高中物理人教版 (2019)必修 第二册2 万有引力定律精品一课一练

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知识点：万有引力定律
1、行星与太阳间的引力
行星绕太阳的运动可以看作匀速圆周运动。行星做匀速圆周运动时，受到一个指向圆心（太阳）的引力，正是这个引力提供了向心力，由此可推知太阳与行星间引力的方向沿着二者的连线，如下图所示：
设行星的质量为m，运动线速度为v，地球到太阳的距离为r，太阳的质量为M。则行星绕太阳做匀速圆周运动的向心力为： ， ①
天文观测可以测得行星公转的周期 T，并据此可求出行星的速度： ， ②
由①②得： ． ③
又由开普勒第三定律： ， ④
由③④式得 ， ⑤
因而可以说太阳对行星的引力F与行星的质量m成正比，与r2成反比，则有。 ⑥
根据牛顿第三定律，力的作用足是相互的，且等大反向，因此地球对太阳的引力F′也应与太阳的质量成正比，且F′＝-F，即 。 ⑦
比较⑥⑦式不难得出，写成等式，式中G是比例系数，与太阳、行星无关。
2、月——地检验
猜想：地球与月球之间的引力F＝Geq \f(m月m地,r2)，根据牛顿第二定律a月＝eq \f(F,m月)＝Geq \f(m地,r2)，地面上苹果自由下落的加速度a苹＝eq \f(F′,m苹)＝Geq \f(m地,R2)，由于r＝60R，所以eq \f(a月,a苹)＝eq \f(1,602)。
利用开普勒第三定律进行验证：已知苹果自由落体加速度a苹＝g＝9.8 m/s2；月球中心
距地球中心的距离r＝3.8×108 m；月球公转周期T＝27.3 d≈2.36×106 s，则a月＝(eq \f(2π,T))2r＝2.7×10－3 m/s2，则eq \f(a月,a苹)＝2.8×10－4≈eq \f(1,602)。
结论：地面物体所受地球的引力、月球所受地球的引力，与太阳、行星间的引力，遵从相同的规律。
3、万有引力定律
1、内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的二次方成反比。
2、表达式：F＝Geq \f(m1m2,r2)，其中G叫做引力常量，。牛顿得出了万有引力与物体质量及它们之间距离的关系，但没有测出引力常量G。英国物理学家卡文迪什通过实验推算出引力常量G的值。
3、适用条件：
适用于质点间的相互作用；
两个质量分布均匀的球体可视为质点或者一个均匀球体与球外一个质点，r是两球心间的距离或者球心到质点间的距离；
两个物体间的距离远远大于物体本身的大小，r为两物体质心间的距离。
4、对万有引力定律的理解：
5、重力与万有引力的关系：
如下图所示，在地表上某处，物体所受的万有引力为F=，M为地球的质量，m为地表物体的质量。
由于地球一直在自转，因此物体随地球一起绕地轴自转所需的向心力为 F向=mRcs·ω2，方向垂直于地轴指向地轴，这个力由物体所受到的万有引力的一个分力提供，根据力的分解可得万有引力的另一个分力就是重力mg。
根据以上的分析可得：
①在赤道上：Geq \f(Mm,R2)＝mg1＋mω2R。
②在两极上：Geq \f(Mm,R2)＝mg2。
③在一般位置：万有引力Geq \f(Mm,R2)可分解为两个分力：重力mg与向心力F向。
忽略地球自转影响，在地球表面附近，物体所受重力近似等于地球对它的吸引力，即mg＝Geq \f(Mm,R2)，化简可得GM＝gR2，该式称为黄金代换式，适用于自转可忽略的其他星球。
6、应用：
在地球表面附近的重力加速度g（不考虑地球自转）：mg＝Geq \f(mM,R2)，得g＝eq \f(GM,R2)。
在地球表面上，mg＝eq \f(GMm,R2)，在h高度处mg′＝eq \f(GMm,R＋h2)，所以eq \f(g,g′)＝，随高度的增加，重力加速度减小，在计算时，这个因素不能忽略。
1．下列关于万有引力定律的说法中，正确的是（ ）
①万有引力定开普勒在实验室发现的
②对于相距很远、可以看成质点的两个物体，万有引力定律 中的r是两质点间的距离
③对于质量分布均匀的球体，公式中的r是两球心间的距离
