3.1.1 函数的概念6种常见考法归类-2024-2025学年高一数学高频考点专题练（人教A版必修第一册）

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1、函数的概念
注:(1)在函数的概念中，如果函数y＝f(x)的定义域与对应关系确定，那么函数的值域确定
(2)如果函数y＝f(x)的定义域、值域确定，那么对应关系确定吗？
不确定，例如函数的定义域为A＝{－1,0,1}，值域为B＝{0,1}，则对应关系f(x)＝x2或f(x)＝|x|均可．
2、函数的四个特征：
①非空性：，必须为非空数集（注意不仅非空，还要是数集），定义域或值域为空集的函数是不存在的.
②任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值.
③单值性：每一个自变量有且仅有唯一的函数值与之对应（可以多对一，不能一对多）.
④方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应所确定
的关系就不一定是函数关系.
3、理解函数的概念应关注三点
(1)函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集A中的任意一个(任意性)数x，在非空数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的数y与之对应．这三性只要有一个不满足，便不能构成函数．
(2)y＝f(x)仅仅是函数符号，不是表示“y等于f与x的乘积”，f(x)也不一定就是解析式．
(3)除f(x)外，有时还用g(x)，u(x)，F(x)，G(x)等符号来表示函数．
4、区间
设a，b∈R，且a注:区间是数集的另一种表示方法，但不是任何数集都能用区间表示，如集合{0}就不能用区间表示．
4、同一个函数
（1）前提条件：①定义域相同；②对应关系相同．
（2）结论：这两个函数为同一个函数．
注：函数的值域与定义域、对应关系不是相互独立的，函数的值域是由定义域和对应关系共同确定的，只要函数的定义域及其对应关系确定，函数的值域也就随之确定了．
5、常见函数的值域
（1）一次函数f(x)＝ax＋b(a≠0)的定义域为R，值域是R.
（2）二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的定义域是R，
当a>0时，值域为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞))，
当a<0时，值域为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(4ac－b2,4a))).
6、函数的判断
(1)判断一个对应关系是否为函数的方法
(2)根据图形判断对应关系是否为函数的方法
①任取一条垂直于x轴的直线l；
②在定义域内平行移动直线l；
③若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数．
7、函数求值的方法
(1)已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值．
(2)求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则．
8、求函数的定义域应关注四点
(1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y＝x0要求x≠0.
(2)不对解析式化简变形，以免定义域变化．
(3)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合．
9、用区间表示数集的方法
(1)区间左端点值小于右端点值．
(2)区间两端点之间用“，”隔开．
(3)含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小括号．
(4)以“－∞”，“＋∞”为区间的一端时，这端必须用小括号．
10、判断两个函数为同一个函数应注意的三点
(1)定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一个函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是同一个函数．
(2)函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的．
(3)在化简解析式时，必须是等价变形．
11、求函数值域的方法
(1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到．
(2)配方法：此方法是求“二次函数类”值域的基本方法，即把函数通过配方转化为能直接看出其值域的方法．
(3)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域．
(4)换元法：对于一些无理函数(如y＝ax±b±eq \r(cx±d))，通过换元把它们转化为有理函数，然后利用有理函数求值域的方法，间接地求解原函数的值域．
求函数得值域常见的方法有：
（1）观察法：对解析式简单变形观察，利用熟知的初等函数的值域，求解；
（2）配方法：函数是二次函数，可采用配方法结合图像或单调性求解；
（3）分离常数法：反解法，函数是一个分式型函数，可采用分离常数法将其整理为一个常数加一个分式，或用表示出，求解；
（4）换元法：对于一些无理函数(如y＝ax±b±eq \r(cx±d))，通过换元把它们转化为有理函数，然后利用有理函数求值域的方法，间接地求解原函数的值域．
（5）基本不等式法：通过对解析式变形，利用基本不等式求最值；
（6）判别式法：通过对解析式变形，将看成自变量，看成常数，关于的方程有解，利用判别式法求解．
概念
一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
三要素
对应关系
y＝f(x)，x∈A
定义域
x的取值范围
值域
与x的值相对应的y的值的集合{f(x)|x∈A}
定义
名称
符号
