河南省信阳市浉河区重点中学2023-2024学年高三上学期1月月考数学试题(含答案)

这是一份河南省信阳市浉河区重点中学2023-2024学年高三上学期1月月考数学试题(含答案)，共13页。试卷主要包含了单选题，多项选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．已知,集合，集合，若，则（ ）
A．1 B．2 C．或1 D．
2．已知i是虚数单位，则复数所对应的点落在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知等差数列的公差为d,前n项和为,则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．设非零向量,满足,则向量的夹角等于（ ）
A． B． C． D．
5．已知,若且,则（ ）
A． B． C． D．
6．标有数字1,2,3,4,5,6的六张卡片，卡片的形状、质地都相同，从中有放回地随机抽取两次，每次抽取一张，A表示事件“第一次取出的数字是3”，B表示事件“第二次取出的数字是2”,C表示事件“两次取出的数字之和是6”，D表示事件“两次取出的数字之和是7”，则（ ）
A． B． C． D．
7．直线为圆与的公切线，设的夹角为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．在非直角中，成等比数列，则B的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）
9．关于函数有下述四个结论，则（ ）
A．是偶函数 B．的最小值为
C．在上有4个零点 D．在区间单调递增
10．若正项数列是等差数列，且,则（ ）
A．当时， B．公差d的取值范围是
C．当为整数时，的最大值为29 D．的取值范围是
11．小学实验课中，有甲、乙两位同学对同一四面体进行测量，各自得到了一条不全面的信息：甲同学：四面体有两个面是等腰直角三角形；乙同学：四面体有一个面是边长为1的等边三角形那么，根据以上信息，该四面体体积的值可能是（ ）
A． B． C． D．
12．已知有两个不同的极值点,则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．若且，则实数a的取值范围__________．
14．在的展开式中，含的项的系数是__________．（用数字作答）
15．已知为等腰三角形，其中,点D为边上一点，．以点B、D为焦点的椭圆E经过点A与C,则椭圆E的离心率的值为__________．
16．函数在区间上存在零点，则的最小值为__________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本题10分）设的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知．
（1）证明：．
（2）求的取值范围．
18．（本题12分）已知四面体在面上的射影为O,O为的外心，．
（1）证明：;
（2）若E为中点，,求平面与平面夹角的余弦值．
19．（本题12分）一项试验旨在研究臭氧效应．实验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到实验组，另外20只分配到对照组，实验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g）．
（1）设X表示指定的两只小白鼠被分配到对照组的只数，求X的分布列和数学期望；
（2）实验结果如下：
对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为：
15.2 18.8 20.2 21.3 22.5 23.2 25.8 26.5 27.5 30.1
32.6 34.3 34.8 35.6 35.6 35.8 36.2 37.3 40.5 43.2
实验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为：
7.8 9.2 11.4 12.4 13.2 15.5 16.5 18.0 18.8 19.2
19.8 20.2 21.6 22.8 23.6 23.9 25.1 28.2 32.3 36.5
（i）求40只小鼠体重的增加量的中位数m,再分别统计两样本中小于m与不小于的数据的个数，完成如下列联表：
（ii）根据（i）中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与正常环境中体重的增加量有差异．
附：，
20．（本题12分）各项都为整数的数列满足,前6项依次成等差数列，从第5项起依次成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）求出所有的正整数m,使得．
