江苏省扬州市广陵区扬州中学教育集团树人学校2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

这是一份江苏省扬州市广陵区扬州中学教育集团树人学校2023-2024学年九年级上学期期末数学试题，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

（满分150分 考试时间：150分钟）
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．）
1. 已知是锐角，则的度数是（ ）
A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°
【答案】C
【解析】
【分析】根据60°角的正弦值等于解答．
【详解】解：∵，是锐角，
∴=60°，
故选C．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，是需要熟记的知识点．
2. 已知x=2是关于x的一元二次方程x2+ax=0的一个根，则a的值为( )
A. -2B. 2C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】把x=2代入x2+ax=0，即可求解.
【详解】∵x=2是关于x的一元二次方程x2+ax=0的一个根，
∴，解得：a=-2.
故选A.
【点睛】本题主要考查一元二次方程的根的定义，理解方程的根的定义，是解题的关键.
3. 若两个相似三角形的周长比为1:3，则它们的面积比为（ ）
A. 1:9B. 1:6C. 1:3D. 6:1
【答案】A
【解析】您看到的资料都源自我们平台，家威杏 MXSJ663 低至0.3/份【分析】由两个相似三角形的周长比为1:3，可得，两个相似三角形的相似比为1:3，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，即可求解.
【详解】∵两个相似三角形的周长比为1:3，
∴两个相似三角形的相似比为1:3，
∴它们的面积比为1:9，
故选A.
【点睛】本题主要考查相似三角形的面积比等于相似比的平方，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键.
4. 李宁专卖店试销一种新款运动鞋，一周内38码、39码、40码、41码、42码、43码的运动鞋分别销售了25、30、86、50、28、8双，若店长要了解哪种型号的运动鞋最畅销，则店长关注的是上述数据中的（ ）
A. 平均数B. 众数C. 中位数D. 方差
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了众数的意义，掌握各统计量的意义是解题的关键．根据题意选取统计量，要了解哪种型号的运动鞋最畅销应该关注众数．
【详解】解：根据运动鞋销售情况，店长要了解哪种型号的运动鞋最畅销，则店长关注的是上述数据中的众数．
故选：B．
5. 下列成语或词语所反映的事件中，可能性大小最小的是( )
A. 瓮中捉鳖 B. 守株待兔C. 旭日东升D. 夕阳西下
【答案】B
【解析】
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可得出答案．
【详解】A．瓮中捉鳖，是必然事件，发生的可能性为1，不符合题意；
B．守株待兔所反映的事件可能发生也可能不发生，是不确定事件，符合题意；
C．旭日东升，是必然事件，发生的可能性为1，不符合题意；
D．夕阳西下，是必然事件，发生的可能性为1，不符合题意；
故选B．
6. 如图，点A，B，P是上的三点，若，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用圆周角定理求解即可．
【详解】解：．
故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
7. 如图，已知点P在格点△ABC的外接圆上，连接PB、PC，则tan∠BPC的值为（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】过点C作AB的垂线于点D，利用网格图表示出AD和CD，再利用锐角三角函数的定义求出，然后利用圆周角定理求解．
【详解】解：过点C作AB的垂线于点D，如下图.
∴，，
∴．
∵点P在格点△ABC的外接圆上，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，圆周角定理．作出辅助线，求出是解答关键．
8. 如图，在中，，点、分别在、上，且．点从点出发沿折线匀速移动，到达点时停止；而点在边上随移动，且始终保持．整个运动过程点运动的路径长为（ ）
A. 7B. 8C. 9D. 10
【答案】A
【解析】
【分析】过点作于点，首先根据等腰三角形的性质可得，再结合，可得，结合勾股定理可解得；分三种情况讨论：①
当点在上运动时，可证明，进而可得；②当点在上，且移动到中点时，证明，由相似三角形的性质可解得；③当点从中点移动到点时，同理可得，由相似三角形的性质可解得．然后计算整个运动过程点运动的路径长即可．
【详解】解：如下图，过点作于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
当点在上运动时，如下图，
∵，
∴，
∴；
当点在上，且移动到中点时，如下图，
∵，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
∴；
当点从中点移动到点时，如下图，
同理可得，
∴，
∴，即，
∴；
∴整个运动过程点运动的路径长．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角函数、勾股定理、相似三角形的判定与性质、三角形外角的定义和性质、平行线的判定与性质等知识，解题关键是运用分情况讨论的思想分析问题．
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．）
9. 若，则=_____．
【答案】
【解析】
分析】根据两内项之积等于两外项之积列式整理即可得解.
