湖北省武汉市武钢三中2023-2024学年高三下学期开学考试数学试题

这是一份湖北省武汉市武钢三中2023-2024学年高三下学期开学考试数学试题，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．数据68，70，80，88，89，90，96，98的第15百分位数为（ ）
A．69B．70C．75D．96
2．抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=“第一枚正面向上”，事件B=“第二枚反面向上”，则事件A与B的关系是（ ）
A．B．C．相互独立D．互斥
3．已知数列的通项公式为，若为单调递增数列，则实数λ的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．在中，，，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知，则=（ ）
A．B．C．D．
6．我们将服从二项分布的随机变量称为二项随机变量，服从正态分布的随机变量称为正态随机变量．概率论中有一个重要的结论：若随机变量，当n充分大时，二项随机变量Y可以由正态随机变量X来近似地替代，且正态随机变量X的期望和方差与二项随机变量Y的期望和方差相同．法国数学家棣莫弗（1667-1754）在1733年证明了时这个结论是成立的，法国数学家、物理学家拉普拉斯（1749-1827）在1812年证明了这个结论对任意的实数都成立，因此，人们把这个结论称为棣莫弗一拉普拉斯极限定理．现抛掷一枚质地均匀的硬币900次，利用正态分布估算硬币正面向上次数不少于420次的概率为（ ）
（附：若，则，，
A．0.97725B．0.84135C．0.65865D．0.02275
7．已知实数，，，满足，，，记，则w的最大值是（ ）
A．B．C．D．
8．已知是定义在上的单调函数，满足，则函数的零点所在区间为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题：本大题共3小题，共18.0分。
9．设X是全集，，定义，对X的真子集A和B，下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
10．已知半径为R的球与圆台的上下底面和侧面都相切．若圆台上下底面半径分别为和，母线长为l，球的表面积与体积分别为和，圆台的表面积与体积分别为和．则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．的最大值为
11．已知函数，的定义域为R，为的导函数，且，，若为偶函数，则下列一定成立的有（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题：本大题共3小题，共15.0分。
12．已知集合，集合，则以集合A为定义域，集合B为值域的函数的个数为______．（用数字作答）
13．已知复数z满足（i为虚数单位），则的最小值为______．
14．已知椭圆C：的右焦点为F，过点F作倾斜角为的直线交椭圆C于A，B两点，弦AB的垂直平分线交x轴于点P，若，则椭圆C的离心率e=______．
四、解答题：本大题共5小题，共77.0分。
15．（本小题13分）
已知函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为．
（1）求函数图象的对称轴方程；
（2）若函数在上的零点为，，求的值．
16．（本小题15分）
四棱锥的底面是边长为2的菱形，，对角线AC与BD相交于点O，PO⊥底面ABCD，PB与底面ABCD所成的角为60°，E是PB的中点．
（1）求异面直线DE与PA所成角的余弦值；
（2）证明：平面PAD，并求点E到平面PAD的距离．
17．（本小题15分）
英国数学家贝叶斯（1701–1763）在概率论研究方面成就显著，创立了贝叶斯统计理论，对于统计决策函数、统计推断等做出了重要贡献．贝叶斯公式就是他的重大发现，它用来描述两个条件概率之间的关系．该公式为：设，，…，是一组两两互斥的事件，，且，，则对任意的事件，，有，．现有三台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，每加工一个零件耗时35分钟，第2，3台加工的次品率均为5%，每加工一个零件分别耗时32分钟和30分钟，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%．
