2023-2024学年四川省成都市简阳市九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年四川省成都市简阳市九年级（上）期末数学试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，非选择题等内容，欢迎下载使用。

1.已知ab=12，则下列结论一定正确的是( )
A. a=1，b=2B. a=2bC. b=2aD. b−a=1
2.如图所示几何体的主视图是( )
A.
B.
C.
D.
3.若四条线段a，b，c，d成比例，其中b=2cm，c=3cm，d=6cm，则线段a的长为( )
A. 1cmB. 2cmC. 3cmD. 12cm
4.如图，已知：△ABC∽△DAC，∠B=37°，∠D=116°，∠BAD的度数为( )
A. 37°
B. 116°
C. 153°
D. 143°
5.下列命题是假命题的是( )
A. 有一组邻边相等的矩形是正方形B. 对角线互相垂直的平行四边形是正方形
C. 对角线相等的平行四边形是矩形D. 有三个角是直角的四边形是矩形
6.袋中装有6个黑球和一些白球，经过若干次试验，发现“若从中任摸一个球，恰好是白球的概率为13”，则这个袋中白球大约有个．( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
7.某一芯片实现国产化，经过两次降价，每块芯片单价由118元降为98元，若两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，根据题意列方程得( )
A. 118(1−x2)=98B. 118(1−x)2=98
C. 118(1−2x)=98D. 98(1+x)2=118
8.如图，正方形ABCD的边长为6，点E是对角线AC上一点，且AE=2CE，则ED的长度为( )
A. 4
B. 2 2
C. 2 3
D. 2 5
二、非选择题
9.若关于x的一元二次方程x2+2mx+m2−m+3=0有实数根，则m的取值范围是______．
10.已知一个菱形的周长为40cm，一条对角线长为16cm，则另一条对角线长为______cm．
11.已知点(2,y1)，(1,y2)，(−1,y3)都在反比例函数y=1x的图象上，则y1，y2，y3，的大小关系用“<”表示为______．
12.如图，要使△ABC∽△ACD，需补充的条件是_____.(只要写出一种)
13.如图，在▱ABCD中，点E是AD中点，连接BE，交AC于点F，如果△AEF的面积为12，则四边形DCFE的面积为______．
14.解方程
(1)2x2+3x=0；
(2)x2−4x−5=0；
(3)3x2−6x−1=0．
15.为了提高学生的综合素养，某校开设了五门手工活动课.按照类别分为：A“剪纸”、B“沙画”，C“葫芦雕刻”，D“泥塑”，E“插花”.为了了解学生对每种活动课的喜爱情况，随机抽取了部分同学进行调查，将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图．

根据以上信息，回答下列问题：
(1)本次调查的样本容量为______；统计图中的a= ______，b= ______．
(2)通过计算补全条形统计图.若该校共有2500名学生，请你估计全校喜爱“葫芦雕刻”的学生人数；
(3)剪纸比较优秀的是A1，A2两名女生和B1男生三名同学，若从比较优秀的3名同学中随机选取两名同学，参加市举办的剪纸比赛，请利用列表法或树状图法，求恰好选到一名男生和一名女生的概率．
16.“周末好去处，鳌山公园行”，鳌山公园的印鳌阁塔已成为市民常去的景点.某中学数学组进行综合实践活动，测量印鳌阁塔CD的高度.小彤同学在她与印鳌阁塔之间的地面上平放一面镜子，在镜子上做一个标记E，她看着镜子来回移动，直至看到印鳌阁塔顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合.如图，此时测得AB=1.7m，BE=1m，DE=25m，求印鳌阁塔CD的高度．
