专题08 解直角三角形实际问题（4种类型40道）-备战2024年中考数学二轮复习之高频考点高效训练（重庆专用）

这是一份专题08 解直角三角形实际问题（4种类型40道）-备战2024年中考数学二轮复习之高频考点高效训练（重庆专用），文件包含专题08解直角三角形实际问题4种类型40道原卷版docx、专题08解直角三角形实际问题4种类型40道解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共79页， 欢迎下载使用。
\l "_Tc24816" 【题型1直接求线段长】 PAGEREF _Tc24816 \h 1
\l "_Tc19680" 【题型2求造价问题】 PAGEREF _Tc19680 \h 14
\l "_Tc28523" 【题型3 判断谁先到达】 PAGEREF _Tc28523 \h 27
\l "_Tc26277" 【题型4 判断能否达到目标】 PAGEREF _Tc26277 \h 44
【题型1直接求线段长】
1．如图，在河流两边有甲、乙两座山，现在从甲山A处的位置向乙山B处拉电线．已知甲山上A点到CD的垂直高度AC=120米；乙山BD的坡比为4:3，乙山上B点到河边D的距离BD=650米，从B处看A处的俯角为25°．（A、B、C、D在同一平面内，参考值：sin25°≈0.423,cs25°≈0.906,tan25°≈0.466）

(1)求乙山B处到河边CD的垂直距离；
(2)求河CD的宽度（结果保留整数）．
【答案】(1)乙山B处到河边CD的垂直距离为520米
(2)河CD的宽度约为468米
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题．
（1）过点B作BE⊥CD，垂足为E，根据已知可设BE=4k米，则DE=3k米，然后在Rt△BDE中，利用勾股定理进行计算即可解答；
（2）过点A作AF⊥BE，垂足为F，根据题意可得：AF=CE，AC=EF=120米，BG∥AF，从而可得∠ABG=∠BAF=25°，再利用（1）的结论可得BF=400米，然后在Rt△ABF中，利用锐角三角函数的定义求出AF的长，从而求出CE的长，进行计算即可解答．
【详解】（1）过点B作BE⊥CD，垂足为E，
∵乙山BD的坡比为4：3，
∴BEDE=43，
∴设BE=4k米，则DE=3k米，
在Rt△BDE中，BD=DE2+BE2=3k2+4k2=5k（米），
∵BD=650米，
∴5k=650，
∴k=130，
∴BE=520米，DE=390米，
∴乙山B处到河边CD的垂直距离为520米；
（2）如图：过点A作AF⊥BE，垂足为F，
由题意得：AF=CE，AC=EF=120米，BG∥AF，
∴∠ABG=∠BAF=25°，
∵BE=520米，
∴BF=BE-EF=520-120=400（米），
在Rt△ABF中，AF=BFtan25°≈4000.466≈858.4（米），
∴CE=AF=858.4米，
∴CD=CE-DE=858.4-390≈468（米），
∴河CD的宽度约为468米．
2．如图AB是一条东西走向的海岸线，一艘货船在点A处以每小时30海里的速度沿北偏东30°方向航行，经过2小时后到达点D处，在D处测得灯塔C位于南偏东54°方向，已知灯塔C距离海岸的距离BC是30海里，求此时货船与灯塔之间的距离CD．（结果精确到0.1海里．参考数据：sin54°≈0.81,cs54°≈0.59,tan54°≈1.38,3≈1.73）
【答案】此时货船与灯塔之间的距离CD约为37.1海里．
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，正确标注方向角、掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键．过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，作DF⊥AB于点F，先求得DF=303海里，再求得CE≈21.9海里，最后解直角三角形即可得到结论．
【详解】解：如图，过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，作DF⊥AB于点F，
由题意可知BC=30海里，AD=30×2=60海里，∠CDF=∠DCE=54°,∠ADF=30°，
∴在Rt△ADF中，DF=AD⋅sin60°=60×32=303海里
∴BE=DF=303海里
∴CE=BE-BC=303-30≈21.9海里
∵DE⊥BC，
∴cs∠DCE=CEDC，
即303-30DC≈0.59
∴CD≈37.1海里
答：此时货船与灯塔之间的距离CD约为37.1海里．
3．在一次课题学习课上，同学们为教室窗户设计一个遮阳蓬，小明同学绘制的设计图如图所示，其中，AB表示窗户，且AB=2米，BCD表示直角遮阳蓬，已知当地一年中在午时的太阳光与水平线CD的最小夹角α为18.6°，最大夹角β为64.5度，请你根据以上数据，帮助小明同学计算出遮阳蓬中CD的长是多少米？（结果保留两个有效数字）（参考数据：sin18.6°=0.32，tan18.6°=0.34，sin64.5°=0.90，tan64.5°=2.1）
【答案】CD长约为1.1米．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，设CD为x，解直角三角形求出BC=0.34x米，AC=2.1x米，由AB=AC-BC得到方程2=2.1x-0.34x，解方程即可求解，通过解直角三角形求出AC和BC的长是解题的关键．
【详解】解：设CD为x，在Rt△BCD中，∠BDC=α=18.6°，
∵tan∠BDC=BCCD，
∴BC=CD⋅tan∠BDC=0.34x，
在Rt△ACD中，∠ADC=β=64.5°，
∵tan∠ADC=ACCD，
∴AC=CD⋅tan∠ADC=2.1x，
∵AB=AC-BC，
∴2=2.1x-0.34x，
解得x≈1.1，
答：CD长约为1.1米．
4．如图所示，实习期间小田接到任务测量塔AB的高度，但是无法直接测量．于是他先在塔附近的空地C处地面上水平放置了一个平面镜，然后他沿着BC方向移动，当移动到点E时，他刚好在平面镜内看到这座塔的顶端A的像，此时，测得顶端A的仰角为40°，CE=1米，小田同学眼睛与地面的距离DE=1.5米，已知点B，C，E在同一水平线上，且DE，AB均垂直于BE，若平面镜的厚度忽略不计，则这座塔的高度AB约为多少米．（参考数据：sin40°≈0.64，cs40°≈0.77，tan40°≈0.84）（结果精确到0.1米）
【答案】这座塔的高度AB约为5.3米．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，相似三角形的判定与性质，解题的关键是正确的构造直角三角形并选择正确的边角关系解直角三角形．作DF⊥AB于F，则DF=EB，BF=DE=1.5，证△CDE∽△CAB，得出DECE=ABBC=32，设AB=3x，BC=2x，再分别用含x的式子表示出DF、AF，根据三角函数tan∠ADF=tan40°≈0.84=AFDF，即可得到关于x的一元一次方程，即可求解．
