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专题25 最值模型之将军遛马模型与将军过桥（造桥）模型-备战2024年中考数学常见模型题型归纳与总结高分突破（全国通用）
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这是一份专题25 最值模型之将军遛马模型与将军过桥（造桥）模型-备战2024年中考数学常见模型题型归纳与总结高分突破（全国通用），文件包含专题25最值模型之将军遛马模型与将军过桥造桥模型原卷版docx、专题25最值模型之将军遛马模型与将军过桥造桥模型解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共57页， 欢迎下载使用。
在解决将军遛马和将军过桥（造桥），不管是横向还是纵向的线段长度（定长），只要将线段按照长度方向平移即可，即可以跨越长度转化为标准的将军饮马模型，再依据同侧做对称点变异侧，异侧直接连线即可。利用数学的转化思想，将复杂模型变成基本模型就简单容易多了，从此将军遛马和将军过桥（造桥）再也不是问题！
模型1.将军遛马模型
【核心思路】去除定量，组合变量（通过几何变换将若干段原本彼此分类的线段组合到一起）。
【模型解读】已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧,且PQ间长度恒定,在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。(原理用平移知识解)
（1）点A、B在直线m两侧： （2）点A、B在直线m同侧：
图1 图2
（1）如图1，过A点作AC∥m,且AC长等于PQ长，连接BC,交直线m于Q,Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。
（2）如图2，过A点作AE∥m,且AE长等于PQ长，作B关于m的对称点B’,连接B’E,交直线m于Q,Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。
【最值原理】两点之间线段最短。
例1．（2023·黑龙江·九年级校考期中）问题背景（1）如图（1），在公路的一侧有，两个工厂，，到公路的垂直距离分别为和，，之间的水平距离为．现需把厂的产品先运送到公路上然后再转送到厂，则最短路线的长是_____．
问题探究（2）如图（2），和是腰长为2的两个全等的等腰直角三角形，，点，重合，点，重合，将沿直线平移，得到，连接，．试探究在平移过程中，是否存在最小值．若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．
问题解决（3）如图（3），A，B分别是河岸m一侧的两个旅游景点，它们到河岸的垂直距离分别是和，，的水平距离是．游客在景点游览完后，乘坐大巴先到河岸上的码头甲处，改乘游轮沿河航行到达码头乙，再乘坐大巴到达景点．请问码头甲，乙建在何处才能使从到的旅游路线最短，并求出最短路线的长．
【答案】（1）（2）存在，最小值为（3）最短路线长为
【分析】（1）根据最短路径的作法，找出最短路径，再利用矩形的性质，求出和的距离，最后利用勾股定理即可求出最短路径；
（2）根据平移的性质可知四边形和均为平行四边形，再利用最短路径作法得出即为最短距离，最后根据等腰直角三角形的性质和勾股定理即可求出答案；
（3）根据题意画图可知四边形为平行四边形，最后根据勾股定理即可求出答案．
【详解】解：（1） 如图 （1）， 点 是公路上的一点， 假设先把产品运送到点 处， 再转送到 厂， 作点 关于 的 对称点， 连接，， 连接 交于点，
则 ，，
当点 与点 重合时， 取得最小值， 为 的长．
连接， 交于点， 过点 作 于点， 过点 作， 垂足为点，
则，四边形 是矩形，
，，
又，，
即最短路线的长是．故答案为：．
（2） 存在．理由如下，如图 （2）， 过点 作直线， 作点 关于直线的对称点， 连接 ，，交直线于点， 过点 作交直线 于点， 连接，，， 则．
由平移知，．又 ，四边形 是平行四边形，
，由平移知，
又，四边形 是平行四边形，
当点 与点重合时， 最小， 最小值为 的长．
过点 作 交 的延长线于点， 则 为等腰直角三角形．
，，，
的最小值为．故答案为：存在，最小值为．
（3） 如图 （3），设码头乙为点， 码头甲为点， 连接，，
过点 作， 且， 作点 关于 的对称点， 连接 交于点．
连接， 则．是平行四边形， ，
点 ，N重合时，旅游路线最短．
过点 作直线， 过点 作 于点，
则 ，，，，
．故答案为：最短路线长为．
【点睛】本题考查了轴对称在最短路径问题中的应用，涉及到的知识点有矩形的性质、平行四边形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理，解题的关键在于如何利用轴对称找到最短路径．
例2．（2022·四川内江·统考中考真题）如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，点E、F分别是AB、DC上的动点，EF∥BC，则AF+CE的最小值是 _____．
【答案】10
【分析】延长BC到G，使CG＝EF，连接FG，证明四边形EFGC是平行四边形，得出CE＝FG，得出当点A、F、G三点共线时，AF+CE的值最小，根据勾股定理求出AG即可．
【详解】解：延长BC到G，使CG＝EF，连接FG，
∵，EF＝CG，∴四边形EFGC是平行四边形，
∴CE＝FG，∴AF+CE＝AF+FG，∴当点A、F、G三点共线时，AF+CE的值最小为AG，
由勾股定理得，AG＝＝＝10，∴AF+CE的最小值为10，故答案为：10．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，平行四边形的判定和性质，根据题意作出辅助线，得出当A、F、G三点共线时，AF+CE的值最小，是解题的关键．
例3．（2022·四川自贡·中考真题）如图，矩形中，，是的中点，线段在边上左右滑动；若，则的最小值为____________．
【答案】
【分析】如图，作G关于AB的对称点G'，在CD上截取CH=1，然后连接HG'交AB于E，在EB上截取EF=1，此时GE+CF的值最小，可得四边形EFCH是平行四边形，从而得到G'H=EG'+EH=EG+CF，再由勾股定理求出HG'的长，即可求解．
【详解】解：如图，作G关于AB的对称点G'，在CD上截取CH=1，然后连接HG'交AB于E，在EB上截取EF=1，此时GE+CF的值最小，
∴G'E=GE，AG=AG'，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AD=BC=2∴CH∥EF，
∵CH=EF=1， ∴四边形EFCH是平行四边形，∴EH=CF，∴G'H=EG'+EH=EG+CF，
∵AB=4，BC=AD=2，G为边AD的中点，∴AG=AG'=1 ∴DG′=AD+AG'=2+1=3，DH=4-1=3，
∴，即的最小值为．故答案为：
【点睛】此题主要考查了利用轴对称求最短路径问题，矩形的性质，勾股定理等知识，确定GE+CF最小时E，F位置是解题关键．
例4．（2023上·江苏盐城·九年级校联考阶段练习）如图，正方形内接于⊙O，线段在对角线上运动，若⊙O的周长为，，则周长的最小值是 ．
【答案】/
【分析】过点作，令；可推出四边形为平行四边形，有；根据可知当时，周长有最小值.
【详解】解：过点作，令
∵⊙O的周长为，∴⊙O的半径为∴
∵且∴四边形为平行四边形
∴ 由正方形的对称性可得：∴
∴故：当时，周长有最小值
此时：∴周长的最小值是故答案为：
【点睛】本题考查了正方形的性质、平行四边形的判定与性质等．推出当时，周长有最小值是解题关键．
例5．（2023秋·河南南阳·九年级校联考期末）如图，在边长为的正方形中将沿射线平移，得到，连接、．求的最小值为______．
【答案】
【分析】将△ABC沿射线CA平移到△AB′C′的位置，连接C′E、AE、DE，证出四边形ABGE和四边形EGCD均为平行四边形，根据平行四边形的性质和平移图形的性质，可得C′E=CE，CG=DE，可得EC+GC=C′E+ED，当点C′、E、D在同一直线时，C′E+ED最小，由勾股定理求出C′D的值即为EC+GC的最小值．
【详解】如图，将△ABC沿射线CA平移到△AB′C′的位置，连接C′E、AE、DE，
∵AB∥GE∥DC且AB=GE=DC，∴四边形ABGE和四边形EGCD均为平行四边形，
∴AE∥BG，CG=DE，∴AE⊥CC′，由作图易得，点C与点C′关于AE对称，C′E=CE，
又∵CG=DE，∴EC+GC=C′E+ED，当点C′、E、D在同一直线时，C′E+ED最小，
此时，在Rt△C′D′E中，C′B′=4，B′D=4+4=8， C′D=，
即EC+GC的最小值为，故答案为：．
【点睛】本题考查正方形的性质、图形的对称性、线段最短和平行四边形的性质与判定，解题的关键是将两条线段的和转化为同一条线段求解．
例6．（2023·贵州黔东南·统考一模）如图，在菱形中，对角线，的长分别为，，将沿射线的方向平移得到，分别连接，，，则的最小值为______．
【答案】
【分析】连接与交于点，延长到，使得，连接，证明，，得，当点、、三点共线时，的值最小，由勾股定理求得便可．
【详解】解：如图所示，连接与交于点，延长到，使得，连接，
四边形是菱形，，
，由平移性质知，，，，
，，
当点、、三点共线时，的值最小，
的最小值为：，故答案为：．
【点睛】本题考查了菱形的性质，平移的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
模型2.将军过桥（造桥）模型
【核心思路】去除定量，组合变量（通过几何变换将若干段原本彼此分类的线段组合到一起）。
【模型解读】
【单桥模型】已知，如图1将军在图中点A处，现要过河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？
考虑MN长度恒定，只要求AM+NB最小值即可．问题在于AM、NB彼此分离，所以首先通过平移，使AM与NB连在一起，将AM向下平移使得M、N重合，此时A点落在A’位置（图2 ）．
问题化为求A’N+NB最小值，显然，当共线时，值最小，并得出桥应建的位置（图3）．
图1 图2 图3
【双桥模型】已知，如图4，将军在图中点A处，现要过两条河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？
图4 图5 图6
考虑PQ、MN均为定值，所以路程最短等价于AP+QM+NB最小，对于这彼此分离的三段，可以通过平移使其连接到一起．AP平移至A'Q，NB平移至MB'，化AP+QM+NB为A'Q+QM+MB'．（如图5）
当A'、Q、M、B'共线时，A'Q+QM+MB'取到最小值，再依次确定P、N位置．（如图6）
【最值原理】两点之间线段最短。
例1．（2023.浙江八年级期中）同学们已经学过一些平行线的性质，其实平行线的性质还有一些：
（1）如图1，如果，在a上任取一点P，作PQ⊥b于点Q，则线段PQ的长度叫a，b之间的距离.
如果在a上再取一点M，作MN⊥b于点N，则线段MN可以看成由线段PQ平移得到，即MN=PQ，这就得到平行线的又一条性质：平行线间的距离处处相等．根据平移还有哪些线段相等 .
（2）刚在（1）中提到的平行线性质在河上建桥也有广泛的应用：如图2，直线a，b表示一条河的两岸，且. 现在要在这条河上建一座桥．使村庄A经桥过河到村庄B．现在由小明、小红两位同学设计：
小明：作AD⊥a，交a于点D，交b于点C． 在CD处建桥. 路径是A-C-D-B．
小红：作AD⊥a，交a，b于点D，点C；把CD平移至BE，连AE，交b于G，作GF⊥a于F. 在FG处建桥．路径是A-G-F-B．
问：小明、小红谁设计的路径长较短？再用平移等知识说明理由.
（3）假设新桥就按小红的设计在FG处实施建造了，上游还有一座旧桥，凌晨3点某船从旧桥下到新桥下，到达后立即返回，来回穿梭于两桥之间，船在静水每小时16千米，水流每小时4千米，在当晚23点时有人看见船在离旧桥80千米处行驶求这两桥之间的距离.
【答案】（1）PM=QN；（2）小红设计的路径较短，理由见解析；（3）200千米或120千米或100千米
【分析】(1)易得PQ∥MN，所以可得PM=QN；
(2)根据小明的路径=AC+CD+DB，小红的路径=AE+EB，由平移可知CD=EB，DB=CE，在△ACE中由两边之和大于第三边，可得出结论;
(3)需要分情况讨论：①船第一次到达新桥后返回距离旧桥80千米；
②船第一次返回旧桥，再向新桥行驶，距离旧桥80千米；
③船第二次到达新桥后返回距离旧桥80千米；
④船第二次返回旧桥，再向新桥行驶，距离旧桥80千米，这一次计算距离为60千米，不符合题意.
