专题30 最值模型之瓜豆模型（原理）圆弧轨迹型-备战2024年中考数学常见模型题型归纳与总结高分突破（全国通用）

这是一份专题30 最值模型之瓜豆模型（原理）圆弧轨迹型-备战2024年中考数学常见模型题型归纳与总结高分突破（全国通用），文件包含专题30最值模型之瓜豆模型原理圆弧轨迹型原卷版docx、专题30最值模型之瓜豆模型原理圆弧轨迹型解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共46页， 欢迎下载使用。

【模型解读】
模型1、运动轨迹为圆弧
模型1-1. 如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．Q点轨迹是？

如图，连接AO，取AO中点M，任意时刻，均有△AMQ∽△AOP，QM:PO=AQ:AP=1:2．
则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。
模型1-2. 如图，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=kAQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？

如图，连结AO，作AM⊥AO，AO:AM=k:1；任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为k。
则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。
模型1-3. 定义型：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧。（常见于动态翻折中）
如图，若P为动点，但AB=AC=AP，则B、C、P三点共圆，
则动点P是以A圆心，AB半径的圆或圆弧。

模型1-4. 定边对定角（或直角）模型
1）一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧．
如图，若P为动点，AB为定值，∠APB=90°，则动点P是以AB为直径的圆或圆弧。
2）一条定边所对的角始终为定角，则定角顶点轨迹是圆弧．
如图，若P为动点，AB为定值，∠APB为定值，则动点P的轨迹为圆弧。

【模型原理】动点的轨迹为定圆时，可利用：“一定点与圆上的动点距离最大值为定点到圆心的距离与半径之和，最小值为定点到圆心的距离与半径之差”的性质求解。
例1．（2023·山东泰安·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，的一条直角边在x轴上，点A的坐标为；中，，连接，点M是中点，连接．将以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段的最小值是（ ）

A．3B．C．D．2
【答案】A
【分析】如图所示，延长到E，使得，连接，根据点A的坐标为得到，再证明是的中位线，得到；解得到，进一步求出点C在以O为圆心，半径为4的圆上运动，则当点M在线段上时，有最小值，即此时有最小值，据此求出的最小值，即可得到答案．
【详解】解：如图所示，延长到E，使得，连接，
∵的一条直角边在x轴上，点A的坐标为，
∴，∴，∴，
∵点M为中点，点A为中点，∴是的中位线，∴；
在中，，∴，
∵将以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，∴点C在以O为圆心，半径为4的圆上运动，
∴当点M在线段上时，有最小值，即此时有最小值，
∵，∴的最小值为，∴的最小值为3，故选A．

另解：取BO的中点为Q（-3,0），根据中位线可确定，
故点M为以Q为圆心，MQ为半径的圆上运动，故AM的最小值为AQ-MQ=3
【点睛】本题主要考查了一点到圆上一点的最值问题，勾股定理，三角形中位线定理，坐标与图形，含30度角的直角三角形的性质等等，正确作出辅助线是解题的关键．
例2．（2023·四川广元·统考一模）如图，线段为的直径，点在的延长线上，，，点是上一动点，连接，以为斜边在的上方作Rt，且使，连接，则长的最大值为 ．
【答案】/
【分析】作，使得，，则，，，由，推出，即（定长），由点是定点，是定长，点在半径为1的上，由此即可解决问题．
【详解】解：如图，作，使得，，则，，，
，，，，，
，即（定长），
点是定点，是定长，点在半径为1的上，
，的最大值为，故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、两圆的位置关系、轨迹等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
例3．（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图，是正方形边的中点，是正方形内一点，连接，线段以为中心逆时针旋转得到线段，连接．若，，则的最小值为 ．

【答案】
【分析】连接，将以中心，逆时针旋转，点的对应点为，由 的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆，可得：的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆，再根据“圆外一定点到圆上任一点的距离，在圆心、定点、动点，三点共线时定点与动点之间的距离最短”，所以当、、三点共线时，的值最小，可求，从而可求解．
【详解】解，如图，连接，将以中心，逆时针旋转，点的对应点为，

