专题29 最值模型之瓜豆模型（原理）直线轨迹型-备战2024年中考数学常见模型题型归纳与总结高分突破（全国通用）

这是一份专题29 最值模型之瓜豆模型（原理）直线轨迹型-备战2024年中考数学常见模型题型归纳与总结高分突破（全国通用），文件包含专题29最值模型之瓜豆模型原理直线轨迹型原卷版docx、专题29最值模型之瓜豆模型原理直线轨迹型解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共45页， 欢迎下载使用。

【模型解读】
瓜豆原理：若两动点到某定点的距离比是定值，夹角是定角，则两动点的运动路径相同。
动点轨迹基本类型为直线型和圆弧型，本专题受教学进程影响，估只对瓜豆原理中的直线型轨迹作讲解。
主动点叫瓜，从动点叫豆，瓜在直线上运动，豆也在直线_上运动；瓜在圆周上运动，豆的轨迹也是圆。
古人云：种瓜得瓜，种豆得豆．“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”。
模型1、运动轨迹为直线
1）如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？

解析：当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线．
理由：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中，因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线．
2）如图，在△APQ中AP=AQ，∠PAQ为定值，当点P在直线BC上运动时，求Q点轨迹？

解析：当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形。
理由：当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可，比如Q点的起始位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段。
【最值原理】动点轨迹为一条直线时，利用“垂线段最短”求最值。
1）当动点轨迹已知时可直接运用垂线段最短求最值；
2）当动点轨迹未知时，先确定动点轨迹，再垂线段最短求最值。
3）确定动点轨迹的方法（重点）
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①当某动点与定直线的端点连接后的角度不变时，该动点的轨迹为直线；
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线；
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线；
④观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等特殊位置考虑；
⑤若动点轨迹用上述方法不都合适，则可以将所求线段转化（常用中位线、矩形对角线、全等、相似）为其他已知轨迹的线段求最值。
例1．（2022·湖南湘西·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，M为BC的中点，H为AB上一点，过点C作CG∥AB，交HM的延长线于点G，若AC＝8，AB＝6，则四边形ACGH周长的最小值是（ ）

A．24B．22C．20D．18
【答案】B
【分析】通过证明△BMH≌△CMG可得BH＝CG，可得四边形ACGH的周长即为AB+AC+GH，进而可确定当MH⊥AB时，四边形ACGH的周长有最小值，证明四边形ACGH为矩形可得HG的长，进而可求解．
【详解】∵CG∥AB，∴∠B＝∠MCG，∵M是BC的中点，∴BM＝CM，
在△BMH和△CMG中，，∴△BMH≌△CMG（ASA），∴HM＝GM，BH＝CG，
∵AB＝6，AC＝8，∴四边形ACGH的周长＝AC+CG+AH+GH＝AB+AC+GH＝14+GH，
∴当GH最小时，即MH⊥AB时四边形ACGH的周长有最小值，
∵∠A＝90°，MH⊥AB，∴GH∥AC，∴四边形ACGH为矩形，∴GH＝8，
∴四边形ACGH的周长最小值为14+8＝22，故选：B．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，确定GH的值是解题的关键．
例2．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）如图，是边长为的等边三角形，点为高上的动点．连接，将绕点顺时针旋转得到．连接，，，则周长的最小值是 ．

【答案】/
【分析】根据题意，证明，进而得出点在射线上运动，作点关于的对称点，连接，设交于点，则，则当三点共线时，取得最小值，即，进而求得，即可求解．
【详解】解：∵为高上的动点．∴
∵将绕点顺时针旋转得到．是边长为的等边三角形，
∴∴
∴，∴点在射线上运动，如图所示，

作点关于的对称点，连接，设交于点，则
在中，，则，
则当三点共线时，取得最小值，即
∵，，∴∴
在中，,
∴周长的最小值为，故答案为：．
【点睛】本题考查了轴对称求线段和的最值问题，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握等边三角形的性质与判定以及轴对称的性质是解题的关键．
例3．（2023·河南洛阳·统考一模）如图，在平行四边形ABCD中，，，，点E在线段BC上运动（含B、C两点）．连接AE，以点A为中心，将线段AE逆时针旋转60°得到AF，连接DF，则线段DF长度的最小值为______．
【答案】
【分析】以AB为边向右作等边△ABG，作射线GF交AD于点H，过点D作DM⊥GH于M．利用全等三角形的性质证明∠AGF＝60°，得出点F在平行于AB的射线GH上运动，求出DM即可．
【详解】解：如图，以AB为边向右作等边△ABG，作射线GF交AD于点H，过点D作DM⊥GH于M．