【详解】∵ ,
∴4(a-b)=3b,
∴4a=7b,
∴,
故答案为:.
【点睛】本题考查了比例的性质,熟记两内项之积等于两外项之积是解题的关键.
10. 若圆O的半径是5，圆心的坐标是（0，0），点P的坐标是（－4，3），则点P与⊙O的位置关系是 ________．
【答案】点P在圆上
【解析】
【分析】先利用两点间的距离公式计算出OP的长，然后根据点与圆的位置关系判断点P与⊙O的位置关系．
【详解】∵点P的坐标是（-4，3），
∴OP==5，
∵OP等于圆O的半径，
∴点P在圆O上．
故答案为点P在圆O上．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．
11. 圆内接四边形的内角，则________度．
【答案】
【解析】
【分析】设∠A=2x，则∠B=3x，∠C=4x，根据圆内解四边形的性质得∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°，则2x+4x=180°，解得x=30°，然后计算出∠B后利用互补求∠D的度数．
【详解】解：设∠A=2x，则∠B=3x，∠C=4x．
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°，
∴2x+4x=180°，
解得：x=30°，
∴∠D=180°﹣3x=180°﹣90°=90°．
故答案为90．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．也考查了方程的思想的运用．
12. 某超市九月份的营业额为50万元，十一月份的营业额为72万元．则每月营业额的平均增长率为_______．
【答案】20%
【解析】
【详解】试题解析：设增长率为x,根据题意得
解得x=−2.2(不合题意舍去)，x=0.2，
所以每月的增长率应为20%，
故答案为20%．
13. 如图，是的内心，已知，则的度数是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据可得，根据是的内心即可得到，最后根据三角形内角和即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵是的内心，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查三角形内角和公式，角平分线性质及三角形内心，解题的关键是掌握三角形内心是三角形三个内角角平分线交点及整体代换思想．
14. 抛物线经过点，则________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质 ，已知式子的值，求代数式的值，把点的坐标代入函数解析式求出a、b的关系式是解题的关键，主要利用了整体思想．
【详解】解：把点代入
得：，
化简得：，
∴
，
故答案为：．
15. 圆锥的母线长为5cm，高为4cm，则该圆锥的全面积为_______cm2.
【答案】24π
【解析】
【分析】利用圆锥的母线长和圆锥的高求得圆锥的底面半径，表面积＝底面积＋侧面积＝π×底面半径2＋底面周长×母线长÷2．
【详解】解：∵圆锥母线长为5cm，圆锥的高为4cm，
∴底面圆的半径为3，则底面周长＝6π，
∴侧面面积＝×6π×5＝15π；
∴底面积为＝9π，
∴全面积为：15π＋9π＝24π．
故答案为24π．
【点睛】本题利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解．
16. 如图，在△ABC中，，，，则AC=________．
【答案】2
【解析】
【分析】首先证△ABC∽△ACD，然后根据相似三角形的对应边成比例求出AC的长．
【详解】解：∵，∠A=∠A，
∴△ABC∽△ACD，
∴，
∴，
∵AD=1，BD=3，
∴AB=AD+BD=4，
∴
∴AC=2，
故答案为：2．
【点睛】此题主要考查的是相似三角形的判定和性质，解题的关键在于能够熟练掌握相似三角形的性质与判定条件．
17. 在等腰中，当顶角A的大小确定时，它的对边（即底边BC）与邻边（即腰AB或AC）的比值也确定了，我们把这个比值记作T（A），即.例：T（60）=1，那么T（120）=____________ ；
【答案】
【解析】
【详解】作 ，垂足为C.