的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆，的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆，
如图，当、、三点共线时，的值最小，
四边形是正方形，，，
是的中点，，，
由旋转得：，，
，的值最小为．故答案：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，勾股定理，动点产生的线段最小值问题，掌握相关的性质，根据题意找出动点的运动轨迹是解题的关键．
例4．（2023·湖南·统考中考真题）如图，在矩形中，，动点在矩形的边上沿运动．当点不与点重合时，将沿对折，得到，连接，则在点的运动过程中，线段的最小值为 ．

【答案】/
【分析】根据折叠的性质得出在为圆心，为半径的弧上运动，进而分类讨论当点在上时，当点在上时，当在上时，即可求解．
【详解】解：∵在矩形中，，
∴，，
如图所示，当点在上时，∵∴在为圆心，为半径的弧上运动，

当三点共线时，最短，此时，
当点在上时，如图所示，此时
当在上时，如图所示，此时
综上所述，的最小值为，故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形与折叠问题，圆外一点到圆上的距离的最值问题，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
例5．（2023·山东·统考中考真题）如图，在四边形中，，点E在线段上运动，点F在线段上，，则线段的最小值为 ．

【答案】/
【分析】设的中点为O，以为直径画圆，连接，设与的交点为点，证明，可知点F在以为直径的半圆上运动，当点F运动到与的交点时，线段有最小值，据此求解即可．
【详解】解：设的中点为O，以为直径画圆，连接，设与的交点为点，

∵，∴，∴，
∵，∴，∴点F在以为直径的半圆上运动，
∴当点F运动到与的交点时，线段有最小值，
∵，∴，，∴，
的最小值为，故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质，圆周角定理的推论，勾股定理等知识，根据题意分析得到点F的运动轨迹是解题的关键．
例6．（2023·浙江金华·九年级校考期中）如图，点A，C，N的坐标分别为，以点C为圆心、2为半径画，点P在上运动，连接，交于点Q，点M为线段的中点，连接，则线段的最小值为 ．
【答案】3
【分析】本题考查了垂径定理，的圆周角所对的弦为直径，勾股定理．熟练掌握弦中点，连接圆心与中点，明确点的运动轨迹是解题的关键．
如图，连接，由垂径定理可得，，则在以为直径的上运动，如图，连接交于，当三点共线时，线段的值最小，由勾股定理得，，根据线段的最小值为，计算求解即可．
【详解】解：如图，连接，
∵点M为线段的中点，∴由垂径定理可得，，
∴在以为直径的上运动，如图，连接交于，
∴当三点共线时，线段的值最小，∴的半径为，
由勾股定理得，，
∴线段的最小值为，故答案为：3．
例7．（2023上·江苏连云港·九年级校考阶段练习）已知矩形为矩形内一点，且，若点绕点逆时针旋转到点，则的最小值为 ．

【答案】
【分析】在矩形外，以边为斜边作等腰直角三角形，，再以点O为圆心，为半径作，点P为矩形内一点，且，所以点P在的劣弧上运动，根据点绕点逆时针旋转到点，所以，，则，所以当最小时，最小，然后连接，交于P，此时，最小，则也最小，最后过点O作于E，交延长线于F，利用勾股定理求出，的长，从而求得，即可求解．
【详解】解：在矩形外，以边为斜边作等腰直角三角形，，再以点O为圆心，为半径作，如图，

