物理必修 第二册3 万有引力理论的成就精品综合训练题

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知识点：万有引力理论的成就
1、“称量”地球的质量和计算天体的质量
求解地球质量：
解决思路：若不考虑地球自转的影响，地球表面的物体的重力等于地球对物体的引力。
解决方法：mg＝Geq \f(mm地,R2)。
得到的结论：m地＝eq \f(gR2,G)，只要知道g、R、G的值，就可计算出地球的质量。
知道某星球表面的重力加速度和星球半径，可计算出该星球的质量。
计算天体的质量：
解决思路：质量为m的行星绕太阳做匀速圆周运动时，行星与太阳间的万有引力充当向心力。
解决方法：eq \f(Gmm太,r2)＝meq \f(4π2,T2)r。
得到的结论：m太＝eq \f(4π2r3,GT2)，只要知道引力常量G，行星绕太阳运动的周期T和轨道半径r就可以计算出太阳的质量。
运用万有引力定律，不仅可以计算太阳的质量，还可以计算其他天体的质量。以地
球质量，月球的已知量为例，介绍几种计算天体质量的方法。
1．“科学真是迷人”，天文学家已经测出月球表面的加速度g、月球的半径R和月球绕地球运转的周期T等数据，根据万有引力定律就可以“称量”月球的质量了。已知引力常数G，用M表示月球的质量。关于月球质量，下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】AB．在月球表面，万有引力等于重力
可得
故A正确，B错误；
CD．已知月球绕地球运转的周期T，月球的半径R，不能求出月球的质量，故CD错误；
故选A。
2．2021年5月15日，中国火星探测任务“天问一号”的火星车祝融号着陆在火星表面，这是中国火星探测史上的一个历史性时刻，若已知万有引力常量G，那么结合以下假设条件，可以求出火星质量的是（ ）
A．在火星表面让一个小球做自由落体运动，测出落下的高度H和时间t
B．让“天问一号”贴近火星表面绕星球做匀速圆周运动，测出运行周期T
C．让“天问一号”在高空绕火星做匀速圆周运动，测出其运行线速度v和运行周期T
D．观察火星绕太阳的匀速圆周运动，测出火星的圆周运动直径D和运行周期T
【答案】C
【详解】A．在火星表面让一个小球做自由落体运动，测出落下的高度H和时间，根据可求出火星表面的重力加速度，根据
可得
由于不知道火星半径，无法求出火星质量，选项A错误；
B．让“天问一号”贴近火星表面绕星球做匀速圆周运动，根据
可得
由于不知道火星半径，无法求出火星质量，选项B错误；
C．让“天问一号”在高空绕火星做匀速圆周运动，测出其运行线速度v和运行周期，根据
再根据
整理可得
两式联立可求出火星质量，选项C正确；
D．观察火星绕太阳的匀速圆周运动，火星作为环绕天体，无法求出火星的质量，选项D错误。
故选C。
3．若地球绕太阳公转周期及公转轨道半径分别为T和R，月球绕地球公转周期和公转轨道半径分别为t和r，则太阳质量与地球质量之比为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】设太阳质量为M，地球质量为m，月球质量为m0。对于地球绕太阳运行的过程，有
解得
同理可得，地球的质量为
则太阳质量与地球质量之比为
故选A。
4．若已知行星绕太阳公转的半径为，公转的周期为，万有引力恒量为，则由此可求出（ ）
A．某行星的质量B．太阳的质量C．某行星的密度D．太阳的密度
【答案】B
【详解】．根据题意不能求出行星的质量，故A错误；
B．研究卫星绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，列出等式：
得：
所以能求出太阳的质量，故B正确；
C．不清楚行星的质量和体积，所以不能求出行星的密度，故C错误；
D．不知道太阳的体积，所以不能求出太阳的密度。故D错误。
故选
2、天体密度的计算
5．地球表面的重力加速度为g，地球半径为R，万有引力常量为G，则地球的平均密度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由 得
所以
故选A。
6．若知道太阳的某一颗行星绕太阳运转的轨道半径为r，周期为T，引力常量为G，则可求得（ ）
A．该行星的质量B．太阳的质量C．该行星的平均密度D．太阳的平均密度
【答案】B
