3.3 幂函数12种常见考法归类-2024-2025学年高一数学高频考点专题练（人教A版必修第一册）

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1、幂函数的概念
一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
幂函数的特征：（1）xα的系数是1；（2）xα的底数x是自变量；（3）xα的指数α为常数．
只有满足这三个条件，才是幂函数．对于形如y＝(2x)α，y＝2x5，y＝xα＋6等的函数都不是幂函数．
2、五个幂函数的图象与性质
（1）在同一平面直角坐标系内函数(1)y＝x；(2)y＝ ；(3)y＝x2；(4)y＝x－1；(5)y＝x3的图象如图．
注：第一象限一定有幂函数的图象，第四象限一定没有幂函数的图象．
（2）五个幂函数的性质
3、一般幂函数的图象特征
（1）所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)．
（2）当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸．
（3）当α<0时，幂函数在区间(0，＋∞)上单调递减．
（4）幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称．
（5）在第一象限，作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列．
4、幂函数的判断及应用
(1)判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，需满足：①指数为常数，②底数为自变量，③xα的系数为1.形如y＝(3x)α，y＝2xα，y＝xα＋5…形式的函数都不是幂函数．
(2)若一个函数为幂函数，则该函数也必具有y＝xα(α为常数)这一形式．
5、幂函数图象的画法
①确定幂函数在第一象限内的图象：先根据α的取值，确定幂函数y＝xα在第一象限内的图象．
②确定幂函数在其他象限内的图象：根据幂函数的定义域及奇偶性确定幂函数f(x)在其他象限内的图象．
6、解决与幂函数有关的综合性问题的方法
首先要考虑幂函数的概念，对于幂函数y＝xα(α是常数)，由于α的取值不同，所以相应幂函数的单调性和奇偶性也不同．同时，注意分类讨论思想的应用．
7、解决幂函数图象问题应把握的原则
(1)依据图象高低判断幂指数的大小，相关结论为：①在(0，1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；②在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高).
(2)依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y＝x－1或y＝或y＝x3)来判断．
8、比较幂值大小的方法
(1)若两个幂值的指数相同或可化为两个指数相同的幂值时，则可构造函数，利用幂函数的单调性比较大小．
(2)若底数、指数均不同，则考虑用中间值法比较大小，这里的中间值可以是“0”或“1”．
9、利用幂函数解不等式的步骤
利用幂函数解不等式，实质是已知两个函数值的大小，判断自变量的大小，常与幂函数的单调性、奇偶性等综合命题．求解步骤如下：
(1)确定可以利用的幂函数；
(2)借助相应的幂函数的单调性，将不等式的大小关系，转化为自变量的大小关系；
(3)解不等式(组)求参数范围，注意分类讨论思想的应用．
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝
y＝x－1
定义域
R
R
R
[0，＋∞)
{x|x≠0}
值域
R
[0，＋∞)
R
[0，＋∞)
{y|y≠0}
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
单调性
增
在[0，＋∞)上增，在(－∞，0]上减
增
增
在(0，＋∞)上减，在(－∞，0)上减
考点一 幂函数的概念
考点二 求幂函数的解析式
考点三 求幂函数值
考点四 幂函数的定义域问题
考点五 幂函数的值域问题
考点六 幂函数的图象及应用
考点七 幂函数的图象过定点问题
考点八 由幂函数的单调性求参数
考点九 比较幂值的大小
考点十 利用幂函数的单调性解不等式
考点十一 幂函数的奇偶性的应用
考点十二 幂函数性质的综合应用
考点一 幂函数的概念
1．（2023·全国·高一专题练习）判断下列函数是不是幂函数？
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6).
【答案】(1)是
(2)不是
(3)不是
(4)是
(5)不是
(6)不是
【分析】根据幂函数的定义判断．
【详解】（1）是幂函数，
（2）不是幂函数，
（3）不是幂函数；
（4）是幂函数，
（5）不是幂函数，
（6）不是幂函数，
2．（2023秋·陕西咸阳·高一统考期中）现有下列函数：①；②；③；④；⑤，其中幂函数的个数为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】C
【分析】由幂函数的定义即可求解.
【详解】由于幂函数的一般表达式为：；
逐一对比可知题述中的幂函数有①；⑤共两个.
故选：C.
3．（2023·全国·高一专题练习）下列函数中不是幂函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据幂函数的定义逐个分析选项即可.
