陕西省西安市长安区2024届高三上学期1月第一次联考数学（文）试卷(含答案)

这是一份陕西省西安市长安区2024届高三上学期1月第一次联考数学（文）试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合,,则( )
A.B.C.D.
2．已知函数,则( )
A.B.C.D.2
3．著名的欧拉公式是,则在复平面内的( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
4．某班学生每天完成数学作业所需的时间的频率分布直方图如图,为响应国家减负政策,若每天作业布置量在此基础上减少5分钟,则减负后完成作业的时间的中位数为( )
A.25B.30C.35D.40
5．已知向量,,若不超过3,则m的取值范围为( )
A.B.C.D.
6．等比数列满足,,则( )
A.30B.62C.126D.254
7．已知,则( )
A.B.C.D.
8．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说:“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河”,诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题,即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,先到河边饮马后再回到军营,怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中,设军营所在的位置为,若将军从山脚下的点处出发,河岸线所在直线方程为,则“将军饮马”的最短总路程为( )
A.B.3C.D.5
9．在三角形ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知,,,则的面积为( )
A.B.C.D.
10．已知函数,若满足,则实数m的取值范围为( )
A.B.C.D.
11．从直角三角形顶点中任取两个顶点构成向量,在这些向量中任取两个不同的向量进行数量积运算,则数量积为0的概率为( )
A.B.C.D.
12．已知农历每月的第天(,)的月相外边缘近似为椭圆的一半,方程为,其中为常数.根据以上信息,下列说法中正确的有( )
A.农历每月第d(,)天和第天的月相外边缘形状相同
B.月相外边缘上的点到椭圆焦点的距离的最大值为2r
C.月相外边缘的离心率为与t无关
D.农历初六至初八的月相外边缘离心率在区间内
二、填空题
13．双曲线的渐近线相互垂直,则双曲线的离心率为______.
14．已知截所得的弦长为,则当最小时m的值为______.
15．一个正四棱柱底面边长为2,高为,上底面对角线交点与下底面四个顶点构成几何体的内切球表面积为______.
16．,若有两个零点,则k的取值范围是______.
三、解答题
17．体育强则中国强,体育承载着国家强盛,民族振兴的梦想.某学校从参加体育知识竞赛的学生中抽出200名,将其成绩(均为整数)整理后画出的频率分布直方图如图所示,根据图形,回答下列问题.
（1）求m;
（2）估计这次体育知识竞赛成绩的众数,平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表);
（3）在抽出的200位学生中,若规定分数不低于80分的学生为获奖学生,已知这200名学生中男生与女生人数相同,男生中有20人获奖,请补充列联表,并判断是否有99%的把握认为“体育知识竞赛是否获奖与性别有关”
附:,其中.
18．图1所示的是等腰梯形ABCD,,,,,于E点,现将沿直线DE折起到的位置,连接PB,PC,形成一个四棱锥,如图2所示.
（1）若平面平面,求证:;
（2）求证:平面平面BCDE;
（3）若二面角的大小为,求三棱锥的体积.
19．已知函数.
（1）当时,求函数在处的切线方程;
（2）若不等式恒成立,求实数a的取值范围.
20．已知数列的前n项和为,,且满足.
（1）求数列的通项公式;
（2）设,求数列的前n项和.
21．在平面直角坐标系xOy中,已知点,点P为平面内一动点,线段PA的中点为M,点M到y轴的距离等于,点P的轨迹为曲线C.
（1）求曲线C的方程;
（2）已知点,曲线C上异于点Q的两点E,F满足QE与QF斜率之和为4,求点Q到直线EF距离的最大值.
22．在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(为参数),以坐标原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程是.
（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程;
（2）设点E为曲线C上的任意一点,直线l交x轴,y轴于A,B两点,求面积的最大值.
23．已知函数.
（1）解不等式;
（2）设函数的最小值为m,正数a,b,c满足,证明:.
参考答案
1．答案：C
解析:集合,
,
故选C.
2．答案：B
解析:因为,所以,则.
故选:B.
3．答案：B
解析:,
则,,
则,,
故在复平面内的第二象限.
故选:B.
4．答案：A
解析:由频率分布直方图可得:
解得,
因为第一组的频率为,第二组的频率为,故中位数在第二组的中间,即中位数为(分钟),
又因为每天作业布置量在此基础上减少5分钟,
所以减负后完成作业时间的中位数为(分钟).