∵点P为矩形内一点，且，∴点P在的劣弧上运动，
∵点绕点逆时针旋转到点，∴，，
∴∴当最小时，，连接，交于P，此时，最小，则也最小，
在中，∵，，∴，∴，
过点O作于E，交延长线于F，∴，
∵，，∴
∵矩形∴∴∴四边形正方形，
∴，∴，
在中，由勾股定理，得，
∴∴，故答案为：．
【点睛】本题考查旋转的性质，等腰直角三角形的性质，圆满的性质，勾股定理，作出辅助圆，得出取最小值的点P位置是解题的关键．
例8．（2023下·陕西西安·九年级校考阶段练习）问题提出：
（1）如图①，在中，，，，则的长为__________；
问题探究：（2）如图②，已知矩形，，，点P是矩形内一点，且满足，连接，求线段的最小值；
问题解决：（3）如图③所示，我市城市绿化工程计划打造一片四边形绿地，其中，，，点E为边上一点，且，，为了美化环境，要求四边形的面积尽可能大，求绿化区域面积的最大值．
【答案】（1）4；（2）；（3）
【分析】（1）作于点H，利用等腰三角形的性质可得，，然后利用锐角三角函数的知识可求得的长；（2）由题意可知，点P在以为直径，以的中点O为圆心的圆上运动，当O，P，C共线时，线段的值最小，利用勾股定理求出的长即可求解；（3）延长、，相交于点F．由，求出，作交于点G，作于点N，交于点M，可得，设，求出，所以当的面积最大时，绿化区域的面积最大，求出的面积即可求解．
【详解】（1）如图1，作于点H．