【详解】设太阳质量和行星质量分别为M和m，则由万有引力提供向心力可得
解得
即可以求出太阳的质量，而行星的质量被消掉，所以无法求出行星的质量，且不知道太阳和行星的半径，故也无法求出它们的密度。
故选B。
7．若有一艘宇宙飞船在某一行星表面做匀速圆周运动，已知其周期为T，引力常量为G，那么该行星的平均密度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】飞船绕某一行星表面做匀速圆周运动，万有引力等于向心力
即
解得
由
得该行星的平均密度为
故选D。
8．一项最新的研究发现，在我们所在星系中央隆起处，多数恒星形成于100亿多年前的一次恒星诞生爆发期。若最新发现的某恒星自转周期为T，星体为质量均匀分布的球体，万有引力常量为G，则以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】设恒星的半径为R，根据万有引力恰好提供向心力星体不瓦解，且密度最小
解得恒星的质量
则恒星的密度
故选A。
3、发现未知天体和预言哈雷彗星回顾
1、海王星的发现：英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶根据天王
星的观测资料，利用万有引力定律计算出天王星外“新”行星的轨道。1846年9月23日，德国的伽勒在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星，人们称其为“笔尖下发现的行星”。这就是海王星。
其他天体的发现：海王星的轨道之外残存着太阳系形成初期遗留的物质，近100年来，人们发现了冥王星、阋神星等几个较大的天体。
2、英国天文学家哈雷计算了1531年、1607年和1682年出现的三颗彗星的轨道，他大胆预言这三颗彗星是同一颗星，周期约为76年，并预言了这颗彗星再次回归的时间。1759年3月这颗彗星如期通过了近日点，它最近一次回归是1986年，它的下次回归将在2061年左右。
9．关于万有引力理论及其发现历程，下列说法正确的是（ ）
A．根据天王星的观测资料，天文学家利用万有引力定律计算出了海王星的轨道，因此海王星被称为“笔尖下发现的行星”
B．哥白尼主张以简单的几何图形来描述宇宙运行的规律，经过几十年对天体的观测与推算，提出了“地心说”，使人们摆脱了对神学和古代经典权威的迷信
C．牛顿提出了万有引力定律，并用扭秤实验测出了万有引力常量，所以称他为第一个“测出地球质量”的人
D．第谷通过对行星运行的观测，总结出了行星运动的三大定律，这是精确的科学观测与严密的数学推理结合的典范
【答案】A
【详解】A．根据天王星的观测资料，天文学家亚当斯和勒维列利用万有引力定律计算出了海王星的轨道，因此海王星被称为“笔尖下发现的行星”，A正确；
B．哥白尼主张以简单的几何图形来描述宇宙运行的规律，经过几十年对天体的观测与推算，提出了“日心说”，使人们摆脱了对神学和古代经典权威的迷信，B错误；
C．牛顿提出了万有引力定律后，卡文迪许用扭秤实验测出了万有引力常量，所以称卡文迪许为第一个“测出地球质量”的人，C错误；
D．开普勒通过对第谷观测数据得分析研究，总结出了行星运动的三大定律，这是精确的科学观测与严密的数学推理结合的典范，D错误。
故选A。
10．在物理学发展历史中，许多物理学家做出了卓越贡献。以下关于物理学家所作科学贡献的叙述中，正确的是（ ）
A．1798年，卡文迪许利用扭秤装置，第一次在实验室里比较准确地测出了引力常量G值
B．德国的伽勒在勒维耶预言的位置处发现了天王星，人们称其为“笔尖下发现的行星”
C．哥白尼提出了日心说，认为太阳是宇宙的中心，一切行星围绕太阳做椭圆运动
D．牛顿通过整理研究第谷的行星观测记录，总结出万有引力定律
【答案】A
【详解】A．1798年，卡文迪什利用扭秤装置，第一次在实验室里比较准确地测出了引力常量G值，A正确；
B．德国的伽勒在勒维耶预言的位置处发现了海王星，人们称其为“笔尖下发现的行星”，B错误；
C．哥白尼提出了日心说，认为太阳是宇宙的中心，一切行星围绕太阳做圆周运动，C错误；
D．开普勒通过整理研究第谷的行星观测记录，总结出行星运动定律，D错误。
故选A。
11．关于万有引力定律，以下说法正确的是（ ）
A．牛顿在前人研究基础上总结出万有引力定律，并计算出了引力常量G
B．德国天文学家开普勒对他的导师第谷观测的行星数据进行了多年研究，得出行星绕太阳运动的轨道是圆