【详解】解：作DF⊥AB于F，如图：
则DF=EB，BF=DE=1.5，
依题意可得：∠ADF=40°，∠DCE=∠ACB，∠DEC=∠ABC=90°，
∴△CDE∽△CAB，
∴DECE=ABBC，
∵DECE=1.51=32，
∴ABBC=32，
设AB=3x，BC=2x，
∴DF=EB=CE+BC=1+2x， AF=AB-BF=3x-1.5，
在Rt△ADF中，
tan∠ADF=tan40°≈0.84=AFDF，
∴3x-1.51+2x=0.84，
解得：x≈1.77，
∴AB=3x≈5.3（米），
答：这座塔的高度AB约为5.3米．
5．如图，小明为了测量小河对岸大树BC的高度，他在点A测得大树顶端B的仰角为45°，沿斜坡走35米到达斜坡上点D，在此处测得树顶端点B的仰角为31°，且斜坡AF的坡比为1:2．

(1)求小明从点A到点D的过程中，他上升的高度；
(2)大树BC的高度约为多少米？（参考数据：sin31°≈0.52，cs31°≈0.86，tan31°≈0.60）
【答案】(1)小明从点A到点D的过程中，他上升的高度为3米
(2)大树的高度约为16.5米
【分析】本题考查了勾股定理，解直角三角形，熟练掌握勾股定理的内容，解直角三角形的方法和步骤，以及正确画出辅助线，构造直角三角形是解题的关键．
（1）作DH⊥AE于H，根据DHAH=12，得出AH=2DH，再根据勾股定理得出AH2+DH2=AD2，列出方程求解即可；
（2）延长BD交AE于点G，设BC=xm，则GH=DHtan∠G≈30.60=5，根据AH=2DH=6，得出GA=GH+AH=11，根据tan∠G=BCGC，得出CG=53x，再根据∠BAC=45°，得出AC=BC=x．最后根据GC-AC=AG，列出方程求解即可．
【详解】（1）解：作DH⊥AE于H，如图1所示：
AI
在Rt△ADH中，
∵DHAH=12，
∴AH=2DH，
∵AH2+DH2=AD2，
∴2DH2+DH2=352，
∴DH=3．
答：小明从点A到点D的过程中，他上升的高度为3米；
（2）解：如图2所示：延长BD交AE于点G，
设BC=xm，
由题意得，∠G=31°，
∴GH=DHtan∠G≈30.60=5，
∵AH=2DH=6，
∴GA=GH+AH=5+6=11，
在Rt△BGC中，tan∠G=BCGC，
∴CG=BCtan∠G≈x0.60=53x，
在Rt△BAC中，∠BAC=45°，
∴AC=BC=x．
∵GC-AC=AG，
∴53x-x=11，
解得：x=16.5．
答：大树的高度约为16.5米．

6．某无人机兴趣小组在操场上开展活动（如图），此时无人机在离地面30米的D处，无人机测得操控者A的俯角为37°，测得点C处的俯角为45°．又经过人工测量操控者A和教学楼BC距离为57米，求教学楼BC的高度．（注：点A，B，C，D都在同一平面上．参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75）
【答案】13米．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥DE于点F，由tan37°=DEAE≈0.75可得AE=40，进而得到BE=17，由四边形BCFE是矩形得到CF=BE=17，进而得到DF=CF=17，即可求解，利用数形结合以及锐角三角函数关系求解是解题的关键．
【详解】解：过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥DE于点F，则四边形BCFE是矩形，
由题意得，AB=57，DE=30，∠A=37°，∠DCF=45°，
在Rt△ADE中，∠AED=90°，
∴tan37°=DEAE≈0.75，
∴AE=40，
∵AB=57，
∴BE=17，
∵四边形BCFE是矩形，
∴CF=BE=17，
在Rt△DCF中，∠DFC=90°，
∴∠CDF=∠DCF=45°，
∴DF=CF=17，
∴BC=EF=30-17=13，
答：教学楼BC高约13米．
7．长泰大桥是长春市“两横三纵”快速路的关键节点工程，大桥建筑类型为斜拉式高架桥，小明站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是31°，拉索AB的长AB=100米，主塔处桥面距地面CD=7.84米，试求BD的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：sin31°=0.52，cs31°=0.86，tan31°=0.60）
【答案】主塔BD的高约为59.8米
【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，根据直角三角形中由三角函数得出BC相应长度，再由BD=BC+CD可得出.
【详解】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，sinA=BCAB，
∴BC=AB⋅sinA=100×sin31°=100×0.52=52，
∴BD=BC+CD=52+7.84=59.84≈59.8（米）
答：主塔BD的高约为59.8米．
8．无锡市政府为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面上的实物图，图②是其示意图，其中AB、CD都与地面l平行，车轮半径为32cm，∠BCD=64°，BC=60cm，坐垫E与点B的距离BE为15cm．
(1)求坐垫E到地面的距离；
(2)根据经验，当坐垫E到CD的距离调整为人体腿长的0.8时，坐骑比较舒适．小明的腿长约为80cm，现将坐垫E调整至坐骑舒适高度位置E'，求EE'的长．
（结果精确到0.1cm，参考数据：sin64°≈0.90，cs64°≈0.44，tan64°≈2.05）
【答案】(1)99.5cm
(2)3.9cm
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是作出相应的辅助线，熟练掌握三角函数的定义．
（1）过点E作EM⊥CD于点M，解直角三角形求出EM，然后求出结果即可；
（2）过点E'作E'H⊥CD于点H，先求出E'H=80×0.8=64cm，根据三角函数求出E'C，然后求出结果即可．
【详解】（1）解：如图1，过点E作EM⊥CD于点M，
由题意知∠BCM=64°，EC=BC+BE=60+15=75cm，
∴EM=ECsin∠BCM=75sin64°≈67.5cm，
则单车车座E到地面的高度为67.5+32≈99.5cm；
（2）解：如图2，过点E'作E'H⊥CD于点H，
由题意知E'H=80×0.8=64cm，
