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专题24 最值模型之将军饮马模型-备战2024年中考数学常见模型题型归纳与总结高分突破（全国通用）
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这是一份专题24 最值模型之将军饮马模型-备战2024年中考数学常见模型题型归纳与总结高分突破（全国通用），文件包含专题24最值模型之将军饮马模型原卷版docx、专题24最值模型之将军饮马模型解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共69页， 欢迎下载使用。
在解决将军饮马模型主要依据是：两点之间，线段最短；垂线段最短；涉及的基本方法有：利用轴对称变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等。
模型1.求两条线段和的最小值（将军饮马模型）
【模型解读】在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小；
（1）点A、B在直线m两侧： （2）点A、B在直线同侧：
【最值原理】两点之间线段最短。 上图中A’是A关于直线m的对称点。
例1．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）如图，是边长为的等边三角形，点为高上的动点．连接，将绕点顺时针旋转得到．连接，，，则周长的最小值是 ．
例2．（2023·广东广州·校考一模）如图，在C中，的面积为，，平分，E、F分别为、上的动点，则的最小值是（ ）
A．B．C．2D．
例3．（2023·广东广州·统考中考真题）如图，正方形的边长为4，点E在边上，且，F为对角线上一动点，连接，，则的最小值为 ．
例4．（2022·内蒙古赤峰·统考中考真题）如图，菱形，点、、、均在坐标轴上，，点，点是的中点，点是上的一动点，则的最小值是（ ）
A．3B．5C．D．
例5．（2023·辽宁盘锦·统考中考真题）如图，四边形是矩形，，，点P是边上一点（不与点A，D重合），连接．点M，N分别是的中点，连接，，，点E在边上，，则的最小值是（ ）
A．B．3C．D．
例6．（2023·山东济宁·九年级校考期末）如图，是的直径，点C、D是上的点．且，分别与、相交于点E，F．若的半径为5，，点P是线段上任意一点，则的最小值是 ．
例7．（2023·湖北黄冈·统考模拟预测）如图，点E是线段上的一个动点，，且，则的最小值是___．
例8．（2023·山东枣庄·统考中考真题）如图，抛物线经过两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与轴交于点D．
(1)求该抛物线的表达式；(2)若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求的最小值；
模型2. 求多条线段和（周长）最小值
【模型解读】在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。
（1）两个点都在直线外侧： （2）一个点在内侧，一个点在外侧：
（3）两个点都在内侧：
（4）台球两次碰壁模型
1）已知点A、B位于直线m,n 的内侧，在直线n、m分别上求点D、E点，使得围成的四边形ADEB周长最短.
2）已知点A位于直线m,n 的内侧, 在直线m、n分别上求点P、Q点PA+PQ+QA周长最短.
【最值原理】两点之间线段最短。
例1．（2023·陕西西安·九年级校考阶段练习）【问题提出】
(1)如图1，，在内部有一点P，M、N分别是、上的动点，分别作点P关于边、的对称点，，连接，与、相交于M、N，则此时的周长最小，且顺次连接O，，后的形状是等腰直角三角形．理由如下：
∵点P关于边、的对称点分别为，，
∴，，，，
∴即周长的的最小值为
∵，∴∴是等腰直角三角形．
学以致用：若，在内部有一点P，分别作点P关于边、的对称点，，顺次连接O，，，则的形状是__________三角形．
(2)【问题探究】如图2，在中，，，点D是的中点，若，请用含有h的代数式表示的面积．(3)【问题解决】如图3，在四边形内有一点P，点P到顶点B的距离为10，，点M、N分别是、边上的动点，顺次连接P、M、N，使在周长最小的情况下，面积最大，问：是否存在使在周长最小的条件下，面积最大这种情况？若存在，请求出的面积的最大值；若不存在，请说明理由．
例2．（2023下·四川达州·八年级校考期末）如图，，点M、N分别在射线上，，的面积为12，P是直线上的动点，点P关于对称的点为，点P关于对称的点为，当点P在直线上运动时，的面积最小值为 ．
例3．（2022·山东泰安·中考真题）如图，，点M、N分别在边上，且，点P、Q分别在边上，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
例4．（2023春·湖北黄石·八年级统考期中）如图，在矩形中，，，、分别是和上的两个动点，为的中点，则
（1）的最小值是________；（2）若，则的最小值为________．
模型3.求两条线段差最大值