17.如图，▱ABCD中，过点C作CF⊥CD，CF交DB的延长线点F；过点C作CE/​/DB，交AB的延长线于点E，BE交CF于点O，连接EF，AB=2BO=4．
(1)求OE的长；
(2)求证：四边形BCEF为正方形．
18.如图，反比例函数y=kx(x>0)的图象与直线y=4x交于点D(1,m)，在射线OD上取一点A，过点A作y轴的垂线分别交反比例函数的图象和y轴于点B和点C．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)当AD=2OD时，
①求点A的坐标；
②求△OBD的面积．
19.已知y=(1−m)xm2−2是反比例函数，则m= ______．
20.已知方程2x2+kx+k−12=0的两根之和等于两根之积，则方程两根的平方和为______．
21.如图，当太阳光与地面上的树影成45°角时，树影投射在墙上的影高CD等于2米，若树根到墙的距离BC等于8米，则树高AB等于______米．
22.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD对角线的交点为坐标原点O，点B(m,2m)、D在反比例函数y=2x的图象上，点A、C在x轴上，则矩形ABCD的面积为______．
23.如图1，有一张矩形纸片ABCD，已知AB=10，AD=12，现将纸片进行如下操作：现将纸片沿折痕BF进行折叠，使点A落在BC边上的点E处，点F在AD上(如图2)，则DF= ______；然后将△FBE绕点F旋转到△FMN，当MN过点C时旋转停止，则EN的长度为______．
24.成都第31届世界大学生夏季运动会(以下简称“成都大运会”)已在今年7月28日到8月8日在成都举行.某商家购进一批成都大运会吉祥物“蓉宝”小挂件，进价为20元/件，调查发现，日销售量y(单位：件)与售价x(单位：元/件，且20≤x≤60)之间满足一次函数关系，其部分数据如表：
(1)求y与x的函数关系式；
(2)试问当售价为多少时，使得日销售利润为600元．
25.如图，在平面直角坐标系中，直线y=32x与双曲线y=kx(k>0)交于点A(a,3)，点B.在双曲线上有一点P(P点在直线AB的下方)，连接PA并延长交y轴于点C，连接BP交x轴于点Q．

(1)求点A的坐标和k的值；
(2)若AP=AC，连接BC，求△PBC的面积．
(3)若△BOQ的面积与四边形AOQP的面积比为2：3，求P点的坐标；
26.在矩形ABCD中，AB：AD=m：n，点H在边DC上(不与点C，D重合)，连接BH，过点C作CF⊥BH于点G．

(1)当m：n=3：2时，求BHCF；
(2)当m：n=1时，延长BH与AD交于点P，延长CF与BA交于点E，连接PE．
①求证：AE=DP；
②判定BF与AH的位置关系，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵ab=12，
∴b=2a，
故选：C．
根据比例的性质进行计算，即可解答．
本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：从正面看，是一里一外的两个正方形．
故选：D．
根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
3.【答案】A
【解析】解：∵a，b，c，d是成比例线段，
∴a：b=c：d，
而b=2cm，c=3cm，d=6cm，
∴a=bcd=2×36=1(cm)．
故选：A．
根据比例线段的定义得到a：b=c：d，然后把b=2cm，c=3cm，d=6cm代入进行计算即可．
本题考查了比例线段的定义：若四条线段a，b，c，d有a：b=c：d，那么就说这四条线段成比例．
4.【答案】C
【解析】解：∵△ABC∽△DAC，
∴∠DAC=∠B=37°，∠BAC=∠D=116°，
∴∠BAD=∠DAC+∠BAC=153°，
故选：C．
根据相似三角形的性质得到∠DAC=∠B，∠BAC=∠D，结合图形计算，得到答案．