∵四边形ABCD是平行四边形，∠B＝60°，∴∠BAD＝120°，
∵△ABG是等边三角形，∴∠BAG＝∠EAF＝60°，BA＝GA，EA＝FA，
∴∠BAE＝∠FAG，∴△BAE≌△GAF（SAS），∴∠B＝∠AGF＝60°，
∴点F在平行于AB的射线GH上运动，
∵∠HAG＝∠AGF＝60°，∴△AHG是等边三角形，
∴AB＝AG＝AH＝6，∴DH＝AD﹣AH＝4，
∵∠DHM＝∠AHG＝60°，∴DM＝DH•sin60°，
根据垂线段最短可知，当点F与M重合时，DF的值最小，最小值为，故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，旋转变换，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，本题的突破点是证明点F的在射线GH上运动，属于中考填空题中的压轴题．
例4．（2022·山东泰安·统考二模）如图，矩形的边，E为上一点，且，F为边上的一个动点，连接，若以为边向右侧作等腰直角三角形，连接，则的最小值为（ ）
A．B．C．3D．
【答案】B
【分析】过点G作GH⊥AB于H，过点G作MN∥AB，由“AAS”可证△GEH≌△EFA，可得GH＝AE＝1，可得点G在平行AB且到AB距离为1的直线MN上运动，则当F与D重合时，CG有最小值，即可求解．
【详解】解：如图，过点G作GH⊥AB于H，过点G作MN∥AB，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝，BC＝3，∴∠B＝90°，CD＝，AD＝3，
∵AE＝1，∴BE＝，∵∠GHE＝∠A＝∠GEF＝90°，
∴∠GEH＋∠EGH＝90°，∠GEH＋∠FEA＝90°，∴∠EGH＝∠FEA，
又∵GE＝EF，∴△GEH≌△EFA（AAS），∴GH＝AE＝1，
∴点G在平行AB且到AB距离为1的直线MN上运动，
∴当F与D重合时，CG有最小值，此时AF＝EH＝3，
∴CG的最小值＝，故选B．
【点睛】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，确定点G的运动轨迹是本题的关键．
例5．（2023·陕西·西安市八年级期末）预备知识：(1)在一节数学课上，老师提出了这样一个问题：随着变量t的变化，动点在平面直角坐标系中的运动轨迹是什么？
一番深思熟虑后，聪明的小明说：“是一条直线”，老师问：“你能求出这条直线的函数表达式吗？”
小明的思路如下：设这条直线的函数表达式为，
将点代入得：，整理得
∵t为任意实数，等式恒成立，∴， ∴，
∴这条直线的函数表达式为
请仿照小明的做法，完成问题：随着变量t的变化，动点在平面直角坐标系中的运动轨迹是直线l，求直线l的函数表达式．
问题探究：(2)如图1，在平面直角坐标系中，已知，，且，，则点C的坐标为_________．
结论应用：(3)如图2，在平面直角坐标系中，已知点，Q是直线上的一个动点，连接，过点P作，且，连接，求线段的最小值．
【答案】(1)直线l的函数表达式为;(2)点C（-7，3）；(3)OQ′最小值为．
【分析】（1）利用待定系数法将点P代入解析式，利用恒等性质得出，，求出直线解析式即可；（2）设C点坐标为（m，n）过C作CE垂直x轴于E，过B作BF⊥x轴于F，证明△CAE≌△ABF（AAS）得出CE=AF，EA=FB，根据点B（5，9）点A（2，0）求出点F（5，0）即可；
（3）过Q作QG⊥x轴于G，过Q′作Q′H⊥x轴于H，先证△QPG≌△PQ′H（AAS），设Q（a，）分三种情况，当a≤1时，点Q′（，1 - a）OQ′=，当1≤a≤4，点Q′（，1-a），OQ′=，当a≥4时，点Q′（，1-a）OQ′=，求出每种情况的最小值，然后比较大小即可．
【解析】(1)解：设这条直线的函数表达式为，将点代入得：，整理得，∵t为任意实数，等式恒成立，∴，，
∴，，∴这条直线的函数表达式为，
∴随着变量t的变化，动点在平面直角坐标系中的运动轨迹是直线l，
直线l的函数表达式为．
(2)解:设C点坐标为（m，n）过C作CE垂直x轴于E，过B作BF⊥x轴于F，∴∠ECA+∠CAE=90°，
∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠CAE+∠FAB=90°，∴∠ECA=∠FAB，
在△CAE和△ABF中，，∴△CAE≌△ABF（AAS），∴CE=AF，EA=FB，
∵点B（5，9）点A（2，0），∴点F（5，0）∴n=5-2=3;2-m=9,∴m=-7,∴点C（-7，3）；

