河南省南阳市2023-2024学年八年级上学期期末数学试题

这是一份河南省南阳市2023-2024学年八年级上学期期末数学试题，共18页。
1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟．
2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案写在答题卡上．答在试卷上的答案无效．
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的．
1. 下列各数为无理数的是（ ）
A. 0.618B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据无理数是无限不循环小数进行判断即可．
【详解】解：由题意知，0.618，，，均为有理数，
是无理数，
故选：C．
【点睛】本题考查了无理数，立方根．解题的关键在于熟练掌握无理数是无限不循环小数．
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分别根据积的乘方、合并同类项、乘法公式逐项求解判断即可．
【详解】解：A、，故原计算错误，不符合题意；
B、，故原计算错误，不符合题意；
C、，故原计算正确，符合题意；
D、，故原计算错误，不符合题意，
故选：C．您看到的资料都源自我们平台，家威杏 MXSJ663 低至0.3/份【点睛】本题考查积的乘方、合并同类项、乘法公式，熟记完全平方公式和平方差公式，正确判断是解答的关键．
3. 下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据因式分解的概念可进行排除选项．
【详解】解：A、，属于整式的乘法，故不符合题意；
B、，不符合几个整式乘积的形式，不是因式分解；故不符合题意；
C、，属于因式分解，故符合题意；
D、因为，所以因式分解错误，故不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的概念是解题的关键．
4. 如图，工人师傅设计了一种测零件内径的卡钳，卡钳交叉点O为、的中点，只要量出的长度，就可以知道该零件内径的长度．依据的数学基本事实是（ ）

A. 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等B. 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等
C. 三边分别相等的两个三角形全等D. 两点之间线段最短
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质．先根据中点的定义，得出，，再根据对顶角相等得到，从而证得和△全等即可．正确运用三角形全等的判定定理是解题的关键．
【详解】解：点O为、的中点，
，，
由对顶角相等得，
在和中，
，
，
，
即只要量出的长度，就可以知道该零件内径的长度，
故选：B．
5. 若等腰三角形有一个内角为，则这个等腰三角形的底角是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先判断出的内角是这个等腰三角形的顶角，再根据等腰三角形的定义求解即可得．
【详解】解：等腰三角形有一个内角为，
∴这个等腰三角形的底角是，
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的两个底角相等．
6. 空气的成分（除去水汽、杂质等）是：氮气约占78%，氧气约占21%，其他微量气体约占1%．要反映上述信息，宜采用的统计图是( )
A. 条形统计图B. 折线统计图C. 扇形统计图D. 频数分布直方图
【答案】C
【解析】
【分析】在扇形统计图中将总体看做一个圆，用各个扇形表示各部分，能清楚的表示出各部分所占总体的百分比．
【详解】根据题意，将空气（除去水汽、杂质等）看做总体，用各个扇形表示空气的成分（除去水汽、杂质等）中每一种成分所占空气的百分比，由此可以选择扇形统计图．
故选C．
【点睛】本题考查了统计图的选取，扇形统计图的特点及优点，熟练掌握各种统计图的特点及优点是解题的关键．
7. 如图1，从边长为的正方形剪掉一个边长为的正方形；如图2，然后将剩余部分拼成一个长方形．上述操作能验证的等式是( )
A. ．
B. .
C. .
D. .
【答案】B
【解析】
【分析】观察图1与图2，根据两图形阴影部分面积相等，验证平方差公式即可；
【详解】根据阴影部分面积相等可得：
上述操作能验证的等式是B，
故答案为B.
【点睛】此题主要考查平方差公式验证，解题的关键是根据图形找到等量关系.
8. 小明同学只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点，小明说：“射线就是的角平分线．”他这样做的依据是（ ）
A. 在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上
B. 角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C. 三角形的三条高交于一点
D. 三角形三边的垂直平分线交于一点
【答案】A
【解析】
【分析】过两把直尺的交点P作PF⊥BO与点F，由题意得PE⊥AO，因为是两把完全相同的长方形直尺，可得PE=PF，再根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上可得OP平分∠AOB
【详解】如图所示：过两把直尺的交点P作PF⊥BO与点F，由题意得PE⊥AO，
∵两把完全相同的长方形直尺，
∴PE=PF，
∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），
故选A．
【点睛】本题主要考查了基本作图，关键是掌握角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上这一判定定理．
9. 设有边长分别为a和b()的A类和B类正方形纸片、长为a宽为b的C类矩形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片．若要拼一个长为、宽为的矩形，则需要C类纸片的张数为( )

A. 6B. 7C. 8D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】计算出长为，宽为的大长方形的面积，再分别得出A、B、C卡片的面积，即可看出应当需要各类卡片多少张．
【详解】解：长为，宽为的大长方形的面积为：
；
需要6张A卡片，2张B卡片和8张C卡片．
故选：C．
【点睛】本题主要考查多项式乘多项式与图形面积，解题的关键是理解结果中项的系数即为需要C类卡片的张数．
10. 如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球29个、29个、5个，先从甲袋中取出个球放入乙袋，再从乙袋中取出个球放入丙袋，最后从丙袋中取出个球放入甲袋，此时三只袋中球的个数相同，则的值等于（ ）

