专题12 二次函数角度问题分类训练（4种类型40道）-备战2024年中考数学二轮复习之高频考点高效训练（重庆专用）

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\l "_Tc5118" 【题型1利用角相等求点】 PAGEREF _Tc5118 \h 1
\l "_Tc24895" 【题型2利用已知角度求点】 PAGEREF _Tc24895 \h 5
\l "_Tc13567" 【题型3利用角的和差关系求点】 PAGEREF _Tc13567 \h 9
\l "_Tc11241" 【题型4利用角的倍数关系求点】 PAGEREF _Tc11241 \h 14
【题型1利用角相等求点】
1．如图，经过点A(−4,−5)的抛物线与x轴交于B(−2,0),C两点，与y轴交于点D(0,3)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P在抛物线上，∠PBC=∠BCD，求点P的坐标；
(3)如果M(m,n)是抛物线第一象限上动点，（2）中确定的点P与M分别在直线CD两侧，点N(k,−m)在射线BP上．当四边形MCND面积最大时，求k的值．
2．综合与实践：
如图，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于点A−1,0和点B4,0，与y轴交于点C，连接BC，点D在抛物线上．
(1)求抛物线的解析式；
(2)小明探究点D位置时发现：如图1，点D在第一象限内的抛物线上，连接BD，CD，△BCD面积存在最大值，请帮助小明求出△BCD面积的最大值；
(3)小明进一步探究点D位置时发现：点D在抛物线上移动，连接CD，存在∠DCB=∠ABC，请帮助小明求出∠DCB=∠ABC时点D的坐标．
3．如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=a(x+3)(x−1)与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，且OC=3．点P是抛物线上的一个动点，连接AP和BP．
(1)求a的值和∠ACO的度数；
(2)当点P运动到抛物线顶点时，求△AOC与△APB的面积之比；
(3)如图2，当点P在抛物线上运动，且满足∠APB=∠ACO时，求点P的坐标．
4．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx−3a≠0与x轴交于A3,0、B−1,0两点，与y轴交于点C，连接AC．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在对称轴上是否存在一点M，使∠MCA=∠MAC，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)若点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点，作PD⊥AC于点D，当PD的值最大时，求此时点P的坐标及PD的最大值．
5．如图，抛物线y=12x2+bx+c与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，直线y=12x−2经过点B，点C．

(1)试求抛物线的解析式；
(2)点P是直线BC下方抛物线上一动点，当△BCP的面积最大时，求点P的坐标；
(3)若M是抛物线上一点，且∠MCB=∠ABC，请直接写出点M的坐标．
6．如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A(1,0)和点B(3,0)，与y轴交于点C，连接AC，BC．
(1)求抛物线的表达式，并直接写出BC所在直线的表达式．
(2)点P为第四象限内抛物线上一点，连接AP，BP，使得S△PAB=13S△CAB，求此时点P的坐标．
(3)直线BC上是否存在一点D，使得∠DAC=∠OCA？若存在，直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
7．如图，二次函数y=ax2+bx−3的图象经过点A−3,0，B1,0，且与y轴交于点C，直线y=12x+1与x轴、y轴交于点D、E，与二次函数图象交于点F，G．

(1)求该二次函数的解析式.
(2)点M为该二次函数图象上一动点．
①若点M在图象上的C，F两点之间，求△DME的面积的最大值.
②若∠MED=∠EDB，求点M的坐标．
8．如下图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴分别交于A(−1,0)，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，且OB=OC=3OA．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)在抛物线上是否存在一点M，使得S△MBC=12S△ABC？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，说明理由．
(3)如下图，点D是该抛物线的顶点，点P(m,n)是第二象限内抛物线上的一个点，分别连接BD、BC、BP，当∠PBA=∠CBD时，求m的值．
9．在平面直角坐标系中，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A−1,0和点B3,0，与y轴交于点C0,1.5．

(1)求二次函数的表达式；
(2)如图1，点P是第一象限内抛物线上一点，若∠PBC=∠OBC，试求点P的坐标；
(3)如图2，抛物线对称轴交x轴于点D，N点为x轴上方抛物线上一动点，直线AN交抛物线对称轴于点E，直线BN交抛物线对称轴于点F，在点N的运动过程中，试求DE+DF的值．
10．如图，抛物线y=x−12+n与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C0，−3，点D与点C关于抛物线的对称轴对称.

