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高一数学上学期期末考模拟卷01（范围：必修一全部）-2024-2025学年高一数学高频考点专题练（人教A版必修第一册）
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这是一份高一数学上学期期末考模拟卷01（范围：必修一全部）-2024-2025学年高一数学高频考点专题练（人教A版必修第一册），文件包含高一数学上学期期末考模拟卷01范围必修一全部原卷版docx、高一数学上学期期末考模拟卷01范围必修一全部解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共22页， 欢迎下载使用。
1．（2023上·北京昌平·高一校考期中）集合，，则＝（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由补集和并集的定义直接求解.
【详解】集合，，
则，.
故选：B
2．（2023上·安徽淮南·高一校考阶段练习）已知、、满足且，则下列选项中不一定能成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据不等式的性质判断.
【详解】∵且，∴，
由，得，A正确；
又，则，B正确；
，而，则，D正确；
当时，，C错误．
故选：C．
3．（2023上·云南临沧·高一校考期末）函数的零点所在的区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由零点存在性定理求解即可.
【详解】函数是连续增函数，
，，可得，
∴函数的其中一个零点所在的区间是，
故选：D．
4．（2023上·浙江宁波·高一镇海中学校考期中）设，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合中间量法即可得解.
【详解】，
因为函数为增函数，所以，
，
所以.
故选：A.
5．（2023上·江苏南京·高一统考期末）《九章算术》是一部中国古代的数学专著.全书分为九章，共收有246个问题，内容丰富，而且大多与生活实际密切联系.第一章《方田》收录了38个问题，主要讲各种形状的田亩的面积计算方法，其中将圆环或不足一匝的圆环形天地称为“环田”.书中提到这样一块“环田”：中周九十二步，外周一百二十二步，径五步，如图所示，则其所在扇形的圆心角大小为（ ）（单位：弧度）（注：匝，意为周，环绕一周叫一匝.）
A．4B．5C．6D．7
【答案】C
【分析】设中周的半径是，外周的半径是，圆心角为，根据中周九十二步，外周一百二十二步，径五步，列关系式即可.
【详解】设中周的半径是，外周的半径是，圆心角为，，解得.
故选：C
6．（2023下·黑龙江齐齐哈尔·高一校联考开学考试）函数（，且）的图象可能是（ ）.
A．B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用指数函数的图象和性质以及图象的平移变换进行判断.
【详解】因为函数（，且），
当时，是增函数，并且恒过定点，
又因为的图象在的基础上向下平移超过1个单位长度，故D错误，C正确；
当时，是减函数，并且恒过定点，
又的图象在的基础上向下平移了不到1个单位长度，故A，B错误.
故选：C.
7．（2024·浙江温州·统考一模）若函数，的值域为，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用可得，再由三角函数图像性质可得，解不等式即可求得的取值范围.
【详解】根据题意可知若，则可得；
显然当时，可得，
由的值域为，利用三角函数图像性质可得，
解得，即的取值范围是.
故选：D
8．（2023上·广东珠海·高一珠海市第二中学校考期中）已知且对，都有成立，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由条件知为减函数，列条件即可得解.
【详解】对，都有成立，则为减函数，
所以，解得.
故选：A.
二、多选题
9．（2023上·广东深圳·高一校考期中）下列说法正确的是（ ）
A．命题“，都有”的否定是“，使得”
B．当时，的最小值为
C．若不等式的解集为，则
D．“”是“”的充分不必要条件
【答案】BCD
【分析】A选项，全称量词命题的否定是特称量词命题，把任意改为存在，把结论否定；B选项，变形后利用基本不等式求出最小值；C选项，根据不等式的解集得到，求出，得到答案；D选项，由，但得到答案.
【详解】A选项，“，都有”的否定是“，使得”，A错误；
B选项，当时，
，
当且仅当，即时，等号成立，
故当时，的最小值为，B正确；
C选项，由题意得为的两个根，
，解得，则，C正确；
D选项，，但，比如满足，但不满足，
故“”是“”的充分不必要条件，D正确.
故选：BCD
10．（2023上·广东珠海·高一校联考期中）已知关于的不等式的解集为，则（ ）
A．
B．不等式的解集是
C．
D．不等式的解集为或
【答案】BD
【分析】由题意可得1和5是方程的两根，且，利用韦达定理可得与的关系，然后逐项判断可得答案.
【详解】由题意可得1和5是方程的两根，且，
由韦达定理可得，得，
因为，故A错误；
对于B，不等式，即，即，得，
∴不等式的解集是，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，由不等式，得，即，
则，得或，即解集为或，故D正确.