【详解】（1）∵PQ⊥b，MN⊥b，∴PQ∥MN，
则PM与QN都为线段PQ平移的距离,∴PM=QN
（2）小红设计的路径较短，理由如下：
小明的路径=AC+CD+DB，小红的路径=AE+EB，由平移可知CD=EB，DB=CE，在△ACE中AC+CE＞AE，所以小红设计的路径短.
（3）设两桥之间的距离为x千米(x>80)，旧桥到新桥为顺水，速度为16+4=20千米/小时，新桥到旧桥为逆水，速度为16-4=12千米/小时,行驶总时长为23-3=20小时.
①船第一次到达新桥后返回距离旧桥80千米，由题意得
解得
②船第一次返回旧桥，再向新桥行驶，距离旧桥80千米，由题意得
解得
③船第二次到达新桥后返回距离旧桥80千米，由题意得，
解得
④船第二次返回旧桥，再向新桥行驶，距离旧桥80千米，由题意得，
解得
因为船在两桥之间行驶，故此种情况不存在.
综上，两桥间的距离为200千米或120千米或100千米.
【点睛】本题考查最短路径设计问题，设计图可作为“造桥模型”记住，第（3）题考查船顺水于逆水航行问题，需要掌握顺水和逆水的速度计算，分类讨论是解题的关键.
例2．（2023.广东八年级专项训练）如图所示，某条护城河在处角转弯，河宽相同，从处到达处，须经过两座桥（桥宽不计，桥与河垂直），设护城河以及两座桥都是东西、南北走向的，恰当地造桥可使到的路程最短，请确定两座桥的位置．
【答案】见解析
【分析】由于含有固定线段“桥”，需要将点向下平移至点，点向右平移至点，构造平行四边形进行求解即可．
【详解】解：如图所示，将点向下平移至点，使的长等于河宽，将点向右平移至点，使的长等于河宽；连接，与河岸相交于点，；过点作于点D，过点作于点，则，即为两桥的位置．
，
【点睛】本题考查了轴对称—最短路径问题，由于有固定的长度的线段，常用的方法通过平移，构造平行四边形，将问题转化为平行四边形的问题解答．
例3．（2023·广西·二模）已知，在河的两岸有A，B两个村庄，河宽为4千米，A、B两村庄的直线距离AB＝10千米，A、B两村庄到河岸的距离分别为1千米、3千米，计划在河上修建一座桥MN垂直于两岸，M点为靠近A村庄的河岸上一点，则AM+BN的最小值为( )
A．2B．1+3C．3+D．
【答案】A
【分析】作BB'垂直于河岸，使BB′等于河宽，连接AB′，与靠近A的河岸相交于M，作MN垂直于另一条河岸，则MN∥BB′且MN＝BB′，于是MNBB′为平行四边形，故MB′＝BN；根据“两点之间线段最短”，AB′最短，即AM+BN最短，此时AM+BN＝AB′．
【详解】解：如图，作BB'垂直于河岸，使BB′等于河宽，连接AB′，与靠近A的河岸相交于M，作MN垂直于另一条河岸，则MN∥BB′且MN＝BB′，于是MNBB′为平行四边形，故MB′＝BN．
根据“两点之间线段最短”，AB′最短，即AM+BN最短．
∵AB＝10千米，BC＝1+3+4＝8千米，∴在RT△ABC中，，
在RT△AB′C中，B′C＝1+3＝4千米，∴AB′＝千米；故选A．
【点睛】本题考查了轴对称—最短路径问题，要利用“两点之间线段最短”，但许多实际问题没这么简单，需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而转化成两点之间线段最短的问题．目前，往往利用对称性、平行四边形的相关知识进行转化．
例4．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，中，，，，，；垂足分别为点F和E．点G和H分别是和上的动点，，那么的最小值为______．
【答案】
【分析】过点E作交于点I，连接．易求出，，．易证四边形为平行四边形，得出，即说明当最小时，最小．由当点I，H，C三点共线时，最小．结合平行四边形的判定和性质和勾股定理求出，即得出，即可得出答案．
【详解】解：如图，过点E作交于点I，连接．
∵中，，，∴，∴，
∴，．∵，，∴．
∵，∴四边形为平行四边形，∴．同理可得出．
∵，，∴四边形为平行四边形，
∴，∴四边形为平行四边形，
∴，∴，∴当最小时，最小．
∵当点I，H，C三点共线时，最小，∴此时最小，如图，
∵，∴．∵∴四边形为平行四边形，∴，，
∵，，∴，∴，∴，
∴的最小值为． 故答案为：．
【点睛】本题考查平行四边形的性质和判定，含30度角的直角三角形，勾股定理，平行线的判定，两点之间线段最短等知识．正确作出辅助线，理解当点I，H，C三点共线时，最小，即此时
最小是解题关键．
例5．（2023.山东中考二模）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0），经过点A（-1，0），B（3，0），C（0，3）三点．(1)求抛物线的解析式及顶点M的坐标；(2)连接AC、BC，N为抛物线上的点且在第四象限，当S△NBC=S△ABC时，求N点的坐标；(3)在（2）问的条件下，过点C作直线l∥x轴，动点P（m，3）在直线l上，动点Q（m，0）在x轴上，连接PM、PQ、NQ，当m为何值时，PM+PQ+QN最小，并求出PM+PQ+QN的最小值．
【答案】(1)y=-x2+2x+3，顶点M坐标为（1，4）；(2)点N坐标为（4，-5）；
(3)当m=时，PM+PQ+QN有最小值，最小值为3+3．
【分析】（1）将点A、B、C坐标代入解析式，解关于a、b、c的方程组可得函数解析式，配方成顶点式即可得点M坐标；（2）设N（t，-t2+2t+3）（t＞0），根据点N、C坐标用含t的代数式表示出直线CN解析式，求得CN与x轴的交点D坐标，即可表示BD的长，根据S△NBC=S△ABC，即S△CDB+S△BDN=AB•OC建立关于t的方程，解之可得；（3）将顶点M（1，4）向下平移3个单位得到点M′（1，1），连接M′N交x轴于点Q，连接PQ，此时M′、Q、N三点共线时，PM+PQ+QN=M′Q+PQ+QN取最小值，由点M′、N坐标求得直线M′N的解析式，即可求得点Q的坐标，据此知m的值，过点N作NE∥x轴交MM′延长线于点E，可得M′E=6、NE=3、M′N=3，即M′Q+QN=3，据此知m=时，PM+PQ+QN的最小值为3+3．
【详解】（1）解：∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（-1，0），B（3，0），C（0，3），
∴，解得：，∴y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，则抛物线的顶点M坐标为（1，4）；
（2）解：∵N是抛物线上第四象限的点，∴设N（t，-t2+2t+3）（t＞3），
又点C（0，3），设直线NC的解析式为y=k1x+b1，
则，解得：，∴直线NC的解析式为y=（-t+2）x+3，
设直线CN与x轴交于点D，当y=0时，x=，∴D（，0），BD=3-，
∵S△NBC=S△ABC，∴S△CDB+S△BDN=AB•OC，即BD•|yC-yN|= [3-（-1）]×3，
即×（3-）[3-（-t2+2t+3）]=6，整理，得：t2-3t-4=0，解得：t1=4，t2=-1（舍去），
当t=4时，-t2+2t+3=-5，∴点N坐标为（4，-5）；
（3）解：将顶点M（1，4）向下平移3个单位得到点M′（1，1），连接M′N交x轴于点Q，连接PQ，
则MM′=3，∵P（m，3）、Q（m，0），∴PQ⊥x轴，且PQ=OC=3，
∴PQ∥MM′，且PQ=MM′，∴四边形MM′QP是平行四边形，∴PM=QM′，
由作图知当M′、Q、N三点共线时，PM+PQ+QN=M′Q+PQ+QN取最小值，
设直线M′N的解析式为y=k2x+b2（k2≠0），
将点M′（1，1）、N（4，-5）代入，得：，解得：，
∴直线M′N的解析式为y=-2x+3，当y=0时，x=，∴Q（，0），即m=，
此时过点N作NE∥x轴交MM′延长线于点E，在Rt△M′EN中，∵M′E=1-（-5）=6，NE=4-1=3，
∴M′N=， ∴M′Q+QN=3，∴当m=时，PM+PQ+QN的最小值为3+3．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式、平行四边形的判定与性质、勾股定理及根据两点间线段最短得到点P、Q的位置．
例6．（2023春·湖北武汉·八年级统考期中）如图，在中，，，M、N分别是、边上的动点，且，则的最小值是________．
【答案】
【分析】由可知为定长，在、间滑动，故由造桥选址模型进行平移，转化为两点间距离加上定长，再利用特殊角构造直角三角形，使用勾股定理求出两点间距离．
【详解】作交于点E，在取，连接，延长至点，使，连接，作于点，如下图：
，，为等边三角形，，
，，四边形为平行四边形，
同理得四边形与四边形为平行四边形，，，，
，
中，，
中，
，的最小值是．
【点睛】本题考查平移类最短路径，为造桥选址模型，即沿一个方向平移的定长线段两端到两个定点距离和最小，解题时需要理清楚是否含有定长平移线段，且利用平移求出最短路径位置．求解长度时若有特殊角，通常采用构造直角三角形利用勾股定理求解的方法．
课后专项训练
1．（2021·四川南充市·中考真题）如图，在矩形ABCD中，，，把边AB沿对角线BD平移，点，分别对应点A，B．给出下列结论：①顺次连接点，，C，D的图形是平行四边形；②点C到它关于直线的对称点的距离为48；③的最大值为15；④的最小值为．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【分析】根据平移的性质和平行四边形的判定方法判断①，再利用等积法得出点C到BD的距离，从而对②做出判断，再根据三角形的三边关系判断③，如图，作关于的对称点，交于 连接，过作于 分别交于 证明 是最小值时的位置，再利用勾股定理求解，对④做出判断．
【详解】解：由平移的性质可得AB//且AB=
∵四边形ABCD为矩形∴AB//CD，AB=CD=15∴//CD且=CD
∴四边形CD为平行四边形，故①正确
在矩形ABCD中，BD===25,过A作AM⊥BD，CN⊥BD，则AM=CN
∴S△ABD=AB·CD= BD·AM∴AM=CN==12∴点C到的距离为24
∴点C到它关于直线的对称点的距离为48∴故②正确
∵∴当在一条直线时最大，此时与D重合
∴的最大值==15∴故③正确，
如图，作关于的对称点，交于 连接，过作于 分别交于 则 为的中位线， ，
由可得，
此时最小，由②同理可得：
设 则
由勾股定理可得：
整理得： 解得：（负根舍去），
∴故④正确故选D．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，矩形的性质以及平移的性质,锐角三角函数的应用等知识点，熟练掌握相关的知识是解题的关键．
2．（2023安徽中考学二模）如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，点E、F在对角线BD上运动，且EF＝2，连接AE、AF，则△AEF周长的最小值是（ ）
A．4B．4+C．2+2D．6
【答案】D
【分析】作AH∥BD，使得AH＝EF＝2，连接CH交BD于F，则AE+AF的值最小，进而得出△AEF周长的最小值即可．
【详解】解：如图作AH∥BD，使得AH＝EF＝2，连接CH交BD于F，则AE+AF的值最小，即△AEF的周长最小．
∵AH＝EF，AH∥EF，∴四边形EFHA是平行四边形，∴EA＝FH，∵FA＝FC，∴AE+AF＝FH+CF＝CH，
∵菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，∴AC＝AB＝2，
∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵AH∥DB，∴AC⊥AH，∴∠CAH＝90°，
在Rt△CAH中，CH＝ ∴AE+AF的最小值4，
∴△AEF的周长的最小值＝4+2＝6，故选：D．
【点睛】本题考查菱形的性质与动点问题最小值，构造辅助线转化相关的线段是解题关键．
3．（2022·重庆九龙坡·统考一模）如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将△ABD沿射线BD方向平移，得到△EFG，连接EC、GC．则EC+GC的最小值为（ ）
