备战2024高考二模模拟训练卷05-备战2024年高考数学模考适应模拟卷（新高考专用）

这是一份备战2024高考二模模拟训练卷05-备战2024年高考数学模考适应模拟卷（新高考专用），文件包含备战2024高考二模模拟训练卷05原卷版docx、备战2024高考二模模拟训练卷05解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共26页， 欢迎下载使用。
1、锻炼学生的心态。能够帮助同学们树立良好的心态，增加自己的自信心。
2、锻炼学生管理时间。通过模拟考试就会让同学们学会分配时间，学会取舍。
3、熟悉题型和考场。模拟考试是很接近高考的，让同学们提前感受到考场的气氛和布局。
高考的取胜除了平时必要的学习外，还要有一定的答题技巧和良好心态。此外，通过模拟考试还能增强学生们面对高考的信心，希望考生们能够重视模拟考试。
备战2024高考二模模拟训练卷（5）
一、单选题
1．若集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】求幂函数、对数函数的定义域确定集合A、B，再由集合交运算求结果.
【详解】由，，则.
故选：A
2．已知复数满足，则（为虚数单位）的最大值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】C
【分析】设，根据复数模的计算公式和三角恒等变换的知识可得到，由此确定最大值.
【详解】由可设：，
，
（其中），
当时，即时，
.
故选：C.
3．在一组样本数据，，…，（，，，…，互不相等）的散点图中，若所有样本点都在直线，上，则这组样本数据的样本相关系数为（ ）
A．B．0C．D．1
【答案】A
【解析】由所有样本点都在一条直线上，可知这组样本数据完全负相关，结合相关系数的意义，可得出答案.
【详解】由题意，所有样本点都在直线上，所以这组样本数据完全负相关，即相关系数为-1.
故选：A.
【点睛】本题考查相关系数，考查正相关及负相关，属于基础题.
4．若数列中，，则当取最大值时，（ ）
A．14B．15C．15或16D．16
【答案】B
【分析】令，解出即可得到答案
【详解】令，解得
所以
所以当取最大值时
故选：B
【点睛】本题考查的是求等差数列前项和的最值，较简单.
5．甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行党史知识比赛，决出第1名到第5名的名次（名次无重复），其中前2名将获得参加市级比赛的资格.甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你没有获得参加市级比赛的资格.”对乙说：“你当然不会是最差的.”从这两个回答分析，5人的排名有（ ）种不同情况.
A．24B．36C．60D．72
【答案】C
【分析】由题意甲不是1或2名，乙不是最后一名，由此分类讨论可得．
【详解】根据甲的名次分类讨论可得：．
故选：C．
6．已知抛物线C：的焦点为F，过点F作两条互相垂直的直线，，且直线，分别与抛物线C交于A，B和D，E，则四边形ADBE面积的最小值是（ ）
A．32B．64C．128D．256
【答案】C
【分析】两条直线的斜率都存在且不为0，因此先设一条直线斜率为，写出直线方程，与抛物线方程联立求出相交弦长，同理再得另一弦长，相乘除以2即得四边形面积，再由基本不等式求得最小值．
【详解】由题意抛物线的焦点为，显然斜率存在且不为0，
设直线方程为，设，由，得
则，即，
设直线的方程为，设
由，得
则，即，
∴，当且仅当，即时等号成立．
故选：C．
7．已知函数的单调区间是，那么函数在区间上（ ）
A．当时，有最小值无最大值B．当时，无最小值有最大值
C．当时，有最小值无最大值D．当时，无最小值也无最大值
【答案】D
【分析】依题意不等式的解集为（1，+∞），即可得到且 ，即，再根据二次函数的性质计算在区间（-1，2）上的单调性及取值范围，即可得到函数的最值情况．
【详解】因为函数的单调区间是，
即不等式的解集为（1，+∞），
所以且 ，即，
所以 ,
当 时， 在上满足，
故此时为增函数，既无最大值也无最小值，由此A,B错误；
当 时， 在上满足，
此时为减函数，既无最大值也无最小值，故C错误，D正确，
故选：D.
8．在四棱锥中，侧面底面，侧面是正三角形，底面是边长为的正方形，设是该四棱锥外接球表面上的动点，则三棱锥的体积最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】作图分析，确定四棱锥外接球球心位置，求得其半径，确定三棱锥的高的最大值，根据棱锥体积公式，即可求得答案.