∵，，，∴，．
∵，∴．故答案为：4；
（2）如图2，∵，∴点P在以为直径，以的中点O为圆心的圆上运动，当O，P，C共线时，线段的值最小．∵，∴，∴，
∴段的值最小值；
（3）如图3，延长、，相交于点F．
∵，∴，∴，
∵，，∴，∴．
作交于点G，作于点N，交于点M，
∵，∴，∵，∴，设，
则，，∴，
∴当的面积最大时，绿化区域的面积最大．
当E在的中点时，的面积最大．
连接，交于点H，则．
∵，∴，∴．
∵，∴，
∴，∴．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解直角三角形，垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，难度较大，属中考压轴题．
课后专项训练
1．（2023·安徽合肥·校考一模）如图，在中，，，以为边作等腰直角，连，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】如图所示，以为斜边，在右侧作等腰直角，过点O作交延长线于E，连接，则，，先证明点B在以O为圆心，为半径的圆周上运动（右侧），故当点O在线段上时，最大，再求出的长，进而利用勾股定理求出的长即可得到答案．
【详解】解：如图所示，以为斜边，在右侧作等腰直角，过点O作交延长线于E，连接，∴，，
∵，∴点B在以O为圆心，为半径的圆周上运动（右侧），
∴当点O在线段上时，最大，∵是以为边的等腰直角三角形，
∴，，∴，∴是等腰直角三角形，
∴，∴，在中，由勾股定理得，
∴的最大值，故选D．
【点睛】不能退主要考查了圆外一点到圆上一点距离的最大值问题，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，正确作出辅助线确定点B的轨迹是解题的关键．
2．（2023春·广东·九年级专题练习）已知：如图，在中，，，面积的最大值是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】作的外接圆，连接，当的边上的高经过点O时，面积的最大，此时是等边三角形，进而即可求解．
【详解】解：作的外接圆，连接，当的边上的高经过点O时，面积的最大，如图，过点O作，并延长交于点，连接，
∵，∴，∵，∴是等边三角形，
∴，∴，∴，故选A．
【点睛】本题主要考查圆周角定理，等边三角形的判定和性质，勾股定理，找出面积的最大时点A的位置时关键.
3．（2022秋·江苏扬州·九年级校考阶段练习）如图，A是上任意一点，点C在外，已知是等边三角形，则的面积的最大值为（ ）
A．B．4C．D．6
【答案】A
【分析】以为边向上作等边三角形，连接，证明得到，分析出点D的运动轨迹是以点M为圆心，长为半径的圆，在求出点D到线段的最大距离，即可求出面积的最大值．
【详解】解：如图，以为边向上作等边三角形，连接，
∵，∴，即，
在和中，，∴，∴，
∴点D的运动轨迹是以点M为圆心，长为半径的圆，要使的面积最大，则求出点D到线段的最大距离，∵是边长为4的等边三角形，∴点M到的距离为，
∴点D到的最大距离为，∴的面积最大值是，故选A．
【点睛】本题考查了动点轨迹是圆的问题，解决本题的关键是利用构造全等三角形找到动点D的轨迹圆，再求出圆上一点到定线段距离的最大值．
4．（2023·山东济南·一模）正方形ABCD中，AB=4，点E、F分别是CD、BC边上的动点，且始终满足DE=CF，DF、AE相交于点G.以AG为斜边在AG下方作等腰直角△AHG使得∠AHG=90°，连接BH．则BH的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先证明，从而，再根据，可求，可知点H的运动轨迹为以点M 为圆心，MH为半径的圆，从而可求BH最小值．
【详解】解：如图，取AD中点O，连接OG，以AO为斜边作等腰直角三角形AOM，
则，在和中，
，∴（SAS），∴，
∵，∴，∴，
是直角三角形，∴，∵为等腰直角三角形，
∴，∴，
又∵， ∴，∴，∴，
∴点H的运动轨迹为以点M 为圆心，MH为半径的圆，
如图，连接BM，交圆M于，过点M作于点P，
∵，，
∴，∴为等腰直角三角形，
∵，∴AP=MP==1，∴BP=4-1=3，
在中，，∴．
∴BH的最小值为．故选：C．
【点睛】本题考查最短路径问题，解题的关键是准确构造辅助线，利用三角形相似以及点和圆的知识解决．
5．（2023上·江苏连云港·九年级统考期中）如图，在矩形中，已知，，点是边上一动点点不与点，重合，连接，作点关于直线的对称点，连接，则的最小值为 ．
【答案】2
【分析】本题考查圆外一点到圆上一点的最值，轴对称的性质，矩形的性质．连接，得到，进而得到点在以点为圆心，为半径的圆上，当，，三点共线时，线段的长度最小，求出此时的长度即可．解题的关键是确定点的运动轨迹．
【详解】解：连接，点和关于对称，，
在以圆心，为半径的圆上，当，，三点共线时，最短，
，，，故答案为：．
6．（2023春·广东深圳·九年级专题练习）如图，点G是内的一点，且，是等边三角形，若，则的最大值为 ．
【答案】
【分析】如图，作的外接圆，连接，，，过点作于点．说明，，，四点共圆，求出，利用三角形三边关系可得结论．
【详解】解：如图，作的外接圆，连接，，，过点作于点．
∵是等边三角形，∴，，
∵，∴点在的外接圆上，∴，
∵，∴，∵，
∴，∴，
∵，∴的最大值为．故答案为：．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，解直角三角形，圆的有关知识等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造辅助圆解决问题，属于中考常考题型．
7．（2023·江苏泰州·九年级专题练习）如图，在矩形中，，，P为的中点，连接．在矩形外部找一点E，使得，则线段的最大值为 ．
【答案】/
【分析】以的中点O为圆心，为半径画圆，可得所画圆是的外接圆，弦右侧圆弧上任意一点E与构成的，使得四边形是圆内接四边形，，可得，连接并延长与圆的交点即为的最长距离，作于点H，是的中位线，，根据勾股定理求出和的值，进而可得的最大值．
【详解】解：如图，以的中点O为圆心，为半径画圆，
在矩形中，，，，
∵，∴所画圆是的外接圆，
弦右侧圆弧上任意一点E与构成的，使得四边形是圆内接四边形，
∴，连接并延长与圆的交点即为的最长距离，
作于点H，∴H是的中点，是的中位线，
为的中点，，，
，，，
，．故答案为：
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，圆周角定理，最短路线问题，解决本题的关键是综合利用以上知识找到点E．
8．（2023·陕西渭南·三模）如图，在矩形ABCD中，，，点E在BC上，且，点M为矩形内一动点，使得，连接AM，则线段AM的最小值为______．
【答案】##
【分析】作的外接圆，得到点M的轨迹是矩形内以O为圆心，OE为半径的，连接OA、OE、OC，OA交于，分析得到当M与重合时，AM取得最小值．分别过点O作于点H，过点O作于点G，根据圆的性质和矩形的性质即可求解．
【详解】∵，∴，
如图，作的外接圆，点M的轨迹是矩形内以O为圆心，OE为半径的，连接OA、OE、OC，OA交于，
当M与重合时，AM取得最小值．过点O作于点H，
∵∴，∴，，
过点O作于点G，∴，，AG=6-2=4，
∴，则．故答案为：．
【点睛】本题考查动点问题．涉及圆的性质、矩形的性质和勾股定理．解题的关键是找到点M的轨迹．
9．（2023江苏扬州·三模）如图，在等边△ABC和等边△CDE中，AB＝6，CD＝4，以AB、AD为邻边作平行四边形ABFD，连接AF．若将△CDE绕点C旋转一周，则线段AF的最小值是______．
【答案】
【分析】过点F作GF∥CD，过点C作GC∥DF，二线交于点G，根据平行四边形的性质，得到点F在以G为圆心，以CD长为半径的圆上，利用圆的性质，确定最小值即可．
【详解】如图，过点F作GF∥CD，过点C作GC∥DF，二线交于点G，
∴ 四边形DFGC是平行四边形，∴GF=CD=4,
∴点F在以G为圆心，以CD长为半径的圆上，∴当A、F、G三点共线时，AF最小，
∵四边形DFGC是平行四边形，四边形ABFD是平行四边形，
∴AB∥DF∥CG，AB=DF=CG，∴四边形ABGC是平行四边形，
∵AB=AC，∴四边形ABGC是菱形，∴AG，BC互相垂直平分，设交点为H，
∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°，∴AH=ABsin60°=，
∴AG=2AH=，∴AF=AG-FG=故答案为：．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，圆的最值性，特殊角的三角函数值，熟练菱形的判定和性质，圆的性质是解题的关键．
10．（2023秋·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，为等腰直角三角形，，，点为所在平面内一点，，以、为边作平行四边形，则的最小值为 ．