A．2B．4C．2D．4
【答案】B
【分析】连接AE，作点D关于直线AE的对称点H，连接DE，DH，EH，AH，CH．由平移和菱形的性质可证明四边形CDEG为平行四边形，即得出，从而可得出，即CH的长为的最小值．最后根据等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质与勾股定理求出CH的长即可．
【详解】如图，连接AE，作点D关于直线AE的对称点H，连接DE，DH，EH，AH，CH．
由平移的性质可知，．∵四边形ABCD为菱形，
∴，，，
∴，，∴四边形CDEG为平行四边形，∴．
由轴对称的性质可知，，，∴，
∴，即CH的长为的最小值．
∵，，∴四边形为平行四边形，∴，
∴，∴，∴为等边三角形，
∴，，∴，∴，
即为顶角是120°，底角为30°的等腰三角形，
结合含30°角的直角三角形和勾股定理即可求．故选B．
【点睛】本题考查平移的性质，菱形的性质，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，轴对称变换，含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，综合性强，为选择题中的压轴题．正确的作出辅助线是解题关键．
4．（2023·安徽合肥·合肥寿春中学校考三模）在边长为2的正方形中，点E、F是对角线上的两个动点，且始终保持，连接、，则的最小值为（ ）
A．B．3C．D．
【答案】B
【分析】过点作使，易得四边形为平行四边形，得到，进而得到，得到三点共线时，有最小值即为的长，利用勾股定理进行求解即可．
【详解】解：过点作使，则：四边形为平行四边形，
∴，∴，∴当三点共线时，有最小值即为的长，
∵四边形为正方形，∴，，，
∴，，∴，即：的最小值为3．故选B．
【点睛】本题考查正方形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理．解题的关键是构造平行四边形，进行线段的转化．
5．（2023·广东·九年级期中）如图，CD是直线x＝1上长度固定为1的一条动线段．已知A（﹣1，0），B（0，4），则四边形ABCD周长的最小值为 _________________．
【答案】
【分析】在y轴上取点E，使BE＝CD＝1，则四边形BCDE为平行四边形，根据勾股定理得到AB，作点A关于直线x＝1的对称点A'，得到A'、E、D三点共线时，AD+DE最小值为A'E的长，根据勾股定理求出A'E，即可得解；
【详解】解：如图，在y轴上取点E，使BE＝CD＝1，则四边形BCDE为平行四边形，
∵B（0，4），A（﹣1，0），∴OB＝4，OA＝1，∴OE＝3，AB＝，
作点A关于直线x＝1的对称点A'，∴A'（3，0），AD＝A'D，
∴AD+DE＝A'D+DE，即A'、E、D三点共线时，AD+DE最小值为A'E的长，
在Rt△A'OE中，由勾股定理得A'E＝，
∴C四边形ABCD最小值＝AB+CD+BC+AD＝AB+CD+A'E＝+1+5＝+6．故答案为：．
【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题、勾股定理、位置与坐标，准确分析作图计算是解题的关键．
6．（2022·浙江金华·八年级期末）在综合实践课上，小明把边长为2cm的正方形纸片沿着对角线AC剪开，如图l所示．然后固定纸片△ABC，把纸片△ADC沿AC的方向平移得到△A′D′C′，连A′B，D′B，D′C，在平移过程中：（1）四边形A′BCD′的形状始终是 __；（2）A′B+D′B的最小值为 __．
【答案】 平行四边形 2
【分析】（1）利用平移的性质证明即可．（2）如图2中，作直线DD′，作点C关于直线DD′的对称点C″，连接D′C″，BC″，过点B作BH⊥CC″于H．求出BC″，证明A′B+BD′=BD′+CD′=BD′+D′C″≥BC″，可得结论．
【详解】解：（1）如图2中，∵A′D′=BC，A′D′∥BC，
∴四边形A′BCD′是平行四边形，故答案为：平行四边形．
（2）如图2，作直线DD′，作点C关于直线DD′的对称点C″，连接D′C″，BC″，过点B作BH⊥CC″于H．
∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=2，∠ABC=90°，∴AC=AB=2，
∵BJ⊥AC，∴AJ=JC，∴BJ=AC=，∵∠BJC=∠JCH=∠H=90°，∴四边形BHCJ是矩形，
∵BJ=CJ，∴四边形BHCJ是正方形，∴BH=CH=，在Rt△BHC″中，BH=，HC″=3，
∴，
∵四边形A′BCD′是平行四边形，∴A′B=CD′，∴A′B+BD′=BD′+CD′=BD′+D′C″≥BC″，
∴A′B+BD′≥2，∴A′B+D′B的最小值为2，故答案为：2．
【点睛】本题考查作图-平移变换，轴对称最短问题，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．
7．（2022下·辽宁沈阳·八年级沈阳市第一二六中学校考阶段练习）如图，在矩形 ABCD 中，AD=BC=3，∠DBC=60°，将△DAB 沿射线 DB方向平移得到△D’A’B’，连接 CD’和 CB’， 则 CD’+CB’的最小值为 ．
【答案】
【分析】作C点关于BD的对称点C' ，连接 过点作过点C'作，两平行线交于点G，则四边形是平行四边形，当C，G，三点共线时， 的值最小，求出CG的值即可所求．
【详解】解：如图所示：作C点关于BD的对称点，连接
过点作过点C'作，两平行线交于点G，
∴四边形是平行四边形，
∴当三点共线时，的值最小，最小值为CG的长度，
在中，在中，故答案为：
【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，通过构造平行四边形边进行转化，再利用将军饮马问题进行求解是解题的关键．
8．（2023·山东潍坊·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，，是轴上的一条动线段，且，当取最小值时，点坐标为______.
【答案】
【分析】如图把点A向右平移1个单位得到E（1，1），作点E关于x轴的对称点F（1，-1），连接BF，BF与x轴的交点即为点Q，此时AP+PQ+QB的值最小，求出直线BF的解析式，即可解决问题．
【详解】解：如图把点4向右平移1个单位得到E（1，1），作点E关于x轴的对称点F（1，-1），连接BF，BF与x轴的交点即为点Q，此时4P+PQ+QB的值最小.
设最小BF的解析式为y=kx+b，则有解得
∴直线BF的解析式为y=x-2，令y=0，得到x=2.
∴Q（2.0）故答案为（2，0）.
【点睛】本题考查轴对称最短问题、坐标与图形的性质、一次函数的应用等知识，解题的关键是学会利用对称解决最短问题，学会构建一次函数解决交点问题，属于中考常考题型
9．（2023·四川成都·模拟预测）如图，菱形的边在轴上，顶点坐标为，顶点坐标为，点在轴上，线段轴，且点坐标为，若菱形沿轴左右运动，连接、，则运动过程中，四边形周长的最小值是________．
【答案】13+
【分析】由题意可知AD、EF是定值，要使四边形周长的最小，AE＋DF的和应是最小的，运用“将军饮马”模型，根据点E关于AD的对称点为O，过点A作AF1∥DF，当O，A，F1三点共线时，AE+DF=OA+AF1=OF1，为所求线段和的最小值，再求四边形周长的最小值．
【详解】∵点坐标为，点坐标为，∴OC＝4，OD＝3，
∴在Rt△COD中，CD＝5，∵四边形是菱形，∴AD＝CD＝5，
∵坐标为，点 在轴上，线段轴，∴EF＝8，
连接OA，过点A作AF1∥DF交EF于点F1，
则四边形ADFF1是平行四边形，FF1=AD=5，∴EF1=EF-FF1=3，
∵点E，O关于AD对称，∴OA=AE，
当O，A，F1三点共线时，AE+DF=OA+AF1=OF1，为所求线段和的最小值，
在Rt△OEF1中，OF1＝，∴四边形周长的最小值：
AD＋EF＋AE＋DF＝ AD＋EF＋ OF1＝5＋8＋＝13+．
【点睛】本题考查菱形，勾股定理，平移，轴对称，解决问题的关键是熟练掌握菱形的性质，勾股定理解直角三角形，平移图形全等性，轴对称性质．
10．（2023·重庆·校考三模）如图，在边长为1的菱形ABCD中，，将沿射线BD的方向平移得到，分别连接，，，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】过点C作直线，以直线l为对称轴作点的对称点E，连接CE，，AC，证明，求得，根据三角形三边关系可知当点，C，E共线时，的最小值是．
【详解】解：如图，过点C作直线，以直线l为对称轴作点的对称点E，连接CE，，AC，
设AC与BD交于点O，与直线l交于点F，则，，，
由，，易得，，
，由平移的性质可知，，
，，，，，
在中，，，，，
在中，由三角形的三边关系可得，
当点，C，E共线时，，即的最小值是，故答案为：．
【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题，菱形的性质，全等三角形的判定与性质，平移的性质，正确的理解题意是解答本题的关键．
11．（2023.广东省深圳市九年级期中）如图1，已知平行四边形ABCO，以点O为原点，OC所在的直线为x轴，建立直角坐标系，AB交y轴于点D，AD=2，OC=6，∠A=60°，线段EF所在的直线为OD的垂直平分线，点P为线段EF上的动点，PM⊥x轴于点M点，点E与E′关于x轴对称，连接BP、E′M．
（1）请直接写出点A的坐标为_____，点B的坐标为_____；
（2）当BP+PM+ME′的长度最小时，请直接写出此时点P的坐标为_____；
【答案】（1）（﹣2，2），（4，2）；（2）（2，）；
【分析】（1）由30°直角三角形的性质求出OD的长，再由平行四边形的性质求出BD的长即可解决问题；
（2）首先证明四边形OPME′是平行四边形，可得OP=EM，因为PM是定值，推出PB+ME′=OP+PB的值最小时，BP+PM+ME′的长度最小；
【详解】解：（1）如图1中，
在Rt△ADO中，∵∠A=60°，∴∠AOD=30°．∵AD=2，∴OD =2，∴A（﹣2，2），
∵四边形ABCO是平行四边形，∴AB=OC=6，∴DB=6﹣2=4，∴B（4，2）；
（2）如图1中，连接OP．
∵EF垂直平分线段OD，PM⊥OC，∴∠PEO=∠EOM=∠PMO=90°，∴四边形OMPE是矩形，∴PM=OE=．
∵OE=OE′，∴PM=OE′，PM∥OE′，∴四边形OPME′是平行四边形，∴OP=EM，
∵PM是定值，∴PB+ME′=OP+PB的值最小时，BP+PM+ME′的长度最小，∴当O、P、B共线时，BP+PM+ME′的长度最小．∵直线OB的解析式为y=x，∴P（2，）．故答案为（2，）．
【点睛】本题考查了四边形综合题、平行四边形的性质、等腰三角形的判定和性质、最短问题等知识，解题的关键是学会利用两点之间线段最短，解决最短问题．
12．（成都市2022-2023学年八年级期末）如图，在平面直角坐标系中有，两点．将直线：向上平移个单位长度得到直线，点在直线上，过点作直线的垂线，垂足为点，连接，，，则折线的长的最小值为 ．
【答案】
【分析】先证四边形是平行四边形，可得，则，即当点，点，点三点共线时，有最小值为的长，即有最小值，即可求解．
【详解】解：如图，将点沿轴向下平移个单位得到，以为斜边，作等腰直角三角形，则点，连接，
是等腰直角三角形，，，
将直线：向上平移个单位长度得到直线，，，
，，，
，，，四边形是平行四边形，
，，
当点，点，点三点共线时，有最小值为的长，即有最小值，
点，点，，
折线的长的最小值为，故答案为：．
【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题，平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，一次函数的应用，添加恰当辅助线构造平行四边形是解题的关键．
13．（广西2021年中考数学真题）如图，已知点，，两点，在抛物线上，向左或向右平移抛物线后，，的对应点分别为，，当四边形的周长最小时，抛物线的解析式为 ．