(3)解：过Q作QG⊥x轴于G，过Q′作Q′H⊥x轴于H，
∵∠QPQ′=90°，∠QGP=∠Q′HP=90°，∴∠QPG+∠Q′PH=90°，∠Q′PH+∠HQ′P=90°，∴∠QPG=∠HQ′P，
在△QPG和△PQ′H中，，∴△QPG≌△PQ′H（AAS），∴PG=Q′H，QG=PH，
∵Q是直线上的一个动点，设Q（a，），
当a≤1时，∴QG=PH=，PG= QH=1 - a，∴点Q′（，1 - a），
∵OQ′=，
∵时，OQ′随a的增大而减小，当a=1时最小OQ′=，
当1≤a≤4，∴QG=PH=，PG= QH= a-1，∴点Q′（，1-a），
∵OQ′=，∵，a=2时，OQ′最小=，

当a≥4时，∴QG=PH=，PG= QH= a-1，∴点Q′（，1-a），
∵OQ′=，∵，a＞2时，OQ′随a的增大而增大，
a=4时，OQ′最小=， ∵＞3＞，∴OQ′最小值为．
【点睛】本题考查待定系数法求直线解析式，恒等式性质，三角形全等判定与性质，勾股定理，函数的最值，分类思想的运用，掌握待定系数法求直线解析式，恒等式性质，三角形全等判定与性质，勾股定理，函数的最值，分类思想的运用是解题关键．
例6．（2023·河南新乡·统考一模）如图，在菱形中，，E、F分别是边上的动点，连接，G、H分别为的中点，连接．若的最小值为3，则的长为__________．
【答案】
【分析】连接，利用中位线的性质，要使最小，只要最小，当时，最小为6，由确定为等腰直角三角形，得出，由勾股定理得：求出即可．
【详解】解：连接，∵，分别为，的中点，∴，且，
要使最小，只要最小，当时，最小，
∵的最小值为3，∴，∵，∴，
∴，∴，
∵四边形是菱形，∴．故答案为：．
【点睛】本题考查动点图形中的中位线，菱形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理应用问题，掌握中位线的性质，菱形性质，等腰直角三角形的性质是解题关键．
例7．（2023·四川雅安·统考中考真题）如图，在中，．P为边上一动点，作于点D，于点E，则的最小值为 ．

【答案】
【分析】连接，利用勾股定理列式求出，判断出四边形是矩形，根据矩形的对角线相等可得，再根据垂线段最短可得时，线段的值最小，然后根据直角三角形的面积公式列出方程求解即可．
【详解】解：如图，连接，

∵，∴，
∵于点D，于点E，，∴四边形是矩形，∴，
由垂线段最短可得时，线段的值最小，此时线段的值最小，
此时，，代入数据：，
∴，∴的最小值为，故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，判断出时，线段的值最小是解题的关键．
例8．（2023·安徽合肥·校考一模）如图，中，，，点D是边上一动点，以点A为旋转中心，将顺时针旋转得到线段，连接，若，则的长的最小值为（ ）
A．B．C．1D．
【答案】A
【分析】在上取一点K，使得，连接，，然后证明出，然后根据垂线段最短得到当时，的值最小，最后利用角直角三角形的性质求解即可．
【详解】如图所示，在上取一点K，使得，连接，，
∵，，∴，，∴，
又∵，，∴，∴，∴当时，的值最小，
∵，，，∴，
∴，∴．∴的长的最小值为．故选A
【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判断，垂线段最短，角直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
课后专项训练
1．（2021·四川广元·中考真题）如图，在中，，，点D是边的中点，点P是边上一个动点，连接，以为边在的下方作等边三角形，连接．则的最小值是（ ）
A．B．1C．D．
【答案】B
【分析】以CD为边作等边三角形CDE，连接EQ，由题意易得∠PDC=∠QDE，PD=QD，进而可得△PCD≌△QED，则有∠PCD=∠QED=90°，然后可得点Q是在QE所在直线上运动，所以CQ的最小值为CQ⊥QE时，最后问题可求解．
【详解】解：以CD为边作等边三角形CDE，连接EQ，如图所示：
∵是等边三角形，∴，
∵∠CDQ是公共角，∴∠PDC=∠QDE，∴△PCD≌△QED（SAS），
∵，，点D是边的中点，
∴∠PCD=∠QED=90°，，∴点Q是在QE所在直线上运动，
∴当CQ⊥QE时，CQ取的最小值，∴，∴；故选B．
【点睛】本题主要考查等边三角形的性质、含30°直角三角形的性质及最短路径问题，熟练掌握等边三角形的性质、含30°直角三角形的性质及最短路径问题是解题的关键．
2．（2023上·福建厦门·九年级校考期中）如图，长方形中，，，E为上一点．且，F为边上的一个动点．连接，将绕着点E顺时针旋转到的位置，其中点B、点F的对应点分别为点H、点G，连接和，则的最小值为（ ）．