【答案】/
【分析】延长交于点，根据平行四边形的性质可得，可得，可以证明，可得，点的运动轨迹为圆的运动轨迹，假设点所在圆的圆心为，连接 ，， ，与交于点 ，根据圆外的点到圆上的点的距离最值可得，即为的最小值，利用勾股定理可得的值，进而可得的最小值．
【详解】如图，延长交于点，连接，

∵四边形是平行四边形，∴，，，
∵，，，
∴，，，，
∴，，，
在和中，，∴，
∴，∴，∴，
∴点的运动轨迹为圆的运动轨迹，假设点所在圆的圆心为，连接，，，与交于点，则根据圆外的点到圆上的点的距离最值可得：即为的最小值，如图，

∴，∵，，
∴，，∴，
在中，有勾股定理得：，
∴，即的最小值为：，故答案为：．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理、最短路径问题、等腰直角三角形的性质，解题的关键是综合运用以上知识．
11．（2023·福建泉州·统考模拟预测）如图，点是正方形的内部一个动点（含边界），且，点在上，，则以下结论：①的最小值为；②的最小值为；③；④的最小值为；正确的是 ．

【答案】①②④
【分析】由题意可得点在以为圆心，为半径的圆上运动，点在以为圆心，为半径的圆上运动，则当点在上时，有最小值为，当点在上时，有最小值为，故①②正确；由“”可证≌，可得，则当，，三点共线时，取得最小值，最小值为的长，由勾股定理可求的长，可判断④正确；即可求解．
【详解】解：在上截取，连接，，，如图所示：