【详解】如图，设G为底面正方形的中心，
设的中点为F，连接，因为侧面是正三角形，故，
又侧面底面，侧面底面，平面，
故底面，设E为的中心，则E在上，
过点G作底面的垂线l，则，过点E作平面的垂线，
交l于点O，即为四棱锥的外接球的球心，且四边形为矩形，
则在正三角形中，,而,
故外接球半径,
由于是该四棱锥外接球表面上的动点，则P到侧面的最大距离为，
故三棱锥的体积最大值为，
故选：D
二、多选题
9．已知三棱锥的各棱长均为2，则下列说法正确的是（ ）
A．该三棱锥的体积为
B．该三棱锥的内切球的体积为
C．该三棱锥的外接球的表面积为
D．直线AC与平面ABD所成角的余弦值为
【答案】ACD
【分析】A.将正三棱锥放在正方体中，即可求三棱锥的体积；
B.利用等体积公式，先求内切球的半径，再求内切球的体积；
C.将三棱锥外接球转化为正方体的外接球，即可求外接球的半径，再求表面积；
D.利用线面角的定义作图，易求线面角的余弦值.
【详解】由题意可得三棱锥为正四面体，
对于A，如图，棱长为2的正四面体可放在棱长为的正方体中，其体积为所在正方体体积减去四个角处的三棱锥的体积，即正方体体积的三分之一，
即，故A正确；
对于B，设内切球的半径为，则由等体积法,解得，可得棱长为2的正四面体的内切球半径为，所以内切球的体积为，故B错误；
对于C，棱长为2的正四面体的外接球可看成棱长为的正方体的外接球，则外接球的直径，所以外接球的表面积为，故C正确；
对于D，由点C向平面ABD做垂线，记垂足为O，则为直线AC与平面ABD所成角，且易得，所以，故D正确.
故选：ACD.
10．如图，正方形中，为中点，为线段上的动点，，则下列结论正确的是（ ）
A．当为线段上的中点时，
B．的最大值为
C．的取值范围为
D．的取值范围为
【答案】ABC
【分析】以为原点，为轴正方向建立平面直角坐标系，结合向量的坐标表示及向量的坐标运算表示条件，由此判断各选项.
【详解】以为原点，为轴正方向建立平面直角坐标系，设，
则，
设，则，
因为，所以，
所以，即，
对于选项A，因为为线段上的中点，所以，故，A正确；
对于选项B，，，当时，取最大值为，B正确；
对于选项C，因为，，所以，的取值范围为，C正确；
对于选项D，，，所以，所以的取值范围为，D错误.
故选：ABC.
11．声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数.纯音的数学模型是函数，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音.若一个复合音的数学模型是函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的图象关于点对称
B．在上是增函数
C．的最大值为
D．若，则
【答案】AD
【分析】根据三角函数的对称性、单调性、最值、周期等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】依题意，，
，
所以的图象关于点对称，A选项正确.
，，B选项错误.
由于，所以，C选项错误.
，
所以在区间上单调递增，
在区间上单调递减，
，，
结合的单调性可知的最小正周期为，
所以当时，取得最大值为：，
当时，取得最小值为：
，
而，
所以，D选项正确.
故选：AD
12．1990年9月，Craig F·Whitaker给《Parade》杂志“Ask Marilyn”专栏提了一个问题（著名的蒙提霍尔问题，也称三门问题），在蒙提霍尔游戏节目中，事先在三扇关着的门背后放置好奖品，然后让游戏参与者在三扇关着的门中选择一扇门并赢得所选门后的奖品，游戏参与者知道其中一扇门背后是豪车，其余两扇门背后是山羊，作为游戏参与者当然希望选中并赢得豪车，主持人知道豪车在哪扇门后面.假定你初次选择的是1号门，接着主持人会从号门中打开一道后面是山羊的门.则以下说法正确的是（ ）
A．你获得豪车的概率为
B．主持人打开3号门的概率为
C．在主持人打开3号门的条件下，2号门有豪车的概率为
D．在主持人打开3号门的条件下，若主持人询问你是否改选号码，则改选2号门比保持原选择获得豪车的概率更大
【答案】ABD
【分析】设分别表示号门里有豪车，用分别表示主持人打开号门，然后用全概率公式和贝叶斯公式对选项进行分析即可
【详解】设分别表示号门里有豪车，用分别表示主持人打开号门.
