2.1 等式性质与不等式性质6种常见考法归类-2024-2025学年高一数学高频考点专题练（人教A版必修第一册）

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1、不等式a≤b的含义
a≤b的含义是a0⇒ eq \f(1,a)< eq \f(1,b)，不能误认为是a>b⇒ eq \f(1,a)< eq \f(1,b)，在应用时不能出错．
9、利用不等式的性质证明不等式注意事项
(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．
(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．
10、利用不等式的性质求取值范围的策略
(1)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围．
(2)同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围．
注意：求解这种不等式问题要特别注意不能简单地分别求出单个变量的范围，再去求其他不等式的范围．
文字语言
大于，高于，超过
小于，低于，少于
大于等于，至少，不低于
小于等于，至多，不超过
符号语言
>
0⇔a>b；
a－b＝0⇔a＝b；
a－b0，则 eq \f(a,b)>1
⇔a>b；
eq \f(a,b)＝1⇔a＝b； eq \f(a,b)b
性质
别名
性质内容
注意
1
对称性
a>b⇔bb，b>c⇒a>c
不可逆
3
可加性
a>b⇔a＋c>b＋c
可逆
4
可乘性
a>b，c>0⇒ac>bc
a>b，cd⇒a＋c>b＋d
同向
6
同向同正可乘性
a>b>0，c>d>0⇒ac>bd
同向
7
可乘方性
a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)
同正
考点一 用不等式(组)表示不等关系
考点二 数（式）大小的比较
考点三 不等式的实际应用
考点四 利用不等式的性质判断命题的真假
考点五 利用不等式的性质证明简单的不等式
考点六 利用不等式的性质求范围
考点一 用不等式(组)表示不等关系
1．（2023·全国·高三专题练习）人体的正常温度大约是36℃，当人体温度超过正常温度的时认定为高烧，则高烧温度℃应满足的不等关系式是 .
【答案】
【分析】根据题目所给已知条件列出不等关系式.
【详解】依题意，.
故答案为：
2．（2023·高一课时练习）某桥头竖立的“限重30吨”的警示牌，是指示司机要安全通过该桥，应使车货总重量T不超过30吨．用不等式表示为 ．
【答案】
【分析】直接根据不等式的含义进行求解即可.
【详解】已知车货总重量不超过吨，则.
故答案为：.
3．（2023·高一课时练习）雷电的温度大约是，比太阳表面温度的倍还要高．设太阳表面温度为，那么应满足的关系式是 ．
【答案】
【分析】根据题意可得出关于的不等式，即为所求.
【详解】因为雷电的温度大约是，比太阳表面温度的倍还要高．
所以可得.
故答案为：.
4．（2022秋·四川眉山·高一校考阶段练习）将一根长为的绳子截成两段，已知其中一段的长度为m，若两段绳子长度之差不小于，则所满足的不等关系为（ ）
A．B．或
C．D．
【答案】D
【分析】直接表示出另一段，列不等式组即可得到答案.
【详解】由题意,可知另一段绳子的长度为.
因为两段绳子长度之差不小于，所以，
化简得：.
故选：D
5．（2023秋·甘肃酒泉·高一统考期末）铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过130cm，且体积不超过，设携带品外部尺寸长、宽、高分别记为a，b，c（单位：cm），这个规定用数学关系式可表示为（ ）
A．且B．且
C．且D．且
【答案】C
【分析】根据数量关系列不等式，“不超过”不等号为“小于等于”.
【详解】由长、宽、高之和不超过130cm得，由体积不超过得.
故选：C.
6．（2023秋·陕西渭南·高二统考期末）某体育器材公司投资一项新产品，先投资本金a（）元，得到的利润为b（）元，收益率为（%），假设在该投资的基础上，此公司再追加投资x（）元，得到的利润也增加了x元，若使得该项投资的总收益率是增加的，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意建立不等关系，即可求解.
【详解】若使得该项投资的总收益率是增加的，则，，
得.
故选：C
7．（2023春·黑龙江齐齐哈尔·高一校联考开学考试）不等关系是数学中一种最基本的数量关系，生活中随处可见.例如：“已知b克糖水中含有a克糖（），再添加m克糖（）（假设全部溶解），糖水变甜了.”请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立.
【答案】，证明见解析
【分析】根据糖水变甜了可以得到不等式，使用作差法比较大小即可.
【详解】b克糖水中有a克糖，则糖的质量与糖水的质量的比为
若再添加m克糖，则糖的质量与糖水的质量的比为
根据生活常识可知，加糖后的糖水更甜，所以糖在糖水中占的“比例”就越大，因此，
所以这一事实表示为一个不等式是：。
证明过程如下:
，
∵，∴，
∵，∴，∴，
∴，∴.