本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应角相等是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：A、一组邻边相等的矩形是正方形，所以A选项为真命题；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以B选项为假命题；
C、对角线相等的平行四边形是矩形，所以C选项为真命题；
D、有三个角是直角的四边形是矩形，所以D选项为真命题；
故选：B．
利用特殊平行四边形的判定方法分别对每个选项进行判断后即可确定正确的选项．
本题考查了特殊平行四边形的判定方法，属于基础题，比较简单，解答的关键是牢记特殊平行四边形的判定方法．
6.【答案】A
【解析】解：设有x个白球，则袋中一共有球(6+x)个，
∵从中任摸一个球，恰好是白球的概率为13，
∴x6+x=13，
解得：x=3，
经检验，x=3是原方程的解．
故选：A．
根据概率公式计算即可．
此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
7.【答案】B
【解析】解：根据题意得：118(1−x)2=98．
故选：B．
利用经过两次降价后每块芯片的单价=降价前每块芯片的单价×(1−每次降价的百分率)2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：过E作EF⊥CD于F，如图：
∵正方形ABCD的边长为6，
∴CD=6，AC= 2CD=6 2，∠ACD=45°，
∵AE=2CE，
∴CE=13AC=13×6 2=2 2，
∵EF⊥CD，∠ACD=45°，
∴△EFC是等腰直角三角形，
∴EF=CF=CE 2=2，
∴DF=CD−CF=6−2=4，
在Rt△DEF中，
DE= EF2+DF2= 22+42=2 5；
故选：D．
过E作EF⊥CD于F，由正方形ABCD的边长为6，可得CD=6，AC= 2CD=6 2，∠ACD=45°，而AE=2CE，故CE=13AC=2 2，根据△EFC是等腰直角三角形，求出EF=CF=CE 2=2，DF=CD−CF=4，再用勾股定理可得答案．
本题考查正方形性质及应用，涉及勾股定理及应用，解题的关键是掌握正方形性质及等腰直角三角形三边的关系．
9.【答案】m≥3
【解析】解：∵一元二次方程x2+2mx+m2−m+3=0有实数根，
∴Δ=(2m)2−4(m2−m+3)≥0，
解得：m≥3．
故答案为：m≥3．
利用根的判别式进行求解即可．
本题主要考查根的判别式，解答的关键是明确Δ=0时，方程有两个相等的实数根；Δ<0时，方程没有实数根；Δ>0时，方程有两个不相等的实数根．
10.【答案】12
【解析】解：如图：四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于点O，
∵菱形的周长为40cm，
∴AB=BC=CD=AD=10cm，
∵一条对角线的长为16cm，当BD=16cm，
∴BO=DO=8cm，
在Rt△AOB中，AO= AB2−OB2=6cm，
∴AC=2AO=12cm，
故答案为12．
根据菱形的性质，四条边相等且对角线互相平分且互相垂直，由勾股定理得出BO的长，进而得其对角线BD的长．
此题主要考查了菱形的性质以及勾股定理等知识，根据题意得出BO的长是解题关键．
11.【答案】y3【解析】解：由题知，
将x=2代入函数解析式得，
y1=12；
将x=1代入函数解析式得，
y2=1；
将x=−1代入函数解析式得，
y3=−1；
因为−1<12<1，
所以y3故答案为：y3将三个点的横坐标分别代入反比例函数解析式，求出y1，y2，y3即可解决问题．
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数的图象和性质是解题的关键．
12.【答案】∠ACD=∠B或∠ADC=∠ACB或AD：AC=AC：AB
【解析】【分析】
本题考查三角形相似的判定，属于基础题．
要使两三角形相似，已知有一组公共角，则可以再添加一组角相等或添加该角的两边对应成比例．
【解答】
解：∵∠DAC=∠CAB
∴当∠ACD=∠B或∠ADC=∠ACB或AD：AC=AC：AB时，△ABC∽△ACD．
13.【答案】52