对于A，如题意所述，游戏参与者初次选择了1号门，因为在做选择的时候不知道豪车在哪个门里，故不影响豪车在三个门中的概率分配，所以事件发生的概率仍然为，即正确；
对于B，在选择了1号门的前提下，主持人打开1号门外的一个门有以下几种可能的情况：
豪车在1号门里，主持人打开2，3号门，故，
豪车在2号门里，主持人只能打开3号门，故，
豪车在3号门里，主持人只能打开2号门，故，
由全概率公式，即正确；
对于C，由贝叶斯公式，在3号门打开的条件下，1号门和2号门里有豪车的条件概率为，
故选2号门会使获得豪车的概率更大，是正确的决策，即错误，正确.
故选：ABD
三、填空题
13．的展开式中的系数为 .（用数字作答）
【答案】-162
【分析】利用二项式展开式的通项公式求解的通项公式，进而求出答案.
【详解】4属开式的通项公式为.当时，x4的展开式中的系数为；当时的展开式中的系数为，故—的展开式中的系数为-162.
故答案为：-162
14．设是正项等比数列的前项和，，则的公比 ．
【答案】1
【分析】将变形为，再利用等比数列性质求解即可.
【详解】由，得，即，
所以，因为是正项等比数列，所以，，所以．
故答案为：.
【点睛】本题考查等比数列前项和公式以及等比数列的性质，是基础题.
15．在中，，，分别是角的对边，的面积为，，且，则 ．
【答案】
【分析】由已知利用同角三角函数的基本关系，三角形的面积公式，余弦定理化简可得，在利用余弦定理，正弦定理化简可得，联立可求出，进而利用余弦定理即可求出答案.
【详解】因为，所以可得 ，
化简得，①，
又因为，
根据正余弦定理可得②，
由①②得 ，所以.
故答案为：.
16．已知为坐标原点，动直线与椭圆相切，与圆相交于两点，若的面积的最大值为，则椭圆离心率的取值范围为 .
【答案】
【分析】由椭圆的切线方程及圆心到直线的距离列出方程，根据方程有解得出不等式，求出离心率范围即可.
【详解】如图，

的面积最大值为存在直线使到直线的距离为，
设，则为，
到的距离为有解，
平方整理得，即①，
又②
两式相减得，所以有解，
又，即，
所以，
.
故答案为：
四、解答题
17．已知．
（1）求函数的最小正周期和对称轴方程；
（2）若，求的值域．
【答案】（1）对称轴为，最小正周期；（2）
【分析】(1)利用正余弦的二倍角公式和辅助角公式将函数解析式进行化简得到，由周期公式和对称轴公式可得答案；(2)由x的范围得到，由正弦函数的性质即可得到值域.
【详解】（1）
令，则
的对称轴为，最小正周期；
（2）当时，，
因为在单调递增，在单调递减，
在取最大值，在取最小值，
所以，
所以．
【点睛】本题考查正弦函数图像的性质，考查周期性，对称性，函数值域的求法，考查二倍角公式以及辅助角公式的应用，属于基础题.
18．已知数列的前项和为，，，且、、成等差数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出、，根据已知条件可得出关于的等式，结合可求得的值，可得出，令，可得出，两式作差可推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，可求得；
（2）计算出，再利用等差数列的求和公式可求得.
（1）
解：由题意可得，，
因为、、成等差数列，则，
即，整理可得，，解得，则，
当时，由①可得②，①②可得，
所以，且，，
所以，数列为等比数列，且该数列的首项为，公比为，则.
（2）
解：，
对任意的，，
令，则.
因此，.
19．11月，2019全国美丽乡村篮球大赛在中国农村改革的发源地-安徽凤阳举办，其间甲、乙两人轮流进行篮球定点投篮比赛（每人各投一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲乙两人在同一位置，甲先投，每人投一次球，两人有1人命中，命中者得1分，未命中者得-1分；两人都命中或都未命中，两人均得0分，设甲每次投球命中的概率为，乙每次投球命中的概率为，且各次投球互不影响.
（1）经过1轮投球，记甲的得分为，求的分布列；
（2）若经过轮投球，用表示经过第轮投球，累计得分，甲的得分高于乙的得分的概率.
①求；
②规定，经过计算机计算可估计得，请根据①中的值分别写出a，c关于b的表达式，并由此求出数列的通项公式.