【详解】对于选项A，，故它是幂函数．故A项正确；
对于选项B，是幂函数，故B项正确；
对于选项C，选项的系数为3，所以它不是幂函数．故C项不成立；
对于选项D，是幂函数，故D项正确.
故选：C.
考点二 求幂函数的解析式
4．（2023·全国·高一专题练习）若幂函数过点，则此函数的解析式为 .
【答案】/
【分析】设，代入所过点即可求得结果.
【详解】设幂函数，则，解得：，.
故答案为：.
5．（2023秋·全国·高一专题练习）已知幂函数的图象过点，则的值为（ ）
A．2B．3C．4D．9
【答案】B
【分析】设幂函数为，代入点计算得到，计算得到答案.
【详解】设幂函数为，图象过点，故，故，
，.
故选：B
6．（2023秋·贵州黔东南·高一统考期末）已知幂函数的图像过点，则的值为（ ）
A．2B．1C．D．0
【答案】C
【分析】由幂函数定义可得，后结合图像过点可得答案.
【详解】由为幂函数，知.又函数图像过点，则，故.
故选：C
考点三 求幂函数值
7．（2023春·四川泸州·高一校考阶段练习）若是幂函数，且，则
【答案】9
【分析】设出幂函数解析式，根据解出参数，将代入计算即可.
【详解】解：因为是幂函数，记，因为，
所以，解得，故，
所以.
故答案为：9
8．（2023·全国·高一课堂例题）设是幂函数，已知，求，．
【答案】，
【分析】设函数解析式，代入求出解析式，可求，.
【详解】设幂函数．
由已知条件得．
故，，
于是，．
9．（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数满足，则的值为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】B
【分析】设出幂函数的解析式，根据已知，求出参数的关系式，即可计算作答.
【详解】依题意，设，则，
所以.
故选：B
考点四 幂函数的定义域问题
10．（2023秋·全国·高一专题练习）给出5个幂函数：①；②；③；④；⑤，其中定义域为的是（ ）
A．①②B．②③C．②④D．③④
【答案】C
【分析】根据幂函数的定义域求得正确答案.
【详解】①的定义域为，不符合.
②的定义域为，符合.
③的定义域为，不符合.
④的定义域为，符合.
⑤的定义域为，不符合.
所以符合的是②④.
故选：C
11．（2023春·辽宁·高二统考学业考试）函数的定义域为 ．
【答案】
【分析】根据幂函数的定义域的知识确定正确答案.
【详解】解：由于，
所以，，解得
所以函数的定义域是.
故答案为：
12．（2023秋·上海青浦·高一上海市青浦高级中学校考阶段练习）函数的定义域是 ．
【答案】
【分析】由偶次根式被开方数大于等于零可直接求得结果.
【详解】，，解得：，
的定义域为.
故答案为：.
13．（2023·全国·高一专题练习）函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】化简函数解析式，根据函数解析式有意义可得出关于的不等式组，由此可解得原函数的定义域.
【详解】因为，则，可得，
故函数的定义域为.
故选：D.
14．（2023秋·辽宁葫芦岛·高一校联考期中）函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由已知得，求解即可.
【详解】由已知得，解得且，所以的定义域为.
故选：B
15．（2023·高一课时练习）函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求使函数有意义的的取值范围可得答案.
【详解】由已知解得，所以f(x)的定义域为．
故选：B．
考点五 幂函数的值域问题
16．（2023·全国·高一专题练习）（1）函数的定义域是 ，值域是 ；
（2）函数的定义域是 ，值域是 ；
（3）函数的定义域是 ，值域是 ；
（4）函数的定义域是 ，值域是 ．
【答案】
【分析】画出对应幂函数的图像，结合幂函数的图像特征，写出定义域与值域
【详解】（1）幂函数图像如图所示，定义域为，值域为,
（2）幂函数图像如图所示，定义域为，值域为,
（3）幂函数图像如图所示，定义域为，值域为,
（4）幂函数图像如图所示，定义域为，值域为,
故答案为：（1）;,
（2）;,
（3）;,
（4）;.
17．（2023·全国·高一专题练习）下列函数中，值域为的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据函数的定义域、幂函数的性质、以及基本不等式可直接求得选项中各函数的值域进行判断即可.
【详解】由已知值域为，故A错误；
时，等号成立，所以的值域是，B错误；
因为定义域为， ，函数值域为，故C正确；
，，，所以，故D错误.