【模型解读】在一条直线m上，求一点P，使PA与PB的差最大；
（1）点A、B在直线m同侧：
延长AB交直线m于点P，根据三角形两边之差小于第三边，P’A-P’B＜AB，而PA-PB=AB此时最大，
因此点P为所求的点。
（2）点A、B在直线m异侧：
过B作关于直线m的对称点B’,连接AB’交点直线m于P,此时PB=PB’，PA-PB最大值为AB’
【最值原理】三角形两边之差小于第三边。
例1．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，在菱形中，，对角线交于点，，点为的中点，点为上一点，且，点为上一动点，连接，则的最大值为________．
例2．（2023春·湖南永州·八年级统考期中）如图，在矩形中，，O为对角线的中点，点P在边上，且，点Q在边上，连接与，则的最大值为____________，的最小值为__________．
例3．（2022·河南南阳·一模）如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝6，∠BCD＝15°，P为直线CD上的动点，则|PA－PB|的最大值为____．
例4．（2022·湖北·武汉八年级期末）如图，，为上一动点，，过作交直线于，过作交直线于点，若，当的值最大时，则 ________ ．
课后专项训练
1．（2022·四川资阳·中考真题）如图，正方形的对角线交于点O，点E是直线上一动点．若，则的最小值是( )
A．B．C．D．
2．（2022·山东菏泽·统考中考真题）如图，在菱形ABCD中，，M是对角线BD上的一个动点，，则的最小值为（ ）
A．1B．C．D．2
3．（2023·安徽·统考中考真题）如图，是线段上一点，和是位于直线同侧的两个等边三角形，点分别是的中点．若，则下列结论错误的是（ ）
A．的最小值为B．的最小值为
C．周长的最小值为6D．四边形面积的最小值为
4．（2023·广东深圳·校联考模拟预测）如图，点是正方形内部一个动点，且，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023春·福建厦门·八年级校联考期中）如图，在▱ABCD中，AB＝2，BC＝4，∠D＝60°，点P、Q分别是AC和BC上的动点，在点P和点Q运动的过程中，PB+PQ的最小值为（ ）
A．4B．3C．2D．4
6．（2023·安徽合肥·二模）如图，在矩形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA上的动点(不与端点重合)，若四点运动过程中满足AE=CG、BF=DH，且AB=10、BC=5，则四边形EFGH周长的最小值等于（ ）
A．10B．10C．5D．5
7．（2023·四川广元·一模）如图，已知正方形边长为3，点E在边上且，点P，Q分别是边，的动点（均不与顶点重合），当四边形的周长取最小值时，四边形的面积是（ ）
A．B．C．D．
8．（2022·江苏·九年级月考）如图，点，在直线的同侧，到的距离，到的距离，已知，是直线上的一个动点，记的最小值为，的最大值为，则的值为（ ）
A．160B．150C．140D．130
9．（2023上·山东菏泽·八年级统考期中）如图，中，，，，是的垂直平分线，分别交，于点E，F，点D是边的中点，点M是线段上一动点，则的最小值为（ ）
A．6B．7C．8D．9
10．（2023上·江苏连云港·九年级校联考阶段练习）如图，是的直径，，点在上，，为的中点，是直径上一动点，则的最小值是 ．
11．（2023下·四川达州·八年级校考期末）如图，，在的同侧，，，，点为的中点，若，则的最大值是 ．
12．（2023上·山东德州·八年级校考期中）如图，在中，，，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是 ．
13．（2022·重庆大渡口·九年级期中）如图，，∠ACB＝90°，BC＝AC＝4，平面内直线BC的左侧有一点P，连接BP，CP，，将沿BC翻折至同一平面得到，连接．若取得最大值时，则______．
14．（2023秋·江苏盐城·九年级统考期末）中，，，点P为高上的一个动点，连接，将射线绕点A顺时针旋转，交过点P与垂直的直线于点Q，连接，则周长的最小值是______．
15．（2023·山东日照·校考二模）如图，在边长为1的正方形中，E为边上一动点（点E，B不重合），以为直角边在直线上方作等腰直角三角形，，连接，则在点E的运动过程中，周长的最小值是______．
16．（2023·湖北武汉·校联考模拟预测）如图，己知长方体，是棱上任意一点，是侧面对角线上一点，则的最小值是________．
17．（2022·四川眉山·中考真题）如图，点为矩形的对角线上一动点，点为的中点，连接，，若，，则的最小值为________．
18．（2022·黑龙江·统考中考真题）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，，，AH是的平分线，于点E，点P是直线AB上的一个动点，则的最小值是________．