【答案】．
【分析】先通过平移和轴对称得到当B、E、三点共线时，的值最小，再通过设直线的解析式并将三点坐标代入，当时，求出a的值，最后将四边形周长与时的周长进行比较，确定a的最终取值，即可得到平移后的抛物线的解析式．
【详解】解：∵，，，，
∴，，由平移的性质可知：,
∴四边形的周长为；
要使其周长最小，则应使的值最小；
设抛物线平移了a个单位，当a>0时，抛物线向右平移，当a<0时，抛物线向左平移；
∴，，将向左平移2个单位得到，则由平移的性质可知：，
将关于x轴的对称点记为点E，则，由轴对称性质可知，,
∴，当B、E、三点共线时，的值最小，
设直线的解析式为：，∴，
当时，∴∴，
将E点坐标代入解析式可得：，解得：，
此时，
此时四边形的周长为；
当时，，，，，
此时四边形的周长为：；
∵，∴当时，其周长最小，
所以抛物线向右平移了个单位，所以其解析式为：；故答案为：．
【点睛】本题综合考查了平移、轴对称、一次函数的应用、勾股定理、抛物线的解析式等内容，解决本题的关键是理解并确定什么情况下该四边形的周长最短，本题所需综合性思维较强，对学生的综合分析和计算能力要求都较高，本题蕴含了数形结合与分类讨论的思想方法等．
14．（2023上·陕西西安·九年级校考阶段练习）（1）问题提出如图①，在中，，点D，E分别是的中点．若点M，N分别是和上的动点，则的最小值是______．
（2）问题探究：如图②，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥（与河床垂直），桥造在何处，才能使从A到B的路径最短．博琳小组针对该问题展开讨论，小旭同学认为：过A作河岸的垂线，使，为河宽，连接，与河的一岸交于点N，此时在点N处建桥，可使从A到B的路径最短．你认为小旭的说法正确吗？请说明理由．（3）问题解决：如图③，在矩形中，．E、F分别在上，且满足，．若边长为10的正方形在线段上运动，连接，当取值最小时，求的长．
【答案】（1）3；（2）小旭的说法正确，理由见解析；（3）38或14
【分析】（1）连接，过点A作于点F，根据两点之间线段最短，可得当时，最短，此时点N与点F重合，即的最小值为的长，再根据直角三角形的性质，即可求解；
（2）根据题意可得四边形为平行四边形，从而得到，再根据“两点之间线段最短”，当点，N，B三点共线时，最短，即可求解；
（3）过点N分别作，分别交于点H，G，连接交于点T，过点G作于点X，则，，证明四边形，四边形都是平行四边形， 可得，从而得到当点H，T，G三点共线时，的值最小，此时点N与点T重合，然后证明，可得，可求得的长；过点Q分别作，分别交于点K，L，连接交于点S，当点K，S，L三点共线时，的值最小，此时点N与点S重合，同理可求出的长，即可求解．
【详解】解：（1）如图，连接，过点A作于点F，∴，
当时，最短，此时点N与点F重合，即的最小值为的长，
∵，∴，∴，
∴的最小值为3；故答案为：3
（2）解：小旭的说法正确，理由如下：根据题意得：，，
∴四边形为平行四边形，∴，
根据“两点之间线段最短”，当点，N，B三点共线时，最短，
∵为河宽，∴在点N处建桥，可使从A到B的路径最短．
（3）如图，过点N分别作，分别交于点H，G，连接交于点T，过点G作于点X，则，，
根据题意得：，，
∴四边形，四边形都是平行四边形，
∴，∴，
即当点H，T，G三点共线时，的值最小，此时点N与点T重合，
∵，∴，，，
∵，∴，∴，∴，解得：，
∴；
如图，过点Q分别作，分别交于点K，L，连接交于点S，当点K，S，L三点共线时，的值最小，此时点N与点S重合，同理；
综上所述，当取值最小时，的长为38或14．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，两点之间，线段最短，熟练掌握直角三角形的性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，利用类比思想解答是解题的关键．
15．（2023.广安九年级月考）如图，抛物线，经过点，，三点．求抛物线的解析式及顶点M的坐标；连接AC、MB，P为线段MB上的一个动点（不与点M、B重合），过点P作x轴的垂线PQ，若OQ=a，四边形ACPQ的面积为s，求a为何值时，面积s最大；
点N是抛物线上第四象限的一个定点，坐标为 ，过点C作直线轴，动点在直线l上，动点在x轴上，连接PM、PQ、NQ，当m为何值时，的和最小，并求出和的最小值．
【答案】（1）；M（1,4）
（2）当，面积最大，最大为.
（３）
【分析】（1）抛物线过，，可求得解析式；
（2）将用含的代数式表示，并配方成顶点式求出最大值；
（3）根据选址造桥模型，将顶点向下平移三个单位得，当 在同一条直线上时，取得最小值.
【详解】(1)∵抛物线经过点，，,
∴ 解得 ∴=,顶点M的坐标为（1,4）
（2）连接AC、MB，P为线段MB上的一个动点（不与点M、B重合），过点P作x轴的垂线PQ.设P点的坐标为 ，如图所示.
∵P在直线MB上，，，设直线MB为
解得 直线MB的解析式为，P点坐标为
∵，，， ∴，，
∵
整理
∴即当，面积最大，最大为.
（3）将顶点向下平移三个单位得 ，连接 交轴于点，连接．如图所示，则.
∵，∴轴，且
∴，四边形为平行四边形
∴,有图知三点共线时，取最小值.
设直线的解析式为，将点，N
求得直线的解析式为，当时，，即，即，
此时过点作轴交延长线与点，
在中，，，
∴,∴,即,
∴当时，的最小值为.
【点睛】本题考查二次函数的综合问题，求最大值将函数用顶点式表示，其中第三问根据选址造桥模型确定M对应点的位置，当 在同一条直线上时，取得最小值.进而求解.
16．（2023·陕西咸阳·校考一模）【问题提出】（1）如图1，点A、B在直线l的同侧，点A到直线l的距离，点B到直线l的距离，A、B两点的水平距离，点P是直线l上的一个动点，则的最小值是________；
【问题探究】（2）如图2，在矩形中，，，G是的中点，线段在边上左右滑动，若，求的最小值；
【问题解决】（3）如图3，某公园有一块形状为四边形的空地，管理人员规划修两条小路和（小路的宽度忽略不计，两条小路交于点P），并在和上分别选取点M、N，沿、和修建地下水管，为了节约成本，要使得线段、与之和最小．
已测出，，，，，管理人员的想法能否实现，若能，请求出的最小值，若不能，请说明理由．
【答案】（1）10；（2）；（3）能实现，最小值为．
【分析】（1）作点A关于直线l的对称点，连接交直线l于P，则的值最小，且的最小值，根据矩形的性质得到，，根据勾股定理即可得到结论；
（2）如图，作G关于的对称点，在上截取，连接，，，则，根据平行四边形的性质得到，根据三角形的三边关系得到，根据勾股定理即可得到结论；
（3）作点P关于、的对称点E、F，连接，分别交、于点O、H，则，，连接，与、的交点即为点M、N的位置，连接，，此时，，的长就是的最小值，过点E作交的延长线于点G，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】.解：（1）如图，作点A关于直线l的对称点，连接交直线l于P，则的值最小，且的最小值，过作于E，则，，
∴，∴即的最小值是10；
（2）如图，作G关于的对称点，在上截取，
连接，，，则，
，，四边形是平行四边形，，
，，，G为的中点，
，，由勾股定理得，
，即的最小值为：；
（3）管理人员的想法能实现，
作点P关于、的对称点E、F，连接，分别交、于点O、H， ，，连接，与、的交点即为点M、N的位置，连接，，此时，，的长就是的最小值，过点E作交的延长线于点G，
，，，，，，
，，，，
，，，
，，，，
，，，.
在中，，的最小值为.
【点睛】本题是四边形的综合题，考查了轴对称-最短路线问题及矩形的性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
17．（2023上·重庆万州·九年级校考期中）如图，直线的图象与轴和轴分别交于点和点，的垂直平分线与轴交于点，与交于点，连接．(1)如图1，求的长；(2)如图2，若点是射线上的动点，点和点是轴上的两个动点，且，当的面积为时，求的最小值。
【答案】(1)(2)的最小值为
(3)存在以为顶点的四边形是菱形，所有满足条件的点的坐标为或或
【分析】（1）根据一次函数与坐标轴的交点的方法，令，，即可求解；（2）根据题意可求出的面积，再根据的面积为时，可求出点的坐标，根据“造桥求最短路径的方法”即可求解；
【详解】（1）解：∵直线的图象与轴和轴分别交于点和点，
∴令，则；令，则；∴，，∴，
∵是的垂直平分线，∴，设，则，
∴在中，，∴，
解得，，即，∴．
（2）解：已知，，是的垂直平分线，
∴，即，且，∴，
∵，，设所在直线的解析式为，
∴，解得，，∴所在直线的解析式为，
∵点在直线的图象上，∴设，∴，
∴，∴，整理得，，
解得，，，∴，，
∵点是射线上的动点，，∴舍去，∴点的坐标为，
∴当时，如图所示，作点关于轴对称的点，将线段向上平移至点与点重合，即，此时点三点共线，即四边形是平行四边形，则，此时的值最小，
∴，∵，∴，
如上所示，过点作轴于点，过点作轴于点，且，
∴，则，，
∴在中，，则，
∴的值最小为．
【点睛】本题主要考查一次函数与几何图形的综合，掌握一次函数与坐标轴交点的计算方法，对称最段路径的计算方法，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识的综合运用是解题的关键．
18．（2023·江苏南京·模拟预测）【模型介绍】
古希腊有一个著名的“将军饮马问题”，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸同侧的两个军营．他总是先去营，再到河边饮马，之后，再巡查营．如图①，他时常想，怎么走才能使每天走的路程之和最短呢？大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题．如图②，作点关于直线的对称点，连结与直线交于点，连接，则的和最小．请你在下列的阅读、理解、应用的过程中，完成解答．理由：如图③，在直线上另取任一点，连结，，，∵直线是点，的对称轴，点，在上，
（1）∴__________，_________，∴____________．在中，∵，∴，即最小．
【归纳总结】在解决上述问题的过程中，我们利用轴对称变换，把点在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即转化为“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中点为与的交点，即，，三点共线）．由此，可拓展为“求定直线上一动点与直线同侧两定点的距离和的最小值”问题的数学模型．
【模型应用】（2）如图④，正方形的边长为4，为的中点，是上一动点．求的最小值．
解析：解决这个问题，可借助上面的模型，由正方形对称性可知，点与关于直线对称，连结交于点，则的最小值就是线段的长度，则的最小值是__________．
（3）如图⑤，圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为，在杯内离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁到达蜂的最短路程为_____．
（4）如图⑥，在边长为2的菱形中，，将沿射线的方向平移，得到，分别连接，，，则的最小值为____________．
【答案】（1），，；（2）；（3）17；（4）
【分析】（1）根据对称性即可求解；
（2）根据正方形的对称性知B关于AC的对称点是D，连接ED，则ED是的最小值；
（3）先将玻璃杯展开，再根据勾股定理求解即可；
（4）分析知：当与垂直时，值最小，再根据特殊角计算长度即可；
【详解】解：（1）根据对称性知：，
故答案为：，，；
（2）根据正方形的对称性知B关于AC的对称点是D，连接ED ∴ED是的最小值
又∵正方形的边长为4，E是AB中点∴ ∴的最小值是；
（3）由图可知：蚂蚁到达蜂的最短路程为 的长度：
∵ ∴
∴
（4）∵在边长为2的菱形ABCD中，，将沿射线的方向平移，得到
∴ 当与垂直时，值最小