故选：C.
18．（2023·全国·高三专题练习）下列函数中，定义域和值域不相同的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据一次函数、反比例函数、幂函数和分段函数的性质，逐个选项进行判断即可得到答案.
【详解】对于A：函数的定义域为，值域也为，不符合题意；
对于B：函数的定义域和值域都为，不符合题意；
对于C：的定义域和值域都为，不符合题意；
对于D：的定义域为；
当时，；当时，；
所以值域为，定义域和值域不相同，符合题意；
故选：D．
19．（2023·高一课时练习）函数，其中，则其值域为 .
【答案】/
【分析】利用换元法将函数化为，结合二次函数的性质即可得出结果.
【详解】设，则.因为，所以. 当时，.所以函数的值域为.
故答案为：
20．（2023春·辽宁抚顺·高二抚顺一中校考阶段练习）已知函数，且．
(1)求的解析式；
(2)求函数在上的值域．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题目条件代入即可求得，从而求出，即可求出的解析式.
（2）由（1）可知，，由二次函数求值域即可求出函数在上的值域.
【详解】（1）因为，所以，
整理得，即或（舍去），
则，故．
（2）由（1）可知，．
因为，所以，，所以．
故在上的值域为．
21．（2023·全国·高一专题练习）已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【分析】判断单调递增，讨论或，根据分段函数的值域可得且，解不等式即可求解.
【详解】由函数单调递增，
①当时，若，有，
而，此时函数的值域不是；
②当时，若，有，而，
若函数的值域为，必有，可得．
则实数的取值范围为．
故答案为：
22．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在R上单调递增，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】在同一坐标系中作出函数的图象，根据函数在R上单调递增求解.
【详解】解：如图所示：

因为函数在R上单调递增，
所以则的取值范围是，
故答案为：
考点六 幂函数的图象及应用
23．【多选】（2023秋·高一课时练习）（多选）下列结论正确的是（ ）
A．幂函数的图象不可能在第四象限内
B．当时，幂函数的图象是一条直线
C．当时，幂函数是增函数
D．当时，幂函数在第一象限内的函数值随增大而减小
【答案】AD
【分析】根据给定条件，利用幂函数的图象性质逐项判断作答.
【详解】对于A，在幂函数中，当时，，因此幂函数的图象不可能在第四象限，A正确；
对于B，当时，幂函数为，其中，其图象是去掉点的一条直线，B错误；
对于C，当时，幂函数为，它在上为减函数，上为增函数，C错误；
对于D，当时，幂函数在第一象限内的函数值随增大而减小，D正确.
故选：AD
24．（2023·全国·高一专题练习）右图的曲线是幂函数在第一象限内的图象，已知n分别取，，2四个值，相应的曲线对应的n依次为（ ）

A．，，1，2B．2，1，，
C．，，2，D．2，，，
【答案】B
【分析】利用幂函数的图象性质逐一观察判断即可.
【详解】函数在第一象限内单调递减，对应的图象为；
对应的图象为一条过原点的直线，对应的图象为；
对应的图象为抛物线，对应的图象应为；
在第一象限内的图象是；
所以与曲线对应的n依次为2，1，，.
故选：B
25．（2023·湖南衡阳·高二统考学业考试）幂函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】首先求出函数的定义域，即可判断函数的奇偶性，再判断函数的单调性，即可得解.
【详解】幂函数定义域为，且，
所以为偶函数，函数图象关于轴对称，
又当时单调递减，则在上单调递增，
故符合题意的只有C.
故选：C
26．（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数的图象过点，则函数的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据幂函数经过的点得表达式，进而根据幂函数的性质即可结合选项求解.
【详解】设幂函数的解析式为
由幂函数的图象过点，解得
，其定义域为，且是增函数，
当时，其图象在直线的上方，故 C满足题意.
故选：C
27．（2023·全国·高一专题练习）已知幂函数（且p与q互质）的图像如图所示，则（ ）

A．p、q均为奇数且B．p为奇数，q为偶数且
C．p为奇数，q为偶数且D．p为偶数，q为奇数且
【答案】D
【分析】根据图像的对称性及形状结合幂函数的图像特征可直接解答.
【详解】由图像知函数为偶函数，所以p为偶数，且由图像的形状判定，
又因为p与q互质，所以q为奇数，
故选：D.