则E'C=64sin64°≈71.1cm，
∴EE'=CE-CE'=75-71.1=3.9cm．
9．如图，小明在高楼BC上观测河对岸的斜坡AD．斜坡AD处有一段路在抢修，导致无法通行，BD是一条河流，P是斜坡AD上一照明灯（不计高度）．当小明到达楼层E时，发现E处与坡顶A在同一水平面上，此时在E测得坡底D的俯角为α（即∠DEA=α），且tanα=23，当小明到达楼层F处时，在F处测得坡顶A的俯角恰好也为α．现测得EB=8m，EF=32m．

(1)求线段BD的长．
(2)求tan∠DAE的值．
(3)小明到达楼顶C处时，在C处测得探照灯P的俯角为45°，CF=5m，求点P到点A的距离．
【答案】(1)BD=12m；
(2)tan∠DAE=29；
(3)点P到点A的距离为85m．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用．
（1）由tanα=BEBD=23，EB=8m，据此即可求解；
（2）作DI⊥AE，则四边形BDIE是矩形，由∠EAF=α，EF=32m，利用正切函数求得AE的长，据此求解即可；
（3）作PG⊥BC，设EG=HI=a，证明△DPH∽△DAI，利用相似三角形的性质求得a=2，据此求解即可．
【详解】（1）解：由题意得∠EDB=∠DAE=α，
∵tanα=23，EB=8m，
∴tanα=BEBD=23，即8BD=23，
∴BD=12m；
（2）解：作DI⊥AE，则四边形BDIE是矩形，
∴IE=BD=12，ID=BE=8，
∵∠EAF=α，EF=32m，
∴tanα=EFAE=23，
∴AE=48m，
∴AI=AE-IE=48-12=36，DA=82+362=485，
∴tan∠DAE=DIAT=836=29；
；
（3）解：如图，作PG⊥BC，则四边形BDHG、EIHG是矩形，
设EG=HI=a，
∵∠PCG=45°，
∴PG=CG=5+32+a=37+a，
∴PH=PG-HG=37+a-12=25+a，
∵PH∥AI，
∴△DPH∽△DAI，
∴PHAI=DHDI=DPDA，即25+a36=8-a8=DP485，
∴a=2，
∴DP=385，
∴AP=485-385=85．
∴点P到点A的距离为85m．
10．如图，小岛B位于小岛A的南偏东37°方向，在AB的中点处建设了灯塔C，一艘物资船位于小岛A的正南方向、小岛B的正西方向的D处，它从D处沿正北方向航行5km，到达E处，此时测得灯塔C在北偏东45°方向上，这时，E处距离小岛A有多远?（参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75）
【答案】35km
【分析】作CH⊥AD于H．设CH=x，在Rt△ACH中，AH=4x3，在Rt△CEH中，得到EH=CH=x，证明CH∥BD，则AHHD=ACCB，进一步得到AH=HD，则4x3=x+5，求出x的值，进一步即可得到答案．
此题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握方位角和利用数形结合思想是解题的关键．
【详解】解：如图，作CH⊥AD于H．设CH=x，
在Rt△ACH中，∠A=37°，
∵tan37°=CHAH，
∴AH=CHtan37°=x0.75=4x3，
在Rt△CEH中，∵∠CEH=45°，
∴EH=CH=x，
∵CH⊥AD,BD⊥AD，
∴CH∥BD，
∴AHHD=ACCB，
∵AC=CB，
∴AH=HD，
∴4x3=x+5，
∴x=15，
∴AH=4x3=20，
∴AE=AH+HE=20+15=35，
∴E处距离港口A有35km．
【题型2求造价问题】
11．济南黄河大桥位于济南北郊，该桥于1982年7月建成通车，至今已40年整，大桥总长2023.44米，是当时亚洲跨径最大的桥梁，在当时世界十大预应力混凝土斜拉桥中排行第8位．某校数学“综合与实践”小组的同学利用课余时间按照如图所示的测量示意图对该桥进行了实地测量，测得如下数据：∠ADC=60°，∠ABC=30°，垂直高度AC=150米．
(1)求BD的长（保留根号）；
(2)若要在最长的斜拉链条AB和斜塔AD上装LED节能灯带，灯带每米造价200元，求斜拉链条AB和斜塔AD上灯带的总造价是多少元？（取2≈1.4，3≈1.7，5≈2.2）
【答案】(1)1003米
(2)94000元
【分析】（1）根据∠ADC=60°，，AC=150米，即可求出AD的长度，根据三角形的外角定理可得出∠DAB的读书，最后根据等角对等边即可解答；
（2）先求出AD和AB的总长度，即可求解．
【详解】（1）解：在Rt△ACD中，AC=150米，∠ADC=60°，
∴AD=ACsin60°=15032=1003（米），
∵∠ADC是△ADB的一个外角，
∴∠DAB=∠ADC-∠ABC=30°，
∴∠DAB=∠ABC=30°，
∴AD=BD=1003（米），
∴BD的长为1003米；
（2）在Rt△ACD中，AC=150米，∠ABC=30°，
∴AB=2AC=300（米），
∴AD+AB=1003+300≈470（米），
∴470×200=94000（元）．
答：斜拉链条AB和斜塔AD上灯带的总造价约为94000元．
【点睛】本题主要考查了三角函数的实际应用，解题的关键是熟练掌握各个三角函数的定义，根据已知条件求解直角三角形的边．
12．巫云开高速起于巫溪县， 经云阳县， 止于开州区， 是渝东北地区与主城都市区联系的重要通道， 也是重庆过境大通道的重要组成部分， 预计在 2025 年建成通车． 为及时学握巫云开高速通车后是否会对沿途居民生活产生噪音影响， 施工单位派出了两名勘测师对已经修建好的高速路段 DE 进行勘测． 如图， 勘测师甲在一段自西向东的的高速路上的 A 处发现民宿 C 在 A 处北偏西 45∘ 方向上， 与 A 处距离为 80 米， 民宿 B在 A 处北偏东 60∘ 方向上； 勘测师乙在民宿 B 处测得民宿 C 在 B 处北偏西 75∘ 的方向上．
(1)求 BC 的距离（结果保留一位小数）；
(2)当居住场所与高速路的距离不大于 30 米的时候， 人们的生活会被高速路上的噪声影响， 相关部门可通过加装隔音堜来减少噪声污染， 每米隔音墙的单价为 158 元． 请判断民宿 B 是否会被高速路上的噪声影响? 如果有被影响， 则在对民宿有噪音影响的高速路段上全部安装隔音墙， 请计算出安装隔音墙需要资金多少元? 如果没有被影响， 请说明理由．（参考数据： 2≈1.414,3≈1.732 ）
【答案】(1)109.3米
(2)3160元
【分析】（1）过点A作AT⊥DE，过点B作BK⊥DE于N，过点A作AM⊥BC于M，证△AMB是等腰直角三角形得AM=BM，∠BAM=45°，再由含30°角的直角三角形的性质得AM=12AC=40（米），然后由勾股定理得CM=403（米），即可解决问题；
