4.1 指数6种常见考法归类-2024-2025学年高一数学高频考点专题练（人教A版必修第一册）

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1、n次方根，根式
（1）a的n次方根的定义
一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.
（2）a的n次方根的表示
（3）根式：式子eq \r(n,a)叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
注：（1）根据n次方根的定义，当n为奇数时，对任意实数a，都存在n次方根，可表示为eq \r(n,a)，但当n为偶数时不是，因为当a<0时，a没有n次方根；当a≥0时，a才有n次方根，可表示为±eq \r(n,a).
（2）正数a的n次方根不一定有两个，当n为偶数时，正数a的n次方根有两个，且互为相反数，当n为奇数时，正数a的n次方根只有一个且仍为正数．
（3）若实数a的任何次方根都等于它自身，则a＝0或1.
2、根式的性质
根式的性质是化简根式的重要依据
(1)负数没有偶次方根．
(2)0的任何次方根都是0，记作eq \r(n,0)＝0.
(3)(eq \r(n,a))n＝a(n∈N*，且n>1)．
(4)eq \r(n,an)＝a(n为大于1的奇数)．
(5)eq \r(n,an)＝|a|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a，a≥0，,－a，a<0))(n为大于1的偶数)．
注：根式化简开偶次方根时应注意开偶次方根时，先用绝对值表示开方的结果，再去掉绝对值号化简，化简时要结合条件或分类讨论．
3、 eq \r(n,an)与( eq \r(n,a))n区别：
(1) eq \r(n,an)是实数an的n次方根，是一个恒有意义的式子，不受n的奇偶限制，但这个式子的值受n的奇偶限制：当n为大于1的奇数时， eq \r(n,an)＝a；当n为大于1的偶数时， eq \r(n,an)＝|a|.
(2)( eq \r(n,a))n是实数a的n次方根的n次幂，其中实数a的取值由n的奇偶性决定：当n为大于1的奇数时，( eq \r(n,a))n＝a，a∈R.当n为大于1的偶数时，( eq \r(n,a))n＝a，a≥0，由此看只要( eq \r(n,a))n有意义，其值恒等于a，即( eq \r(n,a))n＝a.
4、分数指数幂
（1）规定正数的正分数指数幂的意义是：＝eq \r(n,am)(a>0，m，n∈N*，且n>1)．
（2）规定正数的负分数指数幂的意义是：＝＝eq \f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，且n>1)．
（3）0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．
注：分数指数幂不可以理解为eq \f(m,n)个a相乘．事实上，它是根式的一种新写法．
5、有理数指数幂的运算性质
整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：
(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)．
(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)．
(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
(4)拓展：eq \f(ar,as)＝ar－s(a>0，r，s∈Q)．
6、无理数指数幂
一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．
7、对于eq \r(n,a)，当n为偶数时，要注意两点
(1)只有a≥0才有意义．
(2)只要eq \r(n,a)有意义，eq \r(n,a)必不为负．
8、有限制条件根式的化简
(1)有限制条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简．
(2)有限制条件根式的化简经常用到配方的方法．当根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被开方数或被开方的表达式的正负．
9、根式与分数指数幂互化的规律
(1)根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子．
(2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题．
10、指数幂运算的常用技巧
(1)有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算．
(2)负指数幂化为正指数幂的倒数．
(3)底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于运用指数幂的运算性质．
11、利用整体代换法求分数指数幂
(1)整体代换法是数学变形与计算常用的技巧方法，分析观察条件与结论的结构特点，灵活运用恒等式是关键．
(2)利用整体代换法解决分数指数幂的计算问题，常常运用完全平方公式及其变形公式．
x2＋x－2＝(x±x－1)2 ∓2，x＋x－1＝(±)2∓2，＋＝(±)2∓2.
n的奇偶性
a的n次方根的表示符号
a的取值范围
n为奇数
eq \r(n,a)
R
n为偶数
±eq \r(n,a)
[0，＋∞)
考点一 由根式的意义求范围
考点二 利用根式的性质化简或求值
考点三 有限制条件的根式的化简
考点四 根式与分数指数幂的互化
考点五 利用分数指数幂的运算性质化简求值
考点六 整体代换法求分数指数幂
考点一 由根式的意义求范围
1．（2023·全国·高一专题练习）二次根式成立的条件是（ ）
A． B． C．D．是任意实数
【答案】C
【分析】根据根式的性质和绝对值的意义可得结果.