四边形是正方形，，，，
，，，，
点在以为圆心，为半径的圆上运动，点在以为圆心，为半径的圆上运动，
当点在上时，有最小值为，当点在上时，有最小值为，故①②正确；
在和中，，≌，，
当，，三点共线时，取得最小值，最小值为的长，
，故DE的最小值为，故④正确；
当点在上时，有最小值为，此时，与不一定相等，故③不一定正确；
故答案为：①②④．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，点与圆上点距离最值问题等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
12．（2021·广东·中考真题）在中，．点D为平面上一个动点，，则线段长度的最小值为_____．
【答案】
【分析】由已知，，根据定角定弦，可作出辅助圆，由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可知，点在以为圆心为半径的圆上，线段长度的最小值为．
【详解】如图： 以为半径作圆，过圆心作，
以为圆心为半径作圆，则点在圆上，

,
线段长度的最小值为: ．故答案为：．
【点睛】本题考查了圆周角与圆心角的关系，圆外一点到圆上的线段最短距离，勾股定理，正确的作出图形是解题的关键．
13．（2023·广东·深圳市二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E为边BC上一动点，F为AE中点，G为DE上一点，BF＝FG，则CG的最小值为______．
【答案】
【分析】如图1，连接AG，先证明AF=FG=EF，则∠AGE=∠AGD=90°；再根据圆周角定理可可得点G在以AD为直径的圆上运动，取AD的中点O，当O、G、C三点共线时，CG的值最小；连接OG，由圆的性质可得OD=OG=2,再用勾股定理求得OC的长，即可求得CG的长．
【详解】解：如图1，连接AG，

∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，DC=AB=3，
∵F是AE的中点，∴BF=AE=AF=EF，∵BF=FG，∴AF=FG=EF，∴∠AGE=∠AGD=90°，
∴点G在以AD为直径的圆上运动，取AD的中点O，
如图2：当O，G，C三点共线时，CG的值最小，连接OG，
∴OD=OG=2，∴OC= ，∴CG的最小值为，故答案为：．
【点睛】本题主要考查旋转的性质、矩形的性质、圆周角定理、线段的性质等知识点，正确添加常用辅助线、构造动点G的轨迹成为解答本题的关键．
14．（2023秋·广东汕头·九年级校考期中）如下图，在正方形中，，点是以为直径的圆上的点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，则线段的最大值与最小值的和 ．

【答案】
【分析】连接、，将绕点逆时针旋转，得到线段，连接，根据旋转的性质得出，进而可得点在以为圆心，为半径的圆上运动，则线段的最大值与最小值的和为，进而勾股定理求得的长，即可求解．
【详解】解：如图所示，连接、，将绕点逆时针旋转，得到线段，连接，