19．（2022·贵州铜仁·中考真题）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E为AD的中点，将△CDE沿CE翻折得△CME，点M落在四边形ABCE内．点N为线段CE上的动点，过点N作NP//EM交MC于点P，则MN+NP的最小值为________．
20．（2022·广西贺州·中考真题）如图，在矩形ABCD中，，E，F分别是AD，AB的中点，的平分线交AB于点G，点P是线段DG上的一个动点，则的周长最小值为__________．
21．（2023·江西南昌·九年级校联考阶段练习）如图，已知点，，在抛物线上．（1）求抛物线解析式；（2）在直线上方的抛物线上求一点，使的面积为；
（3）若点是抛物线对称轴上一动点，当的值最大时，求点的坐标；
22．（2023·广东深圳·九年级校考开学考试）已知，如图，函数y＝，的图象交于点A、B．
(1)直接写出A、B两点的坐标：A ，B ；(2)观察图象，直接写出不等式的解集： ；
(3)点P是坐标轴上的动点，当取得最小值时，求点P的坐标．
23．（2022·江苏连云港·中考真题）如图，四边形为平行四边形，延长到点，使，且．(1)求证：四边形为菱形；(2)若是边长为2的等边三角形，点、、分别在线段、、上运动，求的最小值．
24．（2022·海南·中考真题）如图1，矩形中，，点P在边上，且不与点B、C重合，直线与的延长线交于点E．
(1)当点P是的中点时，求证：；
(2)将沿直线折叠得到，点落在矩形的内部，延长交直线于点F．
①证明，并求出在（1）条件下的值；②连接，求周长的最小值；③如图2，交于点H，点G是的中点，当时，请判断与的数量关系，并说明理由．
25．（2023上·广西桂林·八年级校联考期中）数学模型学习与应用：
白日登山望峰火，黄昏饮马傍交河．——《古从军行》唐李欣
模型学习：诗中隐含着一个有趣的数学问题，我们称之为“将军饮马”问题．关键是利用轴对称变换，把直线同侧两点的折线问题转化为直线两侧的线段问题，“将军饮马”问题的数学模型如图1所示：在直线l上存在点P，使的值最小．
作法：作A点关于直线l的对称点，连接，与直线l的交点即为点P．此时的值最小．
模型应用：（1）如图2，已知为等边三角形，高，为上一动点，D为的中点．
①当的最小值时，在图中确定点P的位置（要有必要的画图痕迹，不用写画法）．
②则的最小值为 ．
模型变式：（2）如图3所示，某地有块三角形空地，已知，是内一点，连接后测得米，现当地政府欲在三角形空地中修一个三角形花坛，点，分别是，边上的任意一点（不与各边顶点重合），求周长的最小值．
在解决将军饮马模型主要依据是：两点之间，线段最短；垂线段最短；涉及的基本方法有：利用轴对称变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等。
模型1.求两条线段和的最小值（将军饮马模型）
【模型解读】在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小；
（1）点A、B在直线m两侧： （2）点A、B在直线同侧：
【最值原理】两点之间线段最短。 上图中A’是A关于直线m的对称点。
例1．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）如图，是边长为的等边三角形，点为高上的动点．连接，将绕点顺时针旋转得到．连接，，，则周长的最小值是 ．
例2．（2023·广东广州·校考一模）如图，在C中，的面积为，，平分，E、F分别为、上的动点，则的最小值是（ ）
A．B．C．2D．
例3．（2023·广东广州·统考中考真题）如图，正方形的边长为4，点E在边上，且，F为对角线上一动点，连接，，则的最小值为 ．
例4．（2022·内蒙古赤峰·统考中考真题）如图，菱形，点、、、均在坐标轴上，，点，点是的中点，点是上的一动点，则的最小值是（ ）
A．3B．5C．D．
例5．（2023·辽宁盘锦·统考中考真题）如图，四边形是矩形，，，点P是边上一点（不与点A，D重合），连接．点M，N分别是的中点，连接，，，点E在边上，，则的最小值是（ ）
A．B．3C．D．
例6．（2023·山东济宁·九年级校考期末）如图，是的直径，点C、D是上的点．且，分别与、相交于点E，F．若的半径为5，，点P是线段上任意一点，则的最小值是 ．
例7．（2023·湖北黄冈·统考模拟预测）如图，点E是线段上的一个动点，，且，则的最小值是___．
例8．（2023·山东枣庄·统考中考真题）如图，抛物线经过两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与轴交于点D．
(1)求该抛物线的表达式；(2)若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求的最小值；
模型2. 求多条线段和（周长）最小值
【模型解读】在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。
（1）两个点都在直线外侧： （2）一个点在内侧，一个点在外侧：
（3）两个点都在内侧：
（4）台球两次碰壁模型
1）已知点A、B位于直线m,n 的内侧，在直线n、m分别上求点D、E点，使得围成的四边形ADEB周长最短.