28．（2023秋·高一课时练习）当时，幂函数的图象不可能经过第 象限.
【答案】四
【分析】根据幂函数的性质分析判断即得.
【详解】因为的图象经过第一、三象限，的图象经过第一象限，的图象经过第一、二象限，
所以幂函数，的图象不可能经过第四象限，
故答案为：四
29．（2023·全国·高一专题练习）已知幂函数，其图像与坐标轴无交点，则实数m的值为 ．
【答案】
【分析】根据幂函数定义，由求得m，再根据函数图象与坐标轴无交点确定即可.
【详解】由幂函数知，
得或.
当时，图象与坐标轴有交点，
当时，与坐标轴无交点，
∴.
故答案为:
30．（2023·全国·高一课堂例题）若点在幂函数的图象上，点在幂函数的图象上，求当为何值时，有：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)当或时，
(2)当或时，
(3)当，且时，
【分析】（1）（2）（3）先利用待定系数法求出两幂函数的解析，然后在同一个坐标系作出两函数的图象，利用图象求解即可
【详解】（1）设，由点在幂函数的图象上，得，
∴，则，
令，由点在幂函数的图象上，得，
∴，则．
在同一平面直角坐标系中作出这两个函数的图象，如图所示．

观察图象可得，当或时，；
（2）观察（1）中的图象可得，当或时，
（3）观察（1）中的图象可得, 当，且时，
考点七 幂函数的图象过定点问题
31．【多选】（2023·全国·高一专题练习）关于幂函数是常数），结论正确的是（ ）
A．幂函数的图象都经过原点
B．幂函数图象都经过点
C．幂函数图象有可能关于轴对称
D．幂函数图象不可能经过第四象限
【答案】BCD
【分析】根据幂函数的性质逐一判断.
【详解】对于A：幂函数不经过原点，A错误
对于B：对于幂函数是常数），当时，，经过点，B正确；
对于C：幂函数的图像关于轴对称，C正确；
对于D：幂函数图象不可能经过第四象限，D正确.
故选：BCD.
32．（2023·全国·高一专题练习）幂函数（是常数）的图象一定经过点（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据幂函数的图象和性质即可确定答案.
【详解】由题意可知当时，，此时函数值与取何值无关，
故幂函数（是常数）的图象一定经过点，
故选：B
33．（2023秋·广东东莞·高一校考期中）函数的图象过定点 ．
【答案】
【分析】利用求得正确答案.
【详解】当时，，
所以定点为.
故答案为：
34．（2023·全国·高三专题练习）已知函数（为不等于0的常数）的图象恒过定点P，则P点的坐标为 .
【答案】
【分析】由幂函数的性质知的图象恒过，即可求出函数的图象恒过的定点.
【详解】因为的图象恒过，
所以的图象恒过定点.
故答案为：
考点八 由幂函数的单调性求参数
35．（2023秋·江西宜春·高三校考阶段练习）若幂函数在上单调递减，则（ ）
A．2B．C．D．-2
【答案】C
【分析】由幂函数的定义和性质求解即可.
【详解】由幂函数的定义可知，，即，解得或.
当时，，在上单调递增，不合题意;
当时，，在上单调递减，符合题意，故.
故选：C.
36．（2023秋·天津·高一校考期中）已知幂函数在上为增函数，则实数m的值是 ．
【答案】3
【分析】根据幂函数的定义求得，再由单调性确定最终结论．
【详解】由题意，解得或，时，在上递减，时，在上递增，所以．
故答案为：3.
37．（2023秋·上海普陀·高一校考期末）已知函数在区间上是严格增函数，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据函数的单调性列不等式来求得的取值范围.
【详解】由于在区间上是严格增函数，
所以，
解得，所以的取值范围是.
故答案为：
38．（2023秋·江西宜春·高三校考开学考试）已知幂函数，当时，随的增大而减小，则实数的值为 ．
【答案】2
【分析】根据题意要得，且，从而可求出的值
【详解】∵是幂函数，
∴，即，∴或．
当时，，是幂函数，且满足当时，随的增大而减小；
当时，，是幂函数，但不满足当时，随的增大而减小，故舍去．
∴实数的值为2．
故答案为：2
39．（2023秋·陕西榆林·高三校联考阶段练习）已知幂函数在上单调递增，则（ ）
A．B．3
C．或D．3或
【答案】B
【分析】根据幂函数定义，由系数为1求得值，再根据幂函数的单调性判断．
【详解】因为幂函数，所以，解得或．当时，在上单调递减，不符合题意；当时，在上单调递增，符合题意．综上，．
故选：B．
40．（2023秋·重庆·高三统考阶段练习）“”是“幂函数在上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】判断“”和“幂函数在上单调递增”之间的逻辑推理关系，即可得答案.
