重难点专训1-1 集合与常用逻辑用语期中期末真题精选（基础60题18个考点专练）-2024-2025学年高一数学高频考点专题练（人教A版必修第一册）

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考点一 集合的含义（共2小题）
1．（2022秋•张掖期末）下列各组对象能构成集合的是
A．新冠肺炎死亡率低的国家
B．19世纪中国平均气温较高的年份
C．一组对边平行的四边形
D．的近似值
【解析】、因为“新冠肺炎死亡率低”不确定，所以不满足集合的确定性，不能构成集合，不符合题意；
、19世纪中国平均气温较高的年份不确定，所以不满足集合的确定性，不能构成集合，不符合题意；
、一组对边平行的四边形具有确定性，能构成集合，符合题意；
、的近似值不确定，不满足集合的确定性，因此不能组成集合，不符合题意；
故选：．
2．【多选】（2022秋•衡东县校级期中）下列说法正确的是
A．很小的实数可以构成集合
B．集合与集合是同一个集合
C．由1，，，，0.5这些数组成的集合有4个元素
D．集合，，是指第二或第四象限内的点集
【解析】对于，很小的实数指向不明确，不满足集合元素的确定性，则不可以构成集合；
对于，集合是数集，集合是点集，则错误；
对于，1，，，，则这些数组成的集合有4个元素，则正确；
对于，集合，，是指第二或第四象限内的点集，则正确；
故选：．
考点二 元素与集合关系的判断（共3小题）
3．（2023•新疆期末）集合，0，1，2，3，4，，为以内的质数，记，则
A．B．C．D．
【解析】集合，0，1，2，3，4，，
为以内的质数，3，5，，
记，则，3，，
，，，，
故选：．
4．（2022秋•金山区期末）已知集合，，且，则实数的值为 ．
【解析】，
，解得，
故答案为：1．
5．【多选】（2023•福建期末）非空集合具有如下性质：①若，，则；②若，，则下列判断中，正确的有
A．B．
C．若，，则D．若，，则
【解析】对于，假设，则令，则，，
令，，则，，
令，，不存在，即，矛盾，
，故对；
对于，由题，，则，，，，，
，故对；
对于，，，，
，，，故对；
对于，，，
若，，则，故错误．
故选：．
考点三 集合的确定性、互异性、无序性（共3小题）
6．由实数，，，所组成的集合最多含有 个元素．
A．1B．2C．3D．4
【解析】当时，实数，，，均为0，所组成的集合含有1个元素，
当时，实数，，所组成的集合含有2个元素，
当时，实数，所组成的集合含有2个元素，
故由实数，，，所组成的集合最多含有2个元素，
故选：．
7．（2022秋•梧州期末）若，2，，则的可能值为
A．0B．0，1C．0，2D．0，1，2
【解析】①当时，，此时不满足元素的互异性，舍去，
②当时，，此时集合为，2，，符合题意，
③当时，或1，
若，，此时不满足元素的互异性，舍去，
若，此时集合为，2，，
综上所述，的可能值为2或0，
故选：．
8．（2022秋•丰城市校级期末）下列说法中，正确的有 （填序号）．
①单词的所有字母组成的集合的元素共有4个；
②集合中有3个元素：，，，其中，，是的三边长，则不可能是等腰三角形；
③将小于10的自然数按从小到大的顺序排列和按从大到小的顺序排列，可分别构成不同的两个集合；
④集合，与表示同一个集合．
【解析】①不正确．单词中的字母有重复，共有3个不同字母，因此单词的所有字母组成的集合的元素个数是3．
②正确．因为，，是集合中的3个元素，所以，，互不相等，因此的三边长互不相等，故不可能是等腰三角形．
③不正确．小于10的自然数不管按哪种顺序排列，构成的集合里面的元素都是0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数，集合是相同的．
④不正确．集合，表示数3，4构成的集合，集合中有两个元素，集合表示点集，集合中有一个元素，故集合与不是同一个集合．
故答案为：②．
考点四 集合的表示法（共3小题）
9．方程组的解集可表示为 ．
【解析】由，可得，
所以方程的解集为．
故答案为：．
10．用列举法表示下列集合：
（1）；
（2）．
【解析】（1），或，，．
（2），，，3，4，5，，3，4，．
11．选择适当的方法表示下列集合：
（1）对于一元二次函数，当时，所有的取值组成的集合；
（2）一元二次函数的所有函数值组成的集合；
（3）抛物线上的所有点组成的集合；
（4）在平面直角坐标系中，抛物线在第一象限内的所有整点（横、纵坐标均为整数的点）组成的集合．