(1)求抛物线的解析式及点D的坐标；
(2)点P是抛物线对称轴上的一动点，当△PAC的周长最小时，求出点P的坐标；
(3)点Q在x轴上，且∠ADQ=∠DAC，请直接写出点Q的坐标.
【题型2利用已知角度求点】
11．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x2−2ax−3a2a>0与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D，OC=3OA．
(1)求a的值；
(2)点Mm,n与点Nn,m是抛物线上两个不重合的点，求m−n的值；
(3)点P是抛物线对称轴上一点，在直线BC上有且仅有一个点Q，使得∠AQP=45°，求点P的坐标．
12．如图，已知顶点为C0,−6的抛物线y=ax2+ba≠0与x轴交于A，B两点，且OC=OB．

(1)求点B的坐标；
(2)求二次函数y=ax2+ba≠0的解析式；
(3)作直线CB，问抛物线y=ax2+ba≠0上是否存在点M，使得∠MCB=15°，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
13．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+ca≠0的顶点坐标为C3,6，并与y轴交于点B0,3，点A是对称轴与x轴的交点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图①所示，P是抛物线上的一个动点，且位于第一象限，连接BP,AP，求△ABP的面积的最大值；
(3)如图②所示，在对称轴AC的右侧作∠ACD=30°交抛物线于点D，直接写出D点的坐标．
14．如图，已知抛物线y=14x+ℎ2+k．点A−1,2在抛物线的对称轴上，B0,54是抛物线与y轴的交点，D为抛物线上一动点，过点D作x轴的垂线，垂足为点C．
(1)直接写出ℎ，k的值；
(2)如图，若点D的坐标为3,m，点Q为y轴上一动点，直线QK与抛物线对称轴垂直，垂足为点K．探求DK+KQ+QC的值是否存在最小值，若存在，求出这个最小值及点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图，连接AD，AC，若∠DAC=60°，求点D的坐标．
15．如图，抛物线y=ax2+72x+c与直线y=kx+2交于C，D两点，其中点C在y轴上，点D的坐标为(3,72)．点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交CD于点F．

(1)求直线和抛物线的解析式；
(2)若点P的横坐标为m，当m为何值时，以O，C，P，F为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由．
(3)是否存在点P，使∠PCF=45°？若存在，请求出相应的点P的坐标；若不存在请说明理由．
16．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3交x轴于A−1,0和B5,0两点，交y轴于点C，点D是线段OB上一动点，连接CD，将线段CD绕点D顺时针旋转90°得到线段DE，过点E作直线l⊥x轴于H，过点C作CF⊥l于F．
(1)
求抛物线解析式；
(2)如图2，当点F恰好在抛物线上时，求线段OD的长；
(3)在（2）的条件下：试探究在直线l上，是否存在点G，使∠EDG=45°？若存在，请求出所有符合条件的点G的坐标；若不存在，请说明理由．
17．如图，抛物线y=ax2+5ax+b经过点D−1,−5，且交x轴于A−6,0，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C．
(1)求抛物线的解析式．
(2)如图1，过点D作DM⊥x轴，垂足为M，点P在直线AD下方抛物线上运动，过点P作PE⊥AD，PF⊥DM，求2PE+PF的最大值，以及此时点P的坐标．
(3)将原抛物线沿射线CA方向平移52个单位长度，在平移后的抛物线上存在点G，使得∠CAG=45°，请写出所有符合条件的点G的横坐标，并写出其中一个的求解过程．
18．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A、B，与y轴交于点C0,−2，OC=2OA，tan∠ABC=12．直线l：y=kx+nk>0与抛物线交于M，N两点（点M在点N的左边）．

(1)求抛物线的解析式，并写出顶点坐标；
(2)当直线l∥BC时，若△MON的面积被y轴分成的两个三角形的面积比为1:4时，求n的值；
(3)当n=0时，试在抛物线上找一定点P，使得∠MPN=90°，求P点坐标以及点P到MN的最大距离．
19．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+ca≠0的顶点坐标为C3,6，并与y轴交于点B0,3
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图①所示，P是抛物线上的一个动点，且位于第一象限，AP=2，求△ABP的面积的最大值；
(3)如图②所示，在对称轴AC的右侧作∠ACD=30°交抛物线于点D，直接写出D点的坐标．
20．如图，抛物线F:y=ax2−2ax−8a(a>0)与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线x=3交x轴于点D．