（1）任取一个零件，计算它是次品的概率；
（2）如果取到的零件是次品，计算加工这个零件耗时X（分钟）的分布列和数学期望．
18．（本小题17分）
已知抛物线E：与圆M：相交于A，B，C，D四个点．
（1）当时，求四边形ABCD的面积；
（2）四边形ABCD的对角线交点是否可能为M，若可能，求出此时r的值，若不可能，请说明理由；
（3）当四边形ABCD的面积最大时，求圆M的半径r的值．
19．（本小题17分）
在几何学常常需要考虑曲线的弯曲程度，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度．考察如图所示的光滑曲线C：上的曲线段，其弧长为，当动点从A沿曲线段运动到B点时，A点的切线也随着转动到B点的切线，记这两条切线之间的夹角为（它等于的倾斜角与的倾斜角之差）．显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义为曲线段的平均曲率；显然当B越接近A，即越小，就越能精确刻画曲线C在点A处的弯曲程度，因此定义（若极限存在）为曲线C在点A处的曲率．（其中，分别表示在点A处的一阶、二阶导数）
（1）求单位圆上圆心角为60°的圆弧的平均曲率；
（2）求椭圆在处的曲率；
（3）定义为曲线的“柯西曲率”．已知在曲线上存在两点和，且P，Q处的“柯西曲率”相同，求的取值范围．
参考答案
1．【答案】B
【解析】【分析】
本题考查求百分位数，属于基础题．
根据百分位数的定义即可得到答案．
【解答】
解：因为8×15%=1.2，根据百分位数的定义可知，该数学成绩的第15百分位数为第2个数据70．
故选：B．
2．【答案】C
【解析】【分析】
本题考查相互独立事件的概率乘法公式，是较易题．
列举出抛掷两枚质地均匀的硬币的所有结果，再逐一分析判断各个选项即可．
【解答】
解：依题意，记抛掷一枚质地均匀的硬币正面向上记为1，反面向上记为0，
则抛掷两枚质地均匀的硬币的所有结果是：，，，，
事件A包含的结果有：，，事件B包含的结果有：，，
而事件A，事件B中有不同的结果，则事件A与事件B不互相包含，也不相等，故AB错误；
显然事件A，事件B都含有“”这一结果，即事件A，事件B能同时发生，
因此，事件A与事件B不互斥，故D错误；
因为，，，则，
所以A与B相互独立，故C正确．
故选：C．
3．【答案】A
【解析】【分析】
本题考查实数的取值范围的求法，属于中档题．
由已知条件推导出恒成立，由此能求出实数λ的取值范围．
【解答】
解：∵数列的通项公式为
数列是递增数列，
∴
恒成立，
∵的最小值是，
∴，
即实数λ的取值范围是．
故选：A．
4．【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了平面向量的基本定理及其意义，熟练掌握平面向量的加减运算法则是解本题的关键，属较易题．利用向量的线性运算求解即可．
【解答】
解：根据题意得，
．
故选C．
5．【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查辅助角公式和二倍角公式，属于中档题．
先把化简，然后利用二倍角公式以及辅助角公式计算可得答案．
【解答】
解：因为，
所以，
所以，
两边平方得，，
化简得，
所以．
故选D．
6．【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查正态分布曲线的特点及正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性，属于一般题．根据X服从二项分布求得期望与方差，由题意可知X服从正态分布，再根据正态分布曲线的对称性求解即可．
【解答】
解：抛掷一枚质地均匀的硬币900次，设硬币正面向上次数为X，
则，，，
由题意，，且，，
因为，即，
所以利用正态分布估算硬币正面向上次数不少于420次的概率为．
故选：A．
7．【答案】C
【解析】【分析】
本题考查直线与圆的位置关系中的最值问题，向量数量积的坐标表示与向量的垂直关系，是中档题．
由已知结合向量数量积的坐标表示可得，然后结合点到直线的距离公式和直线与圆的位置关系即可求出．
【解答】