8．（2023秋·吉林·高一统考期末）用和分别表示民用住宅的窗户面积和地板面积（一般来讲，窗户面积比地板面积小）．显然，比值越大，住宅的采光条件越好．当窗户面积和地板面积同时增加时，住宅的采光条件会得到改善（单位：）．现将这一事实表示为不等式，以下正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先列出窗户面积和地板面积同时增加前后的比值，通过作差法即可求解.
【详解】当，，时
最开始窗户面积和地板面积的比值为，
窗户面积和地板面积同时增加后的比值为，
则，
所以当时，，此时住宅的采光条件会得到改善.
故选：A.
考点二 数（式）大小的比较
9．（2023·全国·高一专题练习）设a，，则“”是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用不等式的性质，充分条件、必要条件的定义判断作答.
【详解】因为，
所以当时，，
所以即，
当时，取，得不到，
所以是充分不必要条件，
故选:A.
10．（2023秋·高一校考课时练习）若,试比较和的大小.
【答案】
【分析】根据不等式的性质比较即可.
【详解】，，
又，∴，
∴，
∴，
又∵，
∴.
11．（2023·江苏·高一假期作业）已知，试比较和的大小.
【答案】
【分析】方法1：采用作商比较法，结合分母有理化即可求解；方法2：先计算，从而可得，进而可求解.
【详解】（方法1）因为，所以.
所以.
因为，所以，即；
（方法2）所以，
又，
所以 , 所以.
12．（2023·江苏·高一假期作业）已知，，为不全相等的实数，，，那么与的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用作差法判断即可.
【详解】因为，
所以，
当且仅当时取等号,
，，为不全相等的实数，因此等号不成立，即，
．
故选：A
13．（2023秋·高一校考课时练习）比较与的大小，其中.
【答案】
【分析】两式作差，因式分解变形，根据已知确定差的符号，即可判断两式大小.
【详解】
因为，所以，
所以，
即.
14．（2023·全国·高三专题练习）设，比较与的大小
【答案】
【分析】先判断两个式子的符号，然后利用作商法与1进行比较即可.
【详解】，
，
，
.
15．（2023春·陕西西安·高二西安中学校考期中）设，则的大小顺序是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】将化简，使分子相同，即可根据分母大小关系进行比较；利用作差比较大小关系即可.
【详解】，，
，，
.
又，故.
则.
故选：C.
16．（2023·高一课时练习）设，．
（1）证明：介于与之间；
（2）判断，哪个更接近于，并说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）更接近于，理由见解析
【分析】（1）只要证明即可；
（2）用来刻画与的接近程度，然后比较与的大小即可．
【详解】（1）证：∵，
∴介于，之间；
（2）解：∵，
，
更接近于．
考点三 不等式的实际应用
17．（2023·全国·高三专题练习）某城市有一个面积为的矩形广场，该广场为黄金矩形（它的宽与长的比为），现在在中央设计一个矩形草坪，四周是等宽的步行道，能否设计恰当的步行道的宽度使矩形草坪为黄金矩形？则下列选项正确的是（ ）
A．步行道的宽度B．步行道的宽度
C．步行道的宽度D．草坪不可能为黄金矩形
【答案】D
【分析】分别设草坪的长、宽，利用求解.
【详解】设草坪的长、宽分别为，（），步行道的宽度为，
，
则，草坪不可能为黄金矩形.
故选：D.
18．（2022·高一课时练习）甲、乙两车从A地沿同一路线到达B地，甲车一半时间的速度为a，另一半时间的速度为b；乙车一半路程的速度为a，另一半路程的速度为b．若，试判断哪辆车先到达B地．
【答案】甲先到达B地．
【分析】设两地间的路程为s，甲、乙两辆车所用的时间分别为，则，．
然后利用作差法或作商法比较大小，作商法中要注意结合基本不等式的使用得到结论.
【详解】设两地间的路程为s，甲、乙两辆车所用的时间分别为，则，．
方法一 因为，即，所以甲先到达B地．
方法二 ，因为，所以，从而，即，所以甲先到达B地．
【点睛】本题考查利用做差法或作商法比较大小在实际问题中的应用，涉及基本不等式，属基础题.
19．（2023春·湖北武汉·高二统考期末）购买同一种物品，可以用两种不同的策略，第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱一定.假设连续两天购买该物品，第一天物品的价格为，第二天物品的价格为，且，则以下选项正确的为（ ）
A．第一种方式购买物品的单价为
B．第二种方式购买物品的单价为
C．第一种方式购买物品所用单价更低
D．第二种方式购买物品所用单价更低
【答案】D
【分析】根据题意可得第一种策略平均价格为，第二种策略平均价格为，利用作差法比较大小即可求解.
