河南省信阳市浉河区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题

这是一份河南省信阳市浉河区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题，共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．下列出版社的商标图案中，是轴对称图形的为（ ）
A．B． C． D．
2．下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．在下列长度的四条线段中，能与长的两条线段围成一个三角形的是（ ）
A．B．C．D．
4．下列因式分解正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．某小区的圆形花园中间有两条互相垂直的小路，园丁在花园中栽种了8棵桂花，如图所示．若A，B两处桂花的位置关于小路对称，在分别以两条小路为x，y轴的平面直角坐标系内，若点A的坐标为，则点B的坐标为（ ）

A．B．C．D．
6．校园湖边一角的形状如图所示，其中，，表示围墙，若在线段右侧的区域中找到一点P修建一个观赏亭，使点P到三面墙的距离都相等，则点P在（ ）

A．线段、的交点B．、角平分线的交点
C．线段、垂直平分线的交点D．线段、垂直平分线的交点
7．如图，两个正方形的边长分别为a和b，如果，那么阴影部分的面积是（ ）
A．5B．10C．20D．30
8．已知关于x的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（ ）
A．B．C．且D．且
9．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的.借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角.这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点，可在槽中滑动，若，则的度数是（ ）

A．60°B．65°C．75°D．80°
10．如图，是的角平分线，的面积为12，长为6，点E，F分别是，上的动点，则的最小值是（ ）
A．6B．4C．3D．2
二、填空题
11．若代数式有意义，则实数x的取值范围是 ．
12．因式分解：a3－a= ．
13．如图，B、E、C、F四点在同一直线上，且，，添加一个条件 ，使（写出一个即可）．

14．如图，已知的面积为12，平分，且于点P，则的面积是 ．
15．在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝2，M、N分别为AB、CD的中点，点P为线段MN上一动点，以线段BP为边，Q在BP左侧作等边三角形BPQ，连接QM，则QM的最小值为 ．
三、解答题
16．计算与解方程．
(1)计算：．
(2)解方程：．
17．先化简，再求值：，其中．
18．如图，在中，于D，平分，与交于点F，求．