解：设，，因为，，，
所以M，N在以原点为圆心，为半径的圆上，且．
设点M，N到直线的距离之和为，则，即，转化为求的最大值．
设点P为点M与点N的中点，
设P点到直线的距离为d，则，
又．故P点轨迹为圆．
圆上点到直线距离的最大值．
所以w的最大值是．
故选：C．
8．【答案】C
【解析】【分析】
本题考查函数的解析式的求法，注意运用换元法，考查函数零点存在性定理的运用，考查运算能力，属于难题．
由题意可设，则，又由，即，解得，可得的解析式，运用函数零点存在性定理即可得到所求结论．
【解答】
解：根据题意，对任意的，都有，
又由是定义在上的单调函数，
则为定值，
设，
则，
又由，
即，
解得，
则，
，可得在上递增，
，
，
则在上有零点．
故选：C．
9．【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查了新定义特征函数、集合之间的关系及其运算、元素与集合之间的关系，考查了推理能力，属于中档题．
对函数中的s属于什么集合进行分类讨论，利用题中新定义的函数求出的函数值，从而得到答案即可．
【解答】
解：A项：∵，∴当时，，同理当时，，
∴，A正确；
B项：∵∴分三种情况：且，且，且，∴，B错误；
C项∵，∴若，则，∴，∴，C正确；
D项：若，则，且，∴，∴，，D正确．
故选ACD．
10．【答案】ABC
【解析】【分析】
本题主要考查了切线长定理，圆台、球的表面积和体积公式，是中档题．
利用切线长定理判断A；利用勾股定理判断B；利用圆台和球的表面积和体积公式判断C，D．
【解答】
解：由切线长定理易得，A正确；
由勾股定理知，解得，B正确；
，
，
所以，C正确；
，当且仅当时等号成立，这与圆台的定义矛盾，故D错误．
故选ABC．
11．【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查抽象函数的奇偶性与周期性，考查求抽象函数的函数值，属于较难题．
由是偶函数得出是奇函数，由已知两条件推出是以4为周期的函数，然后在已知式中对自变量赋值求解．
【解答】
解：是偶函数，则，两边求导得，
所以是奇函数，故．
对于A，由，代入，得，
又是奇函数得，所以是周期函数，且周期为4，，故A正确；
对选项B，令得，，令得，，
故，故B正确；
对选项C：令得，即，
若，则，
但不一定为0，故C错误；
对选项D：令得，，故，，所以．
令，得，则
，
由是以4为周期得，
∴，故D正确．
故选ABD．
12．【答案】150
【解析】【分析】
本题考查分组分配问题，考查分类加法计数原理，考查分析与计算能力，属于中档题．
分两种情况讨论：①将集合A中的元素分三组为与集合B分别对应；②将集合A中的元素分三组为与集合B分别对应，由分类加法计数原理计算求解即可．
【解答】
解：分以下两种情况讨论：
①将集合A中的元素分三组为与集合B分别对应时，此时，满足条件的函数个数为；
②将集合A中的元素分三组为与集合B分别对应时，此时，满足条件的函数个数为．由分类加法计数原理可知，满足条件的同函数的个数为．
故答案为：150．
13．【答案】
【解析】【分析】
本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查了两点间的距离公式的应用，属于基础题．
由已知求出的轨迹，设，，把的最小值转化为的最小值，求解即可．
【解答】
解：设，，
由，
即，
则的轨迹为点，连线的中垂线：，
设，，
则的最小值等价于求的最小值，
点关于的对称点，
所以，
故答案为．
14．【答案】
【解析】【分析】
本题考查椭圆的简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查直线的垂直平分线的求法，属于中档题．设直线l的方程，代入椭圆方程，由韦达定理，弦长公式及中点坐标公式，求得中点坐标Q，求得AB垂直平分线方程，当时，即可求得P点坐标，代入即可求得，即可求得，即可求得a和c的关系，即可求得椭圆的离心率．
【解答】解：设椭圆半焦距为c，则，
则过点F，倾斜角为的直线l的方程为：，
设，，线段AB的中点．
联立，化为，
∴，．
∴，
∴，，
∴AB的垂直平分线的方程为：，
令，解得，
∴．
∴，
∴
则，
∴椭圆C的离心率为．
15．【答案】解：（1）
，
由题意可得周期，即，
∴，
∴，
由，
得．
所以函数图象的对称轴方程为．