C．胡克证明了如果行星的轨道是圆形的，它所受引力的大小跟行星到太阳距离的二次方成反比
D．德国的伽勒利用万有引力定律计算出海王星的轨道
【答案】C
【详解】AB．德国天文学家开普勒对他的导师第谷观测的行星数据进行多年研究，得出行星绕太阳运动的轨道是椭圆，而牛顿在开普勒等前人研究基础上总结出万有引力定律，英国物理学家卡文迪许利用卡文迪许扭秤首先较准确的测定了引力常量，故AB错误；
C．根据物理学史可知，胡克证明如果行星轨道是圆形，它所受的引力大小跟行星到太阳距离的二次方成反比，故C确；
D．在牛顿发现了万有引力定律以后，英国剑桥大学学生亚当斯和法国天文学家勒维耶各自独立地利用万有引力定律算出海王星的轨道，德国的伽勒在勒维耶预言的位置附近发现了海王星，人们称其为“笔尖下发现的行星，故D错误。
故选C。
4、解决天体(卫星)运动问题的基本思路
天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即
；
在中心天体表面或附近运动时，万有引力近似等于重力，即Geq \f(Mm,R2)＝mg(g表示天体表面的重力加速度)；
若已知星球表面的重力加速度g′和星球的半径，忽略星球自转的影响，则星球对物体的万有引力等于物体的重力，有，所以；
若已知环绕中心天体运动的行星(或卫星)绕恒星(或行星)做匀速圆周运动的周期为T，半径为r，根据万有引力提供向心力可知：，得恒星或行星的质量。
解决天体质量和密度的估算问题的两点注意：
12．由于地球的自转，地球表面的物体会产生向心加速度，下列说法正确的是（ ）
A．在地球表面各处的向心加速度都指向地心
B．地球极点上的物体的重力加速度最小
C．赤道上物体的向心加速度最大
D．赤道上物体的重力加速度最大
【答案】C
【详解】A．除两极外，在地球表面各处一起绕地轴转动，向心加速度方向都是指向地轴且平行于赤道平面，A错误；
BCD．地球自转时，各点绕地轴转动，具有相同的角速度，根据，可知到地轴的距离越大，向心加速度越大，所以在赤道处的向心加速度最大，重力加速度最小；两极向心加速度最小，重力加速度最大。故C正确，BD错误。
故选C。
13．火星探测卫星在火星的近地轨道做匀速圆周运动，其周期为。该卫星降落火星后完成了火星表面的自由落体实验，测得物块下降高度所用时间为，由此可求得火星的半径为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】设火星的质量为M，火星表面附近质量为m的飞船所受重力等于火星对它产生的万有引力，即有
对在火星表面附近绕火星做匀速圆周运动的飞船，由牛顿第二定律及向心力公式可得
又
联立解得火星的半径为
C正确，ABD错误。
故选C。
14．假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体。一矿井深度为d，已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】地球的质量
根据万有引力定律，在地球表面
可得
根据题意，在矿井底部，地球的有效质量为
则
可得
可得
故选A。
15．假设地球可视为质量均匀分布的球体，已知地球表面的重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g；地球自转的周期为T，引力常数为G，则地球的半径为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】在地球两极
在赤道上
解得
故选A。
16．2021年5月15日7时18分，天问一号探测器成功着陆于火星乌托邦平原南部预选着陆区，我国首次火星探测任务着陆火星取得成功。火星探测器着陆火星时，就可以用下面方法测量的火星的半径：先让飞船在火星引力的作用下在火星表面附近绕火星做匀速圆周运动，记下环绕一周所用的时间T，然后回到火星表面，从高h处自由落下一个小球，记录小球下落的时间t，由此可测得火星的半径为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】因为飞船在火星表面附近绕火星做匀速圆周运动时，满足
又在天体表面满足
又由自由落体运动规律得
联立解得
故选D。
多选题