设



则T（120）=
18. 若二次函数（，，均为常数，）的图像与轴两个交点的坐标是和，则方程的解是______．
【答案】，##，
【解析】
【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，明确抛物线与轴的交点坐标与对应的一元二次方程的关系是解题的关键．根据抛物线与轴的两交点为和，得出方程的解，然后根据方程的解与的解的关系得出答案即可．
【详解】解：∵抛物线与轴的两交点为和，
∴方程的解为，，
∴方程中，或，
∴方程的解为，．
故答案为：，．
三、解答题（本大题共有10小题，共96分．）
19. （1）解方程；
（2）计算：
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，特殊角的三角函数值的混合运算，主要考查学生的计算能力．
（1）用因式分解法求解即可；
（2）把特殊角的三角函数值代入计算即可．
详解】解：（1）
或
∴，；
（2）
．
20. 已知关于的方程.
（1）求证：不论取何实数，此方程都有两个不相等的实数根；
（2）若此方程的一个根为，求的值.
【答案】（1）证明见详解；（2）.
【解析】
【分析】(1)计算出根的判别式，进一步利用配方法和非负数的性质证得结论即可,
(2)直接把x=-3代入方程即可求出k的值；
【详解】解：（1）证明：
，
即.
不论取何值，方程必有两个不相等的实数根.
（2）将代入原方程得，
解得：.
【点睛】此题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2−4ac：当△>0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△<0，方程没有实数根．
21. 某篮球队对队员进行定点投篮测试，每人每次投篮10次，现对甲、乙两名队员在五次中进球数（单位：个）进行统计，结果如表：
经过计算，甲进球的平均数为8，方差为3.2．
（1）求乙进球的平均数和方差；
（2）如果综合考虑平均成绩和成绩稳定性两方面的因素，从甲、乙两名队员中选出一人去参加定点投篮比赛，应选谁？为什么？
【答案】（1）8，0.8；（2）乙，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据平均数、方差的计算公式计算即可；
（2）根据平均数相同时，方差越大，波动越大，成绩越不稳定；方差越小，波动越小，成绩越稳定进行解答．
【详解】解：（1）乙进球的平均数为：（7+9+7+8+9）÷5=8，
乙进球的方差为：[（7-8）2+（9-8）2+（7-8）2+（8-8）2+（9-8）2]=0.8；
（2）∵二人的平均数相同，而S甲2=3.2，S乙2=0.8，
∴S甲2＞S乙2，
∴乙的波动较小，成绩更稳定，
∴应选乙去参加定点投篮比赛．
【点睛】本题考查方差的定义和求法，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．也考查了平均数．
22. 一个不透明的口袋中装有2个红球（记为红球1、红球2）、1个白球、1个黑球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀．
（1）从中任意摸出1个球，恰好摸到红球的概率是 ；
（2）先从中任意摸出1个球，再从余下的3个球中任意摸出1个球，请用列举法（画树状图或列表）求两次都摸到红球的概率．
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】（1）因为总共有4个球，红球有2个，因此可直接求得红球的概率；
（2）根据题意，列表表示小球摸出的情况，然后找到共12种可能，而两次都是红球的情况有2种，因此可求概率．
【详解】解：（1）．
（2）用表格列出所有可能的结果：
由表格可知，共有12种可能出现的结果，并且它们都是等可能的，其中“两次都摸到红球”有2种可能．
∴P（两次都摸到红球）==．
23. 如图，在单位长度为2的正方形网格中，一段圆弧经过格点A、B、C．
（1）请找出该圆弧所在圆的圆心O的位置；
（2）请在（1）的基础上，完成下列问题：
①的半径为______（结果保留根号）；
②若用所在扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面半径为______．
