第四章 指数函数与对数函数章末测试卷（一）-2024-2025学年高一数学高频考点专题练（人教A版必修第一册）

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1．（2023秋•郫都区月考）函数的零点所在区间是
A．B．C．D．
【解析】因为，在上单调递增，所以在上单调递增，
所以至多有一个零点，
因为，，
所以在零点在区间．
故选：．
2．（2023秋•朝阳区校级期中）若，，，则，，的大小关系为
A．B．C．D．
【解析】，，，
．
故选：．
3．（2023秋•门头沟区期末）函数且的图象过定点
A．B．C．D．
【解析】由指数函数且的图象恒过定点，
所以在函数中，当时，恒有，
所以且的图象过定点．
故选：．
4．（2023秋•丰台区期中）若指数函数的图象和函数的图象相交，则
A．B．
C．，，D．，
【解析】由，
当时，指数函数的单调递增，且递增幅度比一次函数递增的快，所以指数函数的图象和函数的图象一定会相交，
当时，指数函数在上单调递减，所以只需即可，
可得，
所以的范围为，．
故选：．
5．（2023秋•福建期中）中国的技术领先世界，技术的数学原理之一便是著名的香农公式：．它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度取决于信道带宽，信道内信号的平均功率，信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫作信噪比．当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计．按照香农公式，若不改变带宽，而将信噪比从1000提升到8000，则大约增加了（其中
A．B．C．D．
【解析】当时，，
当时，，
所以，
故的增长率约为．
故选：．
6．（2023秋•东城区校级期中）已知函数，则函数
A．具有奇偶性，且在定义域上是单调递增函数
B．具有奇偶性，且在定义域上是单调递减函数
C．不具有奇偶性，且在定义域上是单调递增函数
D．不具有奇偶性，且在定义域上是单调递减函数
【解析】函数，可得定义域为，
定义域不关于原点对称，所以函数非奇非偶函数，
设在单调递增；
在单调递增，
所以函数在定义域上单调递增．
故选：．
7．（2023秋•沙坪坝区校级月考）已知奇函数满足．当时，，则
A．B．C．D．
【解析】奇函数满足．当时，，
且，
故．
故选：．
8．（2023秋•杨浦区校级期中）已知，，则下列命题中正确的个数为
（1）若，则；
（2）若，则；
（3）若，则；
（4）若，则．
A．3个B．2个C．1个D．0个
【解析】（1）设，则，所以时，，单调递减；，时，单调递增；
因为，所以存在，使得（a）（b），即，所以，命题（1）错误；
（2）因为，所以，命题（2）正确；
（3）若，则，时，，命题（3）错误；
（4）若，当、为负数时，与无意义，命题（4）错误．
综上，正确的命题序号是（2），有1个．
故选：．
二．多选题
9．（2023秋•西夏区校级期中）若函数且的图象过第一、三、四象限，则必有
A．B．C．D．
【解析】函数，的图象在第一、三、四象限，
根据图象的性质可得：，，
即，，
故选：．
10．（2023秋•城关区校级月考）设函数，则下列命题中正确的是
A．函数的定义域为
B．函数是增函数
C．函数的值域为
D．函数的图象关于直线对称
【解析】，
函数的定义域为，故正确，
函数，
函数的值域为，，故错误，
由复合函数的单调性可知，函数在上单调递减，在，上单调递增，故错误，
函数的图象向左平移个单位长度后，函数为，
平移后是偶函数，图象关于直线对称，
所以原函数图象关于直线对称，故选项正确，
故选：．
11．（2023秋•杭州期中）已知，，，则
A．的最小值为4
B．的最小值为
C．的最小值为3
D．的最小值为
【解析】对于：因为，，且，则，
当且仅当且，即时取等号，
此时取得最小值8，故不正确；
对于：因为，，且，所以，
所以，
所以当时，有最小值，故正确；
对于：因为，，，当且仅当时取等号，于是，
所以，故正确；
对于，故正确．
故选：．
12．（2023秋•博爱县校级月考）已知3是函数的一个零点，则
A．B．C．（6）D．（6）
【解析】显然，，
当时，代入函数可得，可得，
所以，．
则（6），则（6）．
故选：．
三．填空题
13．（2023秋•闵行区校级月考）设常数且，若函数在区间，上的最大值为1，最小值为0，则实数 ．
【解析】，且在区间，上为单调函数，
当时，有，且，解得，
当时，有，且，此时不存在，
故答案为：2．
14．（2023秋•城关区校级月考）已知函数，则不等式的解集是 ．
【解析】因为函数，
则不等式即，
也即，
在同一坐标系下作出函数和的图象，如图所示，
它们的图象都经过和点，
结合图象可知，不等式的解集为，
故答案为：．
15．（2023•咸阳一模）已知函数，则函数零点的个数是 ．
【解析】令，即，解得或，
作出函数的图象如图，
由图可知，方程有3个实数解，有3个实数解，且均互不相同，
所以的实数解有6个，
所以函数零点的个数是6个．
故答案为：6．
16．（2023秋•雁峰区校级月考）设，平行于轴的直线分别与函数和的图像交于点，，若函数的图像上存在点，满足为等边三角形，则 ．
【解析】直线的方程为，
由，得，
，，
由，得，
，，
，
取的中点，连接，如图所示：
为等边三角形，则，
且，
，，
点在函数的图像上，
，
解得．
故答案为：．
四．解答题
17．（2023秋•朝阳区校级期中）计算：
（1）．
（2）．
【解析】（1）原式
；
（2）原式
．
18．（2023秋•福建月考）已知函数，且（1）．
（1）求的值及的定义域；
（2）求不等式的解集．
【解析】（1）因为（1），解得．
由题意可得，解得，故的定义域为．
（2）不等式等价于，
即，
由于在上单调递增，
则，解得．
故不等式的解集为．
19．（2023秋•古冶区校级期末）已知函数．
（1）若图象过点，求的值；
（2）若函数在区间，上的最大值比最小值大，求的值．
【解析】（1）函数，图象过点，
，
解得；
（2）当时，在区间，上单调递减，
此时（2），（3），
，解得或（舍，
当时，在区间，上单调递增，
此时（2），（3），
，解得或（舍，
综上，的值为或．
20．（2023秋•张店区校级期末）已知函数为偶函数．
（1）求实数的值；
（2）解关于的不等式．
【解析】（1）函数为偶函数，
，即，
，
；
（2），
当时，在，单调递增，在，上单调递增，
又函数为偶函数，函数在，上单调递增，在，上单调递减，
，，解得或，
所求不等式的解集为，，．
21．（2023秋•南通期末）已知，函数，．
（1）若，，求；
（2）若，，求；
（3）若，，问：是否为定值（与无关）？并说明理由．
【解析】（1）当时，，．
由，可得，故，即，
此时；
（2）由，可得，由，可得，故，
，
，解得；
（3），
，即，
，
又，函数是单调递增函数．
，代入，得，即，所以为定值（与无关）．
22．（2023秋•太原月考）已知函数，且．
（1）判断函数的奇偶性；
（2）判断函数的单调性，并证明你的判断；
（3）当，时，若函数的最小值为1，求实数的值．
【解析】（1）由有意义得：
，
解得：．
的定义域为，不关于原点对称．
为非奇非偶函数．
（2）当时，在上是减函数；
当时，在上是增函数．
证明如下：
设，是上任意两个数，且，则
．
①当时，，即，为减函数．
②当时，，即，为增函数．
综上所述：当时，为减函数；当时，为增函数．
（3）由（2）知，当时，在，单调递减，
（3），即，解得；
当时，在，上是单调递增，
（2），即，解得（舍．