A．B．3C．D．
【答案】C
【分析】如图，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接交于J．首先证明，推出点G的在射线上运动，推出当时，的值最小，证明四边形是矩形，进一步推出，则，即可得到的最小值为．
【详解】解：如图，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接交于J．

∵四边形是矩形，∴，
∵，∴，
∵，∴，∴，
∴点G的在射线上运动，∴当时，的值最小，
∵，∴，∴，
∴，∴四边形是矩形，
∴，∴，∴，
∴，∴，∴的最小值为．故选：C．
【点睛】本题考查旋转的性质，矩形的性质与判定，全等三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形得到动点运动的轨迹，属于中考填空题中的压轴题．
3.（2023上·江苏扬州·九年级校联考期中）如图，正方形的边长为4，点是正方形对角线所在直线上的一个动点，连接，以为斜边作等腰（点，，按逆时针排序），则长的最小值为（ ）

A．B．C．4D．
【答案】D
【分析】根据正方形的性质和题干给定的是以为斜边作等腰直角三角形，证明，得到进一步证明，得到，由正方形的性质得点H为的中点，有点F在的垂直平分线上运动，当点F与点H重合时，的值最小．
【详解】解：连接交于点G，连接并延长交于点H，如图，

∵四边形是正方形，∴，，，
∵是以为斜边作等腰直角三角形，∴，，，
∵，∴，∵，∴，∴，则，
∵，∴，∴，
∴，则，∴，
∵点G为正方形对角线的交点，∴点H为的中点，∴点F在的垂直平分线上运动，
∵，∴当点F与点H重合时，的值最小，此时．
即长的最小值为2．故答案选：D．
【点睛】此题考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质、平行线的判定与性质和垂线段最短，利用相似的边长比证明对应三角形边长的相似比，并找到点的运动轨迹是解题的关键．
4．（2023上·河北保定·九年级校考期中）如图，在中，，且，点D是斜边上的一个动点，过点D分别作于点M，于点N，连接，点O为的中点，则线段的最小值为（ ）

A．B．5C．D．
【答案】C
【分析】由勾股定理求出的长，再证明四边形是矩形，可得，根据垂线段最短可得当时，的值最小，再利用三角形面积求出，可得，即可解决问题．
【详解】解：如图，连接，

，且，，，
，，，
四边形是矩形，，，当时，的值最小，
此时，，，的最小值为，故选：C．
【点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质、勾股定理、三角形面积、垂线段最短，关键是掌握矩形的对角线相等．
5．（2023上·山西临汾·九年级统考期中）如图，在中，，，点，分别是，边上的动点，连结，，分别是，的中点，则的最小值为（ ）

A．12B．10C．9.6D．4.8
【答案】D
【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，勾股定理，垂线段最短的性质．连接，作于点H．由三角形中位线的性质得，由垂线段最短可知当最小，即点E与点H重合时的值最小，然后利用勾股定理求出的长即可．
【详解】解：连接，作于点H．

∵点，分别是，边上的动点，∴是的中位线，∴，
∴当最小，即点E与点H重合时的值最小．设，则，
∵，∴，∴，∴的最小值为4.8．故选D．
6．（2023上·广东广州·九年级校考期中）如图，正方形的边长为4，，点E是直线上一个动点，连接，线段绕点B顺时针旋转得到，则线段长度的最小值等于（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】连接，在上截取，使，连接，过点D作于点H，证明，得出，点F在直线上运动，当点F与H重合时，的值最小，求出最小值即可．
【详解】解：连接，在上截取，使，连接，过点D作于点H，如图所示：