（2）由含30°角的直角三角形的性质得BN=12AB=202（米），再由202米＜30米，得民宿B会被高速路上的噪声影响，设在DE上从G到H处受影响，则BG=BH=30米，然后由勾股定理得GN=HN=10（米），即可解决问题．
【详解】（1）如图，过点A作AT⊥DE，过点B作BK⊥DE于N，过点A作AM⊥BC于M，
则AT∥KN，
∴∠ABN=∠BAT，
由题意得：∠CAT=45°，∠BAT=60°，∠CBK=75°，
∴∠ABN=60°，
∴∠ABC=180°-∠CBK-∠ABN=180°-75°-60°=45°，
∴△AMB是等腰直角三角形，
∴AM=BM，∠BAM=45°，
∴∠CAM=∠CAT+∠BAT-∠BAM=45°+60°-45°=60°，
∴∠C=30°，
∴AM=12AC=12×80=40（米），
∴CM=AC2-AM2=802-402=403（米），
∴BC=BM+CM=AM+CM=40+403≈109.3（米）；
（2）由（1）得：△AMB是等腰直角三角形，AM=40米，
∴AB=2AM=402（米），
∵∠BAN=90°-∠BAT=90°-60°=30°，
∴BN=12AB=202（米），
∵202米＜30米，
∴民宿B会被高速路上的噪声影响，
设在DE上从G到H处受影响，则BG=BH=30米，
∵BN⊥DE，
∴GN=HN=BG2-BN2=302-(202)2=10（米），
∴GH=2×10=20（米），
∴安装隔音墙需要资金为：20×158=3160（元）．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用—方向角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
13．如图1，和平大桥是徐州市地标建筑，也是国内跨铁路最多的大桥，某数学小组的同学利用课余时间对该桥进行了实地测量，如图2所示的测量示意图，测得如下数据；∠A＝27°，∠B＝31°，斜拉主跨度AB＝368米．
（1）过点C作CD⊥AB，垂足为D，求CD的长（结果精确到0.1）；
（2）若主塔斜拉链条上的LED节能灯带每米造价90元，求斜拉链条AC上灯带的总造价是多少元？（参考数据tan27°≈0.5，sin27°≈0.45，cs27°≈0.9：tan31°≈0.6）
【答案】（1）100.4米；（2）20080元
【分析】（1）设CD＝x（米），在Rt△ADC中表示出AD＝2x，在Rt△BDC中，表示出BD＝53x，根据AB＝AD+BD建立关于x的方程，解之求出x的值，从而得出答案；
（2）先求出AC的长度，再乘以单价即可得出答案．
【详解】解：（1）∵CD⊥AB于点D，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°，
设CD＝x，
在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，∠A＝27°，
∴tan27°＝CDAD，
即xAD≈0.5，
∴AD＝2x，
在Rt△BDC中，∠B＝31°，
∵tan31°＝CDBD，
即0.6≈xBD，
∴BD＝53x，
∵AB＝AD+BD．
∴2x+53x＝368，
∴x＝100.4，
∴CD＝100.4（米）；
（2）在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，∠A＝27°，
∴费用：90×AC＝90×CDsin27°≈90×＝20080（元），
答：斜拉链条AC上灯带的总造价是20080元．
【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，解题的关键是掌握三角函数的应用、直角三角形的有关性质．
14．大数据时代的降临带来了大量爆炸性的知识增长，其中很大一部分被转化为实用技术推入商用，激光电视就是近几年发展相当迅猛的其中一支．激光电视最值得一提的是对消费者眼睛的保护方面，其光源是激光，运用了反射成像原理，屏幕不通电，无辐射，观看时不会感到刺眼．根据THX、isf观影标准，水平视角33－40°时，双眼处于肌肉放松状态，是享受震撼感官体验的客厅黄金观影位．
（1）如图，小佳家决定要换一个激光电视，他家客厅的观影距离（人坐在沙发上眼睛到屏幕的距离）为3.5米，请你计算一下小佳家要选择电视屏幕宽（BC的长）在什么范围内的激光电视就能享受黄金观看体验？（结果精确到0.1m，参考数据：sin33°≈0.54，cs33°≈0.84，tan33°≈0.65，sin40°≈0.64，cs40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin16.5°≈0.28，cs16.5°≈0.96，tan16.5°≈0.30，sin20°≈0.34，cs20°≈0.94，tan20°≈0.36）
（2）由于技术革新，激光电视的功能越来越强大，价格也逐渐下降，某电器行经营的某款激光电视去年销售总额为50万元，今年每台销售价比去年降低4000元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少20%，今年这款激光电视每台的售价是多少元？
【答案】（1）小佳家要选择电视屏幕宽为2.10m－2.52m之间的激光电视就能享受黄金观看体验；（2）16000元
【分析】（1）过点A作AD⊥BC于点D，由等腰三角形三线合一性质可得BC＝2BD，∠BAD＝∠CAD＝12∠BAC，利用锐角三角函数得出BC即可；
（2）设：今年这款激光电视每台的售价是x元，则去年每台的售价为（x＋4000）元．根据去年总销售额除以去年单价和今年总销售额除以今年单价相同构建方程，解方程即可．
【详解】解：（1）过点A作AD⊥BC于点D，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BC＝2BD，∠BAD＝∠CAD＝12∠BAC，
当∠BAC＝33°时，∠BAD＝∠CAD＝16.5°，
在△ABD中，BD＝AD×tan16.5°≈3.5×0.30＝1.05 m，
∴BC＝2BD＝2.10 m ，
当∠BAC＝40°时，∠BAD＝∠CAD＝20°，
在△ABD中，BD＝AD×tan20°≈3.5×0.36＝1.26 m，
∴BC＝2BD＝2.52 m，
答：小佳家要选择电视屏幕宽为2.10m－2.52m之间的激光电视就能享受黄金观看体验；
（2）设：今年这款激光电视每台的售价是x元，则去年每台的售价为（x＋4000）元．
由题意可得：500000x+4000=500000×(1-20%)x ，
解得：x＝16000 ，
经检验x＝16000是原方程的解，符合题意，
答：今年这款激光电视每台的售价是16000元．
【点睛】本题考查等腰三角形性质，锐角三角函数，列分式方程解应用题，掌握等腰三角形性质，锐角三角函数，列分式方程解应用题是解题关键．