【解析】（1）时，，解得，
所以的取值组成的集合为；
（2），，
所以函数值组成的集合为；
（3）由题可知点的集合为；
（4）由题可知，，
故若，则，若，则，若，则，
所以，，，．
考点五 集合的相等（共2小题）
12．已知集合，，，，，，且，则 ， ．
【解析】集合，，，，，．
当时，，0，与集合元素互异性矛盾；
当时，，0，与集合元素的互异性矛盾；
当即时，，，，，，
，
所以，解得或（舍，此时，，，，，1，符合题意．
故答案为：1，；
13．（2023春•岳麓区校级期末）已知集合，，，，，，若，则 ．
【解析】由元素的互异性可得，
当时，，解得，舍去；
当时，，此时，，，，，，
此时需要满足，即，
所以．
故答案为：．
考点六 集合的包含关系判断及应用（共5小题）
14．（2023春•蒙自市校级期中）设集合，．
（1）当时，求的非空真子集的个数；
（2）若，求的取值范围．
【解析】（1），因为，
所以，，0，1，2，3，4，，即中含有8个元素，
所以的非空真子集个数为： （个；
（2）由已知，，要使，只需，则有，
综上，的取值范围是．
15．（2023•新高考Ⅱ）设集合，，，，，若，则
A．2B．1C．D．
【解析】依题意，或，
当时，解得，
此时，，，0，，不符合题意；
当时，解得，
此时，，，，，符合题意．
故选：．
16．（2023•吉林期末）已知集合，，若，则实数
A．或1B．0或1C．1D．
【解析】由集合，，
对于方程，
当时，此时方程无解，可得集合，满足；
当时，解得，要使得，则满足，可得，
所以实数的值为0或1．
故选：．
17．（2023•全国期末）下列集合关系中错误的是
A．，B．，C．D．，，
【解析】对于：集合为点集，含有元素，集合，含有两个元素，，
所以不包含于，，故错误；
对于，，故正确；
对于，故正确；
对于：因为，，，所以，，，故正确；
故选：．
18．（2023春•德安县校级期中）已知，．
（1）若，求的值；
（2）若，求实数的取值范围．
【解析】（1）由方程，解得或
所以，，又，，
所以，，即方程的两根为或，
利用韦达定理得到：，即；
（2）由已知得，，又，
当时，
若中仅有一个元素，则△，即，解得，
当时，，满足条件；当时，，不满足条件；
若中有两个元素，则，利用韦达定理得到，，解得，满足条件，
当时，则△，即，解得或；
综上，实数的取值范围是或或．
考点七 子集与真子集（共4小题）
19．（2023•思明区校级期末）已知集合，1，2，，，，，则的子集共有
A．2个B．4个C．6个D．64个
【解析】，0，3，，，0，1，2，3，，则的子集共有个．
故选：．
20．（2023春•市中区校级期中）设集合，0，，集合，1，2，，定义，，则子集的个数是
A．B．C．D．10
【解析】由题意知本题是一个分步计数原理，
集合，0，，集合，1，2，，
，，，0，1，2，，
有2种取法，
有5种取法
根据乘法原理得，即中元素个数是10个，
子集的个数是个．
故选：．
21．（2022秋•安化县校级期末）设集合且，则集合的真子集的个数为
A．3B．4C．7D．8
【解析】由题意知集合且，3，，
则集合的真子集有，，，，，，，，，，共7个，
故选：．
22．（2022秋•酒泉期末）已知集合恰有两个非空真子集，则的值可以是 ．（说明：写出满足条件的一个实数的值）
【解析】集合恰有两个非空真子集，
则集合中含有2个元素，即方程有两个不等实根，
，
解得且．
故答案为：2．（答案不唯一）．
考点八 空集的定义、性质及运算（共2小题）
23．（2022秋•昆都仑区校级期末）若集合为空集，则实数的取值范围是
A．B．，C．，D．，
【解析】由题意不等式无实解，
时，不等式为，无实解．
时，，解得，
综上，，．
故选：．
24．（2022秋•北京期末）下列集合表示空集的是
A．B．C．D．0
【解析】对于，方程无实根，集合，故正确，
对于，集合中有一个元素，不是空集，故错误，
对于，集合中有一个元素0，不是空集，故错误，
对于，0不是集合，故错误，
故选：．
考点九 并集及其运算（共4小题）
25．（2023春•无锡期末）设集合，，则
A．，B．，C．，D．，
【解析】，
则．
故选：．
26．（2023•广西期末）已知集合，，若，则实数的取值范围是
A．，B．，C．D．
【解析】，，
因为，所以，
故，解得：．
故选：．
27．（2023•张掖四模）已知集合，，若且，则实数的取值范围是
A．，B．，C．，D．，
【解析】，因为，
所以，