故选：BD.
11．（2023下·云南楚雄·高一校考期末）若函数有两个零点，则实数的取值范围所构成集合的子集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】由题意，转化为函数图象交点问题，数形结合即可求b的范围，再求其子集即可.
【详解】令，，
在同一直角坐标系内，作函数图象如图，
因为函数有两个零点，
所以与只需两个不同的交点，
由图象可知，，
所以实数的取值范围所构成集合为，
其子集为，.
故选：AC
12．（2023上·广东东莞·高三东莞市东莞中学校联考期中）已知函数的图象为，以下说法中正确的是（ ）
A．函数的最大值为
B．图象相邻两条对称轴的距离为
C．图象关于中心对称
D．要得到函数的图象，只需将函数的图象横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移个单位
【答案】BCD
【分析】利用二倍角公式及两角和的正弦公式将函数化简，再根据正弦函数的性质一一判断即可.
【详解】因为
，
所以函数的最大值为，故A错误；
函数的最小正周期，所以图象相邻两条对称轴的距离为，故B正确；
因为，所以图象关于中心对称，故C正确；
将的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变得到，
再将向右平移个单位得到，故D正确；
故选：BCD
三、填空题
13．（2023上·广东深圳·高一期末）若幂函数的图象经过点，则实数 .
【答案】4
【分析】将点的坐标代入函数解析式解方程求即可.
【详解】因为幂函数的图象经过点，所以，
所以，所以，
故答案为：4.
14．（2023上·广东深圳·高一期末）若关于x的一元二次不等式的解集为，求实数k的取值范围 .
【答案】
【分析】根据解集为R，得到不等式，求出实数k的取值范围.
【详解】要想一元二次不等式解集为R，
则要，解得，
综上，实数k的取值范围是
故答案为：
15．（2023上·山东菏泽·高一曹县一中校考阶段练习）设函数，则 ．
【答案】
【分析】由分段函数定义域分别求得即可得答案.
【详解】∵，
∴.
故答案为：
16．（2023上·广东深圳·高一期末）已知的终边上有一点，则的值为 .
【答案】/
【分析】根据三角函数的定义，得到，再利用三角函数的诱导公式和基本关系式，准确化简、运算，即可求解.
【详解】因为的终边上有一点，可得
则.
故答案为：.
四、解答题
17．（2023上·四川德阳·高一四川省德阳中学校校考阶段练习）求下列各式的值.
(1)；
(2).
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据指数幂的运算性质计算即可；
（2）根据对数的运算性质计算即可.
【详解】（1）原式；
（2）原式.
18．（2023下·广东汕头·高一校考期中）已知函数的部分图象如图所示.
(1)求；
(2)将函数图象向左平移个单位，得到函数的图象，求在上的值域.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据的图象，依次求得的值，从而求得.
（2）根据三角图象变换的知识求得，根据三角函数值域的求法求得在上的值域.
【详解】（1）由最大值可确定，
因为，所以，
此时，函数图象过点 ，
可得：，从而，
结合，可得，
所以.
（2）由题意，，
当时，，则有，
所以在区间上的值域为.
19．（2023上·四川成都·高一校考阶段练习）已知函数.
(1)判断函数的奇偶性，并说明理由;
(2)判断函数在上的单调性，并用单调性定义证明;
(3)若对任意恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)奇函数，理由见解析
(2)在上单调递增，证明见解析
(3)
【分析】（1）判断的关系即可得出结论；
（2），且，利用作差法比较的大小，即可得出结论；
（3）根据函数的奇偶性与单调性解不等式即可.
【详解】（1），易知的定义域为，关于原点对称，
又，
，
是奇函数；
（2）设，且，
，
又，且，
，
，
，
，即，
在上单调递增；
（3），
，
是奇函数，
，
是增函数，
，
，
令，
因为，
当且仅当，即时取等号，
∴，
∴.
【点睛】方法点睛：利用定义证明函数单调性的方法：
（1）取值：设、是所给区间上的任意两个值，且；
（2）作差变形：即作差，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断符号的方向变形；
（3）定号：确定差的符号；
（4）下结论：判断，根据定义得出结论.
即取值作差变形定号下结论.
20．（2023上·广东深圳·高一）已知函数.
(1)若，求在区间上的值域；
(2)若关于x的方程在上有解，求实数a的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由题设令，根据二次函数性质研究的值域即可；
（2）将问题化为在上有零点，结合二次函数性质并讨论参数a求范围.
【详解】（1）由题设，又，
令，则开口向上且对称轴为，
由，，，
所以，即在区间上的值域为.