15．如图1，通海桥是座大规模斜拉式大桥，通海桥主塔两侧斜拉链条在夜间亮灯后犹如天鹅之翼，优雅非凡．某数学“综合与实践”小组的同学利用课余时间按照如图2所示的测量示意图对该桥进行了实地测量，测得如下数据：∠A=30°，∠B=45°，斜拉主跨度AB=260米．
（1）过点C作CD⊥AB，垂足为D，求CD的长(3取1.7)；
（2）若主塔斜拉链条上的LED节能灯带每米造价800元，求斜拉链条AC上灯带的总造价是多少元？
【答案】（1）CD=91米；（2）斜拉链条AC上的LED节能灯带造价是145600元
【分析】（1）设CD=x，在Rt△ADC中表示出AD=3x，在Rt△BDC中，表示出CD=BD=x，根据AB=AD+BD建立关于x的方程，解之求出x的值，从而得出答案；
（2）先求出AC的长度，再乘以单价即可得出答案．
【详解】解：（1）∵CD⊥AB于点D，
∴∠ADC=∠BDC=90°，
设CD=x，
在Rt△ADC中，∠ADC=90°，∠A=30°，
∴ tan30°=CDAD，即xAD=33，
∴ AD=3x，
在Rt△BDC中，∠B=45°，
∴CD=BD=x，
∵AB=AD+BD．
∴ 3x+x=260，
∴ x=2603+1，
∴ x=130(3-1)=130×0.7=91，
∴CD=91米．
（2）在Rt△ADC中∠ADC=90°，∠A=30°，
∴AC=2CD（直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半），
∴AC=182，
∵LED节能灯带每米造价为800元，
∴800×182=145600（元)，
答：斜拉链条AC上的LED节能灯带造价是145600元．
【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，解题的关键是掌握三角函数的应用、直角三角形的有关性质．
16．一座建于若干年前的水库大坝的横断面如图所示，其中背水面的整个坡面是长为90米、宽为5米的矩形．现需将其整修并进行美化，方案如下：①将背水坡AB的坡度由1:0.75改为1:3；②用一组与背水坡面长边垂直的平行线将背水坡面分成9块相同的矩形区域，依次相间地种草与栽花．
（1）求整修后背水坡面的面积；
（2）如果栽花的成本是每平方米25元，种草的成本是每平方米20元，那么种植花草至少需要多少元？
【答案】(1)720米2(2)16000元
【分析】（1）本题可通过构建直角三角形来解，过A作AE⊥BC于E，直角三角形ABE中根据AB的坡度，设出AE、BE的长，然后根据勾股定理求出未知数的值，也就求出了AE、BE的长，直角三角形AB′E中，有坡度，有AE的长，就能求出AB′的长，有了AB′的长，坡的面积便可求出了；
（2）可通过不同种植方法的成本来得出最佳种植方案．
【详解】（1）作AE⊥BC于E．
∵原来的坡度是1：0.75，∴AEEB=10.75=43，设AE=4k，BE=3k，∴AB=5k．
又∵AB=5米，∴k=1，则AE=4米，设整修后的斜坡为AB′，由整修后坡度为1：3，有tan∠AB′E=AEEB'=13，∴∠AB′E=30°，∴AB′=2AE=8米，∴整修后背水坡面面积为90×8=720米2．
（2）∵要依次相间地种植花草，则必然有一种是5块，有一种是4块，而栽花的成本是每平方米25元，种草的成本是每平方米20元，∴两种方案中，选择种草5块、种花4块的方案花费较少．
∵整修后背水坡面面积为720米2，∴每一小块的面积是7209=80米2，∴需要花费20×5×80+25×4×80=16000元．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题．解题的关键是构造直角三角形．两个直角三角形有公共的直角边，先求出公共边是解决此类题目的基本出发点．
17．小明家准备建造长为28米的蔬菜大棚，示意图如图（1）．它的横截面为如图（2）所示的四边形ABCD，已知AB=3米，BC=6米，∠BCD=45°，AB⊥BC，D到BC的距离DE为1米．矩形棚顶ADD'A'及矩形DCC'D'由钢架及塑料薄膜制作，造价为每平方米120元，其它部分（保温墙体等）造价共9250元，则这个大棚的总造价为多少元？（精确到1元）
（下列数据可供参考2=1.41，3=1.73，5=2.24，29=5.39，34=5.83）
【答案】32098元
【详解】如图所示，过D作DF⊥AB于F，墙体费用已知为9250元，因此必须求出薄膜费用，而面积是关键，由DE=BF=1，DF=BE，∠BCD=45°，可得CE=1，利用勾股定理知CD=，又BC=6，那么DF=BE=5．在Rt△AFD中，AF=2，DF=5，∴AD==5.39，∴塑料薄膜总面积为（+）×28，由此可以求出总造价了；
解：过D作DF⊥AB于F，
∵AB⊥BC，∴DF∥BC，
又∵DE⊥BC，∴DE∥AB，
∴四边形BEDF为矩形，
∴DE=BF=1，DF=BE，
又∵∠BCD=45∘，∴CE=1，CD=2，
又BC=6，∴DF=BE=5，
在Rt△AFD中，AF=2，DF=5，
∴AD=4+25=29=5.39，
∴ S四边形ADD'A'=29×28≈150.9，
S四边形DCC'D'=2×28≈39.5，
∴总造价为(150.9+39.5)×120+9250≈32098（元）．
18．郑州市农业路高架桥二层的开通，较大程度缓解了市内交通的压力，最初设计南阳路口上桥匝道时，其坡角为15°，后来从安全角度考虑将匝道坡角改为5°(见示意图)，如果高架桥高CD＝6米，匝道BD和AD每米造价均为4 000元，那么设计优化后修建匝道AD的投资将增加多少元？(参考数据：sin5°≈0.08，sin15°≈0.25，tan5°≈0.09，tan15°≈0.27，结果保留整数)
【答案】204000元.
【详解】试题分析：根据锐角三角函数可以分别表示出AD和BD的长，从而可以求得设计优化后修建匝道AD的投资将增加多少元．
试题解析：由题意可得，
∵∠DCA=90∘，CD=6米，
∴在Rt△ACD中, ∠CAD=5∘，
∴AD=6sin5∘≈75.
在Rt△BCD中, ∠CBD=15∘，
∴BD=6sin15∘≈24.
∴设计优化后修建匝道AD的投资将增加：(75-24)×4000=204000 (元)，
即设计优化后修建匝道AD的投资将增加204000元．
19．近年来，劳动教育引起了政府和各级教育部门的高度重视，县政府准备把一块四边形ABCD的空地整理出来作为城内各学校的公共劳动教育基地，如图，点C在点D的南偏东45°方向上，点A在点D的北偏东60°方向上，点B在点A的正东方向，点C在点B的正南方向．已知AB=100米，CD=4002米．（参考数据：2≈1.414，3≈1.732）
(1)求四边形空地AD边的长（精确到0.1千米）
(2)政府计划用5万元在空地四周建立防护栏，每米防护栏的改造费用为30元，判断费用是否充足？
【答案】(1)346.4
(2)改造费用不充足
【分析】本题考查解直角三角形的应用，通过作辅助线构造直角三角形是解题的关键.