【详解】当时，幂函数，
该函数在上单调递增,
当幂函数在上单调递增时，
需满足，即，
故“”是“幂函数在上单调递增”的充要条件，
故选：C
41．（2023秋·广东东莞·高一校考期中）已知幂函数在上单调递减.
(1)求的解析式；
(2)若在上恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据幂函数的定义与单调性可得出关于的等式与不等式，解出的值，即可得出函数的解析式；
（2）由已知可得对任意的恒成立，利用基本不等式求出的最小值，即可得出实数的取值范围.
【详解】（1）解：因为幂函数在上单调递减，
则，解得，故.
（2）解：由（1）可知，对任意的恒成立，
由基本不等式可得，当且仅当时，即当时，等号成立，
所以，，因此，实数的取值范围是.
考点九 比较幂值的大小
42．（2023秋·高一课时练习）比较下列各组数中两个数的大小.
(1)与；
(2)与.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）（2）根据幂函数的单调性比较大小
【详解】（1）因为幂函数在上单调递增，且，
所以，
（2）因为幂函数在上单调递减，且，
所以.
43．（2023·全国·高一课堂例题）比较下列各组中两个数的大小：
(1)，；
(2)，；
(3)，．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】利用幂函数的单调性，比较函数值的大小.
【详解】（1），可看作幂函数的两个函数值．该函数在上递增，由于底数，所以．
（2），可看作幂函数的两个函数值．该函数在上递增，由于底数，所以．
（3），可看作幂函数的两个函数值．该函数在上递减，由于底数，所以．
44．（2023秋·高一课时练习）比较下列各题中两个幂的值的大小．
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】构造幂函数运用其单调性比较大小即可.
【详解】（1）因为在上单调递增，，
所以.
（2）因为在上单调递减，，
所以.
（3）因为函数在上的增函数，且，
所以，即：.
45．（2023秋·福建泉州·高一统考期中）已知实数x，y，则“”是“”的（ ）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】结合幂函数的性质，利用充分条件和必要条件的定义判断结论.
【详解】因为函数在R上单调递增，
由，有，可得；
由，可得，即．
则“”是“”的充要条件．
故选：C.
46．（2023·全国·高一专题练习）设，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据幂函数的单调性判断.
【详解】因为，，，
又，在上单调递增，
所以．
综上，．
故选：A．
47．（2023秋·重庆万州·高一校考阶段练习）若， ，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B．C．D．
【答案】D
【分析】利用幂函数的单调性和值域，比较算式的大小.
【详解】幂函数在上单调递增，值域为，
由，则，又，
所以.
故选：D
48．（2023秋·高一课时练习）已知若，则下列各式中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据函数的单调性和不等式的性质即可求解.
【详解】在单调递增，
因为，则，所以，
故选：C.
考点十 利用幂函数的单调性解不等式
49．（2023·全国·高一专题练习）若＜，则实数m的取值范围 ．
【答案】
【分析】结合幂函数的定义域以及其在(0,+∞)上单调递增，列出不等式组求解即可.
【详解】因为幂函数的定义域是{x|}，且在(0,+∞)上单调递增，
则原不等式等价于，解得，
所以实数m的取值范围是.
故答案为：.
50．（2023秋·全国·高一专题练习）已知幂函数，若，则a的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据题意得到幂函数的定义域和单调性，得到不等式的等价不等式组，即可求解.
【详解】由幂函数，
可得函数的定义域为，且是递减函数，
因为，可得，解得，
即实数的取值范围为.
故答案为：
51．（2023·全国·高一专题练习）已知函数，则关于的表达式的解集为 .
【答案】
【分析】利用幂函数的性质及函数的奇偶性和单调性即可求解.
【详解】由题意可知，的定义域为，
所以，
所以函数是奇函数，
由幂函数的性质知，函数在函数上单调递增，
由，得，即，
所以，即，解得，
所以关于的表达式的解集为.
故答案为：.