∵线段绕点逆时针旋转，绕点逆时针旋转，
∴，，∴，
∴， ∴∴ 则点在以为圆心，为半径的圆上运动，
∴线段的最大值与最小值的和为
在中， ∴，
如图所示，过点作交的延长线于点，过点作于点，
则四边形是矩形，∴，
在与中，，∴
∴，，在中，，
∴线段的最大值与最小值的和为，故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，旋转的性质，求一点到圆上的距离的最值，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
15．（2023·陕西渭南·统考一模）如图，在矩形中，，Q是矩形左侧一点，连接、，且，连接，E为的中点，连接，则的最大值为 ．
【答案】3
【分析】延长至F，使，连接，点O为的中点，以点O为圆心，为直径作圆，连接，延长线交于点，交于点G，连接；由且点Q在矩形的左侧知，点Q是在上运动，由题意及辅助线作法知，为的中位线，则，当F、O、Q三点共线时，最长，最大值为的长度；利用相似三角形的性质可求得的长，从而求得，最后求出的长，从而可求得的最大值．
【详解】如图，延长至F，使，连接，点O为的中点，以点O为圆心，为直径作圆，连接，延长线交于点，交于点G，连接，
∵，∴点Q是在以点O为圆心，为直径的圆上运动，
∵Q是矩形左侧一点，∴点Q是在上运动，
∵，∴点C为的中点，
∵点E为的中点，∴为的中位线，∴，
∵，∴当F、O、Q三点共线时，最长，此时的最大值为的长度，
∵，∴，∵四边形为矩形，，，
∴，∴，
∵，∴，∴，
∴，设，则，∴，解得：，∴，，
在中，由勾股定理得，
∴，∴，∴．故答案为：3．
【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，圆的基本知识，确定出点Q的运动路径、求的最大值转化为求的最大值是解题的关键与难点．
16．（2023·安徽亳州·统考模拟预测）等腰直角中，，，点是平面内一点，，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，当 填度数度时，可以取最大值，最大值等于 ．
【答案】
【分析】连接、．先证明，则，，点在以点为圆心，长为半径的圆周上运动，当、、在同一直线上上最长，据此解答即可．
【详解】解：如图一，连接、．
是等腰直角三角形，，，
将绕点逆时针旋转得到，，，，
，，．，
如图二，
点在以点为圆心，长为半径的圆周上运动，
当、、在同一直线上最长，，故答案为：；
【点睛】本题考查旋转变换，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，点到圆上距离的最值问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．
17．（2023·河北廊坊·统考二模）已知如图，是腰长为4的等腰直角三角形，，以A为圆心，2为半径作半圆A，交所在直线于点M，N．点E是半圆A上仟意一点．连接，把绕点B顺时针旋转90°到的位置，连接，．
(1)求证：；(2)当与半圆A相切时，求弧的长；(3)直接写出面积的最大值．
【答案】(1)见解析(2)(3)4
【分析】（1）根据旋转性质，结合已知，证明，得到，证明即可．（2）根据切线的性质，三角函数，求得，代入弧长公式计算即可．
（3）根据题意，得点D在以点C为圆心，以2为半径的半圆上运动，当时，的高取得最大值，此时也取得最大值．
【详解】（1）∵是等腰直角三角形，，∴．
由旋转可得，∴，∴，
∵，∴．
（2）∵与半圆A相切，∴，

∵，∴，∴，∴．
（3）根据题意，得点D在以点C为圆心，以2为半径的半圆上运动，
过点D作于点Q，∴，
当时，的高取得最大值，此时也取得最大值．∴．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，特殊角的三角函数，弧长公式，圆的最值，熟练掌握特殊角的三角函数，弧长公式，圆的最值是解题的关键．
18．（2022·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，已知点对于点给出如下定义：将点向右或向左平移个单位长度，再向上或向下平移个单位长度，得到点，点关于点的对称点为，称点为点的“对应点”．
(1)如图，点点在线段的延长线上，若点点为点的“对应点”．
①在图中画出点；②连接交线段于点求证：
(2)的半径为1，是上一点，点在线段上，且，若为外一点，点为点的“对应点”，连接当点在上运动时直接写出长的最大值与最小值的差（用含的式子表示）
【答案】(1)见解析 (2)
【分析】（1）①先根据定义和求出点的坐标，再根据点关于点的对称点为求出点Q的坐标；②延长ON至点，连接AQ，利用AAS证明，得到，再计算出OA，OM，ON，即可求出；（2）连接PO并延长至S，使，延长SQ至T，使，结合对称的性质得出NM为的中位线，推出，得出，则．
(1)解：①点Q如下图所示．
∵点，∴点向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到点，∴，
∵点关于点的对称点为，，∴点的横坐标为：，纵坐标为：，
∴点，在坐标系内找出该点即可；