19．如图，在四边形中，且，连接．

(1)尺规作图：作的平分线交于点E（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）的基础上，若，请探究与有何数量关系，并说明理由．
20．2013年4月20日，雅安发生7.0级地震，某地需550顶帐蓬解决受灾群众临时住宿问题，现由甲、乙两个工厂来加工生产．已知甲工厂每天的加工生产能力是乙工厂每天加工生产能力的1.5倍，并且加工生产240顶帐蓬甲工厂比乙工厂少用4天．
①求甲、乙两个工厂每天分别可加工生产多少顶帐蓬？
②若甲工厂每天的加工生产成本为3万元，乙工厂每天的加工生产成本为2.4万元，要使这批救灾帐蓬的加工生产总成本不高于60万元，至少应安排甲工厂加工生产多少天？
21．教材中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例如：分解因式．
原式；；
例如：求代数式的最小值．
原式．
，
当时，有最小值是2．
根据阅读材料用配方法解决下列问题：
(1)分解因式： ；
(2)求代数式的最小值；
(3)若当x＝ 时，y有最 值（填“大”或“小”），这个值是 ．
22．（1）猜想：如图1，已知：在中，，，直线m经过点A，直线m，直线m，垂足分别为点D、E试猜想、、有怎样的数量关系，请直接写出；
（2）探究：如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D，A、E三点都在直线m上，并且有（其中α为任意锐角或钝角）如果成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）解决问题：如图3，F是角平分线上的一点，且和均为等边三角形，D、E分别是直线m上A点左右两侧的动点D、E、A互不重合，在运动过程中线段的长度始终为n，连接、，若，试判断的形状，并说明理由．
23．【发现】：
如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，过点A作AH⊥BC于点H，求证：AH＝BC．
【证明】：∵AH⊥BC，∠BAC＝90°，
∴∠AHC＝90°＝∠BAC．
∴∠BAH＋∠CAH＝90°，∠BAH＋∠B＝90°．
∴∠CAH＝∠B（ ），
在△ABH和△CAH中，
．
∴△ABH≌△CAH．（ ）．
∴BH＝AH，AH＝CH．（ ）．
∴AH＝BC．
【拓展】：
如图2，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝45°，点D、B、C在同一条直线上，AH为△ABC中BC边上的高，连接CE．则∠DCE的度数为 ，同时猜想线段AH、CD、CE之间的数量关系，并说明理由．
【应用】：
在如图3的两张图中，在△ABC中，AB＝AC，且∠BAC＝90°，在同一平面内有一点P，满足PC＝1，PB＝6，且∠BPC＝90°，请直接写出点A到BP的距离．
参考答案：
1．A
【分析】根据轴对称图形的概念：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁部分能够完全重合的图形；由此问题可求解．
【详解】解：符合轴对称图形的只有A选项，而B、C、D选项找不到一条直线能使直线两旁部分能够完全重合；
故选A．
【点睛】本题主要考查轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的概念是解题的关键．
2．D
【分析】利用同底数幂的乘法和除法、幂的乘方、合并同类项法则解出答案．
【详解】解：，故A错误；
，故B错误；
，故C错误；
，故D正确．
故本题选：D．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法和除法、幂的乘方、合并同类项法则，对运算法则的熟练掌握并运用是解题的关键．
3．C
【分析】根据三角形三边的关系求出第三边的取值范围，再判断即可．
【详解】解：设第三边长度为，
则第三边的取值范围是，
只有选项C符合，
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形三边的关系，能熟练求出求出第三边的取值范围是本题的关键．
4．A
【分析】利用提公因式法，公式法对各项进行因式分解，即可求解．
【详解】解：A、，故本选项正确，符合题意；
B、，故本选项错误，不符合题意；
C、，故本选项错误，不符合题意；
D、，故本选项错误，不符合题意；
故选：A
【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法，并会结合多项式的特征，灵活选用合适的方法是解题的关键．
5．A
【分析】根据关于轴对称的点的特点：纵坐标不变，横坐标互为相反数，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：点B的坐标为；
故选A．
【点睛】本题考查坐标与轴对称．熟练掌握关于轴对称的点的特点：纵坐标不变，横坐标互为相反数，是解题的关键．
6．B
【分析】由角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等，可判断为D．
【详解】解：如图，、角平分线的交点P，，，，垂足分别为K，L，M，则，即点P到三面墙的距离相等；
故选：B
【点睛】本题考查角平分线的性质定理；掌握角平分线的性质定理是解题的关键．
7．C
【分析】本题考查完全平方公式与几何图形面积问题．利用分割法表示出阴影部分的面积，利用完全平方公式变形求值即可．
【详解】解：由图可知：阴影部分的面积为：
；
∵，
∴原式；
故选C．
8．C
【分析】解分式方程求出，然后根据解是非负数以及解不是增根得出关于m的不等式组，求解即可．
【详解】解：分式方程去分母得：，
解得：，
∵分式方程的解是非负数，
∴，且，
∴且，
故选：C．
【点睛】本题考查了解分式方程，解一元一次不等式组，正确得出关于m的不等式组是解题的关键．
9．D
【分析】根据OC=CD=DE，可得∠O=∠ODC，∠DCE=∠DEC，根据三角形的外角性质可知∠DCE=∠O+∠ODC=2∠ODC据三角形的外角性质即可求出∠ODC数，进而求出∠CDE的度数．
【详解】∵，
∴，，
设，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
解得：，
.
故答案为D.
【点睛】本题考查等腰三角形的性质以及三角形的外角性质，理清各个角之间的关系是解答本题的关键．
10．B
【分析】作关于的对称点，由是的角平分线，得到点一定在上，过作于，交于，则此时，的值最小，的最小值，过作于，根据垂直平分线的性质和三角形的面积即可得到结论．
【详解】解：作关于的对称点，
是的角平分线，
点一定在上，
过作于，交于，
则此时，的值最小，的最小值，
过作于，
的面积为12，长为6，
，
垂直平分，
，
，
，
的最小值是4，
故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题，解题的关键是正确的作出对称点和利用垂直平分线的性质证明的最小值为三角形某一边上的高线．
11．
【分析】根据分式有意义的条件列不等式求解即可．
【详解】解：若代数式有意义，则，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，熟知分式有意义，分母不为零是解题的关键．
12．a（a－1）（a + 1）
【分析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【详解】解：a3-a
=a（a2-1）
=a（a+1）（a-1）
故答案为：a（a－1）（a + 1）．
【点睛】本题考查了提公因式法和公式法，熟练掌握公式是解题的关键．
13．（答案不唯一）
【分析】根据全等三角形的判定添加合适的条件即可，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
【详解】解：添加（答案不唯一），
证明如下：∵，
∴，
即，
∵，，
∴，
故答案为：（答案不唯一）
14．6
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形的面积．延长交于点E，先证明，得，再根据中线的性质即可得出结果．
【详解】解：延长交于点E，