【详解】因为，
所以.
故选：C.
2．（2023秋·新疆喀什·高一新疆维吾尔自治区喀什第二中学校考阶段练习）若有意义，则实数x的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据根式的定义求解．
【详解】∵根指数为6，∴，∴．
故答案为：．
3．（2023·江苏·高一假期作业）若有意义，则a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据根式、幂的定义判断．
【详解】由题意可知，且，∴a的取值范围是且．
故选：B．
考点二 利用根式的性质化简或求值
4．（2023·全国·高一专题练习）求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)10
(3)
(4)
【分析】利用根式的性质逐一对（1）（2）（3）（4）中各式化简即可.
【详解】（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
5．（2023·全国·高一课堂例题）化简下列各式：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)．
【答案】(1)
(2)2
(3)
(4)
(5)
【分析】根据根式的含义及化简，一一解答各小题，即可求得答案,
【详解】（1）由题意得；
（2）
（3）
（4）由于，则，故；
（5）.
6．（2023·全国·高三专题练习） .
【答案】/
【分析】根据根式的性质即可求解.
【详解】,
故答案为：
7．（2023秋·江苏南通·高一统考阶段练习）化简：（ ）
A．1B．C．D．
【答案】A
【分析】利用指数幂的运算性质即可得出.
【详解】.
故选：A.
8．（2023秋·高一校考课时练习）计算下列各式：
(1)；
(2).
【答案】(1)-2；
(2)；
【分析】（1）根据根式与指数幂的运算法则计算即可；
（2）根据无理数分母有理化化简求值；
【详解】（1）；
（2）
=
=
9．（2023·全国·高一专题练习）若，求的取值范围．
【答案】
【分析】化简方程左边根式，解绝对值方程，即可求出的取值范围.
【详解】由题意，
∵，
由可知，∴．
故a的取值范围为．
10．（2023秋·江苏宿迁·高一泗阳县实验高级中学校考阶段练习）若，则 .
【答案】
【分析】利用化简，并去绝对值求出答案.
【详解】因为，所以.
故答案为：
考点三 有限制条件的根式的化简
11．（2023·全国·高三专题练习）已知，化简二次根式的值是
【答案】.
【分析】利用根式的性质进行化简.
【详解】由可知，，又，所以，
所以，所以.
故答案为：.
12．（2023秋·江苏南通·高一江苏省如东高级中学校考阶段练习）是某三角形三边的长，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，可得出m的取值范围，进一步计算即可.
【详解】因为2，5，m是某三角形三边的长，所以 ，即 ，
所以 .
故选：D.
13．（2023秋·高一单元测试）当有意义时，化简的结果是 ．
【答案】
【分析】根据二次根式的定义和性质进行求解即可.
【详解】由有意义，得．
所以．
故答案为：
14．【多选】（2023·全国·高一专题练习）若，化简的结果可能（ ）
A．B．.C．D．
【答案】AC
【分析】解不等式求的范围，结合根式的性质化简代数式即可
【详解】由化简可得，
所以，
所以或，
又，
所以，
当时，，
当时，，
故选：AC.
15．（2023·高一课时练习）已知，则的值是 ．
【答案】0
【分析】化简根式为，结合题设可知，从而判断，即可求得答案.
【详解】由题意可知，
故 ，
由于，故二者中一个为1，另一个为，即，
故，即，
故答案为：0
16．（2023·全国·高一专题练习）已知，求
【答案】
【分析】根据绝对值、平方及二次根式的意义可求的值，从而可得答案．
【详解】因为，
所以，解得，所以，
故答案为：．
考点四 根式与分数指数幂的互化
17．（2023秋·北京·高一校考期中）将化成分数指数幂的形式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用分数指数幂的意义及运算化简即可.
【详解】.
故选：A
18．（2023·全国·高一课堂例题）用分数指数幂的形式表示下列各式（）：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】利用分数指数幂与根式的互化公式，结合指数幂的运算法则对（1）（2）（3）进行求解即可.