【详解】第一种策略：设每次购买这种物品的数量均为，
则平均价格为，故A不正确；
第二种策略：设每次购买这种物品所花的钱为，
第一次能购得该物品的数量为，第二次能购得该物品的数量为，
则平均价格为，B错误；
因为，
所以，C错误，D正确.
故选：D.
20．（2022秋·福建福州·高一校联考期中）一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好．若一所公寓窗户面积与地板面积的总和为220，则这所公寓的地板面积至多为 平方米；若同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果是 （填写“变好了”或者“变坏了”）
【答案】 200 变好了
【分析】设这所公寓的地板面积为，则这所公寓窗户面积为（），然后根据题意列不等式可求出的范围，设窗户面积与地板面积分别为，（），设同时增加相同的面积为（），然后作差判断.
【详解】设这所公寓的地板面积为，则这所公寓窗户面积为（），
所以，解得，
所以这所公寓的地板面积至多为200平方米，
设窗户面积与地板面积分别为，（），设同时增加相同的面积为（），则
，
所以，
所以同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果是变好了，
故答案为：200，变好了
21．（2023·江苏·高一假期作业）同学们在生活中都有过陪同爸爸妈妈去加油站加油的经历，小明发现一个有趣的现象：爸爸和妈妈加油习惯有所不同.爸爸每次加油都说“师傅，给我加300元的油”，而妈妈则说“师傅帮我把油箱加满”这个时候小明若有所思，如果爸爸､妈妈加油两次，第一次加油汽油单价为x元/升，第二次加油汽油单价是y元/升，妈妈每次加满油箱，需加油a升，我们规定谁的平均单价低谁就合算，请问爸爸､妈妈谁更合算呢？（ ）
A．爸爸B．妈妈C．一样D．不确定
【答案】A
【分析】由题意，先计算爸爸和妈妈两次加油的平均单价，再作差法比较大小，即得解
【详解】由题意，妈妈两次加油共需付款元，爸爸两次能加升油
设爸爸两次加油的平均单价为元/升，妈妈两次加油的平均单价为元/升
则，且
所以爸爸的加油方式更合算
故选：A
考点四 利用不等式的性质判断命题的真假
22．【多选】（2023春·贵州遵义·高一遵义二十一中校考阶段练习）已知，下列不等式中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】利用作差法证明，或用特值法求解.
【详解】当时，，故A错误；
∵，∴，故B正确；
∵，∴，故C正确；
当时，，故D错误.
故选：BC.
23．（2023春·上海宝山·高一统考期末）如果，那么下列式子中一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用不等式的性质，逐项判断作答.
【详解】由，得，A正确；
由，得，则，B错误；
由，得，C错误；
由，得，即，D错误.
故选：A
24．（2023·全国·高一假期作业）下列说法中，错误的是（ ）
A．若，则一定有B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】A
【分析】对A举反例即可判断；对B和D，利用不等式基本性质即可判断；对C，利用作差法即可判断.
【详解】对于A，若，则，故A错误.
对于B，由，可知，所以，所以.故B正确.
对于C，，因为，
所以，所以.故C正确.
对于D，因为，所以.又，所以.故D正确.
故选：A.
25．【多选】（2023·全国·高一假期作业）对于实数，下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，
【答案】BC
【分析】利用不等式的性质即可判断选项A、B、C，对D选项取特殊值验证即可.
【详解】对于A，因为，所以，
所以，所以，故A错误；
对于B，因为，所以，，
所以，故B正确；
对于C，因为，所以，，
所以，故C正确；
对于D，取，满足，
而，故D错误.
故选：BC.
26．【多选】（2022秋·高一单元测试）如果满足，且，那么下列不等式中一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】根据题意得到，其中不确定，结合不等式的基本性质，逐项判定，即可求解.
【详解】由实数满足，且，可得，
对于A中，由，可得，所以A正确；
对于B中，由，可得，因为，所以，所以B正确；
对于C中，当，则，可得，所以C不正确；
对于D中，由，可得，因为，所以，所以D正确.
故选：ABD.
27．【多选】（2023·河北沧州·沧县中学校考模拟预测）已知函数，其中，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】由可得，作差法可判断A，根据不等式的性质判断BCD.
【详解】由，得，又，
所以，且的符号不确定，故的符号也不确定，故错误；
由，得，故B正确；
由，得，故C正确；
因为，两边平方后不等式不一定成立，故D错误.