故选:A
5．答案：B
解析:,,
则,
不超过3,
则,解得.
故选:B.
6．答案：C
解析:
7．答案：B
解析:由题意可得,所以,,所以,
故选B.
8．答案：C
解析:
9．答案：B
解析:,由正弦定理得,
因为,所以,故,
即,故,
因为,
所以,故,
解得,
由余弦定理得,即,
因为,,所以,
解得,
,
故选:B.
10．答案：B
解析:因为,所以为偶函数,
又,时,,故在上单调递增.因为,
所以,
所以,
所以,所以,故选B.
11．答案：B
解析:设A,B,C是直角三角形的三个顶点,其中,
从直角三角形顶点中任取两个顶点构成的向量有:,,,,,,共6个,其中任取两个不同的向量进行数量积运算,数量积为0的有:和,和,和,和,共4组,
则在这些向量中任取两个不同的向量进行数量积运算,则数量积为0的概率为.故选:B.
12．答案：D
解析:
13．答案：
解析:,所以,所以,所以.
14．答案：
解析:
15．答案：
解析:由题意可知该几何体为正四棱锥,
如图,
O为内切球的球心,PH是棱雉的高,E,F分别是AB,CD的中点,
连接P,F,G是球与侧面PCD的切点,可知G在PF上,,
设内切球半径为r,
则,,
,,
由,
,
即,
解得,
所以内切球表面积为,
故答案为:.
16．答案：
解析:
17．答案：（1）0.01
（2）75
（3）没有99%的把提认为“体育知识竞赛是否获奖与性别有关”.
解析:（1）,所以.
（2）平均数:
众数:75
（3）列联表如下:
所以,没有99%的把提认为“体育知识竞赛是否获奖与性别有关”.
18．答案：（1）见解析
（2）见解析
（3）
解析:（1）证明:由题意知,因为平面PBE,平面PBE,所以平面PBE,
又因为平面PCD,平面平面,
根据直线与平面平行的性质定理,可得.
（2）证明:由题知,,
因为平面PBE,平面PBE,,所以平面PBE,
又因为平面BCDE,所以平面平面BCDE.
（3）由题知,,所以,过P作交BE于点F,
则,,平面PBE,所以,
又因为,所以平面DCE,
三棱锥的体积等于三棱锥的体积,
所以.
19．答案：（1）
（2）
解析:（1）当时,
又因为,所以切线方程为:.
（2）因为,
所以,即,则恒成立,
令,则,
当时,,则在单调递增,
当时,,则在单调递减,
所以有极大值且为最大值.
所以,即实数的取值范围为.
20．答案：（1）见解析
（2）见解析
解析:（1）根据题意,,
所以,
由于,则是以首项为1,公差为的等差数列,
所以,所以,
当时,.验证时满足通项公式.
故数列的通项公式为.
（2）.
设的前n项和为,则当n为偶数时,
.
当n为奇数时,,
设的前n项和为,则.
因为,所以.
21．答案：（1）
（2）见解析
解析:（1）设点P的坐标为,因为点,则点,
则,则在,整理得:,
故曲线C的方程为.
（2）由题意设直线EF的方程为,与曲线C方程联立:
,消去x可得,设,,
由韦达定理得,,①
因为,即,因为点E,F在抛物线C上,
所以,化简得,
化简得,将①代入可得,所以.
所以,所以直线EF过定点.
当直线QH与直线EF垂直时,点Q到直线EF的距离最大,此时.
经检验,此时直线EF与曲线C交于两点.
22．答案：（1）
（2）见解析
解析:（1）由,(为参数),得曲线C的普通方程为:,
因为,所以,
由,代入得直线l的直角坐标方程:.
（2）由直线的直角坐标方程:知,,,则,
设点,则点E到直线l的距离为
,
当,即时,点E到直线l的距离最大为.
所以面积的最大值为.
23．答案：（1）
（2）见解析
解析:（1）,
当时,,所以,所以;
当时,,所以,所以;
当时,,所以,
综上,解集为.
（2）函数的最小值为,所以,
,当且仅当时,等号成立.
.
男生
女生
合计
获奖
20
未获奖
合计
0.05
0.010
0.005
0.001
3.841
6.635
7.879
10.828
男生
女生
合计
获奖
20
10
30
未获奖
80
90
170
合计
100
100
200