【答案】（1）分布列见解析；（2）①；②，.
【分析】（1）经过1轮投球，甲的得分的取值为，记一轮投球，甲投中为事件，乙投中为事件，相互独立，计算概率后可得分布列；
（2）由（1）得，由两轮的得分可计算出，计算时可先计算出经过2轮后甲的得分的分布列（的取值为），然后结合的分布列和的分布可计算，
由，代入，得两个方程，解得，从而得到数列的递推式，变形后得是等比数列，由等比数列通项公式得，然后用累加法可求得．
【详解】（1）记一轮投球，甲命中为事件，乙命中为事件，相互独立，由题意，，甲的得分的取值为，
，
，
，
∴的分布列为：
（2）由（1），
，
同理，经过2轮投球，甲的得分取值：
记，，，则
，，，，
由此得甲的得分的分布列为：
∴，
∵，，
∴，，∴，
代入得：，
∴，
∴数列是等比数列，公比为，首项为，
∴．
∴．
【点睛】本题考查随机变量的概率分布列，考查相互独立事件同时发生的概率，考查由数列的递推式求通项公式，考查学生的转化与化归思想，本题难点在于求概率分布列，特别是经过2轮投球后甲的得分的概率分布列，这里可用列举法写出各种可能，然后由独立事件的概率公式计算出概率．
20．如图，在四棱锥中，侧棱底面，底面为长方形，且，是的中点，作交于点．
（1）证明：平面；
（2）若三棱锥的体积为，求二面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）先证明平面，可得，又，可证明平面，可得，又，即得证；
（2）建立空间直角坐标系，由，可得，分别求解两个平面的法向量，利用二面角的向量公式，即得解
【详解】（1）证明：底面，平面，，
由于底面为长方形，，而，
平面，
平面，，
，为的中点，，
，平面，
，又，，
平面．
（2）由题意易知两两垂直，以为坐标原点，建立如图空间直角坐标系
，可得，，，
设，则有，
，，，，
设平面的法向量，由，，则
令，则，，
-
由（1）平面，
为平面PBC的法向量，
设二面角为，由图知二面角为锐角
则-
所以二面角的余弦值为．
21．已知双曲线的左､右焦点分别为，离心率为，直线交于两点，且.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若点，直线与轴分别相交于两点，且为坐标原点，证明：直线过定点.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据双曲线的定义，结合离心率得，，进而得答案；
（2）设，则，进而求出直线，的方程，并与椭圆联立方方程解得，进而得直线的方程为，并整理得即可证明结论.
【详解】（1）解：因为，
所以，解得，
设双曲线的半焦距为，因为离心率为，
所以，解得，
则，
所以双曲线的标准方程为.
（2）证明：设，则，，
直线的方程为，
直线的方程为.
联立方程消去并整理得
显然，即
所以，，
联立方程消去并整理得，
显然，即，
，
即当时，直线的方程为，
将上面求得的的解析式代入得，
整理得，
所以直线过定点.
22．已知函数，.
（1）若，求的最大值；
（2）若函数，讨论的单调性；
（3）若函数有两个极值点，（），求证：.
【答案】（1）；（2）答案见解析；（3）证明见解析.
【分析】（1）代入的值，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，进而求出函数的最大值即可；
（2）首先对函数进行求导，通过讨论的范围，求出函数的单调区间即可；
（3）首先根据函数有两个极值点得一元二次方程有两根，进而可得判别式、根与系数的关系，所以可以得两极值点，的关系，及极值点的取值范围；然后写出关于极值点的表达式，构造函数，根据函数的单调性证明结论成立即可.
【详解】（1）当时，，，
当时，，∴单调递增，
当时，，∴单调递减，
所以的最大值为；
（2）由已知得，，
.
①当时，由得
所以当时，，单调递增，
当时，，单调递；
②当时，，所以当时，单调递增；
③当时，由，得或，
所以当与时，，单调递增，
当时，，单调递减；
④当时，由，得或，
因而当与时，，单调递增，
当时，，单调递减.
综上所述，当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在与上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在与上单调递增，在上单调递减.
（3）证明：，则的定义域为，
，
若有两个极值点，（），
则方程的判别式，且，，，
又∵，∴，即，
，
设，其中，
由得，
由于，即，
∴在上单调递增，在上单调递减，
即的最大值为，
从而成立.
【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：
（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系；－1
0
1
－2
－1
0
1
2