∵四边形是正方形，
∴，，，
∴，，∴，
∵，∴，在和中，
∴，∴，
∴点F在直线上运动，当点F与H重合时，的值最小，
∵，，∴，故选：B．
【点睛】本题主要考查旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，垂线段最短，直角三角形的性质，根据题意作出辅助线，得出点F在直线上运动，当点F与H重合时，的值最小，是解题的关键．
7．（2022·江苏·徐州市三模）如图，中，，，为边上的一动点，以、为边作，则线段的最小值为______．
【答案】
【分析】根据平行四边形的性质可知点在平行的线段上运动，当时，最小，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，则点在平行的线段上运动，当时，最小，
，则，在中，，，
，即最小值为．故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，确定点的轨迹是解题的关键．
8．（2023上·湖北武汉·九年级校联考期中）如图，已知，B为上一点，于A，四边形为正方形，P为射线上一动点，连接，将绕点C顺时针方向旋转得，连接，若，则的最小值为 ．

【答案】/
【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质以及垂线段最短的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应边相等以及垂线段最短进行解答．连接，依据构造全等三角形，即，将的长转化为的长，再依据垂线段最短得到当最短时，亦最短，根据，，即可求得的长的最小值．
【详解】解：如图，连接，

由题意可得，∴ ，
在和中，， ∴，∴，
当时，最短，此时也最短，
∵， ，∴，∴ ∴，
∴当时， ，∴的最小值为．故答案为：．
9．（2023上·湖南长沙·九年级校联考期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点C是y轴上一动点，设其坐标为，线段绕点C逆时针旋转至线段，则点B的坐标为 ，连接，则的最小值是 ．

【答案】
【分析】本题考查坐标与图形变化一旋转，全等三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是正确寻找点的运动轨迹，属于中考常考题型．
设，过点作轴，垂足为点，证明，推出，可得点的坐标为，推出点的运动轨迹是直线，根据垂线段最短解决问题即可．
【详解】设，过点作轴，垂足为点，

∵线段绕着点按逆时针方向旋转至线段，
∵点，点，∴点的坐标为，∴点的运动轨迹是直线，
∵直线交轴于，交轴于，
过点作于．则，
根据垂线段最短可知，当点与点重合时，的值最小，最小值为，
故答案为：；．
10．（2023上·内蒙古呼和浩特·九年级统考期中）如图，已知中，，，，，，点为直线上一动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接、，点在直线上且，则最小值为 ．
【答案】
【分析】首先通过证明得到，再根据垂线段最短将最小值转化为点到的距离，最后利用面积法计算即可．
【详解】解：，，，即，
由旋转可知：，，，
在和中，，，
，则当时，最小，即最小，，，，，
点到的距离为，的最小值为，故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，面积法，旋转的性质，垂线段最短，转化思想．
11．（2023上·福建三明·八年级统考期中）如图，在长方形中，，，为边上的点，且．为边上的动点，以为边在其右侧作等腰直角三角形，．设中点为，则的最小值为 ．

【答案】
【分析】过点作于，过点作，证明，可得，可得点在平行且到距离为的直线上运动，则当点、、共线时，有最小值，即可求解．
【详解】解：如图，过点作于，过点作，∴，
∵四边形是长方形也就是矩形，，，
∴，，∴，
∵是等腰直角三角形，，∴，
∴，∴，
在和中，，∴，
∴，∴点在平行且到距离为的直线上运动，
当点、、共线时，，则，此时有最小值，
此时，∴四边形是长方形，
∴，∴，∴的最小值为，故答案为：．

