河北省部分重点高中2023-2024学年高三上学期2月期末考试数学试题

这是一份河北省部分重点高中2023-2024学年高三上学期2月期末考试数学试题，共12页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容，我们把形如，已知，则，函数图象的对称轴方程可能为等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4.本试卷主要考试内容：高考全部内容。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.
A.B.C.D.
2.已知集合，，则
A.B.C.D.
3.“是第二象限角”是“”的
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4.已知，是不重合的两条直线，，是不重合的两个平面，则下列结论正确的是
A.若，，，则
B.若，，则
C.若，，，则
D.若，，，则
5.我们把形如：和：的两个双曲线叫做共轭双曲线.已知与互为共轭双曲线，且的离心率，则的离心率
A.B.2C.D.
6.折纸既是一种玩具，也是一种艺术品，更是一种思维活动.如图，有一张直径为4的圆形纸片，圆心为，在圆内任取一点，折叠纸片，使得圆周上某一点刚好与点重合，记此时的折痕为，点在上，则的最小值为
A.5B.4C.3D.2
7.在中，为边上的高，且向量，，则向量
A.B.C.D.
8.已知，则
A.B.
C.D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.函数图象的对称轴方程可能为
A.0B.C.D.
10.一家公司为了解客户对公司新产品的满意度，随机选取了名客户进行评分调查，根据评分数进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出的频率分布直方图如图所示，其中有8名客户的评分数落在内，则
A.图中的
B.
C.同组数据用该组区间的中点值作代表，则评分数的平均数为76.2
D.该公司计划邀请评分数低于第25百分位数的客户参与产品改进会议，若客户甲的评分数为71，则甲将会被邀请参与产品改进会议
11.球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图，球的半径为，，，为球面上三点，劣弧的弧长记为，设表示以为圆心，且过，的圆，同理，圆，的劣弧，的弧长分别记为，，曲面（阴影部分）叫做曲面三角形，若，则称其为曲面等边三角形，线段，，与曲面围成的封闭几何体叫做球面三棱锥，记为球面.设，，，则下列结论正确的是
A.若平面是面积为的等边三角形，则
B.若，则
C.若，则球面的体积
D.若平面为直角三角形，且，则
12.已知函数及其导函数的定义域均为，且，的图象关于点对称，则
A.
B.为偶函数
C.的图象关于点对称
D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.抛物线的顶点到它准线的距离为_______.
14.已知函数的最小值为0，则_______.
15.单调递增的等比数列的前项和为，若，，则_______.
16.将1，2，3，…，9这9个数填入如图所示的格子中（要求每个数都要填入，每个格子中只能填一个数），记第1行中最大的数为，第2行中最大的第3行数为，第3行中最大的数为，则的填法共有_______种。
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）
的内角，，的对边分别为，，.已知.
（1）求的值；
（2）若，，求的面积.
18.（12分）
如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，，，，.
（1）证明：.
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
19.（12分）
在数列中，，直.
（1）求的通项公式；
（2）若数列的前项和为，求
20.（12分）
某学校组织知识竞赛，题库中试题分，两种类型，每个学生选择2题作答，第1题从，两种试题中随机选择一题作答，学生若答对第1题，则第2题选择同一种试题作答的概率为，若答错第1题，则第2题选择同一种试题作答的概率为.已知学生甲答对种试题的概率均为，答对种试题的概率均为，且每道试题答对与否相互独立.
（1）求学生甲2题均选择种试题作答的概率；
（2）若学生甲第1题选择种试题作答，记学生甲答对的试题数为，求的分布列与期望.
21.（12分）
已知，分别是椭圆：的左、右顶点，是椭圆的上顶点，且，的周长为.
（1）求椭圆的方程.
（2）为坐标原点，斜率为的直线与椭圆相交于，两点，直线，的斜率分别为，.是否存在常数，使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
22.（12分）
已知函数.
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）当时，证明：恰有三个不同的极值点，，，且.参考数据：取.
高三年级2024年2月考试
数学参考答案
1.B .
2.A 因为，当且仅当时，等号成立，所以，，.
3.A 若是第二象限角，则，，.若，则是第二象限角或第三象限角.故选A.
4.C 若，，，则与不一定垂直.A不正确.若，，则的关系不确定.B不正确.若，，，则.C正确.若，，，则或，异面.D不正确.
5.C 由，得，则.
6.D 如图，设关于对称的点为，则在圆上，连接，，则有，故.
7.D （法一）因为，，所以.又为边上的高，所以设，则解得，所以.
（法二），设，则，解得，则.
8.B 令，，当时，，当时，.易知，在上均单调递增，由，得，则，故，即.
9.AD ，则图象的对称轴方程为，.故选AD.
10.ABC 由，解得.A正确..B正确.评分数的平均数为.C正确.因为，所以甲不会被邀请参与产品改进会议.D不正确.
11.BC 若平面是面积为的等边三角形，则，则，.A不正确.若，则，则.B正确.若，则，，则平面的面积为，则到平面的距离，则三棱锥的体积，则球面的体积.C正确.由余弦定理可知因为，所以，则.取，，则，，则.D不正确.
12.ABD 由，可得，则，令，得.A正确.令，则，故为偶函数.B正确.假设的图象关于点对称，则，则，即，则，这与的图象关于点对称矛盾，假设不成立.C不正确.因为的图象关于点对称，所以，令，则，则（为常数），则，从而，即，由，得.D正确.
13.1 抛物线的准线方程为，顶点到它准线的距离为1.
14. 因为，所以.若，则在上单调递减，无最小值.若，则在上单调递减，在上单调递增，所以，解得.
15.31 ，，因为单调递增，所以，，则.
16.60480 第3行，，可选的位置有3个，其余2个位置任取2个数，共有种情况.第2行，取剩下6个数中最大的数为，可选的位置有3个，其余2个位置任取2个数，共有种情况，第1行，剩下3个数任意排列，则有种情况，故共有种填法.
17.解：（1）因为，所以，
则.
又，所以，
则，即.
（2）由（1）可知，，则，则.
，所以的面积.
18.（1）证明：连接，因为，，，所以，
由，得，则
则，从而
又平面，平面，所以.
因为，所以平面
又平面，所以.
（2）解：以为坐标原点，，所在的直线分别为轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
，，.
设平面的法向量为，
由得
令，得.
，
故直线与平面所成角的正弦值为.
19.解：（1）当时，，则.
当时，由，得，
则，则.
因为，所以从第2项起成等比数列，
则
（2），当为大于1的奇数时，
当为偶数时，
.
，
则，
则，
则，
则.
20.解：（1）若学生甲第1题选择种试题作答并且答对，则第2题选择种试题作答的概率，
若学生甲第1题选择种试题作答并且答错，则第2题选择种试题作答的概率，
故学生甲2题均选择种试题作答的概率.
（2）由题可知，的取值可能为0，1，2，
且，
，
，
故的分布列为
则.
21.解：（1）因为，所以，则.
又的周长为，所以，解得，
则，故椭圆的方程为.
（2）设直线的方程为，，，
联立方程组整理得，
，
，.
.
令，即，则，为定值.
故存在，使得为定值.
22.（1）解：由，得，则，
则，，
故曲线在处的切线方程为.
（2）证明：，令，则.
因为，所以，
则方程存在两个不同的实数根，（设），
则，，则.
当时，，
当时，，
则在和上单调递减，在上单调递增.
，，，
令，
则在上恒成立，
故在上单调递减，
故，则，，
不妨令，则，，，，
当时，，
当时，，
则在和上单调递增，在和上单调递减，
从而恰有三个极值点，，.
由，，得，
所以.
0
1
2