∵ ∴四边形是矩形，
∴ ∴
【点睛】本题考查“将军饮马”知识迁移，掌握“将军饮马”所遵循的数学原理，判断出最小是解题关键．
在解决将军遛马和将军过桥（造桥），不管是横向还是纵向的线段长度（定长），只要将线段按照长度方向平移即可，即可以跨越长度转化为标准的将军饮马模型，再依据同侧做对称点变异侧，异侧直接连线即可。利用数学的转化思想，将复杂模型变成基本模型就简单容易多了，从此将军遛马和将军过桥（造桥）再也不是问题！
模型1.将军遛马模型
【核心思路】去除定量，组合变量（通过几何变换将若干段原本彼此分类的线段组合到一起）。
【模型解读】已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧,且PQ间长度恒定,在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。(原理用平移知识解)
（1）点A、B在直线m两侧： （2）点A、B在直线m同侧：
图1 图2
（1）如图1，过A点作AC∥m,且AC长等于PQ长，连接BC,交直线m于Q,Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。
（2）如图2，过A点作AE∥m,且AE长等于PQ长，作B关于m的对称点B’,连接B’E,交直线m于Q,Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。
【最值原理】两点之间线段最短。
例1．（2023·黑龙江·九年级校考期中）问题背景（1）如图（1），在公路的一侧有，两个工厂，，到公路的垂直距离分别为和，，之间的水平距离为．现需把厂的产品先运送到公路上然后再转送到厂，则最短路线的长是_____．
问题探究（2）如图（2），和是腰长为2的两个全等的等腰直角三角形，，点，重合，点，重合，将沿直线平移，得到，连接，．试探究在平移过程中，是否存在最小值．若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．
问题解决（3）如图（3），A，B分别是河岸m一侧的两个旅游景点，它们到河岸的垂直距离分别是和，，的水平距离是．游客在景点游览完后，乘坐大巴先到河岸上的码头甲处，改乘游轮沿河航行到达码头乙，再乘坐大巴到达景点．请问码头甲，乙建在何处才能使从到的旅游路线最短，并求出最短路线的长．
【答案】（1）（2）存在，最小值为（3）最短路线长为
【分析】（1）根据最短路径的作法，找出最短路径，再利用矩形的性质，求出和的距离，最后利用勾股定理即可求出最短路径；
（2）根据平移的性质可知四边形和均为平行四边形，再利用最短路径作法得出即为最短距离，最后根据等腰直角三角形的性质和勾股定理即可求出答案；
（3）根据题意画图可知四边形为平行四边形，最后根据勾股定理即可求出答案．
【详解】解：（1） 如图 （1）， 点 是公路上的一点， 假设先把产品运送到点 处， 再转送到 厂， 作点 关于 的 对称点， 连接，， 连接 交于点，
则 ，，
当点 与点 重合时， 取得最小值， 为 的长．
连接， 交于点， 过点 作 于点， 过点 作， 垂足为点，
则，四边形 是矩形，
，，
又，，
即最短路线的长是．故答案为：．
（2） 存在．理由如下，如图 （2）， 过点 作直线， 作点 关于直线的对称点， 连接 ，，交直线于点， 过点 作交直线 于点， 连接，，， 则．
由平移知，．又 ，四边形 是平行四边形，
，由平移知，
又，四边形 是平行四边形，
当点 与点重合时， 最小， 最小值为 的长．
过点 作 交 的延长线于点， 则 为等腰直角三角形．
，，，
的最小值为．故答案为：存在，最小值为．
（3） 如图 （3），设码头乙为点， 码头甲为点， 连接，，
过点 作， 且， 作点 关于 的对称点， 连接 交于点．
连接， 则．是平行四边形， ，
点 ，N重合时，旅游路线最短．
过点 作直线， 过点 作 于点，
则 ，，，，
．故答案为：最短路线长为．
【点睛】本题考查了轴对称在最短路径问题中的应用，涉及到的知识点有矩形的性质、平行四边形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理，解题的关键在于如何利用轴对称找到最短路径．
例2．（2022·四川内江·统考中考真题）如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，点E、F分别是AB、DC上的动点，EF∥BC，则AF+CE的最小值是 _____．
【答案】10
【分析】延长BC到G，使CG＝EF，连接FG，证明四边形EFGC是平行四边形，得出CE＝FG，得出当点A、F、G三点共线时，AF+CE的值最小，根据勾股定理求出AG即可．
【详解】解：延长BC到G，使CG＝EF，连接FG，
∵，EF＝CG，∴四边形EFGC是平行四边形，
∴CE＝FG，∴AF+CE＝AF+FG，∴当点A、F、G三点共线时，AF+CE的值最小为AG，
由勾股定理得，AG＝＝＝10，∴AF+CE的最小值为10，故答案为：10．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，平行四边形的判定和性质，根据题意作出辅助线，得出当A、F、G三点共线时，AF+CE的值最小，是解题的关键．
例3．（2022·四川自贡·中考真题）如图，矩形中，，是的中点，线段在边上左右滑动；若，则的最小值为____________．
【答案】
【分析】如图，作G关于AB的对称点G'，在CD上截取CH=1，然后连接HG'交AB于E，在EB上截取EF=1，此时GE+CF的值最小，可得四边形EFCH是平行四边形，从而得到G'H=EG'+EH=EG+CF，再由勾股定理求出HG'的长，即可求解．
【详解】解：如图，作G关于AB的对称点G'，在CD上截取CH=1，然后连接HG'交AB于E，在EB上截取EF=1，此时GE+CF的值最小，
∴G'E=GE，AG=AG'，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AD=BC=2∴CH∥EF，
∵CH=EF=1， ∴四边形EFCH是平行四边形，∴EH=CF，∴G'H=EG'+EH=EG+CF，
∵AB=4，BC=AD=2，G为边AD的中点，∴AG=AG'=1 ∴DG′=AD+AG'=2+1=3，DH=4-1=3，
∴，即的最小值为．故答案为：
【点睛】此题主要考查了利用轴对称求最短路径问题，矩形的性质，勾股定理等知识，确定GE+CF最小时E，F位置是解题关键．
例4．（2023上·江苏盐城·九年级校联考阶段练习）如图，正方形内接于⊙O，线段在对角线上运动，若⊙O的周长为，，则周长的最小值是 ．
【答案】/
【分析】过点作，令；可推出四边形为平行四边形，有；根据可知当时，周长有最小值.
【详解】解：过点作，令
∵⊙O的周长为，∴⊙O的半径为∴
∵且∴四边形为平行四边形
∴ 由正方形的对称性可得：∴
∴故：当时，周长有最小值
此时：∴周长的最小值是故答案为：
【点睛】本题考查了正方形的性质、平行四边形的判定与性质等．推出当时，周长有最小值是解题关键．
例5．（2023秋·河南南阳·九年级校联考期末）如图，在边长为的正方形中将沿射线平移，得到，连接、．求的最小值为______．
【答案】
【分析】将△ABC沿射线CA平移到△AB′C′的位置，连接C′E、AE、DE，证出四边形ABGE和四边形EGCD均为平行四边形，根据平行四边形的性质和平移图形的性质，可得C′E=CE，CG=DE，可得EC+GC=C′E+ED，当点C′、E、D在同一直线时，C′E+ED最小，由勾股定理求出C′D的值即为EC+GC的最小值．
【详解】如图，将△ABC沿射线CA平移到△AB′C′的位置，连接C′E、AE、DE，
∵AB∥GE∥DC且AB=GE=DC，∴四边形ABGE和四边形EGCD均为平行四边形，
∴AE∥BG，CG=DE，∴AE⊥CC′，由作图易得，点C与点C′关于AE对称，C′E=CE，
又∵CG=DE，∴EC+GC=C′E+ED，当点C′、E、D在同一直线时，C′E+ED最小，
此时，在Rt△C′D′E中，C′B′=4，B′D=4+4=8， C′D=，
即EC+GC的最小值为，故答案为：．
【点睛】本题考查正方形的性质、图形的对称性、线段最短和平行四边形的性质与判定，解题的关键是将两条线段的和转化为同一条线段求解．
例6．（2023·贵州黔东南·统考一模）如图，在菱形中，对角线，的长分别为，，将沿射线的方向平移得到，分别连接，，，则的最小值为______．
【答案】
【分析】连接与交于点，延长到，使得，连接，证明，，得，当点、、三点共线时，的值最小，由勾股定理求得便可．
【详解】解：如图所示，连接与交于点，延长到，使得，连接，
四边形是菱形，，
，由平移性质知，，，，
，，
当点、、三点共线时，的值最小，
的最小值为：，故答案为：．
【点睛】本题考查了菱形的性质，平移的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
模型2.将军过桥（造桥）模型
【核心思路】去除定量，组合变量（通过几何变换将若干段原本彼此分类的线段组合到一起）。
【模型解读】
【单桥模型】已知，如图1将军在图中点A处，现要过河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？
考虑MN长度恒定，只要求AM+NB最小值即可．问题在于AM、NB彼此分离，所以首先通过平移，使AM与NB连在一起，将AM向下平移使得M、N重合，此时A点落在A’位置（图2 ）．
问题化为求A’N+NB最小值，显然，当共线时，值最小，并得出桥应建的位置（图3）．
图1 图2 图3
【双桥模型】已知，如图4，将军在图中点A处，现要过两条河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？
图4 图5 图6
考虑PQ、MN均为定值，所以路程最短等价于AP+QM+NB最小，对于这彼此分离的三段，可以通过平移使其连接到一起．AP平移至A'Q，NB平移至MB'，化AP+QM+NB为A'Q+QM+MB'．（如图5）
当A'、Q、M、B'共线时，A'Q+QM+MB'取到最小值，再依次确定P、N位置．（如图6）
【最值原理】两点之间线段最短。
例1．（2023.浙江八年级期中）同学们已经学过一些平行线的性质，其实平行线的性质还有一些：
（1）如图1，如果，在a上任取一点P，作PQ⊥b于点Q，则线段PQ的长度叫a，b之间的距离.
如果在a上再取一点M，作MN⊥b于点N，则线段MN可以看成由线段PQ平移得到，即MN=PQ，这就得到平行线的又一条性质：平行线间的距离处处相等．根据平移还有哪些线段相等 .
（2）刚在（1）中提到的平行线性质在河上建桥也有广泛的应用：如图2，直线a，b表示一条河的两岸，且. 现在要在这条河上建一座桥．使村庄A经桥过河到村庄B．现在由小明、小红两位同学设计：
小明：作AD⊥a，交a于点D，交b于点C． 在CD处建桥. 路径是A-C-D-B．
小红：作AD⊥a，交a，b于点D，点C；把CD平移至BE，连AE，交b于G，作GF⊥a于F. 在FG处建桥．路径是A-G-F-B．
问：小明、小红谁设计的路径长较短？再用平移等知识说明理由.
（3）假设新桥就按小红的设计在FG处实施建造了，上游还有一座旧桥，凌晨3点某船从旧桥下到新桥下，到达后立即返回，来回穿梭于两桥之间，船在静水每小时16千米，水流每小时4千米，在当晚23点时有人看见船在离旧桥80千米处行驶求这两桥之间的距离.
【答案】（1）PM=QN；（2）小红设计的路径较短，理由见解析；（3）200千米或120千米或100千米
【分析】(1)易得PQ∥MN，所以可得PM=QN；
(2)根据小明的路径=AC+CD+DB，小红的路径=AE+EB，由平移可知CD=EB，DB=CE，在△ACE中由两边之和大于第三边，可得出结论;
(3)需要分情况讨论：①船第一次到达新桥后返回距离旧桥80千米；
②船第一次返回旧桥，再向新桥行驶，距离旧桥80千米；
③船第二次到达新桥后返回距离旧桥80千米；
④船第二次返回旧桥，再向新桥行驶，距离旧桥80千米，这一次计算距离为60千米，不符合题意.