2）已知点A位于直线m,n 的内侧, 在直线m、n分别上求点P、Q点PA+PQ+QA周长最短.
【最值原理】两点之间线段最短。
例1．（2023·陕西西安·九年级校考阶段练习）【问题提出】
(1)如图1，，在内部有一点P，M、N分别是、上的动点，分别作点P关于边、的对称点，，连接，与、相交于M、N，则此时的周长最小，且顺次连接O，，后的形状是等腰直角三角形．理由如下：
∵点P关于边、的对称点分别为，，
∴，，，，
∴即周长的的最小值为
∵，∴∴是等腰直角三角形．
学以致用：若，在内部有一点P，分别作点P关于边、的对称点，，顺次连接O，，，则的形状是__________三角形．
(2)【问题探究】如图2，在中，，，点D是的中点，若，请用含有h的代数式表示的面积．(3)【问题解决】如图3，在四边形内有一点P，点P到顶点B的距离为10，，点M、N分别是、边上的动点，顺次连接P、M、N，使在周长最小的情况下，面积最大，问：是否存在使在周长最小的条件下，面积最大这种情况？若存在，请求出的面积的最大值；若不存在，请说明理由．
例2．（2023下·四川达州·八年级校考期末）如图，，点M、N分别在射线上，，的面积为12，P是直线上的动点，点P关于对称的点为，点P关于对称的点为，当点P在直线上运动时，的面积最小值为 ．
例3．（2022·山东泰安·中考真题）如图，，点M、N分别在边上，且，点P、Q分别在边上，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
例4．（2023春·湖北黄石·八年级统考期中）如图，在矩形中，，，、分别是和上的两个动点，为的中点，则
（1）的最小值是________；（2）若，则的最小值为________．
模型3.求两条线段差最大值
【模型解读】在一条直线m上，求一点P，使PA与PB的差最大；
（1）点A、B在直线m同侧：
延长AB交直线m于点P，根据三角形两边之差小于第三边，P’A-P’B＜AB，而PA-PB=AB此时最大，
因此点P为所求的点。
（2）点A、B在直线m异侧：
过B作关于直线m的对称点B’,连接AB’交点直线m于P,此时PB=PB’，PA-PB最大值为AB’
【最值原理】三角形两边之差小于第三边。
例1．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，在菱形中，，对角线交于点，，点为的中点，点为上一点，且，点为上一动点，连接，则的最大值为________．
例2．（2023春·湖南永州·八年级统考期中）如图，在矩形中，，O为对角线的中点，点P在边上，且，点Q在边上，连接与，则的最大值为____________，的最小值为__________．
例3．（2022·河南南阳·一模）如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝6，∠BCD＝15°，P为直线CD上的动点，则|PA－PB|的最大值为____．
例4．（2022·湖北·武汉八年级期末）如图，，为上一动点，，过作交直线于，过作交直线于点，若，当的值最大时，则 ________ ．
课后专项训练
1．（2022·四川资阳·中考真题）如图，正方形的对角线交于点O，点E是直线上一动点．若，则的最小值是( )
A．B．C．D．
2．（2022·山东菏泽·统考中考真题）如图，在菱形ABCD中，，M是对角线BD上的一个动点，，则的最小值为（ ）
A．1B．C．D．2
3．（2023·安徽·统考中考真题）如图，是线段上一点，和是位于直线同侧的两个等边三角形，点分别是的中点．若，则下列结论错误的是（ ）
A．的最小值为B．的最小值为
C．周长的最小值为6D．四边形面积的最小值为
4．（2023·广东深圳·校联考模拟预测）如图，点是正方形内部一个动点，且，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023春·福建厦门·八年级校联考期中）如图，在▱ABCD中，AB＝2，BC＝4，∠D＝60°，点P、Q分别是AC和BC上的动点，在点P和点Q运动的过程中，PB+PQ的最小值为（ ）
A．4B．3C．2D．4
6．（2023·安徽合肥·二模）如图，在矩形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA上的动点(不与端点重合)，若四点运动过程中满足AE=CG、BF=DH，且AB=10、BC=5，则四边形EFGH周长的最小值等于（ ）
A．10B．10C．5D．5
7．（2023·四川广元·一模）如图，已知正方形边长为3，点E在边上且，点P，Q分别是边，的动点（均不与顶点重合），当四边形的周长取最小值时，四边形的面积是（ ）
A．B．C．D．