（1）延长BA交SN于点E，过点C作CF⊥SN于点F， 在Rt△CDF中，解直角三角形即可求出AD的长；
（2）分别在Rt△CDF中和Rt△ADE中, 求出CF,DF,CD,AE,DE, 求出四边形ABCD的周长，再求出改造费用与计划费用比较即可作出判断.
【详解】（1）延长BA交SN于点E，过点C作CF⊥SN于点F，
由题意，知BCFE是矩形，AB=100米, CD=4002米, ∠CDF=45°,∠ADE=60°,
∴BE=CF,
在Rt△CDF中,
CF=CD⋅sin∠CDF=4002⋅sin45°=400(米)，
DF=CD·cs∠CDF=4002·cs45°=400(米)，
∴BE=CF=400米，
AE=BE-AB=300(米)，
在Rt△ADE中，
AD=AEsin∠ADE=300sin60°=2003≈346.4(米)，
答：四边形空地AD边的长约为346.4米；
（2）∵ED=AEtan∠ADE=300tan60°=1003(米)，AB=100米，
BC=EF=DE+DF=1003+400(千米)，CD=4002米, AD=2003米,
∴AB+BC+CD+AD=100 +1003+400+4002+2003 ≈1758.4(米)，
需要改造费用 1758.4×30=52752(元)，
∵52752>50000，
∴改造费用不充足．
20．随着精准扶贫政策的落地实施，小亮家所在的村落进行了整村搬迁，小亮同家人一起告别了祖辈们世代居住的窑洞，搬进了宽敞明亮的新房．他家的新房全部安装的是内倒式窗户．为帮助家人确定窗边家具摆放位置，小亮想要知道开启窗扇时，窗扇顶端向屋内移动的水平距离．如图，小亮测得窗扇高度AB＝80cm，开启时的最大张角∠A＝22.5°，窗扇开启后的位置为AB'．
（1）请根据这些数据帮助小亮计算开启窗扇时，窗扇顶端向屋内移动的最大水平距离（不考虑窗扇的厚度，参考数据sin22.5°≈0.38，cs22.5°≈0.92，tan22.5°≈0.41）；
（2）小亮的爸爸说：“咱家安装窗户总共花了4800元，隔壁小明家安装的是平移式窗户，他家窗户总面积比咱家多3平方米，但他家总共才花了3680元，咱家安装的这种内倒式窗户每平方米的价格是小明家安装的平移式窗户每平方米价格的1.5倍.”请你根据以上信息求出小亮家安装的这种内倒式窗户每平方米多少元？
【答案】（1）窗扇顶端向屋内移动的最大水平距离为30.4cm；（2）小亮家安装的这种内倒式窗户每平方米240元
【分析】（1）过点B'作AB的垂线，垂足为C，根据平移的性质得出AB'＝AB，进而利用三角函数解答即可；
（2）设小明家安装的平移式窗户每平方米价格为x元，根据题意列出分式方程解答即可．
【详解】解：（1）过点B'作AB的垂线，垂足为C，
可得窗扇顶端向屋内移动的水平距离为B'C，AB'＝AB，
在Rt△AB'C中，B'C＝AB'•sin∠A≈80×0.38＝30.4（cm），
答：窗扇顶端向屋内移动的最大水平距离为30.4cm；
（2）设小明家安装的平移式窗户每平方米价格为x元，
根据题意得：3680x-48001.5x=3，
解得：x＝160，
经检验，x＝160是原方程的根，1.5x＝240，
答：小亮家安装的这种内倒式窗户每平方米240元．
【点睛】本题考查解直角三角形，解分式方程等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
【题型3 判断谁先到达】
21．如图，五边形ABCDE是某公园的游览步道，把公园的五个景点连接起来，为方便游览，增设了步道AC．经勘测，∠BAE=90°，景点C在景点A的东北方向，且在景点B的南偏东60°方向的800米处，景点D在景点C的正南方向500米处，∠AED=150°．（参考数据：2≈1.414,3≈1.732）
(1)求景点A与景点E的距离：（结果精确到1米）
(2)甲、乙两人同时从景点A出发，选择相反的路线依次游览其余四个景点，最后回到景点A，两人在各景点处停留时间忽略不计．其中甲的游览路线是A→B→C→D→E→A，甲游览的平均速度是100米/分，乙游览的平均速度是80米/分．请通过计算说明在游览过程中，甲、乙谁先到达景点C？
【答案】(1)359米
(2)乙先到达景点C
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，勾股定理的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
（1）过点D作DM⊥AE，交AE的延长线于点M，过点C作CN⊥AB，垂足为C，求出CN=AN=4003，再求出EM即可解答；
（2）利用（1）的结论再在Rt△DEM中，利用勾股定理可求出DE的长，从而求出甲和乙的路程，最后进行计算即可解答．
【详解】（1）解：过点D作DM⊥AE，交AE的延长线于点M，过点C作CN⊥AB，垂足为C，
由题意得：
∠B=60°，BC=800米，∠BAC=∠EAC=45°,CD=500米
在RtΔCNB中，∠B=60°，BC=800米
∴BN=CB⋅cs60°=800×12=400米，
CN=BC⋅sin60°=800×32=4003（米)，
∵∠BAC=∠EAC=45°
∴CN=AN=4003米，
∵∠ANC=∠EAN=∠M=90°
∴四边形NAMC为矩形
∴CM=AN=4003，CN=AM=4003
∵CD=500米
∴DM=4003-500米
∵∠AED=150°
∴∠MED=30°
在Rt△DEM中，∠MED=30°，DM=4003-500米
∴EM=DM⋅tan60°=4003-500×3=1200-5003米
∴AE=AM-EM=4003-1200-5003=9003-1200=358.8≈359（米）
答：景点A与景点E的距离约为359米
（2）在Rt△DEM中，∠MED=30°，DM=4003-500米
∴DE=8003-1000米
∴甲的路程=AB+BC=AN+BN+BC=4003+400+800=1200+4003=1892.8≈1893米，
乙的路程=AE+DE+CD=9003-1200+8003-1000+500
=17003-1700=1244.4≈1244（米)，
∵乙的速度为80米/分钟，
∴乙所用的时间=124480=15.56（分钟），
∵甲所用的时间=1893100=18.93（分钟），
∴15.560.25