【详解】（1）∵PQ⊥b，MN⊥b，∴PQ∥MN，
则PM与QN都为线段PQ平移的距离,∴PM=QN
（2）小红设计的路径较短，理由如下：
小明的路径=AC+CD+DB，小红的路径=AE+EB，由平移可知CD=EB，DB=CE，在△ACE中AC+CE＞AE，所以小红设计的路径短.
（3）设两桥之间的距离为x千米(x>80)，旧桥到新桥为顺水，速度为16+4=20千米/小时，新桥到旧桥为逆水，速度为16-4=12千米/小时,行驶总时长为23-3=20小时.
①船第一次到达新桥后返回距离旧桥80千米，由题意得
解得
②船第一次返回旧桥，再向新桥行驶，距离旧桥80千米，由题意得
解得
③船第二次到达新桥后返回距离旧桥80千米，由题意得，
解得
④船第二次返回旧桥，再向新桥行驶，距离旧桥80千米，由题意得，
解得
因为船在两桥之间行驶，故此种情况不存在.
综上，两桥间的距离为200千米或120千米或100千米.
【点睛】本题考查最短路径设计问题，设计图可作为“造桥模型”记住，第（3）题考查船顺水于逆水航行问题，需要掌握顺水和逆水的速度计算，分类讨论是解题的关键.
例2．（2023.广东八年级专项训练）如图所示，某条护城河在处角转弯，河宽相同，从处到达处，须经过两座桥（桥宽不计，桥与河垂直），设护城河以及两座桥都是东西、南北走向的，恰当地造桥可使到的路程最短，请确定两座桥的位置．
【答案】见解析
【分析】由于含有固定线段“桥”，需要将点向下平移至点，点向右平移至点，构造平行四边形进行求解即可．
【详解】解：如图所示，将点向下平移至点，使的长等于河宽，将点向右平移至点，使的长等于河宽；连接，与河岸相交于点，；过点作于点D，过点作于点，则，即为两桥的位置．
，
【点睛】本题考查了轴对称—最短路径问题，由于有固定的长度的线段，常用的方法通过平移，构造平行四边形，将问题转化为平行四边形的问题解答．
例3．（2023·广西·二模）已知，在河的两岸有A，B两个村庄，河宽为4千米，A、B两村庄的直线距离AB＝10千米，A、B两村庄到河岸的距离分别为1千米、3千米，计划在河上修建一座桥MN垂直于两岸，M点为靠近A村庄的河岸上一点，则AM+BN的最小值为( )
A．2B．1+3C．3+D．
【答案】A
【分析】作BB'垂直于河岸，使BB′等于河宽，连接AB′，与靠近A的河岸相交于M，作MN垂直于另一条河岸，则MN∥BB′且MN＝BB′，于是MNBB′为平行四边形，故MB′＝BN；根据“两点之间线段最短”，AB′最短，即AM+BN最短，此时AM+BN＝AB′．
【详解】解：如图，作BB'垂直于河岸，使BB′等于河宽，连接AB′，与靠近A的河岸相交于M，作MN垂直于另一条河岸，则MN∥BB′且MN＝BB′，于是MNBB′为平行四边形，故MB′＝BN．
根据“两点之间线段最短”，AB′最短，即AM+BN最短．
∵AB＝10千米，BC＝1+3+4＝8千米，∴在RT△ABC中，，
在RT△AB′C中，B′C＝1+3＝4千米，∴AB′＝千米；故选A．
【点睛】本题考查了轴对称—最短路径问题，要利用“两点之间线段最短”，但许多实际问题没这么简单，需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而转化成两点之间线段最短的问题．目前，往往利用对称性、平行四边形的相关知识进行转化．
例4．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，中，，，，，；垂足分别为点F和E．点G和H分别是和上的动点，，那么的最小值为______．
【答案】
【分析】过点E作交于点I，连接．易求出，，．易证四边形为平行四边形，得出，即说明当最小时，最小．由当点I，H，C三点共线时，最小．结合平行四边形的判定和性质和勾股定理求出，即得出，即可得出答案．
【详解】解：如图，过点E作交于点I，连接．
∵中，，，∴，∴，
∴，．∵，，∴．
∵，∴四边形为平行四边形，∴．同理可得出．
∵，，∴四边形为平行四边形，
∴，∴四边形为平行四边形，
∴，∴，∴当最小时，最小．
∵当点I，H，C三点共线时，最小，∴此时最小，如图，
∵，∴．∵∴四边形为平行四边形，∴，，
∵，，∴，∴，∴，
∴的最小值为． 故答案为：．
【点睛】本题考查平行四边形的性质和判定，含30度角的直角三角形，勾股定理，平行线的判定，两点之间线段最短等知识．正确作出辅助线，理解当点I，H，C三点共线时，最小，即此时
最小是解题关键．
例5．（2023.山东中考二模）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0），经过点A（-1，0），B（3，0），C（0，3）三点．(1)求抛物线的解析式及顶点M的坐标；(2)连接AC、BC，N为抛物线上的点且在第四象限，当S△NBC=S△ABC时，求N点的坐标；(3)在（2）问的条件下，过点C作直线l∥x轴，动点P（m，3）在直线l上，动点Q（m，0）在x轴上，连接PM、PQ、NQ，当m为何值时，PM+PQ+QN最小，并求出PM+PQ+QN的最小值．
【答案】(1)y=-x2+2x+3，顶点M坐标为（1，4）；(2)点N坐标为（4，-5）；
(3)当m=时，PM+PQ+QN有最小值，最小值为3+3．
【分析】（1）将点A、B、C坐标代入解析式，解关于a、b、c的方程组可得函数解析式，配方成顶点式即可得点M坐标；（2）设N（t，-t2+2t+3）（t＞0），根据点N、C坐标用含t的代数式表示出直线CN解析式，求得CN与x轴的交点D坐标，即可表示BD的长，根据S△NBC=S△ABC，即S△CDB+S△BDN=AB•OC建立关于t的方程，解之可得；（3）将顶点M（1，4）向下平移3个单位得到点M′（1，1），连接M′N交x轴于点Q，连接PQ，此时M′、Q、N三点共线时，PM+PQ+QN=M′Q+PQ+QN取最小值，由点M′、N坐标求得直线M′N的解析式，即可求得点Q的坐标，据此知m的值，过点N作NE∥x轴交MM′延长线于点E，可得M′E=6、NE=3、M′N=3，即M′Q+QN=3，据此知m=时，PM+PQ+QN的最小值为3+3．
【详解】（1）解：∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（-1，0），B（3，0），C（0，3），
∴，解得：，∴y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，则抛物线的顶点M坐标为（1，4）；
（2）解：∵N是抛物线上第四象限的点，∴设N（t，-t2+2t+3）（t＞3），
又点C（0，3），设直线NC的解析式为y=k1x+b1，
则，解得：，∴直线NC的解析式为y=（-t+2）x+3，
设直线CN与x轴交于点D，当y=0时，x=，∴D（，0），BD=3-，
∵S△NBC=S△ABC，∴S△CDB+S△BDN=AB•OC，即BD•|yC-yN|= [3-（-1）]×3，
即×（3-）[3-（-t2+2t+3）]=6，整理，得：t2-3t-4=0，解得：t1=4，t2=-1（舍去），
当t=4时，-t2+2t+3=-5，∴点N坐标为（4，-5）；
（3）解：将顶点M（1，4）向下平移3个单位得到点M′（1，1），连接M′N交x轴于点Q，连接PQ，
则MM′=3，∵P（m，3）、Q（m，0），∴PQ⊥x轴，且PQ=OC=3，
∴PQ∥MM′，且PQ=MM′，∴四边形MM′QP是平行四边形，∴PM=QM′，
由作图知当M′、Q、N三点共线时，PM+PQ+QN=M′Q+PQ+QN取最小值，
设直线M′N的解析式为y=k2x+b2（k2≠0），
将点M′（1，1）、N（4，-5）代入，得：，解得：，
∴直线M′N的解析式为y=-2x+3，当y=0时，x=，∴Q（，0），即m=，
此时过点N作NE∥x轴交MM′延长线于点E，在Rt△M′EN中，∵M′E=1-（-5）=6，NE=4-1=3，
∴M′N=， ∴M′Q+QN=3，∴当m=时，PM+PQ+QN的最小值为3+3．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式、平行四边形的判定与性质、勾股定理及根据两点间线段最短得到点P、Q的位置．
例6．（2023春·湖北武汉·八年级统考期中）如图，在中，，，M、N分别是、边上的动点，且，则的最小值是________．
【答案】
【分析】由可知为定长，在、间滑动，故由造桥选址模型进行平移，转化为两点间距离加上定长，再利用特殊角构造直角三角形，使用勾股定理求出两点间距离．
【详解】作交于点E，在取，连接，延长至点，使，连接，作于点，如下图：
，，为等边三角形，，
，，四边形为平行四边形，
同理得四边形与四边形为平行四边形，，，，
，
中，，
中，
，的最小值是．
【点睛】本题考查平移类最短路径，为造桥选址模型，即沿一个方向平移的定长线段两端到两个定点距离和最小，解题时需要理清楚是否含有定长平移线段，且利用平移求出最短路径位置．求解长度时若有特殊角，通常采用构造直角三角形利用勾股定理求解的方法．
课后专项训练
1．（2021·四川南充市·中考真题）如图，在矩形ABCD中，，，把边AB沿对角线BD平移，点，分别对应点A，B．给出下列结论：①顺次连接点，，C，D的图形是平行四边形；②点C到它关于直线的对称点的距离为48；③的最大值为15；④的最小值为．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【分析】根据平移的性质和平行四边形的判定方法判断①，再利用等积法得出点C到BD的距离，从而对②做出判断，再根据三角形的三边关系判断③，如图，作关于的对称点，交于 连接，过作于 分别交于 证明 是最小值时的位置，再利用勾股定理求解，对④做出判断．
【详解】解：由平移的性质可得AB//且AB=
∵四边形ABCD为矩形∴AB//CD，AB=CD=15∴//CD且=CD
∴四边形CD为平行四边形，故①正确
在矩形ABCD中，BD===25,过A作AM⊥BD，CN⊥BD，则AM=CN
∴S△ABD=AB·CD= BD·AM∴AM=CN==12∴点C到的距离为24
∴点C到它关于直线的对称点的距离为48∴故②正确
∵∴当在一条直线时最大，此时与D重合
∴的最大值==15∴故③正确，
如图，作关于的对称点，交于 连接，过作于 分别交于 则 为的中位线， ，
由可得，
此时最小，由②同理可得：
设 则
由勾股定理可得：
整理得： 解得：（负根舍去），
∴故④正确故选D．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，矩形的性质以及平移的性质,锐角三角函数的应用等知识点，熟练掌握相关的知识是解题的关键．
2．（2023安徽中考学二模）如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，点E、F在对角线BD上运动，且EF＝2，连接AE、AF，则△AEF周长的最小值是（ ）
A．4B．4+C．2+2D．6
【答案】D
【分析】作AH∥BD，使得AH＝EF＝2，连接CH交BD于F，则AE+AF的值最小，进而得出△AEF周长的最小值即可．
【详解】解：如图作AH∥BD，使得AH＝EF＝2，连接CH交BD于F，则AE+AF的值最小，即△AEF的周长最小．
∵AH＝EF，AH∥EF，∴四边形EFHA是平行四边形，∴EA＝FH，∵FA＝FC，∴AE+AF＝FH+CF＝CH，
∵菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，∴AC＝AB＝2，
∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵AH∥DB，∴AC⊥AH，∴∠CAH＝90°，
在Rt△CAH中，CH＝ ∴AE+AF的最小值4，
∴△AEF的周长的最小值＝4+2＝6，故选：D．
【点睛】本题考查菱形的性质与动点问题最小值，构造辅助线转化相关的线段是解题关键．
3．（2022·重庆九龙坡·统考一模）如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将△ABD沿射线BD方向平移，得到△EFG，连接EC、GC．则EC+GC的最小值为（ ）
A．2B．4C．2D．4
【答案】B