（3）连接，请探究与位置关系，并说明理由．
【答案】（1）图见详解；
（2）①；②；
（3）与相切；
【解析】
【分析】（1）本题考查垂径定理找圆心，根据格点图形找到，的垂直平分线线交点即为点；
（2）①本题考查勾股定理求半径，连接根据勾股定理求解即可得到答案；②本题考查求圆锥底面半径，根据圆锥侧面扇形的弧长等于底面圆周长直接求解即可得到答案；
（3）本题考查勾股定理逆定理与圆的切线判定，根据勾股定理逆定理得到即可得到答案；
【小问1详解】
解：由垂径定理得，作，的垂直平分线线交点即为点，如图所示，
；
【小问2详解】
解：①连接，
，
由勾股定理得，
，
故答案为：；
②由图像可得，
，
∴，
解得：；
【小问3详解】
解：由图像可得，
，，
∴，
∴，
∴与相切．
24. 图1是某越野车的侧面示意图，折线段表示车后盖，已知，，，该车的高度．如图2，打开后备箱，车后盖落在处，与水平面的夹角．

（1）求打开后备箱后，车后盖最高点到地面的距离；
（2）若小琳爸爸的身高为，他从打开的车后盖处经过，有没有碰头的危险?请说明理由．
（结果精确到，参考数据：，，，）
【答案】（1）车后盖最高点到地面的距离为
（2）没有危险,详见解析
【解析】
【分析】（1）作，垂足为点，先求出的长，再求出的长即可；
（2）过作，垂足为点，先求得，再得到，再求得，从而得出到地面距离为，最后比较即可．
【小问1详解】
如图，作，垂足为点

在中
∵，
∴
∴
∵平行线间的距离处处相等
∴
答：车后盖最高点到地面的距离为．
【小问2详解】
没有危险，理由如下：
过作，垂足为点

∵，
∴
∵
∴
在中，
∴．
∵平行线间的距离处处相等
∴到地面的距离为．
∵
∴没有危险．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是解题的关键．
25. 如图，已知二次函数的图象经过点，
（1）求的值；
（2）用无刻度直尺画出抛物线的对称轴；（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）
（3）结合图象，直接写出当时，x的取值范围是______．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）或
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想是解此题的关键．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据二次函数图象的对称性可得出抛物线的对称轴；
（3）观察函数图象，结合方程，即可得出结论．
【小问1详解】
解：将，代入二次函数得：，
解得：，
；
【小问2详解】
解：如图，直线为所求对称轴，
，
由（1）得二次函数的解析式为，
可以得出顶点坐标为，对称轴为直线；
【小问3详解】
解：令，则，
解得：或，
结合图象得：或时，，
故答案为：或．
26. 某商场经营某种品牌童装，进货时的单价是40元，根据市场调查，当销售单价是60元时，每天销售量是200件，销售单价每降低0.5元，就可多售出10件．
（1）当销售单价为58元时，每天销售量是 件．
（2）求销售该品牌童装获得的利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（3）若商场规定该品牌童装的销售单价不低于57元且不高于60元，则销售该品牌童装获得的最大利润是多少？
【答案】（1）240；（2）y＝－20x2＋2200x－56000；（3）4420元
【解析】
【分析】（1）根据题意求出销售单价降的钱数，再除以0.5，求出有几个0.5就多卖多少个10件，再加上原来的销售数量，即可得到答案；
（2）根据销售利润=一件的利润×销售量，即可列出函数解析式，化成一般形式即可；
（3）把（2）中的解析式化成顶点式，再根据自变量的取值范围确定取值范围内函数的增减性，根据减函数的特点找到x取值范围内的最小值，此时的y值即为函数最大值；
【详解】（1）∵销售单价每降低0.5元，就可多售出10件，
∴每天的销售量为200+10×=240（件）
故答案为：240；
（2）设该品牌童装获得的利润为y（元）
根据题意，
y＝（x-40）（200+)
=（x－40）（－20x＋1400）
＝－20x2＋2200x－56000，
∴销售该品牌童装获得的利润y元与销售单价x元之间的函数关系式为：y＝－20x2＋2200x－56000；