A. 128B. 64C. 32D. 16
【答案】A
【解析】
【分析】先表示每个袋子中球的个数，再根据总数可知每个袋子中球的个数，进而求出， ，最后逆用同底数幂相乘法则求出答案．
【详解】调整后，甲袋中有个球，，乙袋中有个球，，丙袋中有个球．
∵一共有（个）球，且调整后三只袋中球的个数相同，
∴调整后每只袋中有（个）球，
∴，，
∴，，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查了幂的混合运算，找准数量关系，合理利用整体思想是解答本题的关键．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 请写出一个比小的整数________．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据算术平方根的意义求解 ．
【详解】解：∴由可得：，
即，
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查算术平方根和无理数的估算，熟练掌握基本知识是解题关键．
12. 若，，则的值是___________________．
【答案】6
【解析】
【分析】先提公因式分解原式，再整体代值求解即可．
【详解】解：，
∵，，
∴，
∴原式，
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法，利用整体思想方法是解答的关键．
13. 血压包括收缩压和舒张压，分别代表心脏收缩时和舒张时的压力．收缩压的正常范围是：，舒张压的正常范围是：．现五人A、B、C、D、E的血压测量值统计如下：

则这五人中收缩压和舒张压均在正常范围内的人有________个．
【答案】3
【解析】
【分析】分析拆线统计图即可得出结果．
【详解】解：收缩压在正常范围的有A、B、D、E，
舒张压在正常范围的有B、C、D、E，
这五人中收缩压和舒张压均在正常范围内的人有B、D、E，即3个，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了拆线统计图，熟练识别拆线统计图，从中获得准确信息是本题的关键．
14. 将含角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已，点，表示的刻度分别为，则线段的长为_______cm．

【答案】
【解析】
【分析】根据平行线的性质得出，进而可得是等边三角形，根据等边三角形的性质即可求解．
【详解】解：∵直尺的两边平行，
∴，
又，
∴等边三角形，
∵点，表示的刻度分别为，
∴，
∴
∴线段的长为,
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质，等边三角形的性质与判定，得出是解题的关键．
15. 在中，，，点D在边上，连接，若为直角三角形，则的度数是________．
【答案】或
【解析】
【分析】由题意可求出，故可分类讨论①当时和②当时，进而即可求解．
【详解】解：∵，，
∴．
∵为直角三角形，
∴可分类讨论：①当时，如图1，

∴；
②当时，如图2，

综上可知的度数是或．
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理．解答本题的关键是明确题意，利用等腰三角形的性质和分类讨论的数学思想解答．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16. （1）已知，求的值；
（2）先化简，再求值：，其中．
【答案】（1）；（2）；
【解析】
【分析】本题主要考查了同底数幂乘法，整式化简求值，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算．
（1）根据同底数幂乘法运算法则进行计算即可；
（2）先根据整式混合运算法则进行计算，然后再代入数据进行计算即可．
【详解】解：（1），
，
；
（2）
，
当时，
原式．
17. 学生的学业负担过重会严重影响学生对待学习的态度．为此某市教育部门对某学校的七年级学生对待学习的态度进行了一次调查（把学习态度分为三个层级，级：对学习很感兴趣；级：对学习较感兴趣；级：对学习不感兴趣），并将调查结果绘制成如下统计图（不完整）．请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）此次调查中，共调查了 名学生；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）求出扇形图中最小的扇形的圆心角的度数．
【答案】（1）200 （2）见解析
（3）图中最小的扇形的圆心角的度数为．
【解析】
【分析】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，正确读懂统计图是解题的关键．
（1）用A级的人数除以其人数占比即可求出参与调查的学生人数；
（2）根据（1）所求求出C级的人数进而补全统计图即可；
（3）人数最少的等级即为扇形统计图所对应的圆心角度数最小的扇形，用360度乘以对应的人数占比即可得到答案．
【小问1详解】
解：名，
∴此次调查中，共调查了200名学生，
故答案为：200；
【小问2详解】
解：由（1）得C级的学生人数为名，
补全统计图图形如下：
【小问3详解】
解：图②中最小扇形的圆心角的度数为．
18. 如图．已知锐角，，请用尺规作图法，在内部求作一点．使．且．（保留作图痕迹，不写作法）