②证明：如图延长ON至点，连接AQ，
∵ ，∴，在与中，
，∴，∴，
∵ ，，，∴，，，
∴，∴，∴；
(2)解：如图所示，连接PO并延长至S，使，延长SQ至T，使，
∵，点向右或向左平移个单位长度，再向上或向下平移个单位长度，得到点，∴，
∵点关于点的对称点为，∴，又∵，∴OM∥ST，
∴NM为的中位线，∴，，
∵，∴，∴，
在中，，结合题意，，，
∴，即长的最大值与最小值的差为．
【点睛】本题考查点的平移，对称的性质，全等三角形的判定，两点间距离，中位线的性质及线段的最值问题，第2问难度较大，根据题意，画出点Q和点的轨迹是解题的关键．
19．（2023下·广东广州·九年级校考阶段练习）如图，为等边三角形，点P是线段上一动点（点P不与A，C重合），连接，过点A作直线的垂线段，垂足为点D，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，．(1)求证：；(2)连接，延长交于点F，若的边长为2；
①求的最小值；②求的最大值．
【答案】(1)见解析(2)①，②2
【分析】（1）根据旋转的性质可得，，根据等边三角形的性质可得，，进而得出，即可求证，即可求证；（2）①根据题意可得，则点D在以为直径的圆上运动，连接，与相交于点D，此时最小，求解即可；
②过点C作，交的延长线于点G，通过证明得出点F是中点，再根据，得出点A，点F，点C，点E四点在以为直径的圆上，即可求解，当为直径时，取得最大值，即可求解．
【详解】（1）证明：∵线段绕点A逆时针旋转得到线段，∴，，
∵为等边三角形，∴，，
∴，即，
在和中，，∴，∴．
（2）解：①∵，∴，∴点D在以为直径的圆上运动，
连接，与相交于点D，此时最小，
∵为等边三角形，为直径，∴，
根据勾股定理可得：，∴．
②如图，过点C作，交的延长线于点G，
∵，，∴，
∵，∴，由（1）可得，
∴，∴，
∴，∴，∴，且，
∴，∴，即点F是中点，
连接∵是等边三角形，∴，∴，
∴，∴点A，点F，点C，点E四点在以为直径的圆上
∴最大为直径，即最大值为2．
【点睛】本题是几何变换综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，直径所对的圆周角为直角，添加适当的辅助线构造全等三角形是本题的关键．
20．（2023·江苏常州·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于点A和点，与y轴交于点C．(1)求二次函数的表达式；(2)若点P是抛物线上一点，满足，求点P的坐标；(3)若点Q在第四象限内，且，点M在y轴正半轴，，线段是否存在最大值，如果存在，直接写出最大值；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)；(2)或；(3)存在，18．
【分析】(1)将点代入解析式计算即可．(2)分点P在x轴的上方和下方两种情况计算即可．(3) 作线段的垂直平分线交x轴于点R，过点C作轴，交于点G，从而得到点Q在以垂直平分线上G点为圆心，且半径为5的圆上的第四象限部分的弧上运动，当M，G，Q三点一线时，取得最大值．
【详解】（1）解：将点代入，
∴，∴，∴．
（2）令，则，∴，令，则，∴或，∴，
∵，∴，
如图1，当P点在x轴上方时，设与x轴的交点为点G，∵，，，

∴，，∴，∴，∴，
∵，∴，在中，，
∴，∴，∴，设直线的解析式为，
，∴，∴，联立方程组，
∴（舍）或，∴；
如图2，当P点在x轴下方时，∵，，∴，，
∴，解得（舍去），∴；
综上所述：P点坐标为或．
（3）线段存在最大值，且为18．理由如下：
作线段的垂直平分线交x轴于点R，过点C作轴，交于点G，
则四边形是矩形，∴，
∵， ∴，连接，则，
以G点为圆心，半径为5的作，点，
当点Q位于上时，作直径，连接，，，则，
∵，，∴，∴，
∴点G位于的第四象限部分的弧上运动，故当M，G，Q三点一线时，取得最大值．
∵，∴，∴，，
∴，，∴．
【点睛】本题考查了二次函数的解析式确定，正切函数，余弦函数，勾股定理，圆的性质，熟练掌握待定系数法，三角函数，圆的性质是解题的关键．