21．（本题12分）已知函数,其中．
（1）当时，若在区间上单调递增，求实数a的取值范围；
（2）当时，讨论的零点个数．
22．（本题12分）已知点,动点满足直线与的斜率之积为．记M的轨迹为曲线C．
（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；
（2）过坐标原点的直线交C于P,Q两点，点P在第一象限，轴，垂足为E,连接并延长交C于点G．
（i）证明：是直角三角形；
（ii）求面积的最大值．
2024届高三上期学业水平质量检测数学试题参考答案
13． 14． 15． 16．
12．【详解】由题意得，
由于有两个不同的极值点,
即有2个正数根,则，
故需满足，解得，
对于A,，A错误；
对于B,，故,
令，
即在上单调递减，故，
即，B正确；
对于C，
,C正确；
对于D,
，
可看作曲线上两点连线的斜率，
由于,故不妨设,
由于,则曲线在处的切线斜率为1，
由于，故连线的斜率小于1，即，
所以,即,D正确，
故选：BCD
16．【详解】设t为在上的零点，可得,
所以,即点在直线，
又表示点到原点距离的平方，
则有解，即有解，
令，得，
因为,
所以恒成立，
可得在上为单调递增函数，
所以当时，，
所以,即的最小值为．
故答案为：．
17．【详解】（1）证明如下：
由，
则有,所以，
因为，所以,则B为锐角．
所以,所以或，
则或，
由题意知，所以，
所以．
（2）由（1）知，且
由正弦定理，有
即
令，记
．在上递增．
即．
故的取值范围为．
18．【详解】（1）
连接并延长交于M,连接,
因为O恰好为的外心，所以,
又,所以,
所以,即是的角平分线，
又,所以由等腰三角形三线合一可得，
因为D在面上的投影为O,所以面,
又面,所以,
又面,所以面,
又面,所以．
（2）
解法一：在中，由（1）与等腰三角形三线合一可知M是的中点，
由（1）知面,
取中点H,连接,因为面,
作垂直交于点N,连接即为平面与平面夹角的平面角．
由题可得，
，
即平面与平面夹角的余弦值为．
解法二：由（1）知面,过M作z轴平行于,则z轴垂直于面,如图建立空间直角坐标系，
在中，由（1）与等腰三角形三线合一可知M是的中点，又,
则，
设，则,又,所以，解得,故，
则，
故，
设为平面的一个法向量，则，
取,则，故，
易得是平面的一个法向量，设平面与平面夹角的平面角为，，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
19．【详解】（1）依题意，X的可能取值为0,1,2，
则，
所以X的分布列为：
故．
（2）（i）依题意，可知这40只小白鼠体重增量的中位数是将两组数据合在一起，从小到大排后第20位与第21位数据的平均数，观察数据可得第20位为23.2，第21位数据为23.6，所以,
故列联表为：
（ii）由（i）可得，，
所以能有95%的把握认为，小白鼠在高浓度臭氧环境中与正常环境中体重的增加量有差异．
20．【详解】（1）设前6项的公差为d,所以，
所以，
化简可得,所以或，
又因为各项均为整数，所以d为整数，所以,
当时，,
当时，，
综上所述，；
（2）当时，,满足条件；
当时，,不满足条件；
当时，,满足条件；
当时，,不满足条件；
当时，，若，
则有，则，
所以，所以,
又因为，所以，所以无解，
综上所述，m的取值为．
21．【详解】（1）当时，,
则，
因为在区间上单调递增，且,
则在上恒成立，
即在上恒成立，又明显函数在上单调递增，
所以，即，
又明显函数在上单调递增，且,
所以,
所以;
（2）当时，
令,得,
令,这两个函数的图象关于直线对称
当均与直线相切时，如图：
设切点为，又,所以
则切线方程为,代入点得,
所以,
所以,
即当的图象相切，只有一个交点，
则当的图象不相交，没有交点，
当的图象相交，有两个交点，
综上所述：
当时，有一个零点；
当时，无零点；
当时，有两个零点．
22．解（1）由题设得，化简得，所以C为中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆，不含左右顶点．
（2）①设直线的斜率为k,则其方程为．
由得．
记，则．
于是直线的斜率为，方程为．
由得． ①
设,则和是方程①的解，故，由此得．
从而直线的斜率为．
所以,即是直角三角形．
②由①得，所以的面积．
设，则由，得，当且仅当时取等号．
因为在区间内单调递减，所以当，即时，S取得最大值，最大值为．因此，面积的最大值为．
合计
对照组
实验组
合计
0.100
0.050
0.010
2.706
3.841
6.635
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
D
C
C
B
D
B
D
B
ABC
AC
BCD
BCD
X
0
1
2
P
合计
对照组
6
14
20
实验组
14
6
20
合计
20
20
40