数轴表示
{x|a≤x≤b}
闭区间
[a，b]
{x|a开区间
(a，b)
{x|a≤x半开半
闭区间
[a，b)
{x|a半开半
闭区间
(a，b]
{x|x≥a}
[a，＋∞)
{x|x>a}
(a，＋∞)
{x|x≤a}
(－∞，a]
{x|x(－∞，a)
R
(－∞，＋∞)
考点一 函数关系的判断
考点二 求函数值
考点三 求函数的定义域
（一）求常规函数的定义域
（二）求抽象函数、复合函数的定义域
（三）逆用函数的定义域
考点四 区间的应用
考点五 同一个函数的判断
考点六 求函数的值域
（一）一次、二次、反比例函数的值域
（二）根式型值域
（三）分式型值域
（四）根据值域求参数
（五）根据值域求定义域
考点一 函数关系的判断
1．（2023·全国·高一课堂例题）在图中的三个图形中，是函数图象的是（ ）

A．（1）（2）B．（2）（3）C．（2）D．（3）
2．【多选】（2023·全国·高一假期作业）下列是函数图象的是（ ）
A．B．
C．D．
3．【多选】（2023秋·江西景德镇·高一统考期中）托马斯说：“函数是近代数学思想之花”，根据函数的概念判断：下列关系属于集合到集合的函数关系的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023秋·江苏徐州·高一统考期中）已知，，下列对应法则不可以作为从到的函数的是（ ）
A．B．
C．D．
5．【多选】（2023·全国·高一课堂例题）下列对应关系是集合到集合的函数的为（ ）
A．，，：
B．，，：
C．，，：
D．，，对应关系如图所示：
6．【多选】（2023·江苏·高一假期作业）下列给出的对应关系f，不能确定从集合A到集合B的函数关系的是（ ）
A．A＝{1，4}，B＝{－1，1，－2，2}，对应关系：开平方
B．A＝{0，1，2}，B＝{1，2}，对应关系：
C．A＝[0，2]，B＝[0，1]，对应关系：
D．A＝R，B＝{1，0}，∀x∈A，y∈B，对应关系：当x为有理数时，对应的y为1，当x为无理数时，对应的y为0
考点二 求函数值
7．（2023春·湖南岳阳·高一校考阶段练习）已知函数，那么（ ）
A．32B．C．D．
8．（2023秋·广东深圳·高三北师大南山附属学校校考阶段练习）若，那么等于 .
9．（2023·高一课时练习）已知函数，则的值等于（ ）
A．2B．3C．4D．5
10．（2023秋·甘肃临夏·高一校考期中）已知定义域为的函数和.求和的值.
11．（2023春·辽宁阜新·高一校考期中）已知函数.
(1)求，的值；
(2)求的值.
12．（2023春·宁夏石嘴山·高二平罗中学校考期末）已知函数，且，则实数的值等于（ ）
A．B．C．2D．
13．（2023·全国·高一专题练习）已知，且，则（ ）
A．B．10C．9D．11
考点三 求函数的定义域
（一）求常规函数的定义域
14．【多选】（2023秋·高一单元测试）下列函数中，定义域为的是（ ）
A．B．
C．+D．
15．（2023春·陕西商洛·高二校考期中）函数的定义域为 .
16．（2023秋·北京西城·高一北京市第三十五中学校考期中）求函数的定义域.
17．（2023秋·四川成都·高一石室中学校考阶段练习）函数的定义域为 .
18．（2023春·陕西西安·高一西安市田家炳中学校联考期末）已知函数，则函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
19．（2023秋·高一校考课时练习）求下列函数的定义域
(1)
(2);
(3)
20．（2023·全国·高一课堂例题）求下列函数的定义域：
(1)
(2)；
(3)
(4)；
(5)．
21．（2023·高一课时练习）已知等腰三角形的周长为常数，底边长为，腰长为，则函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
22．（2023秋·黑龙江齐齐哈尔·高一齐齐哈尔市第八中学校校考阶段练习）将长度为2的一根铁丝折成长为的矩形，矩形的面积关于的函数关系式是，则函数的定义域为
A．B．C．D．
（二）求抽象函数、复合函数的定义域
23．（2023·全国·高三专题练习）（1）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ．
（2）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ．
24．（2023秋·重庆长寿·高一重庆市长寿中学校校考期末）已知函数的定义域为，则的定义域为 .
25．（2023秋·高一课时练习）已知的定义域为，求的定义域.
26．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，则函数的定义域为 .
27．（2023春·湖南岳阳·高一校考阶段练习）函数的定义域为，则的定义域为 .
28．（2023春·辽宁辽阳·高二统考期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ．
29．（2023春·辽宁·高二校联考期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ．
30．（2023秋·四川攀枝花·高一攀枝花市第三高级中学校校考阶段练习）函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
31．（2023春·甘肃白银·高二校考期末）已知函数的定义域为 则的定义域为
（三）逆用函数的定义域
32．（2023·北京·高三专题练习）已知函数的定义域为，且，则的取值范围是 ．
33．（2023秋·四川攀枝花·高一攀枝花市第三高级中学校校考阶段练习）已知函数，的值城为，则 .
34．（2023秋·高一校考课时练习）若函数的定义域为R，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
35．（2023秋·江西宜春·高一校考阶段练习）已知函数的定义域为，则实数的范围 .
36．（2023·全国·高一课堂例题）若函数的定义域为，则实数的取值范围是 ．
37．（2023秋·高一校考课时练习）已知函数.