∴小明先到．
23．在公园里，同一平面内的五处景点的道路分布如图所示，经测量，点D、E均在点C的正北方向且CE=900米，点B在点C的正西方向，且BC=3003米，点B在点A的南偏东60°方向且AB=600米，点D在点A的东北方向．（参考数据：2≈1.414,3≈1.732,6≈2.449）
(1)求道路AD的长度（结果保留根号）；
(2)若甲从A点出发沿A-D-E的路径去点E，与此同时乙从点B出发，沿B-A-E的路径去点E，在两人速度相同的情况下谁先到达点E？（结果精确到十分位）
【答案】(1)道路AD的长度约为6006米
(2)乙先到达点E
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，勾股定理的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
（1）过点A作AF⊥CB，交CB的延长线于点F，过点A作AG⊥DC，垂足为G，根据题意可得：AF=CG，AG=CF，然后在Rt△AFB中，利用锐角三角函数的定义求出AF，BF的长，从而求出CF的长，再在Rt△ADG中，利用锐角三角函数的定义求出AD的长，即可解答；
（2）利用（1）的结论可求出EG的长，再在Rt△AGE中，利用勾股定理可求出AE的长，然后在Rt△ADG中，利用锐角三角函数的定义求出DG的长，从而求出甲和乙的路程，最后进行判定即可解答．
【详解】（1）解：过点A作AF⊥CB，交CB的延长线于点F，过点A作AG⊥DC，垂足为G，如图所示：
由题意得：
AF=CG，AG=CF，
在Rt△AFB中，∠BAF=60°，AB=600米，
∴AF=AB⋅cs60°=600×12=300（米)，
BF=AB⋅sin60°=600×32=3003（米)，
∴CG=AF=300米，
∵ BC=3003米，
∴CF=BF+BC=3003+3003=6003（米)，
∴AG=CF=6003米，
在Rt△ADG中，∠DAG=90°-45°=45°，
∴AD=AGcs45°=600322=6006（米)，
∴道路AD的长度约为6006米；
（2）解：∵CE=900米，CG=300米，
∴EG=CE-CG=600（米)，
在Rt△AGE中，AG=6003米，
∴AE=AG2+GE2=60032+6002=1200（米)，
在Rt△ADG中，∠DAG=45°，
∴DG=AG⋅tan45°=6003（米)，
∴甲的路程=AD+DE=AD+DG-EG=6006+6003-600≈1908.6（米），
乙的路程=AB+AE=600+1200=1800（米)，
∵1908.6>1800，两人速度相同，
∴乙先到达点E．
24．周末，小明和小红相约爬山到山顶点C处观景（山脚处的点A、B在同一水平线上），小明在A点处测得山顶点C的仰角为37°，他从点A出发，沿AC爬山到达山顶C．小红从点B出发，先爬长为260米的山坡BD到达点D，BD的坡度为2.4：1，然后沿水平观景步道DE走了450米到达点E，此时山顶C正好在点E距离900米且仰角30°处，最后爬山坡EC到达山顶C（点A、B、C、D、E在同一平面内，小明、小红的身高忽略不计），（参考数据：sin37°=0.6，cs37°=0.8，tan37°=0.75）
(1)求山顶C到AB的距离；
(2)若小明和小红分别从点A、点B同时出发，小明的爬山速度为50米/分，小红的爬山速度为58米/分（小红在山坡BD、山坡EC段的速度相同），小红的平路速度为90米/分，请问谁先到达山顶C处？请通过计算说明理由．
【答案】(1)山顶C到AB的距离为4503+240m
(2)小红先到山顶，理由见详解
【分析】本题主要考查仰俯角、勾股定理与行程问题，三角函数的计算的综合，掌握仰俯角求路程，勾股定理的运用，三角函数的计算方法是解题的关键．
（1）如图所示，过点D作DF⊥AB于点F，过点E作MG⊥AB于点G，过点C作CH⊥AB于点H，过点E作EN⊥CH于点N，由坡比可算出DF,EG,NH的值，在Rt△AEN中，根据含30°角的直角三角形的性质可求出CN的值，由此即可求解；
（2）根据行程问题的数量关系分别算出小明，小红的时间，进行比较即可．
【详解】（1）解：如图所示，过点D作DF⊥AB于点F，过点E作MG⊥AB于点G，过点C作CH⊥AB于点H，过点E作EN⊥CH于点N，
根据题意可得，BD=260m，且BD的坡度为2.4：1，即DFBF=2.4，
∴在Rt△BDF中，BF2+DF2=BD2，
∴BF2+2.4BF2=2602，
解得，BF=100m，
∴DF=2.4BF=240m，
根据题意可得，DF=EG=NH=240m，
∵点E的仰角为30°，即∠CEM=30°，
∴∠CEN=60°，CE=900m，
∴在Rt△AEN中，∠ECN=30°，
∴EN=12CE=12×900=450m，CN=3EN=4503m，
∴CH=CN+NH=4503+240m，
∴山顶C到AB的距离为4503+240m．
（2）解：小红先到山顶，理由如下，
根据题意可得，在Rt△ACH中，∠A=37°，
∴sin37°=CHAC，
∴AC=CHsin37°=4503+2400.6≈450×1.7+2400.6=1675(m)，
∵小明的爬山速度为50米/分，
∴小明在A点处测得山顶点C的时间为：1675÷50=33.5（分钟），
根据题意，BD+EC=260+900=1160m，小红的爬山速度为58米/分，
∴小红上坡的时间为：1160÷58=20（分钟），
∵DE=450m，小红的平路速度为90米/分，
∴小红平路的时间为：450÷90=5（分钟），
∴小红从B→C的时间为：20+5=25（分钟），
∵2551.5，
∴小红先到达山顶C处．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
26．如图，一艘渔船位于小岛B的北偏东30°方向的点A处，它沿着点A的正南方向以每小时10千米的速度航行6小时到达点C处，此时点C位于点B的北偏东75°．

(1)求A、B两点间的距离（结果保留一位小数）；
(2)渔船到达点C后，按原航线继续航行一段时间后，船长发现生活物资未带，于是立即向小岛B的工作人员求救，小岛B立即派快艇前去支援，已知快艇的速度为每小时20千米，他们相约在位于小岛B正东方向的小岛D处汇合，且小岛D位于渔船的正南方向，请问谁先到达点D？（参考数据：2≈1.414，3≈1.732）