52．（2023秋·全国·高一专题练习）已知幂函数的图象过点，若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用待定系数法求出幂函数的解析式，可得其为奇函数，且在上单调递增，可转化为，根据单调性即可求解.
【详解】设幂函数，其图象过点，所以，解得，
所以.
因为，所以为奇函数，且在上单调递增，
所以可化为，
可得，解得，所以的取值范围为.
故选:C.
53．（2023·全国·高一专题练习）已知幂函数的图象过点，且，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】设幂函数，将点代入求出的值，再利用幂函数的单调性求解即可.
【详解】设幂函数，，
因为幂函数的图象过点，所以，解得，
所以，的定义域为，且在上单调递减，
因为，所以，解得，
故答案为：
54．（2023秋·黑龙江齐齐哈尔·高三统考阶段练习）已知幂函数在上是减函数，.
(1)求的解析式；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据幂函数的定义，结合幂函数的单调性进行求解即可；
（2）根据幂函数的单调性进行求解即可.
【详解】（1）由函数为幂函数得，
解得或，
又函数在上是减函数，则，即，
所以，；
（2）由（1）得，所以不等式为，
设函数，则函数的定义域为，且函数在上单调递减，
所以解得，所以实数的取值范围是.
55．（2023·全国·高一专题练习）已知幂函数在上是减函数，．
(1)求的解析式；
(2)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据幂函数的定义和单调性进行计算；（2）结合（1）中的参数，根据幂函数的单调性和定义域计算.
【详解】（1）根据幂函数的定义和单调性可知：，
解得，于是
（2）根据幂函数的单调性，在定义域上单调递减，
由，
即，于是，
解得
考点十一 幂函数的奇偶性的应用
56．（2023秋·高一校考课时练习）函数在上是（ ）
A．增函数且是奇函数
B．增函数且是偶函数
C．减函数且是奇函数
D．减函数且是偶函数
【答案】A
【分析】由幂函数的图象与性质求解即可.
【详解】因为，令，
因为关于原点对称，
所以，
所以是奇函数，又因为，所以在是增函数
故选：A.
57．（2023·四川南充·模拟预测）已知幂函数，下列能成为“是R上的偶函数”的充分条件的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据幂函数的性质，结合充分条件的定义进行判断即可.
【详解】当时，，
因为函数的定义域，关于原点对称，且，
所以为奇函数，不合题意，故A错误；
当时，，因为函数的定义域，不关于原点对称，
所以为非奇非偶函数，不合题意，故B错误；
当时，，定义域为，关于原点对称，且，
所以为偶函数，符合题意，故C正确；
当时，，定义域为，关于原点对称，且，
所以为奇函数，不合题意，故D错误.
故选：C.
58．（2023·全国·高一专题练习）函数的图象如图所示，则的值为（ ）

A．B．0C．1D．2
【答案】C
【分析】由图象可知函数为偶函数，且在第一象限内单调递减，则，求出的范围，再由取值验证即可
【详解】由图象可知函数为偶函数，且在第一象限内单调递减，
所以，解得，
因为，所以，或，或，
当时，为奇函数，不合题意，
当时，为偶函数，符合题意，
当时，为奇函数，不合题意，
所以，
故选：C
59．（2023秋·贵州毕节·高一统考期末）若幂函数的图象关于轴对称，则（ ）
A．或4B．C．4D．2
【答案】C
【分析】根据幂函数的定义与性质分析运算.
【详解】若幂函数，则，解得或，
且幂函数的图象关于轴对称，则为偶数，故.
故选：C．
60．（2023秋·陕西西安·高一统考期末）已知幂函数为偶函数，则实数的值为 .
【答案】
【分析】根据幂函数定义和奇偶性直接求解即可.
【详解】为幂函数，，解得：或；
当时，为偶函数，满足题意；
当时，为奇函数，不合题意；
综上所述：.
故答案为：.
61．【多选】（2023·全国·高一专题练习）若幂函数的图像经过点，则下列命题中，正确的有（ ）
A．函数为奇函数B．函数为偶函数
C．函数在为减函数D．函数在为增函数
【答案】AC
【分析】先根据幂函数图像经过点，求出函数解析式，然后利用幂函数的基本性质即可求解.
【详解】因为是幂函数，所以设，
又的图像经过点，所以，所以，即，
所以函数为奇函数，且在为减函数，故AC正确，BD错误；
故选：AC.