(1)若的定义域为[－2,1]，求实数a的值；
(2)若的定义域为R，求实数a的取值范围．
38．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨三中校考阶段练习）函数在上有意义，则实数a的取值范围为 ．
考点四 区间的应用
39．（2023·全国·高一假期作业）用区间表示下列集合：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6).
40．（2023·全国·高一课堂例题）用区间表示下列数集：
（1） ；
（2） ；
（3）且 ；
（4） ；
（5） ．
41．【多选】（2023·全国·高一假期作业）下列集合不能用区间形式表示的是（ ）
A．B．
C．或D．
42．（2023秋·上海青浦·高一上海市青浦高级中学校考阶段练习）设集合，，则
43．（2023·全国·高一专题练习）已知区间，，则（ ）
A．B．C．D．
44．（2023·全国·高一专题练习）已知区间，则的取值范围为 ．
考点五 同一个函数的判断
45．（2023秋·河南南阳·高一校考阶段练习）下列与函数是同一个函数的是（ ）
A．B．C．D．
46．（2023·高一课时练习）判断下列各组函数是否为相等函数：
(1)，；
(2)，；
(3)，．
47．【多选】（2023秋·云南红河·高一弥勒市一中校考阶段练习）下列各组函数表示的是不同函数的是（ ）
A．与
B．与
C．与
D．与
48．【多选】（2023春·甘肃白银·高二校考期末）下列各组函数不是同一个函数的是（ ）
A．与B．与
C．与D．与
49．【多选】（2023秋·广东潮州·高三校考阶段练习）下列各组函数是同一函数的是（ ）
A．与B．与
C．与D．与
50．（2023秋·福建福州·高一校联考期中）下列函数表示同一个函数的是（ ）.
A．与B．与
C．与D．与
考点六 求函数的值域
（一）一次、二次、反比例函数的值域
51．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为
52．（2023·江苏·高一假期作业）求二次函数在区间上的值域．
53．（2023秋·山东菏泽·高一校联考期中）已知，函数的值域是（ ）
A．B．
C．D．
54．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为 .
55．（2023·全国·高一假期作业）已知函数，则的值域为（ ）
A．B．C．D．
56．（2023·江苏·高一假期作业）试求下列函数的定义域与值域．
(1)，；
(2)；
(3)；
(4).
57．（2023秋·高一校考课时练习）求下列函数的值域:
(1)，
(2)，
(3)，
(4)
58．（2023·全国·高三对口高考）已知函数的定义域为，且当时，，则的值域为（ ）
A．B．C．D．
（二）根式型值域
59．（2023·全国·高三专题练习）函数的最小值为 .
60．（2023春·黑龙江双鸭山·高二双鸭山一中校考期末）函数的值域为
61．（2023·全国·高一课堂例题）的最大值是（ ）
A．B．2C．D．4
62．（2023秋·山东菏泽·高一校联考期中）函数的最大值为 ．
63．（2023秋·山西·高一校联考阶段练习）函数的值域为（ ）
A．B．
C．D．
64．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为
65．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为 .
（三）分式型值域
66．（2023春·上海杨浦·高一上海市杨浦高级中学校考开学考试）函数的值域为 .（结果用区间表示）
67．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为
68．（2023·全国·高一专题练习）函数的值域为 ．
69．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则函数的值域是 .
70．（2023秋·浙江衢州·高一校考阶段练习）函数的值域是 ．
71．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则的值域为 ．
72．（2023·北京·高三强基计划）函数的值域为（ ）
A．B．
C．D．以上答案都不对
73．（2023·全国·高一课堂例题）求下列函数的值域：
(1)，；
(2)，；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)；
(7)．
（四）根据值域求参数
74．（2023秋·青海西宁·高三校考期中）若函数的值域为，则函数的值域为 ．
75．（2023秋·辽宁辽阳·高三统考期末）已知函数的值域是，则 ．
76．【多选】（2023春·山东德州·高二校考阶段练习）若函数的定义域为，值域为，则的值可能为（ ）
A．2B．3C．4D．5
77．（2023秋·高一课时练习）已知函数，且该函数的值域为，则的值为 .
78．（2023秋·河南南阳·高一统考阶段练习）已知函数的定义域为,则的取值范围为 ,若函数,则的值域为 .
79．（2023·全国·高一专题练习）已知函数的值域为，则常数 ．
（五）根据值域求定义域
80．（2023秋·高一课时练习）已知函数的值域为，则函数的定义域为 .
81．（2023秋·福建厦门·高三校联考阶段练习）若函数的值域是，则此函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
82．【多选】（2023秋·湖南郴州·高一校考阶段练习）已知函数的值域是，则其定义域可能是（ ）
A．B．C．D．
x
0
1
2
y
1
2
1