17．一人造卫星A绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径（与地心距离）为，运行周期为；另一人造卫星B绕月球做匀速圆周运动，其轨道半径（与月心距离）为，运行周期为，则下列判断正确的是（ ）
A．人造卫星A和B的线速度大小之比为
B．人造卫星A和B的线速度大小之比为
C．地球和月球的质量之比为
D．地球和月球的质量之比为
【答案】AC
【详解】由题可得
联立可得
故AC正确，BD错误。
故选AC。
18．2021年2月，“天问一号”火星探测器经三次近火制动后，进入运行周期为的椭圆形火星停泊轨道，轨道到火星表面的最近距离与最远距离之和为，火星半径为。假设某飞船沿圆轨道绕火星飞行，其周期也为，引力常量为。依据以上条件可求得（ ）
A．飞船和“天问一号”探测器的质量B．飞船绕火星飞行的半径为
C．火星的质量为D．火星的密度为
【答案】BCD
【详解】B．探测器进入椭圆形火星停泊轨道时半长轴
假设某飞船沿圆轨道绕火星飞行，周期也为T,根据开普勒第三定律知
（定量）
飞船绕火星飞行的半径是，故B正确；
AC．设火星质量M，飞船和“天问一号”探测器的质量为m
由万有引力提供向心力
得
而m无法求出，故A错误，C正确；
D．分析知
故D正确。
故选BCD。
19．若宇航员在月球表面附近自高h处以初速度v0水平抛出一个小球，测出小球的水平射程为L。已知月球半径为R，万有引力常量为G。则下列说法正确的是（ ）
A．月球表面的重力加速度g月＝
B．月球的质量m月＝
C．月球的自转周期T＝
D．月球的平均密度ρ＝
【答案】AB
【详解】A．根据平抛运动规律：
L＝v0t
h＝g月t2
联立解得g月＝，A正确；
B．由：
mg月＝G
解得：m月＝＝，B正确；
C．v0是小球做平抛运动的初速度，而非月球自转的线速度，C错误；
D．月球的平均密度：
ρ＝＝
D错误。
故选AB。
20．由于地球自转的影响，地球表面的重力加速度会随纬度的变化而有所不同。已知地球表面两极处的重力加速度大小为g0，在赤道处的重力加速度大小为g，地球自转的周期为T，引力常量为G。假设地球可视为质量均匀分布的球体。下列说法正确的是( )
A．质量为m的物体在地球北极受到的重力大小为mg
B．质量为m的物体在地球赤道上受到的万有引力大小为mg0
C．地球的半径为
D．地球的密度为
【答案】BCD
【详解】A．因地球表面两极处的重力加速度大小为g0，则质量为m的物体在地球北极受到的重力大小为mg0，故A错误；
B．因在地球的两极，重力与万有引力
=mg0
则质量为m的物体在地球赤道上受到的万有引力大小为
故B正确；
C．在赤道上，根据向心力公式
联立解得
故C正确；
D．地球的密度为
联立解得
故D正确。
故BCD。
21．设宇宙中某一小行星自转较快，但仍可近似看作质量分布均匀的球体，半径为R。宇航员用弹簧测力计称量一个相对自己静止的小物体的重量，第一次在极点处，弹簧测力计的读数为F1 = F0；第二次在赤道处，弹簧测力计的读数为；假设第三次在赤道平面内深度为的隧道底部，示数为F3；第四次在距星表高度为R处绕行星做匀速圆周运动的人造卫星中，示数为F4。已知均匀球壳对壳内物体的引力为零，则以下判断正确的是（ ）
A．B．
C．F4 = 0D．
【答案】AC
【详解】AB．设该行星的质量为M，则质量为m的物体在极点处受到的万有引力
由于在赤道处，弹簧测力计的读数为，则
F1−F2 = mω2∙R
由于球体的体积公式为，所以半径以内的部分的质量为
物体在处受到的万有引力
物体需要的向心力
所以在赤道平面内深度为的隧道底部，示数为
故A正确、B错误；
CD．第四次在距星表高度为R处绕行星做匀速圆周运动的人造卫星中时，物体受到的万有引力恰好提供向心力，所以弹簧秤的示数为0，故C正确、D错误。
故选AC。
22．已知地球半径为R，自转周期为T，卫星近地面环绕速度为，在南极点附近，从距地面高h处的位置，以某初速度水平抛出一物体，经时间t后物体落回地面，h远小于R，物体的运动可看作平抛运动。地球赤道上的重力加速度可表示为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】CD
【详解】AC．在南极点附近，根据动力学公式
地球赤道上的物体的加速度
地球赤道上的重力加速度可表示为
故A错误，C正确；
BD．在赤道位置有
可得
故B错误，D正确。
故选CD。
