高一数学上学期期中考模拟卷01（集合与常用逻辑用语+一元二次函数、方程和不等式+函数的概念与性质）-2024-2025学年高一数学高频考点专题练（人教A版必修第一册）

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1．（2024秋·广东·高三校联考阶段练习）已知集合，，则=
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】先对集合进行化简，然后根据集合交集运算的法则，求出.
【详解】因为，所以，故本题选B.
【点睛】本题考查了集合的交集运算法则.解决本题的关键是正确解不等式.
2．（2023秋·吉林长春·高一长春外国语学校校考阶段练习）下列四组函数中，表示同一个函数的一组是（ ）
A．B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】根据同一个函数的概念一一判定即可.
【详解】两个函数在定义域及对应关系相同时是同一个函数，
对于A，显然的定义域为，与的定义域为R，定义域不同，即A错误；
对于B，显然的定义域为R，与的定义域为，定义域不同，即B错误；
对于C，显然与的定义域相同，对应关系也相同，即C正确；
对于D，显然，即的定义域为，
而或，即的定义域为，两函数的定义域不同，即D错误；
故选：C
3．（2023秋·江苏淮安·高三江苏省清浦中学校联考阶段练习）已知，命题，命题，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据一元二次不等式恒成立，利用判别式即可求解，利用集合间的关系即可求解.
【详解】为真命题，则，故，
由于，所以是的必要不充分条件，
故选：B
4．（2023春·四川泸州·高二统考期末）已知条件p：函数在区间上单调递增，条件，则p是q的（ ）．
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】求出条件的等价条件，再利用充分条件、必要条件的定义判断作答.
【详解】函数的单调递增区间是，依题意，，
因此，解得，显然，
所以p是q的充分不必要条件.
故选：A
5．（2023秋·江西九江·高一九江一中校考阶段练习）设时，则关于的不等式的解集是（ ）.
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先根据a的范围确定a与 的大小关系，然后根据不等式的解法直接求出不等式的解集．
【详解】∵0＜a＜1，∴a＜，
而是开口向上的二次函数，对应的一元二次不等式大于零的解在
两根之外，∴的解集为{x|},
故选：A．
【点睛】本题主要考查解一元二次不等式，当二次项系数为负时要先化为正，再根据判别式符号判断对应方程根的情况，然后结合相应二次函数的图象写出不等式的解集．
6．（2023秋·山东青岛·高一校考阶段练习）函数与在同一直角坐标系中的图象不可能为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用二次函数的图象得出的正负，结合幂函数特点可得答案.
【详解】对于A，二次函数开口向下，所以，此时与图中符合；
对于B，二次函数开口向上，所以，此时在为增函数，不符合；
对于C，二次函数开口向上，所以，此时在为增函数，符合；
对于D，二次函数开口向上，所以，此时在为增函数，符合；
故选：B.
7．（2024秋·贵州·高三统考开学考试）已知函数为奇函数，为偶函数，且，记，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据解析式，分别代入和，再结合函数的奇偶性，即可求解和，再求其比值.
【详解】因为为奇函数，为偶函数，
所以，，且，
所以，即，
又，两式联立解得，，
所以．
故选：C.
8．（2023秋·浙江宁波·高一余姚中学校考阶段练习）已知函数在定义域上是单调函数，若对任意）都有，则（ ）
A．B．2023
C．2023D．2024
【答案】D
【分析】依题意采用换元法可令，解得，即函数解析式为，代入计算即可求得结果.
【详解】根据题意，令，则可得
即，又因为函数在定义域内单调，所以可得，解得；
所以，经检验满足题意；
因此.
故选：D
二、多选题
9．（2023春·新疆乌鲁木齐·高二校联考期末）设函数、的定义域都为R，且是奇函数，是偶函数，则下列结论正确的是（ ）
A．是奇函数B．是偶函数
C．是偶函数D．是奇函数
【答案】AB
【分析】根据函数奇偶性的定义即可逐项判断.
【详解】是奇函数，是偶函数，，，
，故是奇函数，A正确；
，故为偶函数，B正确；
，故是奇函数，C错误；
，故为偶函数，D错误.
故选：AB．
10．（2023秋·江苏南通·高三统考阶段练习）已知，则（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】BC
【分析】由列举法可判断A项错误；由不等式性质可判断BC正确；由作差法可判断D项错误.
【详解】对于A，若，令，，则，，，故A错误；
对于B，显然，则，则，故B正确；
对于C，因为，所以，所以，同理可得，
即，故C正确；
对于D，，因为，所以，，，故，即，故D错误．
故选：BC
11．（2023秋·甘肃张掖·高一高台县第一中学校考阶段练习）已知关于的不等式的解集为或，则下列结论中，正确结论的选项是（ ）
A．
B．
C．不等式的解集为或
D．
【答案】AD
【分析】由一元二次不等式的解法得关系，对选项逐一判断，
【详解】由的解集为或得，
故；故A正确；
，故B错误；
，故D正确，
对于选项C：为，
因为，可得，解得，
所以不等式的解集为，故C错误.
故选：AD.
12．（2023秋·全国·高一专题练习）已知幂函数，则（ ）
A．
B．的定义域为
C．
D．将函数的图像向左平移个单位长度得到函数的图像
【答案】BC
【分析】由幂函数的系数为可求得、,则A选项可判定;由解析式可求定义域，则B选项可判定; 由的奇偶性可判定是否满足，则C选项可判定;把中的用代可得向左平移个单位长度后函数，则D选项可判定.
【详解】由幂函数的定义可知，所以，所以，故A选项错误；
由可知其定义域为，故B选项正确；
为奇函数，所以，故C选项正确；
将的图像向左平移个单位长度得到函数的图像，故D选项错误；
故选：BC.
三、填空题
13．（2023秋·四川成都·高一四川省成都市玉林中学校考阶段练习）已知正实数，满足，则的最小值是 ．
【答案】6
【分析】根据基本不等式进行求解即可.
【详解】因为正实数，满足，
所以有，
当且仅当时取等号，即当时，
有最小值6，
故答案为：6
14．（2023春·上海·高一上海市敬业中学校考期中）函数的单调递增区间是 .
【答案】
【分析】将函数解析式写成分段函数的形式，从而根据解析式直接看出单调性.
【详解】因为，所以函数的单调递增区间是.
故答案为.
【点睛】本题考查函数的单调性，本题的关键是将绝对值函数化成分段函数并通过解析式分析函数的性质，属基础题.
15．（2023秋·河南·高三校联考阶段练习）已知函数为奇函数，且，已知，则的值于为 .
【答案】
【分析】根据函数为奇函数,可得,可得,可得.
【详解】因为函数为奇函数,
所以,即,
所以,
所以,所以,
所以.
故答案为:-1
【点睛】本题考查了奇函数的应用,根据奇函数得到是解题关键,属于基础题.
16．（2023秋·浙江温州·高一苍南中学校考阶段练习）规定表示取、中的较大者，例如，，则函数的最小值为 .
【答案】
【分析】讨论或、，结合函数定义及一次、二次函数性质求最小值.
【详解】若，即或，则，
此时，，的最小值为；
若，即，则，
综上，最小值为.
故答案为：
四、解答题
17．（2023秋·广东惠州·高一校考阶段练习）已知集合，集合，或
(1)求;
(2)求
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）根据并集概念进行计算；
（2）先求出，进而利用交集概念进行计算.
【详解】（1）或或；
（2），
18．（2023秋·江西九江·高一九江一中校考阶段练习）已知函数，.
(1)解关于的方程；
(2)解关于x的不等式
【答案】(1)或或；
(2)
【分析】（1）令得到或，分别令和，求出方程的解；
（2）分，和三种情况，求出不等式的解集.
【详解】（1）令，解得或，
令，当时，，因为，故无解，舍去；
当时，，解得，满足要求，
令，当时，，解得，满足要求，
当时，，解得，满足要求，
综上：或或；
（2）当时，，
故，
故，，
因为，所以，即，
解得，
又，所以；
当时，，
故，
由于恒成立，故；
当时，，
，
令，即
因为，所以，即，解得，
又，所以；
综上，不等式的解集为.
19．（2023秋·内蒙古呼和浩特·高一校考阶段练习）已知函数满足．
(1)求的解析式；
(2)求函数在上的值域．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用构造方程组法求解析式，即可求解；
（2）由（1）知，结合二次函数的性质即可求解.
【详解】（1）由，得，
通过消元可得．
（2）由题意可得，
因为的图象为一条开口向上的抛物线，对称轴为，
函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
，
所以在上的值域为．
20．（2023秋·江西上饶·高一江西省广丰中学校考阶段练习）已知函数是定义在R上的偶函数，且当时，，现已画出函数在轴左侧的图象（如图所示），请根据图象解答下列问题．