【分析】连接AE，作点D关于直线AE的对称点H，连接DE，DH，EH，AH，CH．由平移和菱形的性质可证明四边形CDEG为平行四边形，即得出，从而可得出，即CH的长为的最小值．最后根据等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质与勾股定理求出CH的长即可．
【详解】如图，连接AE，作点D关于直线AE的对称点H，连接DE，DH，EH，AH，CH．
由平移的性质可知，．∵四边形ABCD为菱形，
∴，，，
∴，，∴四边形CDEG为平行四边形，∴．
由轴对称的性质可知，，，∴，
∴，即CH的长为的最小值．
∵，，∴四边形为平行四边形，∴，
∴，∴，∴为等边三角形，
∴，，∴，∴，
即为顶角是120°，底角为30°的等腰三角形，
结合含30°角的直角三角形和勾股定理即可求．故选B．
【点睛】本题考查平移的性质，菱形的性质，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，轴对称变换，含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，综合性强，为选择题中的压轴题．正确的作出辅助线是解题关键．
4．（2023·安徽合肥·合肥寿春中学校考三模）在边长为2的正方形中，点E、F是对角线上的两个动点，且始终保持，连接、，则的最小值为（ ）
A．B．3C．D．
【答案】B
【分析】过点作使，易得四边形为平行四边形，得到，进而得到，得到三点共线时，有最小值即为的长，利用勾股定理进行求解即可．
【详解】解：过点作使，则：四边形为平行四边形，
∴，∴，∴当三点共线时，有最小值即为的长，
∵四边形为正方形，∴，，，
∴，，∴，即：的最小值为3．故选B．
【点睛】本题考查正方形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理．解题的关键是构造平行四边形，进行线段的转化．
5．（2023·广东·九年级期中）如图，CD是直线x＝1上长度固定为1的一条动线段．已知A（﹣1，0），B（0，4），则四边形ABCD周长的最小值为 _________________．
【答案】
【分析】在y轴上取点E，使BE＝CD＝1，则四边形BCDE为平行四边形，根据勾股定理得到AB，作点A关于直线x＝1的对称点A'，得到A'、E、D三点共线时，AD+DE最小值为A'E的长，根据勾股定理求出A'E，即可得解；
【详解】解：如图，在y轴上取点E，使BE＝CD＝1，则四边形BCDE为平行四边形，
∵B（0，4），A（﹣1，0），∴OB＝4，OA＝1，∴OE＝3，AB＝，
作点A关于直线x＝1的对称点A'，∴A'（3，0），AD＝A'D，
∴AD+DE＝A'D+DE，即A'、E、D三点共线时，AD+DE最小值为A'E的长，
在Rt△A'OE中，由勾股定理得A'E＝，
∴C四边形ABCD最小值＝AB+CD+BC+AD＝AB+CD+A'E＝+1+5＝+6．故答案为：．
【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题、勾股定理、位置与坐标，准确分析作图计算是解题的关键．
6．（2022·浙江金华·八年级期末）在综合实践课上，小明把边长为2cm的正方形纸片沿着对角线AC剪开，如图l所示．然后固定纸片△ABC，把纸片△ADC沿AC的方向平移得到△A′D′C′，连A′B，D′B，D′C，在平移过程中：（1）四边形A′BCD′的形状始终是 __；（2）A′B+D′B的最小值为 __．
【答案】 平行四边形 2
【分析】（1）利用平移的性质证明即可．（2）如图2中，作直线DD′，作点C关于直线DD′的对称点C″，连接D′C″，BC″，过点B作BH⊥CC″于H．求出BC″，证明A′B+BD′=BD′+CD′=BD′+D′C″≥BC″，可得结论．
【详解】解：（1）如图2中，∵A′D′=BC，A′D′∥BC，
∴四边形A′BCD′是平行四边形，故答案为：平行四边形．
（2）如图2，作直线DD′，作点C关于直线DD′的对称点C″，连接D′C″，BC″，过点B作BH⊥CC″于H．
∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=2，∠ABC=90°，∴AC=AB=2，
∵BJ⊥AC，∴AJ=JC，∴BJ=AC=，∵∠BJC=∠JCH=∠H=90°，∴四边形BHCJ是矩形，
∵BJ=CJ，∴四边形BHCJ是正方形，∴BH=CH=，在Rt△BHC″中，BH=，HC″=3，
∴，
∵四边形A′BCD′是平行四边形，∴A′B=CD′，∴A′B+BD′=BD′+CD′=BD′+D′C″≥BC″，
∴A′B+BD′≥2，∴A′B+D′B的最小值为2，故答案为：2．
【点睛】本题考查作图-平移变换，轴对称最短问题，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．
7．（2022下·辽宁沈阳·八年级沈阳市第一二六中学校考阶段练习）如图，在矩形 ABCD 中，AD=BC=3，∠DBC=60°，将△DAB 沿射线 DB方向平移得到△D’A’B’，连接 CD’和 CB’， 则 CD’+CB’的最小值为 ．
【答案】
【分析】作C点关于BD的对称点C' ，连接 过点作过点C'作，两平行线交于点G，则四边形是平行四边形，当C，G，三点共线时， 的值最小，求出CG的值即可所求．
【详解】解：如图所示：作C点关于BD的对称点，连接
过点作过点C'作，两平行线交于点G，
∴四边形是平行四边形，
∴当三点共线时，的值最小，最小值为CG的长度，
在中，在中，故答案为：
【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，通过构造平行四边形边进行转化，再利用将军饮马问题进行求解是解题的关键．
8．（2023·山东潍坊·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，，是轴上的一条动线段，且，当取最小值时，点坐标为______.
【答案】
【分析】如图把点A向右平移1个单位得到E（1，1），作点E关于x轴的对称点F（1，-1），连接BF，BF与x轴的交点即为点Q，此时AP+PQ+QB的值最小，求出直线BF的解析式，即可解决问题．
【详解】解：如图把点4向右平移1个单位得到E（1，1），作点E关于x轴的对称点F（1，-1），连接BF，BF与x轴的交点即为点Q，此时4P+PQ+QB的值最小.
设最小BF的解析式为y=kx+b，则有解得
∴直线BF的解析式为y=x-2，令y=0，得到x=2.
∴Q（2.0）故答案为（2，0）.
【点睛】本题考查轴对称最短问题、坐标与图形的性质、一次函数的应用等知识，解题的关键是学会利用对称解决最短问题，学会构建一次函数解决交点问题，属于中考常考题型
9．（2023·四川成都·模拟预测）如图，菱形的边在轴上，顶点坐标为，顶点坐标为，点在轴上，线段轴，且点坐标为，若菱形沿轴左右运动，连接、，则运动过程中，四边形周长的最小值是________．
【答案】13+
【分析】由题意可知AD、EF是定值，要使四边形周长的最小，AE＋DF的和应是最小的，运用“将军饮马”模型，根据点E关于AD的对称点为O，过点A作AF1∥DF，当O，A，F1三点共线时，AE+DF=OA+AF1=OF1，为所求线段和的最小值，再求四边形周长的最小值．
【详解】∵点坐标为，点坐标为，∴OC＝4，OD＝3，
∴在Rt△COD中，CD＝5，∵四边形是菱形，∴AD＝CD＝5，
∵坐标为，点 在轴上，线段轴，∴EF＝8，
连接OA，过点A作AF1∥DF交EF于点F1，
则四边形ADFF1是平行四边形，FF1=AD=5，∴EF1=EF-FF1=3，
∵点E，O关于AD对称，∴OA=AE，
当O，A，F1三点共线时，AE+DF=OA+AF1=OF1，为所求线段和的最小值，
在Rt△OEF1中，OF1＝，∴四边形周长的最小值：
AD＋EF＋AE＋DF＝ AD＋EF＋ OF1＝5＋8＋＝13+．
【点睛】本题考查菱形，勾股定理，平移，轴对称，解决问题的关键是熟练掌握菱形的性质，勾股定理解直角三角形，平移图形全等性，轴对称性质．
10．（2023·重庆·校考三模）如图，在边长为1的菱形ABCD中，，将沿射线BD的方向平移得到，分别连接，，，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】过点C作直线，以直线l为对称轴作点的对称点E，连接CE，，AC，证明，求得，根据三角形三边关系可知当点，C，E共线时，的最小值是．
【详解】解：如图，过点C作直线，以直线l为对称轴作点的对称点E，连接CE，，AC，
设AC与BD交于点O，与直线l交于点F，则，，，
由，，易得，，
，由平移的性质可知，，
，，，，，
在中，，，，，
在中，由三角形的三边关系可得，
当点，C，E共线时，，即的最小值是，故答案为：．
【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题，菱形的性质，全等三角形的判定与性质，平移的性质，正确的理解题意是解答本题的关键．
11．（2023.广东省深圳市九年级期中）如图1，已知平行四边形ABCO，以点O为原点，OC所在的直线为x轴，建立直角坐标系，AB交y轴于点D，AD=2，OC=6，∠A=60°，线段EF所在的直线为OD的垂直平分线，点P为线段EF上的动点，PM⊥x轴于点M点，点E与E′关于x轴对称，连接BP、E′M．
（1）请直接写出点A的坐标为_____，点B的坐标为_____；
（2）当BP+PM+ME′的长度最小时，请直接写出此时点P的坐标为_____；
【答案】（1）（﹣2，2），（4，2）；（2）（2，）；
【分析】（1）由30°直角三角形的性质求出OD的长，再由平行四边形的性质求出BD的长即可解决问题；
（2）首先证明四边形OPME′是平行四边形，可得OP=EM，因为PM是定值，推出PB+ME′=OP+PB的值最小时，BP+PM+ME′的长度最小；
【详解】解：（1）如图1中，
在Rt△ADO中，∵∠A=60°，∴∠AOD=30°．∵AD=2，∴OD =2，∴A（﹣2，2），
∵四边形ABCO是平行四边形，∴AB=OC=6，∴DB=6﹣2=4，∴B（4，2）；
（2）如图1中，连接OP．
∵EF垂直平分线段OD，PM⊥OC，∴∠PEO=∠EOM=∠PMO=90°，∴四边形OMPE是矩形，∴PM=OE=．
∵OE=OE′，∴PM=OE′，PM∥OE′，∴四边形OPME′是平行四边形，∴OP=EM，
∵PM是定值，∴PB+ME′=OP+PB的值最小时，BP+PM+ME′的长度最小，∴当O、P、B共线时，BP+PM+ME′的长度最小．∵直线OB的解析式为y=x，∴P（2，）．故答案为（2，）．
【点睛】本题考查了四边形综合题、平行四边形的性质、等腰三角形的判定和性质、最短问题等知识，解题的关键是学会利用两点之间线段最短，解决最短问题．
12．（成都市2022-2023学年八年级期末）如图，在平面直角坐标系中有，两点．将直线：向上平移个单位长度得到直线，点在直线上，过点作直线的垂线，垂足为点，连接，，，则折线的长的最小值为 ．
【答案】
【分析】先证四边形是平行四边形，可得，则，即当点，点，点三点共线时，有最小值为的长，即有最小值，即可求解．
【详解】解：如图，将点沿轴向下平移个单位得到，以为斜边，作等腰直角三角形，则点，连接，
是等腰直角三角形，，，
将直线：向上平移个单位长度得到直线，，，
，，，
，，，四边形是平行四边形，
，，
当点，点，点三点共线时，有最小值为的长，即有最小值，
点，点，，
折线的长的最小值为，故答案为：．
【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题，平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，一次函数的应用，添加恰当辅助线构造平行四边形是解题的关键．
13．（广西2021年中考数学真题）如图，已知点，，两点，在抛物线上，向左或向右平移抛物线后，，的对应点分别为，，当四边形的周长最小时，抛物线的解析式为 ．
【答案】．