(1)若OB=OC，直接写出抛物线的解析式；
(2)如图1，已知点E在第四象限的抛物线上，在线段OD和直线x=3上是否存在F，G两点，使得C，E，F，G为顶点的四边形是以CF为一边的矩形？若存在，求点F的坐标；若不存在，说明理由；
(3)如图2，将抛物线F平移，使其顶点落在轴上的点P0,12处，得到抛物线G，直线MN与抛物线G只有一个公共点M，与x轴交于点N，定点Q在y轴正半轴上，且满足∠MQN=90°，求此时点Q的坐标．
【题型3利用角的和差关系求点】
21．如图所示，在平面直角坐标系中，直线y=−x+3交坐标轴于B、C两点，抛物线y=ax2+bx+3经过B、C两点，且交x轴于另一点A(−1,0)．点D为抛物线在第一象限内的一点，过点D作DQ∥CO，DQ交BC于点P，交x轴于点Q．

(1)求抛物线的解析式；
(2)设点P的横坐标为m，在点D的移动过程中，存在∠DCP=∠DPC，求出m值；
(3)若点M是y轴上的动点，当∠OCA=∠OCB−∠OMA时，求M的坐标．
22．如图，在平面直角坐标系中，直线y=12x−2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=12x2+bx+c经过A，C两点，与x轴的另一交点为点B，点P为抛物线上的一个动点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)当△ACP的面积与△ABC的面积相等时，求点P的坐标；
(3)是否存在点P，使得∠ACP=∠ABC−∠BAC，若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
23．已知：如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx−8k交x轴于点B，交y轴于点C，经过B，C两点的抛物线y=ax2+bx+4交x轴负半轴于点A，AB=10．

(1)求抛物线的解析式；
(2)点P为第一象限内抛物线上一点，作PH⊥BC于点H，设PH的长为d，点P的横坐标为t，求d与t的函数关系式；
(3)在（2）的条件下，点P关于直线BC的对称点为M，连接OM，若OM∥BC，作PD⊥x轴于点D，连接CD，F在线段BC上（对称轴右侧），连接PF，∠CDP=∠CBD+∠FPD，求点F的坐标．
24．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y=−23x+6与x轴交于点B，过点B的抛物线y=ax2+bx−27a与直线y=−23x+6交于y轴上的C点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P在第一象限的抛物线上，过P作PD⊥BC于点D，设P的横坐标为t，PD的长为d，求d与t之间的函数关系式，并直接写出t的取值范围；
(3)在（2）的条件下，Q为第一象限内对称轴右侧的抛物线上一点，作QE⊥x轴于点E，交BC于点F，点N在线段BF上，作NM⊥BC交直线QE于点M，MQ=4，且QN=FN+MN，连接MD，∠OCB−∠MDB=∠OCA，将射线MD绕点M逆时针旋转45°交拋物线于点H，求H坐标．
25．如图，已知抛物线y=ax2+bx+ca≠0经过A−3,0、B5,0、C0,5三点，O为坐标原点
(1)求此抛物线的解析式；
(2)若把抛物线y=ax2+bx+ca≠0向下平移133个单位长度，再向右平移nn>0个单位长度得到新抛物线，若新抛物线的顶点M在△ABC内，求n的取值范围；
(3)设点P在y轴上，且满足∠OPA+∠OCA=∠CBA，求CP的长．
26．如图，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于O0，0，A8，0两点，顶点B的纵坐标为4．
(1)直接写出抛物线的解析式；
(2)若点C是抛物线上异于原点O的一点，且满足2BC2=OA2+2OC2，试判断△OBC的形状，并说明理由．
(3)在⑵的条件下，若抛物线上存在一点D，使得∠OCD=∠AOC−∠OCA，求点D的坐标．
27．如图，抛物线y=-0．5x2+bx+3，与x轴交于点B(﹣2，0)和C，与y轴交于点A，点M在y轴上．
(1)求抛物线的解析式；
(2)连结BM并延长，交抛物线于D，过点D作DE⊥x轴于E．当以B、D、E为顶点的三角形与△AOC相似时，求点M的坐标；
(3)连结BM，当∠OMB+∠OAB=∠ACO时，求AM的长．
28．如图，已知抛物线y=−12(x+1)(x−b)（其中b>1）与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的对称轴l与x轴交于点D，且点D恰好在线段BC的垂直平分线上．
（1）求抛物线的关系式；
（2）过点M(1,0)的线段MN∥y轴，与BC交于点P，与抛物线交于点N．若点E是直线l上一点，且∠BED＝∠MNB－∠ACO时，求点E的坐标．
29．在平面直角坐标系中，直线y＝﹣12x+2与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数y＝﹣12x2+bx+c的图象经过B，C两点，且与x轴的负半轴交于点A．
(1)求二次函数的表达式；
(2)如图1，点D是抛物线第四象限上的一动点，连接DC，DB，当S△DCB＝S△ABC时，求点D坐标；
(3)如图2，在(2)的条件下，点Q在CA的延长线上，连接DQ，AD，过点Q作QP∥y轴，交抛物线于P，若∠AQD＝∠ACO+∠ADC，请求出PQ的长．
30．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）经过点A（-1，0）、B（4，0）与y轴交于点C，tan∠ABC=12．