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，
∴△AEF∽△CBF，
∵点E是AD中点，
∴AEBC=AFFC=12，
∴S△AEFS△CBF=14，
∵△AEF的面积为12，
∴S△BCF=2，
∴S△ABF=12S△BCF=1，
∴S△ABC=S△ABF+S△BCF=3，
∴四边形DCFE的面积=3−12=52．
故答案为：52．
由四边形ABCD是平行四边形，易证得△AEF∽△CBF，又由点E是AD中点，△AEF的面积为1，即可求得△BCF的面积，继而求得答案．
此题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质．解决本题的关键是得到△AEF∽△CBF．
14.【答案】解：(1)2x2+3x=0，
x(2x+3)=0，
x1=0,x2=−32；
(2)x2−4x−5=0，
(x−5)(x+1)=0，
x−5=0或x+1=0，
x1=5，x2=−1；
(3)3x2−6x−1=0，
3x2−6x=1，
3(x2−2x+1−1)=1，
3(x−1)2−3=1，
3(x−1)2=4，
(x−1)2=43，
x−1=±2 33，
x1=1+2 33,x2=1−2 33．
【解析】(1)先把方程左边提取公因式x，然后把一元二次方程转化成两个一元一次方程进行解答即可；
(2)利用十字相乘法，把一元二次方程的左边分解因式，把一元二次方程转化成两个一元一次方程进行解答即可；
(3)先把常数项−1移到等号右边，然后提取方程左边的公因式3，再进行配方，得到一个完全平方式的值，从而求出它的平方根，即得到两个一元一次方程，进行解答即可．
本题主要考查了解一元二次方程，解题关键是熟练掌握常见的几种解一元二次方程的方法．
15.【答案】120 12 36
【解析】解：(1)18÷15%=120，a=120×10%=12，b=120×30%=36，
故答案为：120，12，36；
(2)E类别的人数为：120−18−12−30−36=24(人)，
补全条形统计图如图所示：
C类别所占的百分比为：30÷120=25%，2500×25%=625(人)，
答：全校喜爱“葫芦雕刻”的学生人数约为625人；
(3)用树状图或列表法如下：
共有6种等可能的结果，其中恰好选到一名男生和一名女生的结果有4种，
即恰好选到一名男生和一名女生的概率为46=23．
(1)从两个统计图可知，A组有18人，占调查人数的15%，即可求出调查的样本容量；总人数乘以对应的百分比可得a、b的值；
(2)求出E组人数，补全统计图即可；根据样本中喜欢“葫芦雕刻”的百分比，估计总体2500人的是喜欢“葫芦雕刻”的人数；
(3)画树状图得出所有等可能的结果数以及恰好选到一名男生和一名女生的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法、统计表、扇形统计图，能够理解统计表和扇形统计图，熟练掌握列表法与树状图法是解答本题的关键．
16.【答案】解：由题意得到：∠ABE=∠D=90°，∠AEB=∠CED，
∴△ABE∽△CDE，
∴AB：CD=BE：DE，
∵AB=1.7m，BE=1m，DE=25m，
∴1.7：CD=1：25，
∴CD=42.5m．
答：印鳌阁塔CD的高度为42.5m．
【解析】由△ABE∽△CDE，得到AB：CD=BE：DE，代入有关数据，即可求出CD=42.5m．
本题考查相似三角形的应用，关键是由△ABE∽△CDE，得到AB：CD=BE：DE．
17.【答案】(1)解：在▱ABCD中，∵AB/​/CD，
∴BE//DC，
∵CE/​/DB，
∴四边形ECDB中是平行四边形，
∴BE/​/CD，
∵AB=2BO=4，
∴BO=2，BE=CD=4，
∴OE=2，
即OE的长为2；
(2)证明：由(1)得OB=OE=2，
∵AB/​/CD，
∴△FOB∽△FCD，
∴FOFC=OBCD=24=12，
∴FO=OC，OB=OE=2，
∴四边形FECB是平行四边形，
∵AB/​/CD，CF⊥CD，
∴CF⊥OB，
∴四边形FECB是菱形，
∵CF⊥OB，FO=OC，
∴BF=BC．
∴四边形FECB是正方形．