【点睛】本题考查长方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，等腰直角三角形的性质，垂线段最短，确定点的运动轨迹是解题的关键．
12．（2022·贵州毕节·中考真题）如图，在中，，点P为边上任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接，则长度的最小值为_________．
【答案】##2.4
【分析】利用勾股定理得到BC边的长度，根据平行四边形的性质，得知OP最短即为PQ最短，利用垂线段最短得到点P的位置，再证明利用对应线段的比得到的长度，继而得到PQ的长度．
【详解】解：∵，∴，
∵四边形APCQ是平行四边形，∴PO＝QO，CO＝AO，
∵PQ最短也就是PO最短，∴过O作BC的垂线，
∵,∴,
∴，∴，∴，∴则PQ的最小值为，故答案为：．
【点睛】考查线段的最小值问题，结合了平行四边形性质和相似三角形求线段长度，本题的关键是利用垂线段最短求解，学生要掌握转换线段的方法才能解出本题．
13．（2022·广东·东莞二模）如图，已知等腰三角形PAB，∠BAP＝45°，AB＝AP，将三角形放在平面直角坐标系中，若点A（，0），点B在y轴正半轴上，则OP的最小值是 _____．
【答案】##
【分析】把△AOB绕点A顺时针旋转，使AB与线段AP重合，点O的对应点为C，直线CP交x轴于点D，证得△ACD为等腰直角三角形，可得点P的运动轨迹在直线CP上，当OP⊥CP时，OP最短，当OP⊥CP时，△OPD为等腰直角三角形，然后利用等腰直角三角形的性质和勾股定理即可解决问题．
【详解】解：如图，把△AOB绕点A顺时针旋转，使AB与线段AP重合，点O的对应点为点C，直线CP交x轴于点D，
则△AOB≌△ACP，∴∠BAO=∠PAC，∠C=∠AOB=90°，AC= AO=3，
∵∠BAP=45°，即∠BAO+∠PAO=45°，∴∠PAC +∠PAO=45°，即∠CAO=45°，
∴△ACD为等腰直角三角形，∴点P的运动轨迹在直线CP上，
∴当OP⊥CP时，OP最短，当OP⊥CP时，△OPD为等腰直角三角形，
∵△ACD为等腰直角三角形，AC=3，∴AD=AC=6，
∴OD=6-3，∴OP=3-3．即OP最小值为3-3．故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，坐标与图形性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，解决本题的关键是得到△ACD和△OPD为等腰直角三角形．
14．（2022·江苏宿迁·三模）如图在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2．D是AB上一动点，以DC为斜边向右侧作等腰Rt△DCE，使∠CED＝90°，连接BE，则线段BE的最小值为__________________．
【答案】
【分析】以AC为斜边在AC右侧作等腰直角三角形AE1C，边E1C与AB 交于点G，连接E1E延长与AB交于点F，作BE2⊥E1F于点E2，由Rt△DCE与Rt△AE1C为等腰直角三角形，可得∠DCE＝∠CDE＝∠ACE1＝∠CAE1＝45°，于是∠ACD＝∠E1CE，因此△ACD∽△E1CE，所以∠CAD＝∠CE1E＝30°，所以E在直线E1E上运动，当BE2⊥E1F时，BE最短，即为BE2的长．
【详解】解：如图，以AC为斜边在AC右侧作等腰直角三角形AE1C，边E1C与AB 交于点G，连接E1E延长与AB交于点F，作BE2⊥E1F于点E2，连接CF，
∵Rt△DCE与Rt△AE1C为等腰直角三角形，
∴∠DCE＝∠CDE＝∠ACE1＝∠CAE1＝45°∴∠ACD＝∠E1CE
∵，∴△ACD∽△E1CE，∴∠CAD＝∠CE1E＝30°，
∵D为AB上的动点，∴E在直线E1E上运动，
当BE2⊥E1F时，BE最短，即为BE2的长．
在△AGC与△E1GF中，∠AGC＝∠E1GF，∠CAG＝∠GE1F，
∴∠GFE1＝∠ACG＝45°∴∠BFE2＝45°，
∵∠CAD＝∠CE1E＝30°，∴点A，点C，点F，点E1四点共圆，
∴∠AE1C＝∠AFC＝90°，且∠ABC＝60°，BC＝2，∴BF＝1，
∵BF＝BE2，∴BE2＝，故答案为：．
【点睛】本题旋转的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握含30°角和45°角的直角三角形的性质是解题的关键．
15．（2023·陕西师大附中三模）如图，正方形中，，点E为边上一动点，将点A绕点E顺时针旋转得到点F，则的最小值为__________．
【答案】
【分析】上截取，过点作交的延长线于点，证明，是等腰直角三角形，进而根据垂线段最短即可求解．
【详解】如图，上截取，过点作交的延长线于点，
正方形中，，将点A绕点E顺时针旋转得到点F，
是等腰直角三角形,
在射线上运动，则是等腰直角三角形，
与点重合时，取得最小值，等于
即的最小值为故答案为：
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质，垂线段最短，求得的轨迹是解题的关键．