故选：BC.
28．（2023·全国·高三对口高考）已知a，b，c，d为实数，以下6个命题中，真命题的序号是 ．
①若，则； ②若，则；
③若，则； ④若，则；
⑤若，则； ⑥若，则；
【答案】②④
【分析】利用特殊值法和不等式的基本性质一一判断即可.
【详解】对①，当时，，故①不成立；
对②，若，则，即，则，故②成立；
对③，若，则，则，故③不成立.
对④，若，则且，故，故④成立；
对⑤，若，则，故，即，故⑤不成立，
对⑥，，故⑥不成立，
故②④为真命题.
故答案为：②④.
考点五 利用不等式的性质证明简单的不等式
29．（2022·全国·高一专题练习）用比较法证明以下各题：
(1)已知，．求证：．
(2)已知，．求证：．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）作差可得，由完全平方的性质可得；
（2）作差变形可得，可证不等式．
【详解】（1）证明：，，
，
；
（2），，则与符号相同，且，
，
.
30．（2022秋·河北石家庄·高一校考期中）（1）设，比较与的大小；
（2）已知，，，求证：．
【答案】（1）；（2）证明见解析
【分析】（1）由题意得，利用作商法即可得出答案；
（2）利用不等式的性质和作差法，即可证明结论.
【详解】（1），，
，.
（2），，又，
又，
，
.
31．（2023·全国·高一假期作业）（1）已知，且，证明：．
（2）证明：．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【分析】(1)利用不等式的性质证明即可；
(2)等价于证明++，对不等式两边同时平方后只需证明，再平方即可证明.
【详解】证明：（1）由，且，
所以，且
所以，所以，
即；所以，即．
（2）要证，
只需证，
即证；
即证，
即证；即证，显然成立；
所以．
32．（2022秋·内蒙古呼和浩特·高一统考期中）证明不等式．
(1)，bd＞0，求证：；
(2)已知a＞b＞c＞0，求证：．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
【分析】（1）作差后，根据条件结合不等式的性质证明；
（2）先用作差法证明，然后根据不等式的性质证明即可得到.
【详解】（1）证明：，
因为，，所以，，
又bd＞0，所以，，
即.
（2）证明：因为a＞b＞c＞0，
所以有，，，，
则，，
即有，成立；
因为，，所以，，
又，所以，成立.
所以，有.
33．（2023·高一课时练习）阅读材料：
（1）若，且，则有
（2）若，则有．
请依据以上材料解答问题：
已知a，b，c是三角形的三边，求证：．
【答案】证明见解析.
【分析】利用三角形两边的和大于第三边，结合给定材料推理作答.
【详解】因为a，b，c是三角形的三边，则，由材料（1）知，，
同理，，由材料（2）得：
，
所以原不等式成立.
考点六 利用不等式的性质求范围
34．（2023春·广东揭阳·高一统考期末）已知，且，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】利用不等式的基本性质求解.
【详解】解：因为，且，
所以，
所以，
所以的取值范围是
故答案为：
35．（2023春·天津河西·高二统考期末）已知，，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】利用不等式的性质求解.
【详解】∵，∴，
又∵，∴，
∴的取值范围是.
故答案为：.
36．（2023·全国·高三专题练习）设，，则的取值范围是 ，的取值范围是 .
【答案】
【分析】利用不等式的性质求目标式的范围即可.
【详解】由，，同向不等式的可加性，得；
由，，同向同正不等式的可乘性，得；
故答案为：
37．（2023·全国·高三专题练习）已知，，分别求，，，的取值范围．
【答案】详见解析.
【分析】根据不等式的基本性质和反比例函数特点即可求解.
【详解】因为，，
所以，
即的取值范围是．
由，，
得，
所以的取值范围是．
由，，
得，
所以的取值范围是．
易知，
而
则，
所以的取值范围是．
38．（2023·全国·高三对口高考）已知，求的取值范围 ．
【答案】
【分析】利用待定系数法设，得到方程组，解出，再根据不等式基本性质即可得到答案.
【详解】设,则解得
故，
由,故，
由,故，
所以.
故答案为：.
39．（2023·全国·高一假期作业）已知，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】利用不等式的性质即可求出的取值范围.
【详解】由题意，
在中，
∵，
∴，解得：，
故答案为：.
40．（2023秋·高一校考课时练习）若二次函数的图象关于轴对称，且，，求的取值范围.
【答案】
【分析】由题意设二次函数，得到不等式组，根据不等式的性质分解即可得其取值范围．
【详解】设，则
又，故设，
所以，即
则有，解得 ，
所以
因为，，所以，，则
所以
即.