【解析】(1)根据平行四边形的性质得到BE/​/DC，推出四边形ECDB中是平行四边形，求得BE/​/CD，得到BO=2，BE=CD=4，于是得到结论；
(2)由(1)得OB=OE=2，根据相似三角形的性质得到FOFC=OBCD=24=12，求得FO=OC，OB=OE=2，推出四边形FECB是平行四边形，根据菱形的性质得到四边形FECB是菱形，根据正方形的判定定理即可得到结论．
本题考查了正方形的判定，菱形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的判定定理是解题的关键．
18.【答案】解：(1)把D(1,m)代入y=4x中，m=4×1=4，
∴D(1,4)把D(1,4)代入y=kx得，k=xy=4，
∴反比例函数的解析式为y=4x；
(2)①过点D作DE⊥AC，垂足为E；OC⊥AC，
∴DE//OC，
△AED∽△ACD，
∴AEAC=ADAO，
∵AD=2OD，
∴ADAO=23，
∵CE=1，代入比例式得：
∴AC−1AC=23，
∴AC=3，
∴点A(3,12)；
②设点B(n,12)，
∴12=4n，n=13，
∴B(13,12)，
S△OBD=S△ABO−S△ABD=12×AB×12−12×AB×(12−4)，
∵AB=3−13=83，
∴S△OBD=163．
【解析】(1)把D(1,m)代入y=4x中，m=4×1=4，D(1,4)把D(1,4)代入y=kx得，k=xy=4，反比例函数的解析式为y=4x；
(2)①过点D作DE⊥AC可得AEAC=ADAO，代入已知线段可求出点A坐标；
②设点B(n,12)，12=4n，n=13，B(13,12)，根据S△OBD=S△ABO−S△ABD=12×AB×12−12×AB×(12−4)，AB=3−13=83，可得S△OBD=163．
本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式．
19.【答案】−1
【解析】解：由题意得：m2−2=−1，且1−m≠0，
解得：m=−1．
故答案为：−1．
根据反比例函数定义可得m2−2=−1，且1−m≠0，即可求出答案．
此题主要考查了反比例函数定义，关键是掌握y=kx(k≠0)转化为y=kx−1(k≠0)的形式．
20.【答案】15
【解析】解：设方程的两根为x1，x2，
∴x1+x2=−k2，x1x2=k−122，
则−k2=k−122，
解得k=6，
∴x1+x2=−3，x1x2=−3，
∴x12+x22
=(x1+x2)2−2x1x2
=9+6
=15．
故答案为：15．
设方程的两根为x1，x2，根据根与系数的关系得到x1+x2=−k2，x1x2=k−122，则−k2=k−122，可解得k=6，然后根据x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2，即可求出答案．
本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于−ba，两根之积等于ca”是解题的关键．
21.【答案】10
【解析】【分析】
本题考查了平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．
过D作DH⊥AB于H，如图，易得四边形BCDH为矩形，则DH=BC=8米，CD=BH=2米，利用平行投影得到∠ADH=45°，则可判断△ADH为等腰直角三角形，所以AH=DH=8米，然后计算AH+BH即可．
【解答】
解：过D作DH⊥AB于H，如图，易得四边形BCDH为矩形，
则DH=BC=8米，CD=BH=2米，
根据题意得：∠ADH=45°，
所以△ADH为等腰直角三角形，
所以AH=DH=8米，
所以AB=AH+BH=8+2=10(米)．
故答案为：10．
22.【答案】4 5
【解析】解：∵点B(m,2m)在反比例函数y=2x的图象上，
∴2m2=2，m=±1，
∵点B在第一象限，
∴m=1，B(1,2)，
∴OB= 22+12= 5，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OB=OC= 5，
S△OBC=12× 5×2= 5，