【详解】（1）；
（2）
（3）．
19．（2023·全国·高一随堂练习）把下列各式中的写成负分数指数幂的形式：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）（2）（3）利用指数幂的运算性质即可得出．
【详解】（1），；
（2），；
（3），．
20．（2023·全国·高一随堂练习）用分数指数幂表示下列各式（式中的字母均为正实数）：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）（2）根据分数指数幂和根式的关系进行求解；（3）根据分数指数幂和根式的关系和分数指数幂的运算法则计算出答案.
【详解】（1）
（2）
（3）
21．【多选】（2023秋·福建福州·高一闽侯县第一中学校考阶段练习）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】根据根指数的性质逐个选项化简即可.
【详解】对A，当时，，故A错误；
对B，，故B正确；
对C，，故C错误；
对D，，故D正确.
故选：BD
考点五 利用分数指数幂的运算性质化简求值
22．（2023·全国·高一随堂练习）化简（式中的字母均为正实数）：
(1)；
(2)．
【答案】(1)；
(2)6.
【分析】（1）（2）利用指数运算法则计算得解.
【详解】（1）.
（2）.
23．（2023·全国·高一随堂练习）化简（式中的字母均为正实数）：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)；
(7)；
(8)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
【分析】根据有理指数幂的运算法则和运算性质，准确化简，即可求解.
【详解】（1）解：根据指数幂的运算法则，可得.
（2）解：根据指数幂的运算法则，可得.
（3）解：根据指数幂的运算法则，可得.
（4）解：根据指数幂的运算法则，可得.
（5）解：根据指数幂的运算法则，可得.
（6）解：根据指数幂的运算法则，可得.
（7）解：根据指数幂的运算法则，可得.
（8）解：根据指数幂的运算法则，可得.
24．（2023·全国·高一课堂例题）计算下列各式（式中字母都是正数）：
(1)；
(2)．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】根据分数指数幂的运算法则，求解各小题，即得答案.
【详解】（1）；
（2）．
25．（2023·全国·高一专题练习） .
【答案】
【分析】根据分数指数幂及根式的运算法则计算即可.
【详解】解：
.
故答案为：
26．（2023秋·高一单元测试）计算：.
【答案】100
【分析】利用指数幂运算公式计算即可.
【详解】原式＝.
27．（2023秋·江苏镇江·高一扬中市第二高级中学校考开学考试）化简与求值：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据指数幂运算即可得到答案；
（2）根据根式与指数转化计算即可.
【详解】（1）
（2）
28．（2023·全国·高一专题练习）计算下列各式：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)
【答案】(1)
(2)100
(3)3
(4)
【分析】由指数幂的运算规则，化简计算各式的值.
【详解】（1）原式.
（2）原式 .
（3）原式 .
（4）原式.
29．（2023·全国·高一专题练习）计算下列各式的值.
(1)
(2)
(3)
(4)；
(5).
(6)计算：；
(7)（，）.
【答案】(1)
(2)2
(3)18
(4)100
(5)4
(6)
(7)
【分析】根据指数幂的运算法则和根式运算法则计算出答案.
【详解】（1）
（2）
（3）
.
（4）
.
（5）
（6）
.
（7）
.
考点六 整体代换法求分数指数幂
（2023秋·江苏南京·高一南京市第一中学校考阶段练习）
（1）化简：；
（2）已知，分别求，的值.
【答案】（1）；（2）3，18.
【分析】（1）根据分数指数幂的运算法则计算可得；
（2）由完全平方公式得到，即可求出，再由立方和公式计算可得.
【详解】（1）；
（2）因为，
所以，由，可得；
所以.
31．（2023秋·江苏徐州·高一统考阶段练习）化简求值：
(1)；
(2)若，求下列各式的值：
① ②
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）根据分数指数幂、负数指数幂的运算性质求解即可；
（2）将已知、所求式平方结合指数幂的运算性质求解即可.
【详解】（1）原式
.
（2）①因为，所以，解得；
②因为，所以.
32．（2023秋·江苏南通·高一江苏省如东高级中学校考阶段练习）（1）计算：；
（2）已知，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由分数指数幂的运算求解即可；
（2）利用，应用完全平方公式和立方和公式找到与及的关系，整体代入求解即可.
【详解】（1）原式=
=；
（2）由，
则，
则
则，
即.