【分析】先通过平移和轴对称得到当B、E、三点共线时，的值最小，再通过设直线的解析式并将三点坐标代入，当时，求出a的值，最后将四边形周长与时的周长进行比较，确定a的最终取值，即可得到平移后的抛物线的解析式．
【详解】解：∵，，，，
∴，，由平移的性质可知：,
∴四边形的周长为；
要使其周长最小，则应使的值最小；
设抛物线平移了a个单位，当a>0时，抛物线向右平移，当a<0时，抛物线向左平移；
∴，，将向左平移2个单位得到，则由平移的性质可知：，
将关于x轴的对称点记为点E，则，由轴对称性质可知，,
∴，当B、E、三点共线时，的值最小，
设直线的解析式为：，∴，
当时，∴∴，
将E点坐标代入解析式可得：，解得：，
此时，
此时四边形的周长为；
当时，，，，，
此时四边形的周长为：；
∵，∴当时，其周长最小，
所以抛物线向右平移了个单位，所以其解析式为：；故答案为：．
【点睛】本题综合考查了平移、轴对称、一次函数的应用、勾股定理、抛物线的解析式等内容，解决本题的关键是理解并确定什么情况下该四边形的周长最短，本题所需综合性思维较强，对学生的综合分析和计算能力要求都较高，本题蕴含了数形结合与分类讨论的思想方法等．
14．（2023上·陕西西安·九年级校考阶段练习）（1）问题提出如图①，在中，，点D，E分别是的中点．若点M，N分别是和上的动点，则的最小值是______．
（2）问题探究：如图②，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥（与河床垂直），桥造在何处，才能使从A到B的路径最短．博琳小组针对该问题展开讨论，小旭同学认为：过A作河岸的垂线，使，为河宽，连接，与河的一岸交于点N，此时在点N处建桥，可使从A到B的路径最短．你认为小旭的说法正确吗？请说明理由．（3）问题解决：如图③，在矩形中，．E、F分别在上，且满足，．若边长为10的正方形在线段上运动，连接，当取值最小时，求的长．
【答案】（1）3；（2）小旭的说法正确，理由见解析；（3）38或14
【分析】（1）连接，过点A作于点F，根据两点之间线段最短，可得当时，最短，此时点N与点F重合，即的最小值为的长，再根据直角三角形的性质，即可求解；
（2）根据题意可得四边形为平行四边形，从而得到，再根据“两点之间线段最短”，当点，N，B三点共线时，最短，即可求解；
（3）过点N分别作，分别交于点H，G，连接交于点T，过点G作于点X，则，，证明四边形，四边形都是平行四边形， 可得，从而得到当点H，T，G三点共线时，的值最小，此时点N与点T重合，然后证明，可得，可求得的长；过点Q分别作，分别交于点K，L，连接交于点S，当点K，S，L三点共线时，的值最小，此时点N与点S重合，同理可求出的长，即可求解．
【详解】解：（1）如图，连接，过点A作于点F，∴，
当时，最短，此时点N与点F重合，即的最小值为的长，
∵，∴，∴，
∴的最小值为3；故答案为：3
（2）解：小旭的说法正确，理由如下：根据题意得：，，
∴四边形为平行四边形，∴，
根据“两点之间线段最短”，当点，N，B三点共线时，最短，
∵为河宽，∴在点N处建桥，可使从A到B的路径最短．
（3）如图，过点N分别作，分别交于点H，G，连接交于点T，过点G作于点X，则，，
根据题意得：，，
∴四边形，四边形都是平行四边形，
∴，∴，
即当点H，T，G三点共线时，的值最小，此时点N与点T重合，
∵，∴，，，
∵，∴，∴，∴，解得：，
∴；
如图，过点Q分别作，分别交于点K，L，连接交于点S，当点K，S，L三点共线时，的值最小，此时点N与点S重合，同理；
综上所述，当取值最小时，的长为38或14．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，两点之间，线段最短，熟练掌握直角三角形的性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，利用类比思想解答是解题的关键．
15．（2023.广安九年级月考）如图，抛物线，经过点，，三点．求抛物线的解析式及顶点M的坐标；连接AC、MB，P为线段MB上的一个动点（不与点M、B重合），过点P作x轴的垂线PQ，若OQ=a，四边形ACPQ的面积为s，求a为何值时，面积s最大；
点N是抛物线上第四象限的一个定点，坐标为 ，过点C作直线轴，动点在直线l上，动点在x轴上，连接PM、PQ、NQ，当m为何值时，的和最小，并求出和的最小值．
【答案】（1）；M（1,4）
（2）当，面积最大，最大为.
（３）
【分析】（1）抛物线过，，可求得解析式；
（2）将用含的代数式表示，并配方成顶点式求出最大值；
（3）根据选址造桥模型，将顶点向下平移三个单位得，当 在同一条直线上时，取得最小值.
【详解】(1)∵抛物线经过点，，,
∴ 解得 ∴=,顶点M的坐标为（1,4）
（2）连接AC、MB，P为线段MB上的一个动点（不与点M、B重合），过点P作x轴的垂线PQ.设P点的坐标为 ，如图所示.
∵P在直线MB上，，，设直线MB为
解得 直线MB的解析式为，P点坐标为
∵，，， ∴，，
∵
整理
∴即当，面积最大，最大为.
（3）将顶点向下平移三个单位得 ，连接 交轴于点，连接．如图所示，则.
∵，∴轴，且
∴，四边形为平行四边形
∴,有图知三点共线时，取最小值.
设直线的解析式为，将点，N
求得直线的解析式为，当时，，即，即，
此时过点作轴交延长线与点，
在中，，，
∴,∴,即,
∴当时，的最小值为.
【点睛】本题考查二次函数的综合问题，求最大值将函数用顶点式表示，其中第三问根据选址造桥模型确定M对应点的位置，当 在同一条直线上时，取得最小值.进而求解.
16．（2023·陕西咸阳·校考一模）【问题提出】（1）如图1，点A、B在直线l的同侧，点A到直线l的距离，点B到直线l的距离，A、B两点的水平距离，点P是直线l上的一个动点，则的最小值是________；
【问题探究】（2）如图2，在矩形中，，，G是的中点，线段在边上左右滑动，若，求的最小值；
【问题解决】（3）如图3，某公园有一块形状为四边形的空地，管理人员规划修两条小路和（小路的宽度忽略不计，两条小路交于点P），并在和上分别选取点M、N，沿、和修建地下水管，为了节约成本，要使得线段、与之和最小．
已测出，，，，，管理人员的想法能否实现，若能，请求出的最小值，若不能，请说明理由．
【答案】（1）10；（2）；（3）能实现，最小值为．
【分析】（1）作点A关于直线l的对称点，连接交直线l于P，则的值最小，且的最小值，根据矩形的性质得到，，根据勾股定理即可得到结论；
（2）如图，作G关于的对称点，在上截取，连接，，，则，根据平行四边形的性质得到，根据三角形的三边关系得到，根据勾股定理即可得到结论；
（3）作点P关于、的对称点E、F，连接，分别交、于点O、H，则，，连接，与、的交点即为点M、N的位置，连接，，此时，，的长就是的最小值，过点E作交的延长线于点G，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】.解：（1）如图，作点A关于直线l的对称点，连接交直线l于P，则的值最小，且的最小值，过作于E，则，，
∴，∴即的最小值是10；
（2）如图，作G关于的对称点，在上截取，
连接，，，则，
，，四边形是平行四边形，，
，，，G为的中点，
，，由勾股定理得，
，即的最小值为：；
（3）管理人员的想法能实现，
作点P关于、的对称点E、F，连接，分别交、于点O、H， ，，连接，与、的交点即为点M、N的位置，连接，，此时，，的长就是的最小值，过点E作交的延长线于点G，
，，，，，，
，，，，
，，，
，，，，
，，，.
在中，，的最小值为.
【点睛】本题是四边形的综合题，考查了轴对称-最短路线问题及矩形的性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
17．（2023上·重庆万州·九年级校考期中）如图，直线的图象与轴和轴分别交于点和点，的垂直平分线与轴交于点，与交于点，连接．(1)如图1，求的长；(2)如图2，若点是射线上的动点，点和点是轴上的两个动点，且，当的面积为时，求的最小值。
【答案】(1)(2)的最小值为
(3)存在以为顶点的四边形是菱形，所有满足条件的点的坐标为或或
【分析】（1）根据一次函数与坐标轴的交点的方法，令，，即可求解；（2）根据题意可求出的面积，再根据的面积为时，可求出点的坐标，根据“造桥求最短路径的方法”即可求解；
【详解】（1）解：∵直线的图象与轴和轴分别交于点和点，
∴令，则；令，则；∴，，∴，
∵是的垂直平分线，∴，设，则，
∴在中，，∴，
解得，，即，∴．
（2）解：已知，，是的垂直平分线，
∴，即，且，∴，
∵，，设所在直线的解析式为，
∴，解得，，∴所在直线的解析式为，
∵点在直线的图象上，∴设，∴，
∴，∴，整理得，，
解得，，，∴，，
∵点是射线上的动点，，∴舍去，∴点的坐标为，
∴当时，如图所示，作点关于轴对称的点，将线段向上平移至点与点重合，即，此时点三点共线，即四边形是平行四边形，则，此时的值最小，
∴，∵，∴，
如上所示，过点作轴于点，过点作轴于点，且，
∴，则，，
∴在中，，则，
∴的值最小为．
【点睛】本题主要考查一次函数与几何图形的综合，掌握一次函数与坐标轴交点的计算方法，对称最段路径的计算方法，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识的综合运用是解题的关键．
18．（2023·江苏南京·模拟预测）【模型介绍】
古希腊有一个著名的“将军饮马问题”，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸同侧的两个军营．他总是先去营，再到河边饮马，之后，再巡查营．如图①，他时常想，怎么走才能使每天走的路程之和最短呢？大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题．如图②，作点关于直线的对称点，连结与直线交于点，连接，则的和最小．请你在下列的阅读、理解、应用的过程中，完成解答．理由：如图③，在直线上另取任一点，连结，，，∵直线是点，的对称轴，点，在上，
（1）∴__________，_________，∴____________．在中，∵，∴，即最小．
【归纳总结】在解决上述问题的过程中，我们利用轴对称变换，把点在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即转化为“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中点为与的交点，即，，三点共线）．由此，可拓展为“求定直线上一动点与直线同侧两定点的距离和的最小值”问题的数学模型．
【模型应用】（2）如图④，正方形的边长为4，为的中点，是上一动点．求的最小值．
解析：解决这个问题，可借助上面的模型，由正方形对称性可知，点与关于直线对称，连结交于点，则的最小值就是线段的长度，则的最小值是__________．
（3）如图⑤，圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为，在杯内离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁到达蜂的最短路程为_____．
（4）如图⑥，在边长为2的菱形中，，将沿射线的方向平移，得到，分别连接，，，则的最小值为____________．
【答案】（1），，；（2）；（3）17；（4）
【分析】（1）根据对称性即可求解；
（2）根据正方形的对称性知B关于AC的对称点是D，连接ED，则ED是的最小值；
（3）先将玻璃杯展开，再根据勾股定理求解即可；
（4）分析知：当与垂直时，值最小，再根据特殊角计算长度即可；
【详解】解：（1）根据对称性知：，
故答案为：，，；
（2）根据正方形的对称性知B关于AC的对称点是D，连接ED ∴ED是的最小值
又∵正方形的边长为4，E是AB中点∴ ∴的最小值是；
（3）由图可知：蚂蚁到达蜂的最短路程为 的长度：
∵ ∴
∴
（4）∵在边长为2的菱形ABCD中，，将沿射线的方向平移，得到
∴ 当与垂直时，值最小
∵ ∴四边形是矩形，
∴ ∴
【点睛】本题考查“将军饮马”知识迁移，掌握“将军饮马”所遵循的数学原理，判断出最小是解题关键．
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