∵平分，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，，
∴．
故答案为：6．
15．
【分析】点P在线段MN上运动时，以BP为边的等边三角形BPQ的顶点Q的轨迹是线段Q1Q2所在的直线，当MQ⊥Q1Q2时值最小由题意可得MA=MQ1=1，∠Q1MA=120°，然后由直角三角形求MQ即可．
【详解】解：由题意可知，当点P与点M重合时，以BP为边在左侧所做的等边三角形BMQ1，
当BP等于BA时所做的等边三角形BPA，此时Q和A重合，
当P运动到点N时，以BP为边所做的等边三角形BNQ2，
∴点P在线段MN上运动时，以BP为边的等边三角形BPQ的顶点Q的轨迹是线段Q1Q2所在的直线，
当MQ⊥Q1Q2时值最小，如图所示：
∵ABCD是矩形，AB=2，AD=2，M是AB边的中点，
∴AM=BM=1，
∵是等边三角形，
∴MQ1=AM=BM=1，∠BMQ1=60°，
∴∠Q1MA=120°，
∴∠MQ1Q=30°，
又∵MQ⊥Q1Q2，
∴MQ=．
故答案为：
【点睛】本题主要考查垂线段最短，矩形的性质，等边三角形的性质，含的直角三角形的性质，关键是根据题意分析出当M在BP的垂直平分线上时QM最短．
16．(1)
(2)
【分析】（1）先运用平方差与完全平方公式计算，再合并同类项即可；
（2）先去分母，转化成整式方程求解，再检验根即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：方程两边同时乘以，得
，
解得：，
经检验，是原方程的根，
∴原方程的解为．
【点睛】本题考查整式混合运算与解分式方程，熟练掌握平方差与完全正确平方公式，将公式方程转化成整式方程求解是解题的关键．
17．
【分析】先通分，再因式分解，化简到最简，将值代入．
【详解】解：
；
∵，
∴原式．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟记分式的混合运算法则是解题的关键．
18．
【分析】首先利用三角形的内角和求出，然后利用角平分线的性质求出，最后利用三角形的外角与内角的关系及垂直的定义即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵于D，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形的内角和等于180°求解，是基础题，准确识别图形是解题的关键．
19．(1)见解析
(2)，理由见解析
【分析】（1）根据角平分线的尺规作图步骤画图即可；
（2）先根据等腰三角形的性质得到，，再利用垂直定义和等角的余角相等证得，然后证明得到，，进而可得结论．
【详解】（1）解：如图所示，射线即为所求作：