16．（2022·浙江绍兴·二模）如图，在△ABC中，AB＝5，BC=3，AC＝4，点P从A点出发沿AB运动到B点，以CP为斜边作如图的等腰直角三角形PQC，∠PQC＝90°，则Rt△PQC的外心运动的路径长为 _____，BQ的最小值为 _____．
【答案】 ；
【分析】根据直角三角形的外心就是斜边的中点，可得外心的运动路径就是以AC、BC的中点为端点的线段；利用特殊位置，斜边为AC、BC的情形，确定点Q的运用路径是线段，利用垂线段最短，作出垂线段，利用三角形相似计算即可．
【详解】 AB＝5，BC=3，AC＝4，
，，，
Rt△PQC的外心就是斜边的中点，设AC、BC的中点分别是M、N，
外心的运动轨迹就是线段MN，即三角形ABC的中位线，，
当点P与点A重合时，即点，此时以CA为斜边作如图的等腰直角三角形AQ1C，当点P与点B重合时，即点，此时以CB为斜边作如图的等腰直角三角形BQ2C，为点Q的运动轨迹，
BQ的最小值为点B到的垂线段的长度，过点B作，垂足为E，
三角形AQ1C，三角形BQ2C均为等腰直角三角形，AC=4，BC=3，
，
，，
，，，
，即，解得，故答案为：；．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理，直角三角形的性质，勾股定理，三角形的外心，三角形相似的判定和性质，垂线段最短，熟练掌握相似三角形的判定和性质，明确垂线段最短是解题的关键．
17．（2023·江苏盐城·三模）如图，A、 B两点的坐标分别为（-3，0）、（-1，0），点C为y轴上一动点，以AC为边向下作Rt，使得，，连接线段，则线段的最小值为____．
【答案】##
【分析】连接，作于，当点运动到点时，则点运动到，求得，为动点的运动轨迹，当运动到时，最小，据为角所对的直角边，为斜边即可求得答案．
【详解】解：由题意得，连接，作于，如图所示：
、
当点运动到点时，则点运动到，，，
由题意可得：直线为动点的运动轨迹，当运动到时，有最小值，
，故答案为．
【点睛】本题考查了计算线段最值的问题，根据题意，找准为动点的运动轨迹，当运动到时，有最小值是解题的关键．
18．（2023·重庆巴南·九年级期末）如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD＝120°，E是边CD的中点，F是边AD上的一个动点，将线段EF绕着点E顺时针旋转60°得到线段EF'，连接AF'、BF'，则△ABF'的周长的最小值是________________．
【答案】4+2
【分析】取AD中点G，连接EG，F'G，BE，作BH⊥DC的延长线于点H，利用全等三角形的性质证明∠F'GA＝60°，点F'的轨迹为射线GF'，易得A、E关于GF'对称，推出AF'＝EF'，得到BF'+AF'＝BF'+EF'≥BE，求出BE即可解决周长最小问题．
【详解】解：取AD中点G，连接EG，F'G，BE，作BH⊥DC的延长线于点H，
∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝AD，
∵∠BAD＝120°，∴∠CAD＝60°，∴△ACD为等边三角形，
又∵DE＝DG，∴△DEG也为等边三角形．∴DE＝GE，
∵∠DEG＝60°＝∠FEF'，∴∠DEG﹣∠FEG＝∠FEF'﹣∠FEG，即∠DEF＝∠GEF'，
由线段EF绕着点E顺时针旋转60°得到线段EF'，所以EF＝EF'．
在△DEF和△GEF'中，，∴△DEF≌△GEF'（SAS）．
∴∠EGF'＝∠EDF＝60°，∴∠F'GA＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
则点F'的运动轨迹为射线GF'．观察图形，可得A，E关于GF'对称，
∴AF'＝EF'，∴BF'+AF'＝BF'+EF'≥BE，
在Rt△BCH中，∵∠H＝90°，BC＝4，∠BCH＝60°，∴，
在Rt△BEH中，BE＝＝＝2，∴BF'+EF'≥2，
∴△ABF'的周长的最小值为AB+BF'+EF'＝4+2，故答案为：4+2．
【点睛】本题考查旋转变换，菱形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等边三角形等知识，解题关键在于学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．
19．（2022·河南南阳·二模）如图所示，，，于点B，点D是线段BC上一个动点，且于点D，，连接CE，则CE长的最小值是______．
【答案】3
【分析】在BC上截取，构造相似，可得出，过C点作CH⊥EQ可得出
即可求出CE的长
【详解】解：在BC上截取，则，中，，
∵，∴在中，，
∴∴，，∴，
∴，∴，∴的角度固定不变，∴CH为CE的最小值．
过C点作CH⊥EQ∴∠CHQ=∠ABQ=90°
∵∴∠CQH=∠QAB∴，
∵，∴，CE的最小值是3.
【点睛】本题主要考查相似的性质与性质，正确作出辅助线是解题的关键．
20．（2023江西九江九年级期末）（1）回归教材：北师大七年级下册P44，如图1所示，点P是直线m外一点，，点O是垂足，点A、B、C在直线m上，比较线段PO，PA，PB，PC的长短，你发现了什么？
最短线段是______，于是，小明这样总结：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，______．

