高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用第1课时导学案

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课标要求
1．掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法．
2．会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．
素养要求
借助于向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，体会逻辑推理及数学运算素养.
知识点 1 余弦定理
[提醒] (1)利用余弦定理可以解两类有关三角形的问题
①已知两边及其夹角，解三角形；
②已知三边，解三角形．
(2)余弦定理和勾股定理的关系
在△ABC中，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcs C，若角C＝90°，则cs C＝0，于是c2＝a2＋b2，这说明勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广．
练一练：
在△ABC中，符合余弦定理的是( A )
A．c2＝a2＋b2－2abcs C
B．c2＝a2－b2－2bccs A
C．b2＝a2－c2－2bccs A
D．cs C＝eq \f(a2＋b2＋c2,2ab)
[解析] 由余弦定理及其推论知只有A正确．故选A．
知识点 2 解三角形
一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的_元素__.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做_解三角形__.
想一想：
已知三角形内角的余弦值求角时，是否存在多解的情况？
提示：在已知三角形内角的余弦值求角时，由于函数y＝cs x在(0，π)上单调递减，所以角的余弦值与角一一对应，故不存在多解的情况．
练一练：
1．在△ABC中，已知a＝9，b＝2eq \r(3)，C＝150°，则c＝( D )
A．eq \r(39) B．8eq \r(3)
C．10eq \r(2) D．7eq \r(3)
[解析] 由余弦定理得：
c＝eq \r(92＋2\r(3)2－2×9×2\r(3)×cs 150°)＝eq \r(147)＝7eq \r(3).故选D．
2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝1，b＝eq \r(7)，c＝eq \r(3)，则B＝_150°__.
[解析] 由余弦定理，得cs B＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq \f(1＋3－7,2×1×\r(3))＝－eq \f(\r(3),2).又0°0，,2a－1>0，))解得a>eq \f(1,2)，
∴2a＋1是三边长中最长的边，设其所对角为θ，
∵2a＋1，a,2a－1是钝角三角形的三边，
∴cs θ0，,a>0，,2a－1>0，))解得a>eq \f(1,2)，此时2a＋1最大．
要使2a＋1，a,2a－1表示三角形的三边，
还需a＋(2a－1)>2a＋1，解得a>2.
设最长边2a＋1所对的角为θ，
则cs θ＝eq \f(a2＋2a－12－2a＋12,2a2a－1)＝eq \f(aa－8,2a2a－1)