①当时，，满足题意；
②当时，，要使，
则，解得，
综上所述，实数的取值范围是，．
故选：．
28．（2023•开福区校级期末）已知集合，3，，，，且，则的取值集合为
A．B．C．，D．，，
【解析】由题意可得：或
若，此时，集合的元素有重复，不符合题意；
若，解得或，显然时符合题意，而同上，集合的元素有重复，不符合题意；
故．
故选：．
考点十 交集及其运算（共2小题）
29．（2023春•重庆期末）已知，，则
A．，B．C．D．
【解析】集合，，，
则，．
故选：．
30．（2023•福田区校级期末）已知集合，4，，，若，则
A．2B．3C．4D．5
【解析】因为，
所以，或，
当时，，与集合元素的互异性矛盾，舍去；
当时，，与集合元素的互异性矛盾，舍去；
当时，，满足集合元素互异性，满足要求．
故选：．
考点十一 补集及其运算（共3小题）
31．（2023春•苏州期末）已知，是全集的非空子集，且，则
A．B．C．D．
【解析】，是全集的非空子集，且，
，
．
故选：．
32．（2023•邵阳期末）已知集合，，则
A．B．
C．或D．或
【解析】由，，
得或．
故选：．
33．不等式组的解集为，则 ．
【解析】不等式组的解集为，
则或．
故答案为：或．
考点十二 交、并、补集的混合运算（共4小题）
34．（2023春•雁塔区校级期末）设集合，，则
A．B．C．D．
【解析】，
．
故选：．
35．（2023•青岛期末）已知全集，集合，满足，则下列关系一定正确的是
A．B．C．D．
【解析】因为集合，满足，故可得，
对：当为的真子集时，不成立；
对：当为的真子集时，也不成立；
对，恒成立；
对：当为的真子集时，不成立；
故选：．
36．（2023春•东兴区校级期末）设集合的全集为，定义一种运算，，若全集，，，则
A．B．C．D．
【解析】由题意得，或，
则，
故选：．
37．（2022秋•泰安期末）设集合或，，若，则的取值范围是
A．或B．或C．D．
【解析】由集合或，得，
又集合且，
则或，即或．
故选：．
考点十三 Venn图表达集合的关系及运算（共3小题）
38．（2023•沙坪坝区校级期末）已知全集，能表示集合，，，0，1，2，关系的图是
A．B．
C．D．
【解析】，1，，
，，0，1，2，，
．
故选：．
39．（2023•青秀区校级期末）设全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为
A．B．C．，D．，
【解析】，2，3，4，5，6，7，8，9，，
，，
，
则图中阴影部分表示的集合为．
故选：．
40．（2022秋•资中县校级期末）某小学对小学生的课外活动进行了调查．调查结果显示：参加舞蹈课外活动的有63人，参加唱歌课外活动的有89人，参加体育课外活动的有47人，三种课外活动都参加的有24人，只选择两种课外活动参加的有22人，不参加其中任何一种课外活动的有15人，则接受调查的小学生共有多少人？
A．120B．144C．177D．192
【解析】如图所示，
用韦恩图表示题设中的集合关系，不妨将参加舞蹈、唱歌、体育课外活动的小学生分别用集合，，表示，
则（A），（B），（C），，
不妨设总人数为，韦恩图中三块区域的人数分别为，，，
即，，，，
由容斥原理：（A）（B）（C），解得．
故选：．
考点十四 充分条件与必要条件（共6小题）
41．（2023春•项城市期末）已知：对任意的，，：存在，使得，则是的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【解析】因为对任意的，，，所以．
因为存在，使得，，所以．
因为，
所以是的充分不必要条件．
故选：．
42．（2023春•宁波期末）已知，为非零实数，则“”是“”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【解析】当时，，所以由得不出，
若，则，若，则，即，
所以由得不出，
所以“”是“”的既不充分也不必要条件．
故选：．
43．（2023春•大荔县期末）的一个充分不必要条件是
A．B．C．D．或
【解析】解不等式可得或，
因为或，
故只有选项中的条件才是“”的充分不必要条件．
故选：．
44．（2023春•双流区期末）若条件，条件，则是的
A．必要而不充分条件B．充分而不必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【解析】由题意可知条件，条件，
表示的集合是表示的集合的真子集，