（1）求抛物线的解析式；
（2）点M在第一象限的抛物线上，ME平行y轴交直线BC于点E，连接AC、CE，当ME取值最大值时，求△ACE的面积．
（3）在y轴负半轴上取点D（0，-1），连接BD，在抛物线上是否存在点N，使∠BAN=∠ACO-∠OBD？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【题型4利用角的倍数关系求点】
31．已知抛物线y=ax2+bx+3经过A(−1,0)和B(3,0)两点，与y轴交于点C，点P为第一象限抛物线上一动点，
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，连接OP，交BC于点D，当SΔCPD:SΔBPD=1:2时，求出点P的坐标；
(3)如图2，点E的坐标为(0,−1)，点G为x轴正半轴上一点，∠OGE=15°，连接PE，是否存在点P，使∠PEG=2∠OGE？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
32．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=ax2+（a+3）x+3（a＜0）从左到右依次交x轴于A、B两点，交y轴于点C．
（1）求点A、C的坐标；
（2）如图1，点D在第一象限抛物线上，AD交y轴于点E，当DE=3AE，OB=4CE时，求a的值；
（3）如图2，在（2）的条件下，点P在C、D之间的抛物线上，连接PC、PD，点Q在点B、D之间的抛物线上，QF∥PC，交x轴于点F，连接CF、CB，当PC=PD，∠CFQ=2∠ABC，求BQ的长．
33．如图，在平面直角坐标中，抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），点P是直线BC上方抛物线上的一动点，PE∥y轴，交直线BC于点E连接AP，交直线BC于点 D．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）当AD＝2PD时，求点P的坐标；
（3）求线段PE的最大值；
（4）当线段PE最大时，若点F在直线BC上且∠EFP＝2∠ACO，直接写出点F的坐标．
34．如图，抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧）与y轴交于点C（0，8），点D是抛物线上的动点，直线AD与y轴交于点K．
（1）填空：c=；
（2）若点D的横坐标为2，连接OD、CD、AC，以AC为直径作⊙M，试判断点D与⊙M的位置关系，并说明理由．
（3）在抛物线上是否存在点D，使得∠BAC=2∠BAD？若存在，试求出点D的坐标；若不存在，试说明理由．
35．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=825x2+bx+c经过点A（32，0）和点B（1，22），与x轴的另一个交点为C．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点D在对称轴的右侧，x轴上方的抛物线上，且∠BDA=∠DAC，求点D的坐标；
（3）在（2）的条件下，连接BD，交抛物线对称轴于点E，连接AE．
①判断四边形OAEB的形状，并说明理由；
②点F是OB的中点，点M是直线BD的一个动点，且点M与点B不重合，当∠BMF=13∠MFO时，请直接写出线段BM的长．
36．抛物线y=−23x2+23x+4与坐标轴分别交于A，B，C三点，P是第一象限内抛物线上的一点．

(1)直接写出A，B，C三点的坐标为A______，B______，C______；
(2)连接AP,CP,AC，若S△APC=2，求点P的坐标；
(3)连接AP,BC，是否存在点P，使得∠PAB=12∠ABC，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
37．如图1，已知抛物线y=axx+8顶点C的纵坐标是4，与x轴交于A、O两点，经过点A的直线y=kx+b经过B0,−6，D为直线AB上一动点．
(1)a=______；k=______；
(2)连接OD，当线段OD与直线AB夹角为2∠OAB时，求点D的坐标．
(3)如图2，连接OC，线段OC上是否存在点E，连接ED，当∠EDB=3∠OAB时，线段ED被x轴截得线段比为2:3两部分，若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
38．如图，抛物线y=ax2+bx+c过A−4,0，B6,0，C0,8三点；点P是第一象限内抛物线上的动点，点P的横坐标是m，且1