（3）根据题意得57≤x≤60
y＝－20（x－55）2＋4500
∵a＝－20＜0
∴抛物线开口向下，当57≤x≤60时，y随x的增大而减小，
∴当x＝57时，y有最大值为4420元
∴商场销售该品牌童装获得的最大利润是4420元．
【点睛】本题考查二次函数应用利润问题，找到自变量的取值范围，在取值范围内找到正确的最大值是正确解题的关键．
27. 如图，正方形的边长为4，E是上一动点，过点E作，交点F，连接．
（1）求证：；
（2）、、、四点在同一个圆上吗？如果在，说明理由；
（3）求D到中点的距离最小值．
【答案】（1）证明见详解；
（2）、、、四点在同一个圆上，理由如下；
（3）；
【解析】
【分析】（1）本题考查相似三角形的判定与正方形的性质，根据正方形得到，结合得到，结合，从而得到，即可得到证明；
（2）本题考查圆的定义及直角三角形斜边上中线等于斜边一半，根据两组对角互补即可得到证明；
（3）本题考查相似三角形的性质与二次函数的应用，设，根据相似三角形表示出，根据勾股定理得到，结合四点共圆得到D到中点的距离为，根据二次函数的性质求解即可得到答案；
【小问1详解】
证明：∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：、、、四点在同一个圆上，理由如下，
由（1）得，
∵，，
∴，
∴，
∴、、、四点在同一个圆上；
【小问3详解】
解：设，则，
∵，
∴，即，
解得：，
∴，
∴，
∵E是上一动点，
∴，
∴当时最小，此时最小，
∴，
∵、、、四点在同一个圆上，
∴D到中点的距离最小值为：．
28. 如图，抛物线过，两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点是抛物线上一点，且位于的上方，当的面积为6时，求点的坐标；
（3）过作于，连接，点是抛物线上一点，当时，请求出此时点的坐标．
【答案】（1）
（2）或
（3）或
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）过点作轴，交于点，连接，，首先利用待定系数法解得直线的解析式为，设点，则，易得，结合建立关于的一元二次方程并求解，即可获得答案；
（3）分两种情况讨论：①当点在直线上方时，过点作轴，过点作轴，交于点，证明，由相似三角形的性质可得，设，则，易得，，进而解得的值，即可确定点坐标；②当点在直线下方时，连接交于点，证明，进而取得点坐标，利用待定系数法解得直线的解析式，将直线的解析式与抛物线解析式联立，解得的值，即可确定点的坐标．
【小问1详解】
解：将点，代入抛物线，
可得，解得，
∴该抛物线的解析式为；
【小问2详解】
如下图，过点作轴，交于点，连接，，
设直线的解析式为，
将点，代入，
可得，解得，
∴直线的解析式为，
设点，则，
∴，
∵，即，
∴，
整理可得，
解得，，
∴点的坐标为或；
【小问3详解】
分两种情况讨论：
①当点在直线上方时，如下图，
过点作轴，过点作轴，交于点，
∵，，，
∴，，
∴，
∴，
若，
即，
则，
又∵，
∴，
∴，即，
设，则，
∴，，
∴，
解得或（舍去），
∴；
②当点在直线下方时，如下图，
连接交于点，
若，
即，
则，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
将点，代入，
可得，解得，
∴直线的解析式为，
将直线的解析式与抛物线解析式联立，
可得，
解得，或（舍去），
∴．
综上所述，点的坐标为或．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式、一次函数与二次函数综合应用、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程等知识，综合性较强，运用数形结合和分类讨论的思想分析问题是解题关键．第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
甲
10
6
10
6
8
乙
7
9
7
8
9
第二次
第一次
红球1
红球2
白球
黑球
红球1
（红球1，红球2）
（红球1，白球）
（红球1，黑球）
红球2
（红球2，红球1）
（红球2，白球）
（红球2，黑球）
白球
（白球，红球1）
（白球，红球2）
（白球，黑球）
黑球
（黑球，红球1）
（黑球，红球2）
（黑球，白球）