62．（2023·全国·高一专题练习）已知幂函数为偶函数．
(1)求的解析式；
(2)若在区间上不单调，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据幂函数的定义结合函数奇偶性分析求解；
（2）根据二次函数单调性运算求解.
【详解】（1）因为为幂函数，则，解得或，
当时，则为奇函数，不合题意；
当时，则为偶函数，符合题意；
综上所述：
（2）由（1）可得：，其对称轴，
因为在区间上不单调，则，解得，
实数的取值范围.
考点十二 幂函数性质的综合应用
63．（2023秋·高一课时练习）下列幂函数中是奇函数且在上单调递增的是 （填序号）．
①；②；③；④；⑤.
【答案】②④
【分析】利用奇函数排除给定的部分函数，再利用单调性判断作答.
【详解】函数是偶函数，函数是非奇非偶函数，即①③不是；
函数是奇函数，但在上单调递减，⑤不是；
函数，都是奇函数，且在上单调递增，②④是.
故答案为：②④
64．（2023秋·高一课时练习）已知，则使函数的值域为R，且为奇函数的所有α的值为 .
【答案】1，3
【分析】根据幂函数的性质分析可得.
【详解】当时，，为奇函数，但值域为，不满足条件；
当时，为奇函数，值域为R，满足条件；
当时，为偶函数，值域为，不满足条件；
当时，为奇函数，值域为R，满足条件.
故答案为：1，3
65．（2023·全国·高一专题练习）幂函数是偶函数，且在上为增函数，则函数解析式为 ．
【答案】或
【分析】根据幂函数的定义和性质得到关于的不等式组，解得即可求出的值.
【详解】是幂函数，也是偶函数，
且在上为增函数，
且为偶数，
解得或，
当时，，
当时，.
故答案为：或
66．（2023·高一课时练习）已知幂函数的表达式为，函数的图像关于轴对称，且满足，求的值．
【答案】
【分析】由题知，，进而结合题意得，进而得答案.
【详解】∵为幂函数，∴，解得；
又，∴，解得．
∵，∴或．
当时，，此时的图像关于原点对称，不合题意；
当时，，满足题意，∴．
∴．
67．（2023·全国·高一专题练习）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数，求满足的实数的取值范围.
【答案】
【分析】根据幂函数的图象关于轴对称，求出的值．再根据幂函数的单调性，即可求出满足的的取值范围．
【详解】由题意，
∵函数在上递减，
∴即，又
∴或，
又函数图象关于轴对称，
∴为偶数，因此，
∴函数在上为增函数，
∴等价于，
∴，
故的取值范围为．
68．（2023·全国·高一专题练习）已知幂函数（m为正整数）的图像关于y轴对称，且在上是严格减函数，求满足的实数a的取值范围．
【答案】
【分析】根据函数为幂函数以及函数的性质，可确定参数m的取值，结合幂函数的单调性，分类讨论求解不等式，可得答案.
【详解】因为函数在上是严格减函数，所以，解得．
由m为正整数，则或,
又函数的图像关于y轴对称，得是偶函数，
而当时，，为奇函数，不符题意，
当时，，为偶函数，于是．
因为为奇函数，在与上均为严格减函数，
所以等价于或或，
解得或，即.
69．（2023秋·全国·高一专题练习）已知幂函数满足：
①在上为增函数，
②对，都有，
求同时满足①②的幂函数的解析式，并求出时，的值域.
【答案】，
【分析】利用幂函数的性质及题设条件可确定表达式，进而确定其在指定区间上的值域.
【详解】因为在上为增函数，所以，解得，
又，所以，或．
又因为，所以是偶函数，所以为偶数．
当时，满足题意；当时，不满足题意，
所以，
又因为在上递增，所以，，
故时，的值域是．
70．（2023·全国·高一专题练习）已知幂函数为偶函数，．
(1)若，求；
(2)已知，若关于x的不等式在上恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先利用幂函数的定义及性质求出，再利用列方程求出；
（2）将问题转化为，构造函数，利用函数单调性的定义判断的单调性，根据单调性可求得，进而可得的取值范围
【详解】（1）对于幂函数，得，
解得或，
又当时，不为偶函数，
，
，
，
，
解得；
（2）关于x的不等式在上恒成立，
即在上恒成立，
即，
先证明在上单调递增：
任取，
则，
，
，，又，
，
，即，
故在上单调递增，
，
，又，
解得.