（2）小试牛刀：如图2所示，中，，，．则点P为AB边上一动点，则CP的最小值为______．
（3）尝试应用：如图3所示是边长为4的等边三角形，其中点P为高AD上的一个动点，连接BP，将BP绕点B顺时针旋转60°得到BE，连接PE、DE、CE．
①请直接写出DE的最小值．②在①的条件下求的面积．
（4）拓展提高：如图4，顶点F在矩形ABCD的对角线AC上运动，连接AE．．，，请求出AE的最小值．
【答案】（1）PO，垂线段最短；（2）；（3）①DE的最小值是1；②△BPE的面积为；（4）AE的最小值为．
【分析】（1）根据垂线段的性质即可解答；（2）由（1）知当PC⊥AB时，PC取得最小值，利用面积法即可求解；（3）①根据旋转的性质，旋转前后的图形对应线段、对应角相等，可证得△ABP≌△CBE，得到∠BCE=30°．得到点E在射线CE上，根据“垂线段最短”这一定理，当∠DEC=90°时，DE最短，据此求解即可；②利用勾股定理求得EC=，即AP=，再利用勾股定理先后求得AD、PD、BP的长，即可求解；
（4）作出如图的辅助线，先判断出点E在直线GH上运动，根据“垂线段最短”这一定理，当当AE⊥GH时，AE最短，利用相似三角形的判定和性质、勾股定理以及三角形面积公式即可求解．
【详解】解：（1）∵PO⊥直线m，∴从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．
故答案为：PO，垂线段最短；
（2）由（1）知当PC⊥AB时，PC取得最小值，S△ABC=ACBC=ABPC，
∴PC=，即CP的最小值为，故答案为：；
（3）①由旋转知∠PBE=60°，BP=BE，∴△PBE是等边三角形，
∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，边长为4，
∴AB=BC，∠ABC=60°，∠ABD=∠CBD=30°，BD=CD=2，
∴∠ABP=∠CBE，∴△ABP≌△CBE（SAS），∴∠BCE=∠BAD=30°；
∵点P为高AD上的一个动点，∴点E在射线CE上，
根据“垂线段最短”可知，当DE⊥CE时，DE最短．
∵∠BCE=30°，CD=2，∴DE=CD=1，即DE的最小值是1；
②由①得CD=2，DE=1，∴CE=，∵△ABP≌△CBE，∴AP=CE，
在Rt△BDA中，AB=4，BD=2，∴AD=，∴PD=AD-AP=，∴PB=，
∴等边三角形△PBE的高为，∴△BPE的面积为=；
（4）过点B作BH⊥AC于点H，则∠BHC=90°，
∴∠HBC+∠HCB=90°，∠ACD+∠HCB=90°，∴∠HBC=∠ACD，
∵∠EBF=∠ACD，∴∠HBC=∠EBF，此时点F与点C重合，点E与点H重合，
∵AB=3，BC=4，∴AC=，
∵S△ABC=ABBC=ACBH，∴BH=，∴AH=，

取AB中点G，过点G作GI⊥AB交AC于点I，则∠BGI=90°，∴∠GBI=∠BAC，
∵∠EBF=∠ACD=∠BAC，∴∠GBI=∠EBF，此时点F与点I重合，点E与点G重合，
顶点F在矩形ABCD的对角线AC上运动，且，

四点共圆，
∴点E在直线GH上运动，
根据“垂线段最短”这一定理，当AE⊥GH时，AE最短，过点H作HP⊥AB于点P，
∴△APH△ABC，∴，即，
∴PH=，AP=，∴PG=AG-AP=，∴GH=，
∵S△AGH=AGPH=GHAE，∴AE=，∴AE的最小值为．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的性质与判定，垂线段最短，勾股定理，等边三角形的判定和性质，四点共圆的判定等知识，解决本题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．