∴S矩形ABCD=4S△OBC=4 5，
故答案为：4 5．
根据解析式求出点B坐标，根据点B坐标得到OB长，依据矩形对角线相等得到OC长，计算出三角形OBC面积再乘4即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握矩形性质是解答本题的关键．
23.【答案】2 10 2613
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠ABC=90°，AB=CD=10，AD=BC=12，
∵将纸片沿折痕BF进行折叠，使点A落在BC边上的点E处，点F在AD上，
∴AB=BE，∠BEF=90°，
∴四边形ABEF是矩形，∠CEF=180°−90°=90°，
∵AB=BE，
∴四边形ABEF是正方形，
∴AB=BE=EF=AF=10，
∴DF=AD−AF=2，CE=BC−BE=2，
∴CF= CE2+EF2= 22+102=2 26，
连接CF，
∵将△FBE绕点F旋转到△FMN，
∴∠BEF=∠CNF=90°，EF=NF，
∵CF=CF，
∴Rt△ECF≌Rt△NCF(HL)，
∴CN=CE=2，EF=NF=10，
∴点C，点F在EN的垂直平分线上，
∴CF⊥EN．
∴S四边形ECNE=12EN×CF=2×12×10×2，即12×EN×2 26=2×12×10×2．
∴EN=10 2613．
故答案为：2，10 2613．
连接CF，证四边形ABEF是正方形，得AB=BE=EF=AF=10，进而得DF=AD−AF=2，CE=BC−BE=2，由勾股定理得CF=2 26，证明Rt△ECF≌Rt△NCF(HL)得CN=CE=2，EF=NF=10，从而得出点C，点F在EN的垂直平分线上，得出CF⊥EN，最后利用面积公式构造方程即可得解．
本题主要考查全等三角形的判定及性质，矩形的性质，正方形的判定及性质，线段垂直平分线的判定以及勾股定理，证明三角形全等得出CF⊥EN是解题的关键．
24.【答案】解：(1)设y与x的函数关系式为y=kx+b(k≠0)，代入数值得：
30k+b=6040k+b=40，
解得：k=−2b=120，
∴y与x的函数关系式为y=−2x+120；
(2)设当售价为x元时，由题意得：
(−2x+120)(x−20)=600，
化简得：x2−80x+1500=0，
解得：x1=30，x2=50，
∴售价为30元/件或50件/元时，使得日销售利润为600元．
【解析】(1)直接利用待定系数法求出一次函数解析式进而得出答案；
(2)利用销量×每件利润=总利润，得出一元二次方程，解答即可得解．
此题主要考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，找准等量关系，列出一元二次方程是解答本题的关键．
25.【答案】解：(1)∵根据题意直线y=32x过点A(a,3)，
∴3=32a，
∴a=2，
∴A(2,3)，
∵点A(2,3)在双曲线y=kx上，
∴k=xy=6，
(2)根据题意AP=AC，则点A为PC的中点，
∵xC=0，xA=2，xA=xC+xP2，则xP=4，当xP=4时，yP=32，
∴P(4,32)，
∵当yA=3，yP=32，yA=yC+yP2，则yC=92，
∴C(0,92)，
∵直线y=32x与双曲线y=kx(k>0)交于点A(2,3)，
∴点A(2,3)关于原点的对称点为B(−2,−3)，
P(4,32)，C(0,92)；
设直线PB表达式：y=k1x+b1，直线PB交x轴于点G．
由B(−2,−3)，P(4,32)在直线PB图象上，
∴−2k1+b1=−34k1+b1=32解得：k1=34b1=−32，
∴直线PB表达式：y=34x−32，
令y=0，则x=2，
∴G(2,0)，
S△PBC=12⋅CG⋅(xP−xB)=12⋅(yC−yG)⋅(xP−xB)=12⋅(92+32)⋅(4+2)=18；
(3)如图，分别过点A、P作x轴的垂线，过点B作y轴的垂线，交于点D、E，

设点P(m,6m)，B(−2,−3)，直线BP的解析式为y=k2x+b2，
∴−2k2+b2=−3mk2+b2=6m，
解得k2=3mb2=6−3mm，