23．我国发射的探月卫星有一类为绕月极地卫星。如图所示，卫星在绕月极地轨道上做圆周运动时距月球表面的高度为h，绕行周期为；月球绕地球公转的周期为，公转轨道半径为r；地球半径为，月球半径为，忽略地球、太阳引力对绕月卫星的影响，万有引力常量G已知。下列说法正确的是（ ）

A．月球质量
B．地球表面重力加速度
C．绕月卫星的发射速度远大于地球的第二宇宙速度
D．“月地检验”的目的是为了说明地球对月球的引力与太阳对地球的引力是同一种性质的力
【答案】AB
【详解】A．对月球的极地卫星
解得月球质量
选项A正确；
B．月球绕地球运动时
对地球表面的物体
地球表面重力加速度
选项B正确；
C．绕月卫星没有脱离地球的引力，则其发射速度小于地球的第二宇宙速度，选项C错误；
D．月-地检验说明地球对地面物体的引力和地球对月球的引力是同一种性质的力，选项D错误。
故选AB。
24．宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原处。若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t小球落回原处。已知该星球的半径与地球半径之比为R星∶R地 = 1∶4，地球表面重力加速度为g，设该星球表面附近的重力加速度为g′，空气阻力不计。则（ ）
A．g′∶g = 1∶5
B．g′∶g = 5∶2
C．M星∶M地 = 1∶20
D．M星∶M地 = 1∶80
【答案】AD
【详解】AB．设初速度为v0，由对称性可知在地球表面竖直上抛的小球在空中运动的时间
在某星球同理，因此得
故A正确、B错误；
CD．在地球表面由
得
在某星球同理，则
故C错误、D正确。
故选AD。
25．中国空间站如同月球一样，成为了地球的一颗卫星，经查阅资料，空间站、月球的运行周期分别约为1.5h、27.3天，空间站距离地面的高度约为400km，地球的半径约为6400km，地球自转周期为24h，仅根据这五个数据，可以估算出的是（ ）
A．地球的平均密度B．月球公转的线速度
C．月球表面的重力加速度D．地球同步卫星的高度
【答案】BD
【详解】B．根据
和
可计算月球运行轨道半径，再根据
可计算月球公转的线速度，故B正确；
D．又根据
可计算同步卫星的高度，故D正确；
A．由于万有引力常数未知，地球质量无法获知，继而地球平均密度无法获知，故A错误；
C．又因为月球质量及其半径无法获知，月球表面的重力加速度无法确知，故C错误。
故选BD。已知量
求解方法
质量的求解公式
月球绕地球做匀速圆周运动的周期为T，半径为r
根据万有引力等于向心力，得
月球绕地球做匀速圆周运动的半径r和月球运行的线速度v
地球对月球的引力等于月球做匀速圆周运动的向心力，得

月球运行的线速度v和运行周期T
地球对月球的引力等于月球做匀速圆周运动的向心力，得
和
两式消去r，解得：

地球的半径R和地球表面的重力加速度g
物体的重力近似等于地球对物体的引力，得

类型
分析方法
已知天体表面的重力加速度g和天体半径R。
由于Geq \f(Mm,R2)＝mg，则天体质量M＝eq \f(gR2,G)，结合ρ＝eq \f(M,V)和V＝eq \f(4,3)πR3，可得天体密度ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(M,\f(4,3)πR3)＝eq \f(3g,4πGR)。
已知卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T和轨道半径r。
由Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(4π2,T2)r，中心天体质量M＝eq \f(4π2r3,GT2)，结合ρ＝eq \f(M,V)和V＝eq \f(4,3)πR3，可得天体的密度ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(M,\f(4,3)πR3)＝eq \f(3πr3,GT2R3)；若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认为其轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝eq \f(3π,GT2)（只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度）。