④质量大的物体对质量小的物体的引力大于质量小的物体对质量大的物体的引力．
A．①③B．②④C．②③D．①④
【答案】C
【详解】①万有引力定律是牛顿发现的，①错误；
②对于相距很远、可以看成质点的两个物体，万有引力定律
中的r是两质点间的距离，②正确；
③对于质量分布均匀的球体，公式中的r是两球心间的距离，③正确；
④物体之间的万有引力是作用力和反作用力，不论质量大小，两物体之间的万有引力总是大小相等，④正确。
故选C。
2．已知地球半径为R，质量为M，万有引力常量为G，一位质量为m的探险家乘坐热气球到达离地面h高处，他受到地球的万有引力大小为 ( )
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】轨道半径为
r=R+h
根据万有引力公式，有
故B正确，A、C、D错误；
故选B。
3．2012年2月25日，我国成功发射了第11颗北斗导航卫星，标志着北斗卫星导航系统建设又迈出了坚实一步．若卫星质量为m、离地球表面的高度为h，地球质量为M、半径为R，G为引力常量，则地球对卫星万有引力的大小为( )
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由万有引力公式，两者间的距离为R+h，因此引力为，D正确
4．关于万有引力，下列说法中正确的是（ ）
A．万有引力定律是卡文迪许提出的
B．万有引力常量是牛顿通过实验测出的
C．万有引力定律是伽利略提出的
D．万有引力常量是卡文迪许通过实验测出的
【答案】D
【详解】AC. 万有引力定律是牛顿提出的，故AC错误；
BD、万有引力恒量是由卡文迪许通过实验测定的，故B错；D正确；
本题选：D
5．关于万有引力和万有引力定律的理解正确的是（ ）
A．不能看作质点的两物体间不存在相互作用的引力
B．只有能看作质点的两物体间的引力才能用计算
C．由知，两物体间距离r减小时，它们之间的引力增大
D．引力常量G的数值是理论推导出来的
【答案】C
【详解】A．万有引力定律适应于两个质点之间的作用，即使不能看作质点的两物体间也存在相互作用的引力，选项A错误；
B．万有引力定律的公式适用于质点间的万有引力，非质点间的引力也可以用这个公式来算，但是不能直接得到引力，需要用微分的思想来对物体分割计算万有引力，故B错误；
C．由知，两物体间距离r减小时，它们之间的引力增大，选项C正确；
D．引力常量G的数值是根据实验测得的，不是理论推导出来的，选项D错误。
故选C。
6．如图所示，是卡文迪什测量万有引力常数的实验示意图，根据胡克定律及转动理论可知，两平衡球受到的等大反向且垂直水平平衡杆的水平力F与石英丝N发生扭转的角度成正比，即，k的单位为，可以通过固定在T形架上平面镜M的反射点在弧形刻度尺上移动的弧长求出来，弧形刻度尺的圆心正是光线在平面镜上的入射点，半径为R。已知两平衡球质量均为m，两施力小球的质量均为，与对应平衡球的距离均为r，施加给平衡球的力水平垂直平衡杆，反射光线在弧形刻度尺上移动的弧长为，则测得万有引力常数为（平面镜M扭转角度为时，反射光线扭转角度为）（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【详解】所施加的力为万有引力，即
根据平面镜反射定律及几何关系可知，石英丝N发生扭转的角度
根据
得到
故选D。
7．2021年2月24日，“天问一号” 探测器进入火星停泊轨道，并于5月15日成功着陆于火星乌托邦平原。若火星半径为R，质量为M，引力常量为G，着陆前质量为m的“天问一号” 距火星表面高度h，则此时火星对“天问一号”的万有引力大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由万有引力公式可得火星对“天问一号”的万有引力大小为
故A正确，BCD错误。
故选A。