（2）由在上有解，令，则，
所以在上有零点，则，即或，
而开口向上，对称轴为，
当，对称轴，则，可得，此时无解；
当，即对称轴，
若，对称轴，此时只需，可得或，此时；
若，对称轴，此时只需，可得或，此时无解；
若，对称轴，此时只需，可得，此时无解；
综上，.
（应用参变分离法，研究右侧对应区间的值域范围亦可）
21．（2023下·宁夏银川·高一校考期末）已知函数.
(1)求函数的最小正周期；
(2)求该函数的单调递增区间；
(3)求函数在区间上的最小值和最大值.
【答案】(1)
(2)
(3)最小值为0，最大值为3
【分析】（1）利用三角恒等变换公式求出函数的解析式，即可求最小正周期；
（2）利用三角函数的单调区间的求法求解；
（3）根据三角函数的图象性质求区间上的最值.
【详解】（1），
所以函数的最小正周期.
（2）令，则，
故该函数的单调递增区间.
（3）因为，所以，
当，即时，；
当，即时，，
故函数在区间上的最小值为0，最大值为3.
22．（2023上·广东深圳·高一）某单位购入了一种新型的空气消毒剂用于环境消毒，已知在一定范围内，每喷洒1个单位的消毒剂，空气中释放的浓度（单位：毫米/立方米）随着时间（单位：小时）变化的关系如下：当时，；当时，．若多次喷洒，则某一时刻空气中的消毒剂浓度为每次投放的消毒剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中消毒剂的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到杀灭空气中的病毒的作用．
(1)若一次喷洒4个单位的消毒剂，则有效杀灭时间可达几小时？
(2)若第一次喷洒2个单位的消毒剂，6小时后再喷洒个单位的消毒剂，要使接下来的4小时中能够持续有效消毒，试求的最小值（精确到0.1，参考数据：取1.4）
【答案】(1)8小时
(2)1.6
【分析】（1）由可求出结果；
（2）根据题意求出从第一次喷洒起，经小时后，其浓度关于的函数解析式，再根据基本不等式求出其最小值，再由最小值不低于4，解不等式可得结果.
【详解】（1）因为一次喷洒4个单位的消毒剂，
所以其浓度为
当时，，解得，此时，
当时，，解得，此时，
所以若一次喷洒4个单位的消毒剂，则有效杀灭时间可达8小时．
（2）设从第一次喷洒起，经小时后，
其浓度，
因为，，
所以，
当且仅当，即时，等号成立；
所以其最小值为，由，解得，
所以a的最小值为．
1．（2023上·北京昌平·高一校考期中）集合，，则＝（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由补集和并集的定义直接求解.
【详解】集合，，
则，.
故选：B
2．（2023上·安徽淮南·高一校考阶段练习）已知、、满足且，则下列选项中不一定能成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据不等式的性质判断.
【详解】∵且，∴，
由，得，A正确；
又，则，B正确；
，而，则，D正确；
当时，，C错误．
故选：C．
3．（2023上·云南临沧·高一校考期末）函数的零点所在的区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由零点存在性定理求解即可.
【详解】函数是连续增函数，
，，可得，
∴函数的其中一个零点所在的区间是，
故选：D．
4．（2023上·浙江宁波·高一镇海中学校考期中）设，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合中间量法即可得解.
【详解】，
因为函数为增函数，所以，
，
所以.
故选：A.
5．（2023上·江苏南京·高一统考期末）《九章算术》是一部中国古代的数学专著.全书分为九章，共收有246个问题，内容丰富，而且大多与生活实际密切联系.第一章《方田》收录了38个问题，主要讲各种形状的田亩的面积计算方法，其中将圆环或不足一匝的圆环形天地称为“环田”.书中提到这样一块“环田”：中周九十二步，外周一百二十二步，径五步，如图所示，则其所在扇形的圆心角大小为（ ）（单位：弧度）（注：匝，意为周，环绕一周叫一匝.）
A．4B．5C．6D．7
【答案】C
【分析】设中周的半径是，外周的半径是，圆心角为，根据中周九十二步，外周一百二十二步，径五步，列关系式即可.
【详解】设中周的半径是，外周的半径是，圆心角为，，解得.
故选：C
6．（2023下·黑龙江齐齐哈尔·高一校联考开学考试）函数（，且）的图象可能是（ ）.
A．B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用指数函数的图象和性质以及图象的平移变换进行判断.
【详解】因为函数（，且），
当时，是增函数，并且恒过定点，
又因为的图象在的基础上向下平移超过1个单位长度，故D错误，C正确；
当时，是减函数，并且恒过定点，
又的图象在的基础上向下平移了不到1个单位长度，故A，B错误.