(1)作出时，函数的图象，并写出函数的增区间；
(2)写出当时，的解析式；
(3)用定义法证明函数在上单调递减.
【答案】(1)图象见解析，增区间是
(2)当时，
(3)证明见解析
【分析】（1）根据偶函数图象的对称性，作出时函数的图象，再由图象写出的增区间；
（2）利用偶函数的定义求解析式即可；
（3）利用单调性的定义证明即可．
【详解】（1）因为函数为偶函数，故图象关于轴对称，作出时，函数的图象如图所示：

由图可知，的增区间是．
（2）∵是偶函数，∴，
当时，，，
所以，当时，．
（3）当时，，
设，且，
，
∵，且，
∴，则，即，
∴函数在上单调递减．
21．（2023·全国·高一专题练习）函数是定义在上的奇函数，且
(1)求的解析式；
(2)证明在上为增函数；
(3)解不等式.
【答案】(1)；
(2)证明见解析；
(3).
【分析】（1）根据函数是定义在 上的奇函数，由，结合 求解；
（2）利用函数单调性的定义证明；
（3）由函数是定义在上的奇函数，得到，再利用在上为增函数求解.
【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数，
所以，即，解得，
此时，又，所以，解得，
所以；
（2）任取，且，则，
因为，所以，
因为，所以，所以，
所以在上为增函数；
（3）函数是定义在上的奇函数，
由，得，又在上为增函数，
所以，解得.
22．（2023·全国·高一专题练习）某企业为进一步增加市场竞争力，计划在2023年利用新技术生产某款新手机，通过市场调研发现，生产该产品全年需要投入研发成本250万元，每生产（千部）手机，需另外投入成本万元，其中，已知每部手机的售价为5000元，且生产的手机当年全部销售完.
(1)求2023年该款手机的利润关于年产量的函数关系式；
(2)当年产量为多少时，企业所获得的利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)
(2)当年产量为52（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是5792万元.
【分析】（1）根据利润等于收入减去成本即可求出结果；
（2）根据（1）求出的函数关系式直接求最大值即可.
【详解】（1）当时，，
当时,，
所以.
（2）当时，,
∴当时，，
当时,
,
当且仅当，即时，，
因此当年产量为52（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是5792万元.