8．图甲是未来空间站的构思图。在空间站中设置个如图乙绕中心轴旋转的超大型圆管作为生活区，圆管的内、外管壁平面与转轴的距离分别为R1、R2。当圆管以一定的角速度ω转动时，在管中相对管静止的人（可看作质点）便可以获得个类似在地球表面的“重力”，以此降低因长期处于失重状态对身体健康造成的影响。已知地球质量为M，地球半径为R，万有引力常量为G，地球自转周期为T。当空间站在地球静止同步轨道上运行时，管道转动的角速度ω大小为（ ）
A．B．
C． D．
【答案】B
【详解】人靠在外管壁上随圆管一起做圆周运动，由题意可知
解得
故选B。
9．如图所示，两球间的距离为r，两球的质量分布均匀，质量大小分别为、，半径大小分别为、，则两球间的万有引力大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】两球质量分布均匀，可认为质量集中于球心，由万有引力公式可知两球间的万有引力大小为
故选D。
10．地质勘探发现某地区表面的重力加速度发生了较大的变化，怀疑地下有空腔区域，进一步探测发现在地面P点的正下方有一球形空腔区域储藏有天然气，如图所示，假设该地区岩石均匀分布且密度为ρ，天然气的密度远小于ρ，可忽略不计，如果没有该空腔，地球表面正常的重力加速度大小为g；由于空腔的存在，现测得P点处的重力加速度大小为kg（k＜1），已知引力常量为G，球形空腔的球心深度为d，则此球形空腔的体积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】万有引力定律的适用条件：（1）公式适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点；（2）质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离，如果将空腔填满，地面质量为m的物体的重力为mg，没有填满时是kmg，故空腔填满后引起的引力为，根据万有引力定律求解。
【详解】如果将近地表的球形空腔填满密度为ρ的岩石，则该地区重力加速度便回到正常值，因此，如果将空腔填满，地面质量为m的物体的重力为mg，没有填满时是kmg，故空腔填满后引起的引力为，由万有引力定律有
解得球形空腔的体积
故选D。
11．已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。若地球是半径为、质量分布均匀的球体，假设一人掉进一个完全穿过地球中心的洞中，B点为地球中心。不考虑摩擦和旋转效应，则下列说法正确的是（ ）
A．人在A点速度最大B．人在B点速度最大
C．人在C点速度最大D．人在D点速度最大
【答案】B
【详解】根据万有引力的推论，在匀质的空腔内任意位置处，质点受到球壳的引力合力为零，即人往下运动的过程中，球壳越来越厚，对人有引力的中间球体部分越来越小。设人下落过程中离地心的距离为R，根据牛顿第二定律有
得加速度
可知人在往地心掉落的过程中，中间球体部分的半径R减小，加速度减小，在地心处加速度为零，速度最大。
故选B。
12．如图所示，一个质量均匀分布的半径为R的球体对球外质点P的万有引力为F，如果在球体中央挖去半径为r的一部分球体，且，则球体剩余部分对质点P的万有引力大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】设球体质量为，挖去的中央球体的质量为，球体的密度为，质点P的质量为，质点P距球心的距离为，则根据题意可得
，
可知
两个球体对质点的万有引力分别为
，
可知，当将中央球体挖去后剩余部分对质点P的万有引力大小为
故选D。
多选题
13．任何有质量的物体周围都存在引力场，万有引力是通过引力场发生作用的．引入“引力场强度”A来表示引力场的强弱和方向，质量为m的物体在距离地心r处（r大于地球半径）受到的万有引力为F，则地球在该处产生的引力场强度A=，以下说法正确的是（ ）
A．A的单位与加速度的单位相同
B．A的方向与该处物体所受万有引力的方向一致
C．r越大，A越大
D．m越大，A越小
【答案】AB
【详解】AB、F为质量为m的物体在距离地心r处（r大于地球半径）受到的万有引力，则A=表示的就是物体的加速度，根据牛顿第二定律定律，A的方向与该处物体所受万有引力的方向一致，故AB正确．