【答案】(1)82.0千米；
(2)快艇先到达点D．
【分析】（1）过点C作CM⊥AB交于点M，解直角三角形得AM和CM长，最终得出答案；
（2）解直角三角形得BD、CD长，再计算出用时，比较大小后得出结果．
【详解】（1）解：过点C作CM⊥AB交于点M
由题可得：∠A=30°，∠ABC=75°-30°=45°
∵∠CMA=90°，∠A=30°
∴在Rt△ACM中，AM=AC⋅cs30°，CM=AC⋅sin30°
∴AM=6×10×32=303（千米），CM=6×10×12=30（千米）
∵在Rt△BCM中，∠ABC=45°
∴CM=BM=30（千米）
∴AB=AM+BM=303+30≈30×1.732+30=81.96≈82.0（千米）
答：AB约为82.0千米．

（2）解：由题可得：∠BDA=90°
∵在Rt△ABD中，∠A=30°
∴BD=AB⋅sin30°=153+15（千米），AD=AB⋅cs30°=45+153（千米）
∴CD=AD-AC=153-15（千米）
∴快艇所用的时间t1=153+1520=33+34≈3×1.732+34=2.049（小时）
渔船所用的时间t2=153-1510=33-32≈3×1.732-32=1.098（小时）
∵2.049>1.098
∴快艇先到达点D．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，其中准确理解题目中的条件，建立适当的直角三角形是解题的关键．
27．黄葛树是重庆的市树，走在重庆的大街小巷，总能看到它巨大的身影．某天学校九年级某班的两名同学小宇和小航在校园的操场边看见一颗特别高大的黄葛树，他们便准备测量这颗黄葛树的高度．如图小宇在点A处观测到黄葛树最高点P的仰角为45°，再沿正对黄葛树的方向前进6m至B处测得最高点P的仰角为60°，小航先在点C处竖立一根长为2.6m标杆FC，再后退至其眼睛所在位置点D、标杆顶F、最高点P在一条直线上，此时测得最高点P的仰角为30°，已知两人身高均为1.6m（头顶到眼睛的距离忽略不计）．
(1)求黄葛树PQ的高度．（结果保留一位小数）；（参考数据：3≈1.73）
(2)测量结束时小宇站在点E处，小航在点C处，两人相约在树下Q点见面，小宇的速度为1.5m/s，小航速度是其2倍，你认为谁先到达Q点？请说明理由．
【答案】(1)15.8m
(2)小宇先到达Q点，理由见解析
【分析】（1）设PQ与AD相交于点G，根据题意可得：AB=6m，BE=GQ=1.6m，然后设BG=xm，则AG=x+6m，在Rt△BPG中，利用锐角三角函数的定义求出PG的长，再在Rt△APG中，利用锐角三角函数的定义可得AG=PG，从而列出关于x的方程，进而求出PG的长，最后进行计算即可解答；
（2）设FC与AD相交于点H，根据题意可得：CH=BE=1.6m，则FH=1m，然后在Rt△PGD中，利用含30度角的直角三角形的性质求出DG的长，再在Rt△DFH中，利用含30度角的直角三角形的性质求出DH的长，从而求出GH的长，最后分别求出他们所用的时间，进行比较即可解答．
【详解】（1）设PQ与AD相交于点G，
由题意得：AB=6m，BE=GQ=1.6m，设BG=xm，
∴AG=AB+BG=x+6m，
在Rt△BPG中，∠PBG=60°，
∴PG=BG⋅tan60°=3xm，
在Rt△APG中，∠PAG=45°，
∴tan45°=PGAG=1，∴PG=AG，
∴3x=x+6，
∴x=33+3，
∴PG=3x=9+33 m，
∴PQ=PG+GQ=9+33+1.6≈15.8（m），
∴黄葛树PQ的高度约为15.8m．
（2）小宇先到达塔底，
理由：设FC与AD相交于点H，
由题意得：
CH=BE=1.6m，
∵FC=2.6m，
∴FH=FC-CH=1m，
在Rt△PGD中，PG=9+33m，∠PDG=30°，
∴DG=3PG=93+9m，
在Rt△DFH中，DH=3FH=3m，
∴GH=DG-DH=83+9m，
∵小宇的速度为1.5m/s，小航速度是其2倍，
∴小航的速度为3m/s，
∴BG1.5=33+31.5=23+2≈5.5s，GH3=83+93≈7.6s，
∵7.6>5.5，
∴小宇先到达Q点．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
28．黄果树是重庆的市树，走在重庆的大街小巷，总能看到它巨大的身影．某天凤鸣山中学九年级某班的两名同学小语和小航在校园的操场边看见一颗特别高大的黄果树，他们便准备测量这颗黄果树的高度．如图小宇在点A处观测到黄果树最高点P的仰角为45°，再沿正对黄果树的方向前进6m至B处测得最高点P的仰角为60°，小航先在点C处竖立一根标杆FC，再后退至其眼睛所在位置点D、标杆顶F、最高点P在一条直线上，此时测得最高点P的仰角为30°，已知两人身高均为1.6m（头顶到眼睛的距离忽略不计）．
(1)求黄果树PQ的高度．（结果保留一位小数）；（参考数据：3≈1.73）
(2)测量结束时小宇站在点E处，小航在点D处，两人相约在树下Q点见面，小宇的速度为1.5m/s，小航速度是其2倍，你认为谁先到达Q点？请说明理由．
【答案】(1)黄果树PQ的高度约为15.8米
(2)小宇先到Q点，理由见解析
【分析】（1）设BG=x米，根据三角函数用x表示出PG=3x，AG=PG=3x，根据AB=6米列出关于x的方程，求出x的值，求出PG=9+33米，即可得出答案；
（2）分解求出小宇和小航分别到达Q点所用的时间进行比较即可得出答案．
【详解】（1）解：设BG=x米，
在Rt△BGP中∠PBG=60°，∠BGP=90°，
∴tan∠PBG=PGBG=3，
∴PG=3x，
在Rt△PAG中，∠A=45°，∠PGA=90°，
∴AG=PG=3x，
又∵AB=6米，
∴3x-x=6，
解得：x=33+3，
∴PG=33+33=9+33米，
又∵GQ=BE=1.6米，
∴PQ=PG+GQ=9+33+1.6≈15.8（米），
答，黄果树PQ的高度约为15.8米．
（2）解：在Rt△PGD中，∠PGD=90°，∠D=30°，PG=9+33米，
tan∠D=PGDG=33，
∴GD=3PG=93+9米，
∴小宇所用时间t1=BG1.5=3+331.5=23+2秒，
小航所用时间t2=CD1.5×2=93+93=33+3秒，
∵23+2