故选：C.
7．（2024·浙江温州·统考一模）若函数，的值域为，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用可得，再由三角函数图像性质可得，解不等式即可求得的取值范围.
【详解】根据题意可知若，则可得；
显然当时，可得，
由的值域为，利用三角函数图像性质可得，
解得，即的取值范围是.
故选：D
8．（2023上·广东珠海·高一珠海市第二中学校考期中）已知且对，都有成立，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由条件知为减函数，列条件即可得解.
【详解】对，都有成立，则为减函数，
所以，解得.
故选：A.
二、多选题
9．（2023上·广东深圳·高一校考期中）下列说法正确的是（ ）
A．命题“，都有”的否定是“，使得”
B．当时，的最小值为
C．若不等式的解集为，则
D．“”是“”的充分不必要条件
【答案】BCD
【分析】A选项，全称量词命题的否定是特称量词命题，把任意改为存在，把结论否定；B选项，变形后利用基本不等式求出最小值；C选项，根据不等式的解集得到，求出，得到答案；D选项，由，但得到答案.
【详解】A选项，“，都有”的否定是“，使得”，A错误；
B选项，当时，
，
当且仅当，即时，等号成立，
故当时，的最小值为，B正确；
C选项，由题意得为的两个根，
，解得，则，C正确；
D选项，，但，比如满足，但不满足，
故“”是“”的充分不必要条件，D正确.
故选：BCD
10．（2023上·广东珠海·高一校联考期中）已知关于的不等式的解集为，则（ ）
A．
B．不等式的解集是
C．
D．不等式的解集为或
【答案】BD
【分析】由题意可得1和5是方程的两根，且，利用韦达定理可得与的关系，然后逐项判断可得答案.
【详解】由题意可得1和5是方程的两根，且，
由韦达定理可得，得，
因为，故A错误；
对于B，不等式，即，即，得，
∴不等式的解集是，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，由不等式，得，即，
则，得或，即解集为或，故D正确.
故选：BD.
11．（2023下·云南楚雄·高一校考期末）若函数有两个零点，则实数的取值范围所构成集合的子集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】由题意，转化为函数图象交点问题，数形结合即可求b的范围，再求其子集即可.
【详解】令，，
在同一直角坐标系内，作函数图象如图，
因为函数有两个零点，
所以与只需两个不同的交点，
由图象可知，，
所以实数的取值范围所构成集合为，
其子集为，.
故选：AC
12．（2023上·广东东莞·高三东莞市东莞中学校联考期中）已知函数的图象为，以下说法中正确的是（ ）
A．函数的最大值为
B．图象相邻两条对称轴的距离为
C．图象关于中心对称
D．要得到函数的图象，只需将函数的图象横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移个单位
【答案】BCD
【分析】利用二倍角公式及两角和的正弦公式将函数化简，再根据正弦函数的性质一一判断即可.
【详解】因为
，
所以函数的最大值为，故A错误；
函数的最小正周期，所以图象相邻两条对称轴的距离为，故B正确；
因为，所以图象关于中心对称，故C正确；
将的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变得到，
再将向右平移个单位得到，故D正确；
故选：BCD
三、填空题
13．（2023上·广东深圳·高一期末）若幂函数的图象经过点，则实数 .
【答案】4
【分析】将点的坐标代入函数解析式解方程求即可.
【详解】因为幂函数的图象经过点，所以，
所以，所以，
故答案为：4.
14．（2023上·广东深圳·高一期末）若关于x的一元二次不等式的解集为，求实数k的取值范围 .
【答案】
【分析】根据解集为R，得到不等式，求出实数k的取值范围.
【详解】要想一元二次不等式解集为R，
则要，解得，
综上，实数k的取值范围是
故答案为：
15．（2023上·山东菏泽·高一曹县一中校考阶段练习）设函数，则 ．
【答案】
【分析】由分段函数定义域分别求得即可得答案.
【详解】∵，
∴.
故答案为：
16．（2023上·广东深圳·高一期末）已知的终边上有一点，则的值为 .
【答案】/
【分析】根据三角函数的定义，得到，再利用三角函数的诱导公式和基本关系式，准确化简、运算，即可求解.
【详解】因为的终边上有一点，可得
则.
故答案为：.
四、解答题
17．（2023上·四川德阳·高一四川省德阳中学校校考阶段练习）求下列各式的值.
(1)；
(2).
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据指数幂的运算性质计算即可；
（2）根据对数的运算性质计算即可.