【答案】见解析
【解析】
【分析】先作的平分线，再作的垂直平分线，直线交于点，则点满足条件．
【详解】解：如图，点即为所求．
【点睛】本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰三角形的性质．
19. 如图，港口B在港口A的北偏东方向，且A、B之间的距离为．港口C在港口B的北偏西方向，且港口A的正北方向．求港口B与C之间的距离．
【答案】
【解析】
【分析】首先根据题意可得，可得，即可得，再根据等腰三角形的判定，即可求解．
【详解】解：，
，
，
，
故港口B与C之间的距离为．
【点睛】此题考查了方位角应用，平行线的性质，等腰三角形的判定，解答本题的关键是将实际问题转化为数学模型进行求解．
20. 如图，点，分别在，上，，，相交于点，．
求证：．
小虎同学的证明过程如下：
证明：∵，
∴．
∵，
∴．第一步
又，，
∴第二步
∴第三步

（1）小虎同学的证明过程中，第___________步出现错误；
（2）请写出正确的证明过程．
【答案】（1）二 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据证明过程即可求解．
（2）利用全等三角形的判定及性质即可求证结论．
【小问1详解】
解：则小虎同学的证明过程中，第二步出现错误，
故答案为：二．
【小问2详解】
证明：∵，
，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，熟练掌握其判定及性质是解题的关键．
21. 如图，某社区有两块相连的长方形空地，一块长为，宽为；另一块长为，宽为．现将两块空地进行改造，计划在中间边长为的正方形（阴影部分）中种花，其余部分种植草坪．
（1）求计划种植草坪的面积；
（2）已知，，若种植草坪的价格为30元/ ，求种植草坪应投入的资金是多少元？
【答案】（1）计划种植草坪的面积为
（2）种植草坪应投入的资金是243000元
【解析】
【分析】本题考查了列代数式，多项式乘多项式，以及整式的混合运算-化简求值，弄清楚题意是解答本题的关键．
（1）计划种植草坪的面积等于2个矩形的面积减去阴影部分的面积，利用多项式乘多项式法则，平方差公式和完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果即可；
（2）将a与b的值代入（1）中求得的栽花面积和草坪面积，再根据总价=单价×数量计算即可求解．
【小问1详解】
解：（1）两块空地总面积：，
，
栽花面积：，
草坪面积：．
【小问2详解】
，，草坪价格为30元/，
应投入的资金元．
22. 阅读材料：若，求m、n的值．
解：∵，
∴,
∴，
∴，
∴．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1），则 ． ．
（2）已知，求的值．
（3）已知的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求的周长．
【答案】（1）1，0 （2）
（3）的周长为7
【解析】
【分析】（1）本题考查了完全平方公式、非负数的性质等知识点，先根据例题凑成2个完全平方式的和等于0的形式，再根据非负数的性质求得a、b的值即可解答；将等式凑成2个完全平方式的和等于0的形式是解题的关键；
（2）本题考查了完全平方公式、非负数的性质等知识点，先先根据例题凑成2个完全平方式的和等于0的形式，再根据非负数的性质求得x、y的值，最后代入即可解答；将等式凑成2个完全平方式的和等于0的形式是解题的关键；
（3）本题考查了完全平方公式、非负数的性质等知识点，先先根据例题凑成3个完全平方式的和等于0的形式，再根据非负数的性质求得a、b、c的值，最后代入即可解答；将等式凑成2个完全平方式的和等于0的形式是解题的关键．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【小问2详解】
解：∵，
∴，即：，
∴，
∴，
∴．
【小问3详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴，解得：，
由三角形三边关系可知，三角形三边分别为1、3、3，
∴周长为．
23. 综合与实践
问题探究：（1）如图1是古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》第1卷命题9：“平分一个已知角．”即：作一个已知角的平分线，如图2是欧几里得在《几何原本》中给出的角平分线作图法：在和上分别取点C和D，使得，连接，以为边作等边三角形，则就是的平分线．

请写出平分的依据：____________；
类比迁移：
（2）小明根据以上信息研究发现：不一定必须是等边三角形，只需即可．他查阅资料：我国古代已经用角尺平分任意角．做法如下：如图3，在的边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同刻度分别与点M，N重合，则过角尺顶点C的射线是的平分线，请说明此做法的理由；
拓展实践：
（3）小明将研究应用于实践．如图4，校园的两条小路和，汇聚形成了一个岔路口A，现在学校要在两条小路之间安装一盏路灯E，使得路灯照亮两条小路（两条小路一样亮），并且路灯E到岔路口A的距离和休息椅D到岔路口A的距离相等．试问路灯应该安装在哪个位置？请用不带刻度的直尺和圆规在对应的示意图5中作出路灯E的位置．（保留作图痕迹，不写作法）

【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）作图见解析；
【解析】
【分析】（1）先证明，可得，从而可得答案；
（2）先证明，可得，可得是的角平分线；
（3）先作的角平分线，再在角平分线上截取即可．
【详解】解：（1）∵，，，
∴，
∴，
∴是的角平分线；
故答案为：
（2）∵，，，
∴，
∴，
∴是的角平分线；
（3）如图，点即为所求作的点；
．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，角平分线的定义与角平分线的性质，作已知角的角平分线，理解题意，熟练的作角的平分线是解本题的关键．