直线BP的解析式为：y=3mx+6−3mm，
令y=0，则x=m−2，
∴点Q(m−2,0)，S△BOQ=12⋅OQ⋅丨yB丨=12⋅(m−2)⋅3=3m2−3，
∵S△ABP=12×4×6+12⋅(6m+3+6)(m−2)−12⋅(m+2)⋅(6m+3)=3m−12m，
∵S△BOQS△ABP=25，
∴S△ABP=52S△BOQ，
∴3m−12m=52⋅(32m−3)，
整理得：m2−10m+16=0，
解得m1=2(舍去)，m2=8，
∴P(8,34)．
【解析】(1)待定系数法求出点A的坐标和k值即可；
(2)由中点坐标公式可以求出P(4,32)，C(0,92)，根据反比例函数中心对称可得B(−2,−3)，再求出直线PB表达式：y=34x−32，G(2,0)，由三角形面积公式代入求出即可；
(3)分别过点A、P作x轴的垂线，过点B作y轴的垂线，交于点D、E，设点P(m,6m)，B(−2,−3)，可得直线BP的解析式为y=3mx+6−3mm，BP交x轴于点Q，点Q(m−2,0)，S△BOQ=12⋅OQ⋅|yB|=12⋅(m−2)⋅3=32m−3，由S△ABP=S△ABD+S梯形ADEP−S△BPE，S△BOQ：S△ABP=2：5，S△ABP=52S△BOQ，3m−12m=52⋅(32m−3)，m2−10m+16=0，m1=2(舍去)，m2=8，解出点P坐标即可．
本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式．
26.【答案】(1)解：∵四边形ABCD是矩形，CG⊥BH，
∴∠BCH=∠D=90°，∠BCG+∠CBG=90°，∠BCG+∠DCF=90°，
∴∠CBG=∠DCF，
∴△BCH∽△CDF，
∴BHCF=BCCD，
又∵AB：AD=m：n=3：2，
∴BHCF=23；
(2)①证明：当m：n=1时，AB=AD，
∴四边形ABCD为正方形，
∴∠PAB=∠EBC=∠PAE=90°，AB=BC=AD，
∵CF⊥BH，
∴∠CFP+∠APB=∠AFE+∠BEC=90°，
∴∠APB=∠BEC，
∴△APB≌△BEC(AAS)，
∴AP=BE，
又AB=AD，
∴AE=DP．
②BF与AH垂直，理由如下：
方法一：在△PBE中，PA⊥BE，EG⊥PB，
∴点F为△PBE的垂心，
∴BF⊥PE，
∵DH/​/AB，
∴BHBP=ADAP，
∵ADAP=ADAD+DP=BABA+AE=BABE，
∴BHBP=BABE，
∵∠HBA=∠PBE，
∴△BHA∽△BPE，
∴∠BHA=∠BPE，
∴HA//PE，
∴BF⊥HA；
方法二：设AH与BF交于Q．

∵∠APB=∠BEC，AE=DP，∠EAF=∠HDP=90°，
∴△AEF≌△DPH(ASA)，
∴AF=DH，
又∵∠BAF=∠ADH=90°，AB=DA．
∴△ABF≌△DAH(SAS)，
∴∠ABF=∠HAD，
∵∠HAD+∠BAH=90°，
∴∠ABF+∠BAH=90°，
∴∠AQB=90°，
∴BF⊥HA．
【解析】(1)证明△BCH∽△CDF，由相似三角形的性质得出BHCF=BCCD，则可得出答案；
(2)①证明△APB≌△BEC(AAS)，得出AP=BE，则可得出结论；
②方法一：证明△BHA∽△BPE，得出∠BHA=∠BPE，则HA//PE，可得出结论；
方法二：设AH与BF交于Q.证明△AEF≌△DPH(ASA)，得出AF=DH，证明△ABF≌△DAH(SAS)，得出∠ABF=∠HAD，证出∠AQB=90°，则可得出结论．
本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．x(元/件)
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30
35
40
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y(件)
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60
50
40
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