【详解】（1）原式；
（2）原式.
18．（2023下·广东汕头·高一校考期中）已知函数的部分图象如图所示.
(1)求；
(2)将函数图象向左平移个单位，得到函数的图象，求在上的值域.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据的图象，依次求得的值，从而求得.
（2）根据三角图象变换的知识求得，根据三角函数值域的求法求得在上的值域.
【详解】（1）由最大值可确定，
因为，所以，
此时，函数图象过点 ，
可得：，从而，
结合，可得，
所以.
（2）由题意，，
当时，，则有，
所以在区间上的值域为.
19．（2023上·四川成都·高一校考阶段练习）已知函数.
(1)判断函数的奇偶性，并说明理由;
(2)判断函数在上的单调性，并用单调性定义证明;
(3)若对任意恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)奇函数，理由见解析
(2)在上单调递增，证明见解析
(3)
【分析】（1）判断的关系即可得出结论；
（2），且，利用作差法比较的大小，即可得出结论；
（3）根据函数的奇偶性与单调性解不等式即可.
【详解】（1），易知的定义域为，关于原点对称，
又，
，
是奇函数；
（2）设，且，
，
又，且，
，
，
，
，即，
在上单调递增；
（3），
，
是奇函数，
，
是增函数，
，
，
令，
因为，
当且仅当，即时取等号，
∴，
∴.
【点睛】方法点睛：利用定义证明函数单调性的方法：
（1）取值：设、是所给区间上的任意两个值，且；
（2）作差变形：即作差，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断符号的方向变形；
（3）定号：确定差的符号；
（4）下结论：判断，根据定义得出结论.
即取值作差变形定号下结论.
20．（2023上·广东深圳·高一）已知函数.
(1)若，求在区间上的值域；
(2)若关于x的方程在上有解，求实数a的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由题设令，根据二次函数性质研究的值域即可；
（2）将问题化为在上有零点，结合二次函数性质并讨论参数a求范围.
【详解】（1）由题设，又，
令，则开口向上且对称轴为，
由，，，
所以，即在区间上的值域为.
（2）由在上有解，令，则，
所以在上有零点，则，即或，
而开口向上，对称轴为，
当，对称轴，则，可得，此时无解；
当，即对称轴，
若，对称轴，此时只需，可得或，此时；
若，对称轴，此时只需，可得或，此时无解；
若，对称轴，此时只需，可得，此时无解；
综上，.
（应用参变分离法，研究右侧对应区间的值域范围亦可）
21．（2023下·宁夏银川·高一校考期末）已知函数.
(1)求函数的最小正周期；
(2)求该函数的单调递增区间；
(3)求函数在区间上的最小值和最大值.
【答案】(1)
(2)
(3)最小值为0，最大值为3
【分析】（1）利用三角恒等变换公式求出函数的解析式，即可求最小正周期；
（2）利用三角函数的单调区间的求法求解；
（3）根据三角函数的图象性质求区间上的最值.
【详解】（1），
所以函数的最小正周期.
（2）令，则，
故该函数的单调递增区间.
（3）因为，所以，
当，即时，；
当，即时，，
故函数在区间上的最小值为0，最大值为3.
22．（2023上·广东深圳·高一）某单位购入了一种新型的空气消毒剂用于环境消毒，已知在一定范围内，每喷洒1个单位的消毒剂，空气中释放的浓度（单位：毫米/立方米）随着时间（单位：小时）变化的关系如下：当时，；当时，．若多次喷洒，则某一时刻空气中的消毒剂浓度为每次投放的消毒剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中消毒剂的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到杀灭空气中的病毒的作用．
(1)若一次喷洒4个单位的消毒剂，则有效杀灭时间可达几小时？
(2)若第一次喷洒2个单位的消毒剂，6小时后再喷洒个单位的消毒剂，要使接下来的4小时中能够持续有效消毒，试求的最小值（精确到0.1，参考数据：取1.4）
【答案】(1)8小时
(2)1.6
【分析】（1）由可求出结果；
（2）根据题意求出从第一次喷洒起，经小时后，其浓度关于的函数解析式，再根据基本不等式求出其最小值，再由最小值不低于4，解不等式可得结果.
【详解】（1）因为一次喷洒4个单位的消毒剂，
所以其浓度为
当时，，解得，此时，
当时，，解得，此时，
所以若一次喷洒4个单位的消毒剂，则有效杀灭时间可达8小时．
（2）设从第一次喷洒起，经小时后，
其浓度，
因为，，
所以，
当且仅当，即时，等号成立；
所以其最小值为，由，解得，
所以a的最小值为．
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