安徽省六校教育研究会2023-2024学年高三下学期下学期第二次素养测试（2月）数学试题

这是一份安徽省六校教育研究会2023-2024学年高三下学期下学期第二次素养测试（2月）数学试题，共11页。试卷主要包含了706，841，024等内容，欢迎下载使用。
2024.2
考生注意：
1．满分150分，考试时间120分钟。
2．考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集，集合，则等于（ ）
A．B．C．D．
2．若，则（ ）
A．0B．1C．D．2
3．的展开式中的系数为160，则（ ）
A．2B．C．4D．
4．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”，根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是（ ）
A．甲地：总体均值为3，中位数为4B．乙地：总体均值为1，总体方差大于0
C．丙地：中位数为2，众数为3D．丁地：总体均值为2，总体方差为3
5．椭圆经过点，则其离心率（ ）
A．B．C．D．
6．若函数在区间恰存三个零点，两个极值点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．已知棱长为8的正四面体，沿着四个顶点的方向各切下一个棱长为2的小正四面体（如图），剩余中间部分的八面体可以装入一个球形容器内（容器壁厚度忽略不计），则该球形容器表面积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数，若方程有两个不同的实数解，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分、共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．已知等基数列的前项和为，且，则（ ）
A．B．
C．当时，取最大值D．当时，的最小值为19
10．已知直线与圆交于点，点中点为，则（ ）
A．的最小值为B．的最大值为4
C．为定值D．存在定点，使得为定值
11．已知函数的定义域均为，，，，且当时．，则（ ）
A．B．
C．函数关于直线对称D．方程有且只在2个实根
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．抛物线的焦点为F，过F的直线l与曲线C交于A，B两点，点A的横坐标为6、则______．
13．已知正方形的边长为2，中心为，四个半圆的圆心地为正方形各边的中点（如图），若在上，且，则的最大值为______．
14．设是以定点为球心半径为的球面，是一个固定平面，到的距离为．设是以点为球心的球面，它与外切并与相切．令A为满足上述条件的球心构成的集合．设平面与平行且在上有A中的点．设是平面与之间的距离．则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题、共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分13分）
在中，内角的对边分別为．
（1）求角C；
（2）若，求角的平分线的长度．
16．（本小题满分15分）
如图，四棱锥的底面是菱形，点分別在棱上，．
（1）证明：平而；
（2）落二面角大小为120°，求与平面所成角的正弦值．
17．（本小题满分15分）
（1）已知，证明：；
（2）证明：．
18．（本小题满分17分）
某学校有甲、乙、丙三家餐厅，分布在生活区的南北两个区域，其中甲、乙餐厅在南区，丙餐厅在北区各餐厅菜品丰富多样，可以满足学生的不同口味和需求．
（1）现在对学生性别与在南北两个区域就餐的相关性进行分析，得到下表所示的抽样数据，依据的独立性检验，能否认为在不同区域就餐与学生性别有关联？
（2）张同学选择餐厅就餐时，如果前一天在甲餐厅，那么后一天去甲，乙餐厅的概率均为；如果前一天在乙餐厅，那么后一天去甲，丙餐厅的概率分别为，；如果前一天在丙餐厅，那么后一天去甲，乙餐厅的概率均为．张同学第1天就餐时选择甲，乙，丙餐厅的概率分别为，，．
（ⅰ）求第2天他去乙餐厅用餐的概率；
（ⅱ）求第天他去甲餐厅用餐的概率．
附：；
19．（本小题满分17分）
已知点是四上任意一点，点关于点的对称点为，线段的中垂线与直线相交于点，记点的轨迹为曲线．
（1）水曲线的方程；
（2）若点，直线，过点的直线与交于两点，直线与直线分别交于点．证明：的中点为定点．
安徽六校教育研究会2024届高三年级第二次素养测试数学试卷
参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12． 13． 14．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
解：（1）由得．
由正弦定理得，
得，
得．
因为，所以，
即，
又，所以．
（2）由余弦定理，，
可得，
又
则
16．（15分）
解：（1）取棱上一点，使得，连接，
，且，
，且，
，且
又平面平面
平面
（2）取中点，连接，作，垂足为，
菱形中，，
为等边三角形，
是二面角的平面角，即，且平面
，即
又
又平面
又
平面
平面
分别以为为轴的正方向，建立空间直角坐标系
则点，
所以，
设平面，记与平面所成角大小为，
由，取
，
综上，与平面所成角的正弦值为．
17．（15分）
证明：（1）令
则在单调递增，所以即；
令
则在单调递增，所以即
所以，所以
综上，；
（2）结合第（1）问，对任意的恒成立，
令，则，
即
．
所以．
18．（17分）
解：（1）依据表中数据，，
依据的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即认为在不同区域就餐与学生性别没有关联．
（2）设“第天去甲餐厅用餐”，“第天去乙餐厅用餐”，“第天去丙餐厅用餐”，
则两两互灰，．
根据题意得，
．
（ⅰ）由，结合全概率公式，得
，
因此，张同学第2天去乙餐厅用餐的概率为．
（ⅱ）记第天他去甲，乙，丙餐厅用餐的概率分别为，
则，由全概率公式，得
故①
同理②
③
④
由①②，，
由④，，
代入②，得：，即，
故是首项为，公比为的等比数列，
即，
所以
于是，当时
综上所述：
19．（17分）
解：（1）由题意可得，且为的中点，
又为的中点，
所以，且．
因为点关于点的对称点为，线段的中垂线与直线相交于点，
由垂直平分线的性质可得，
所以，
所以由双曲线的定义可得，点的轨迹是以为焦点的双曲线．
故曲线的方程为
（2）由题意可知：直线的斜率存在，设，
联立方程，消去得：，
则，
解得，且
，①
由，得直线，
令，解得，即，
同理可得，
则
所以的中点为定点．性别
就餐区域
合计
南区
北区
男
33
10
43
女
38
7
45
合计
71
17
88
0.100
0.050
0.025
0.010
2.706
3.841
5.024
6．635
1
2
3
4
5
6
7
8
B
C
B
D
A
A
D
A
9
10
11
ABD
ACD
AC