CD、由万有引力定律F=G知，r越大，引力F越小，则A越小；由A=知，A与m无关，故CD错误．
14．如图，有一卫星绕地球沿椭圆轨道运行。卫星从远地点向近地点运动过程中，下列说法正确的是（ ）
A．速率保持不变B．速率越来越大
C．所受引力越来越大D．所受万有引力大小不变
【答案】BC
【详解】AB．卫星从远地点向近地点运动时，万有引力与速度成锐角，卫星做加速运动，速度越来越大，故A错误，B正确；
CD．卫星从远地点向近地点运动时，卫星和地球的距离 逐渐变小，由
则所受引力越来越大，故C正确，D错误；
故选BC。
15．下列四幅图中，相应的说法正确的是（ ）
A．图甲中多次实验两球均同时落地，表明平抛运动的竖直分运动是自由落体运动
B．图乙运动员要想射中靶心，必须将前头沿水平方向瞄准靶心射出
C．图丙水杯随转盘一起匀速转动，杯中水减少时，水杯仍然不会发生相对滑动
D．图丁为牛顿通过扭秤实验测出万有引力常量
【答案】AC
【详解】A．小锤打击弹性金属片，A球水平抛出，同时B球被松开自由下落，两球同时落地，可知平抛运动在竖直方向上做自由落体运动，A正确；
B．射出的箭具有水平的初速度，只受重力作用，在空中做平抛运动，箭在空中运动时，竖直方向要下落一段距离，所以不能正对靶心水平射出，应高于靶心射出，才能射中靶心，B错误；
C．水杯随转盘一起匀速转动，则有
f = mrω2
f为静摩擦力，其在0到μmg之间，则当m减小f和mrω2均减小，则水杯仍然不会发生相对滑动，C正确；
D．卡文迪许通过扭秤实验测出万有引力常量，D错误。
故选AC。
16．在力学理论建立的过程中，有许多伟大的科学家做出了贡献。关于科学家和他们的贡献，下列说法正确的是（ ）
A．伽利略发现了行星运动的规律
B．卡文迪许通过实验测出了引力常量
C．牛顿最早指出力不是维持物体运动的原因
D．笛卡尔对牛顿第一定律的建立做出了贡献
【答案】BD
【详解】A．行星运动定律由开普勒、牛顿等人发现，选项A错误；
B．卡文迪许通过实验测出了引力常量，选项B正确；
C．伽利略最早指出力不是维持物体运动的原因，选项C错误；
D．笛卡尔对牛顿第一定律的建立做出了贡献，选项D正确。
故选BD。
【点睛】
17．如图所示，在月球附近圆轨道上运行的“嫦娥二号”，到A点时变为椭圆轨道，B点是近月点，则（ ）
A．在A点变轨时，“嫦娥二号”必须突然加速
B．在A点变轨时，“嫦娥二号”必须突然减速
C．从A点运动到B点过程中，“嫦娥二号”受到月球的引力减小
D．从A点运动到B点过程中，“嫦娥二号”速率增大
【答案】BD
【详解】AB.在A点变轨时，需减速，使得万有引力大于向心力，做近心运动，故A错误，B正确；
C.根据万有引力定律得，，r越来越小，则引力越来越大，故C错误；
D.从A到B运动的过程中，万有引力做正功，根据动能定理，则动能增大，即速率增大，故D正确。
故选BD。
18．2018年12月8日，我国探月工程“嫦娥叫号”探测器在四川西昌卫星发射中心发射成功。经历地月转移、环月飞行、近月制动，约27天的奔月旅程后，最终实现人类首次在月球背面软着陆，开展月球背面就位探测及巡视探测。下列说法正确的是（ ）
A．从地面发射升空的过程中，“嫦娥四号”探测器处于完全失重的状态
B．环月飞行的过程中，“嫦娥四号”探测器处于完全失重的状态
C．从环月飞行到在月球背面着陆的过程中，月球对“嫦娥四号”探测器的引力不断增大
D．在地月转移轨道上，地球对“嫦娥四号”探测器的引力不断减小且对“嫦娥四号”探测器不做功
【答案】BC
【详解】考查环绕速度和功能关系。升空时，“嫦娥四号”加速上升处于超重状态；环绕月球时引力提供向心力，处于完全失重状态；着陆过程中，高度变小，由万有引力公式知引力变大；地月转移过程中地球对“嫦娥四号”的引力虽变小，但引力方向上有位移，故引力做功。
故选BC。
19．地球的公转轨道接近圆，哈雷彗星的轨道则是一个非常扁的椭圆，预测哈雷彗星下次飞近地球将在2061年左右。若哈雷彗星近日点与太阳中心的距离为r1、线速度大小为v1，远日点与太阳中心的距离为r2、线速度大小为v2，则哈雷彗星（ ）
A．线速度v1