（2）由函数在上的零点为，，
不妨设，
可知，
且．
易知与关于对称，
则，
∴
．
【解析】本题考查三角函数的图象与性质，涉及到诱导公式、三角恒等变换的应用．
（1）先根据三角恒等变换得到，根据题意求出，再通过整体法解方程，得到函数的对称轴方程．
（2）根据对称性得到，进而得到，通过诱导公式化简，即可得到答案．
16．【答案】解：（1）四棱锥的底面是边长为2的菱形，对角线AC与BD相交于点O，则，而底面ABCD，AC，BD⊂底面ABCD，故，，由题意，PO，OC，OB两两互相垂直，
以O为坐标原点，射线OB、OC、OP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系，如图，
菱形ABCD中，，所以，
在中，，
因为PO⊥底面ABCD，所以PB与底面ABCD所成的角为，
所以，
则，，，，
E是PB的中点，则，于是，．
设，的夹角为θ，则有．
故异面直线DE与PA所成角的余弦值为；
（2）连接OE，
∵E，O分别是PB，BD的中点，∴，∵平面PAD，平面PAD，∴平面PAD．
因为，，
设平面PAD的法向量，
则，令，则，，
所以，又，
则点E到平面PAD的距离．
故点E到平面PAD的距离为．
【解析】本题考查直线与直线所成角的向量求法，点线、点面、线面、面面距离计算．属于中档题．
（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可；
（2）根据中位线定理证明线线平行，进而得线面平行，利用空间向量点到面距离公式进行求解即可．
17．【答案】解：设B=“任取一个零件为次品”，=“零件为第i台车床加工”（i=1，2，3），则，且，，两两互斥．根据题意得
，，，
，
（1）由全概率公式，得
；
（2）由题意可知X=35，32，30，则
，
类似地，可得
，，
所以加工这个零件耗时X的分布列为：
．
【解析】本题考查全概率公式，离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题．
（1）利用互斥事件的概率公式及全概率公式求解即可；
（2）求出随机变量对应的概率，列出分布列，求出数学期望即可．
18．【答案】解：（1）将代入，
并化简得，解得y=3或y=4，
代入抛物线方程可得，，，
故；
（2）联立抛物线与圆的方程有，
由题意可得
此时有．
不妨设E与M的四个交点的坐标为，，，，
直线AC的方程为，
由对称性，对角线交点肯定在y轴上，
令，解得交点坐标为，
若交点为M点，则，则，不可能；
则四边形ABCD的对角线交点不可能为M．
（3）联立抛物线与圆的方程有，
由题意可得必须有．
解得且，
由于四边形ABCD为等腰梯形，
因而其面积，
则，
设，则，由上可得，
将，代入上式，并令，
得，
求导数，，
令，解得：，（舍去），
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
故当且仅当时，此时，符合题意．
此时四边形ABCD的面积最大．
【解析】本题考查了圆锥曲线中的几何图形面积的范围或者最值问题，属于较难题．
（1）联立抛物线与圆的方程可得A，B，C，D坐标，再根据梯形面积公式求解即可；
（2）设E与M的四个交点的坐标为，，，，联立直线AC，BD方程可得点交点坐标为，进一步分析得到四边形ABCD的对角线交点不可能为M．
（3）根据抛物线与圆联立的方程结合韦达定理可设，则，结合且，可得，再根据等腰梯形面积公式可得，进而代入韦达定理化简，构造函数求导分析最值即可．
19．【答案】解：（1）由平面几何知识知：单位圆上圆心角为60°的圆弧的弧长，A与B两点切线之间的夹角，
因此．
（2）由得，而，，
因此，，
所以．
（3）因为函数的定义域为，，，所以，
而曲线在P、Q两处的“柯西曲率”相同，因此，即．
令，，，则，因此由得．
因为，所以，因此．
因为
所以若，则，且．
令，则，
因此函数是增函数，所以，即．
令，则，
因此函数是增函数．
又因为，，所以，即，因此，即．
【解析】本题考查了导数的新定义问题，简单复合函数的导数和利用导数研究恒成立与存在性问题，属于较难题．
（1）利用题目所给定义，结合平面几何知识计算得结论；
（2）利用题目所给定义和简单复合函数的导数，计算得结论；
（3）利用题目所给定义和导数运算，结合利用导数研究存在性问题，计算得结论．
X
35
32
30
P