（2）解：．理由如下：
∵，平分，
∴，，
∵，，
∴，
∴，．
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查基本尺规作图-作角平分线、等腰三角形“三线合一”的性质、全等三角形的性质等知识，熟练掌握基本尺规作图步骤，掌握等腰三角形的性质，会利用全等三角形的性质判断线段数量关系是解答的关键．
20．详见解析
【分析】①先设乙工厂每天可加工生产x顶帐蓬，则甲工厂每天可加工生产1.5x顶帐蓬，根据加工生产240顶帐蓬甲工厂比乙工厂少用4天列出方程，求出x的值，再进行检验即可求出答案．
②设甲工厂加工生产y天，根据加工生产总成本不高于60万元，列出不等式，求出不等式的解集即可．
【详解】解：①设乙工厂每天可加工生产x顶帐蓬，则甲工厂每天可加工生产1.5x顶帐蓬，根据题意得：
，
解得：x=20，
经检验x=20是原方程的解，
则甲工厂每天可加工生产1.5×20=30（顶）．
答：甲、乙两个工厂每天分别可加工生产30顶和20顶帐蓬．
②设甲工厂加工生产y天，根据题意得：
，解得：y≥10，
答：至少应安排甲工厂加工生产10天．
【点睛】本题考查分式方程和一元一次不等式的应用．正确理解题意解方程是解题的关键.
21．(1)
(2)3
(3)；大；1
【分析】（1）凑完全平方公式，再用平方差公式进行因式分解；
（2）凑成完全平方加一个数值的形式；
（3）和（2）类似，凑成完全平方加一个数值的形式；
【详解】（1）解：
．
（2）解：
；
∴当时，的最小值是3；
（3）解：，
，
，
当的时候，有最大值1．
【点睛】此题考查了因式分解的应用，配方法的应用以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
22．（1）；（2）成立，见解析；（3）等边三角形，见解析
【分析】（1）根据垂直的定义得到，根据等角的余角相等得到，再证明，根据全等三角形的性质即可得解；
（2）根据条件证明即可得解；
（3）根据等边三角形的判定证明即可；
【详解】解：（1），
理由：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，，
∴，
故答案为；
（2）结论成立；
理由如下：∵，，
，
∴，
在和中，，
∴，
∴，，
∴；
（3）为等边三角形，
理由：由（2）得，，
∴，，
∴，即，
在和中，，
∴，
∴，，
∴，
∴为等边三角形．
【点睛】本题主要考查了三角形综合，结合三角形全等证明、等边三角形的判定是解题的关键．
23．【发现】同角的余角相等；AAS；全等三角形的对应边相等
【拓展】90°；CE＋2AH＝CD，理由见解析
【应用】或
【分析】发现：根据同角的余角相等可得∠CAH＝∠B，根据AAS证明三角形全等，再根据全等三角形的对应边相等即可得结论；
拓展：证明△ADB≌△AEC，即可得∠DCE的度数为90°，线段AH、CD、CE之间的数量关系；
应用：如图3，过点A作AH⊥BP于点H，连接AP，过A作AD垂直于AP，交PB于点D，可得△APC≌△ADB，得BD＝CP＝1，根据DP＝BP﹣BD＝6﹣1＝5，AH⊥DP，即可得点A到BP的距离；同理如图4，过点A作AH⊥BP于点H，
连接AP，将△APC绕点A顺时针旋转90度到△ADB，可得DP＝BP＋BD＝6＋1＝7，进而可得点A到BP的距离．
【详解】[发现]证明：∵AH⊥BC，∠BAC＝90°，
∴∠AHC＝90°＝∠BAC．
∴∠BAH＋∠CAH＝90°，∠BAH＋∠B＝90°．
∴∠CAH＝∠B（同角的余角相等），
在△ABH和△CAH中，
．
∴△ABH≌△CAH．（AAS）．
∴BH＝AH，AH＝CH．（全等三角形的对应边相等）．
∴AH＝BC．
故答案为：同角的余角相等；AAS；全等三角形的对应边相等；
[拓展]∠DCE的度数为90°，
线段AH、CD、CE之间的数量关系为：CE＋2AH＝CD，
理由如下：
∵∠DAB＋∠BAE＝90°，∠EAC＋∠BAE＝90°，
∴∠DAB＝∠EAC，
∵AD＝AE，AB＝AC，
∴△ADB≌△AEC（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，
∵∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴∠ABD＝135°，
∴∠DCE＝90°；
∵D、B、C三点共线，
∴DB＋BC＝CD，
∵DB＝CE，AH＝BC，
∴CE＋2AH＝CD．
[应用]点A到BP的距离为：或．
理由如下：
如图3，过点A作AH⊥BP于点H，连接AP，作∠PAD＝90°，交BP于点D，
∴∠BAC＝∠DAP＝90°，
∴∠BAD＝∠CAP，
∵∠BDA＝∠APC＝90°＋∠APD，
∴△APC≌△ADB（AAS），
∴BD＝CP＝1，
∴DP＝BP﹣BD＝6﹣1＝5，
∵AH⊥DP，
∴AH＝DP＝；
如图4，过点A作AH⊥BP于点H，
作∠PAD＝90°，交PB的延长线于点D，
∴∠BAC＝∠DAP＝90°，
∴∠BAD＝∠CAP，
∵∠BAC＝90°，∠BPC＝90°，
∴∠ACP＋∠ABP＝180°，
∴∠ACP＝∠ABD，
∵AB＝AC，
∴△APC≌△ADB（AAS），
∴BD＝CP＝1
∴DP＝BP＋BD＝6＋1＝7.
∵AH⊥DP，
∴AH＝DP＝．
综上所述：点A到BP的距离为：或．
【点睛】本题考查了三角形综合题，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质．