所以是的充分而不必要条件．
故选：．
45．（2023•河西区期末）不等式“”成立，是不等式“”成立的
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【解析】当，时，不等式“”成立，但是不等式“”不成立，
当，时，不等式“”成立，但是不等式“”不成立，
故不等式“”成立，是不等式“”成立既不充分也不必要条件．
故选：．
46．（2023•辽宁期末）命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是
A．B．，C．，D．
【解析】①当时，不等式化为恒成立，
②当时，应满足，解得，
综上，实数的取值范围是，，
，为真命题的一个必要不充分条件是，．
故选：．
考点十五 全称量词和全称量词命题（共3小题）
47．（2023春•恩施州期中）若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是
A．，B．C．D．，
【解析】“，”为假命题，
，，是真命题，
方程有实数根，则△，解得．
故选：．
48．【多选】（2023春•密山市校级期中）下列四个命题中假命题是
A．，B．，
C．，使 D．，
【解析】，，为假命题；
当时，显然为假命题；
当时，显然成立，为真命题；
当时，都是无理数，为假命题．
故选：．
49．（2023•呼和浩特期末）有下列命题：
①若“，则或”是真命题；
②命题“，”的否定是“，”；
③，为真命题，则的最大值为2．
其中正确的是 （填序号）．
【解析】对于①若“，则或”的逆否命题为：若且，则为真命题，由于原命题和逆否命题为等价命题，故该命题是真命题，故①为真命题；
对于②命题“，”的否定是“，”故②为假命题；
对于③，为真命题，则的最大值为2，故③为真命题．
故答案为：①③．
考点十六 存在量词和存在量词命题（共3小题）
50．（2023春•淮安期末）命题，是假命题，则实数的值可能是
A．B．C．2D．
【解析】命题，是假命题，
，是真命题，
△，
解得，
实数的值可能是．
故选：．
51．（2023•九江期末）已知命题，，若为假命题，则实数的取值范围为
A．B．，C．D．，
【解析】因为命题，，
所以，，
又因为为假命题，所以为真命题，
即，恒成立，
所以△，即，
解得．
故选：．
52．（2022秋•鼓楼区校级期中）已知命题：①任何实数的平方都是非负数；②有些三角形的三个内角都是锐角；③每一个实数都有相反数；④所有数与0相乘，都等于0．其中，其中含存在量词的命题的个数是
A．1B．2C．3D．4
【解析】①任何实数的平方都是非负数，含全称量词“任何”，不符，
②有些三角形的三个内角都是锐角，含存在量词“有些”，符合，
③每一个实数都有相反数，含全称量词“每一个”，不符，
④所有数与0相乘，都等于0，含全称量词“所有”，不符．
故选：．
考点十七 全称量词命题的否定（共4小题）
53．（2023春•涪城区校级期中）命题，，则命题的否定是
A．，B．，
C．，D．，
【解析】因为命题，是全称量词命题，
所以其否定是存在量词命题，即，．
故选：．
54．（2023春•张掖期末）命题：“，”的否定是
A．，B．，
C．，D．，
【解析】命题：“，”的否定为“，”，
故选：．
55．（2023•思明区校级四模）设命题，，则为
A．，B．，C．，D．，
【解析】命题为全称命题，命题，，则为，，
故选：．
56．（2023春•长沙期中）写出命题“，”的否定： ．
【解析】因为特称命题的否定为全称命题，
所以命题“，”的否定是“，”，
故答案为：，．
考点十八 存在量词命题的否定（共4小题）
57．（2023•宁夏期末）命题 “存在一个偶数是素数”，则是
A．任意一个奇数是素数B．任意一个偶数都不是素数
C．存在一个奇数不是素数D．存在一个偶数不是素数
【解析】命题 “存在一个偶数是素数”，
则是任意一个偶数都不是素数．
故选：．
58．（2023春•同安区校级期中）命题“，”的否定是
A．，B．，C．，D．，
【解析】命题“，”是存在量词命题，其否定是全称量词命题，
所以命题“，”的否定是：，．
故选：．
59．（2023春•仁寿县期末）命题“，”的否定是
A．，
B．不存在，
C．，
D．，
【解析】因为特称命题的否定为全称命题，
所以命题“，”的否定是：，．
故选：．
60．（2022秋•遂宁期末）命题，的否定为
A．，B．，
C．，D．，
【解析】命题，的否定为，．
故选：．