠ECD=67.5°-22.5°=45° 　　∴DE=DC14.分析：CE在Rt△DEC中，可知是CD的一半，又D为中点，故CD为BC上的一半，因此可证.证明：∵DE⊥AC于E，∴∠DEC=90°(垂直定义)　　∵△ABC为等边三角形，∴AC=BC ∠C=60°　　∵在Rt△EDC中，∠C=60°，∴∠EDC=90°-60°=30°　　∴ ∵D为BC中点， ∴ ∴ ∴.15.解：∵在Rt△ACB中，D为AB中点，　　∴且，∠2=∠3　　∵DE∥CF ∴∠1=∠2 ∴∠1=∠3　　∴在△DEA与△DFC中　　∴△EDA≌△DFC（SAS）　　∴AE=DF