8．（2022·江苏·九年级月考）如图，点，在直线的同侧，到的距离，到的距离，已知，是直线上的一个动点，记的最小值为，的最大值为，则的值为（ ）
A．160B．150C．140D．130
9．（2023上·山东菏泽·八年级统考期中）如图，中，，，，是的垂直平分线，分别交，于点E，F，点D是边的中点，点M是线段上一动点，则的最小值为（ ）
A．6B．7C．8D．9
10．（2023上·江苏连云港·九年级校联考阶段练习）如图，是的直径，，点在上，，为的中点，是直径上一动点，则的最小值是 ．
11．（2023下·四川达州·八年级校考期末）如图，，在的同侧，，，，点为的中点，若，则的最大值是 ．
12．（2023上·山东德州·八年级校考期中）如图，在中，，，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是 ．
13．（2022·重庆大渡口·九年级期中）如图，，∠ACB＝90°，BC＝AC＝4，平面内直线BC的左侧有一点P，连接BP，CP，，将沿BC翻折至同一平面得到，连接．若取得最大值时，则______．
14．（2023秋·江苏盐城·九年级统考期末）中，，，点P为高上的一个动点，连接，将射线绕点A顺时针旋转，交过点P与垂直的直线于点Q，连接，则周长的最小值是______．
15．（2023·山东日照·校考二模）如图，在边长为1的正方形中，E为边上一动点（点E，B不重合），以为直角边在直线上方作等腰直角三角形，，连接，则在点E的运动过程中，周长的最小值是______．
16．（2023·湖北武汉·校联考模拟预测）如图，己知长方体，是棱上任意一点，是侧面对角线上一点，则的最小值是________．
17．（2022·四川眉山·中考真题）如图，点为矩形的对角线上一动点，点为的中点，连接，，若，，则的最小值为________．
18．（2022·黑龙江·统考中考真题）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，，，AH是的平分线，于点E，点P是直线AB上的一个动点，则的最小值是________．
19．（2022·贵州铜仁·中考真题）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E为AD的中点，将△CDE沿CE翻折得△CME，点M落在四边形ABCE内．点N为线段CE上的动点，过点N作NP//EM交MC于点P，则MN+NP的最小值为________．
20．（2022·广西贺州·中考真题）如图，在矩形ABCD中，，E，F分别是AD，AB的中点，的平分线交AB于点G，点P是线段DG上的一个动点，则的周长最小值为__________．
21．（2023·江西南昌·九年级校联考阶段练习）如图，已知点，，在抛物线上．（1）求抛物线解析式；（2）在直线上方的抛物线上求一点，使的面积为；
（3）若点是抛物线对称轴上一动点，当的值最大时，求点的坐标；
22．（2023·广东深圳·九年级校考开学考试）已知，如图，函数y＝，的图象交于点A、B．
(1)直接写出A、B两点的坐标：A ，B ；(2)观察图象，直接写出不等式的解集： ；
(3)点P是坐标轴上的动点，当取得最小值时，求点P的坐标．
23．（2022·江苏连云港·中考真题）如图，四边形为平行四边形，延长到点，使，且．(1)求证：四边形为菱形；(2)若是边长为2的等边三角形，点、、分别在线段、、上运动，求的最小值．
24．（2022·海南·中考真题）如图1，矩形中，，点P在边上，且不与点B、C重合，直线与的延长线交于点E．
(1)当点P是的中点时，求证：；
(2)将沿直线折叠得到，点落在矩形的内部，延长交直线于点F．
①证明，并求出在（1）条件下的值；②连接，求周长的最小值；③如图2，交于点H，点G是的中点，当时，请判断与的数量关系，并说明理由．
25．（2023上·广西桂林·八年级校联考期中）数学模型学习与应用：
白日登山望峰火，黄昏饮马傍交河．——《古从军行》唐李欣
模型学习：诗中隐含着一个有趣的数学问题，我们称之为“将军饮马”问题．关键是利用轴对称变换，把直线同侧两点的折线问题转化为直线两侧的线段问题，“将军饮马”问题的数学模型如图1所示：在直线l上存在点P，使的值最小．
作法：作A点关于直线l的对称点，连接，与直线l的交点即为点P．此时的值最小．
模型应用：（1）如图2，已知为等边三角形，高，为上一动点，D为的中点．
①当的最小值时，在图中确定点P的位置（要有必要的画图痕迹，不用写画法）．
②则的最小值为 ．
模型变式：（2）如图3所示，某地有块三角形空地，已知，是内一点，连接后测得米，现当地政府欲在三角形空地中修一个三角形花坛，点，分别是，边上的任意一点（不与各边顶点重合），求周长的最小值．
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