2023-2024学年江西省赣州市龙南市八年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江西省赣州市龙南市八年级（上）期中数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.如图图形中，不是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.一个多边形的每个内角均为150°，则这个多边形是( )
A. 九边形B. 十边形C. 十二边形D. 十五边形
3.等腰三角形角是84°，一腰上的高底边成的的度数是)
A. 42°B. 60°C. 36°D. 46°
4.如图，AB=AD，∠B=∠D，添加一个条件，不能判断△ABC≌△ADE的是( )
A. AE=AC
B. ∠EAC=∠DAB
C. DE=BC
D. ∠E=∠C
5.如图，∠ACD=90°，∠D=15°，B点在AD的垂直平分线上，若AC=4，则AB为( )
A. 4B. 6C. 8D. 10
6.如图，在2×2的方格纸中有一个以格点为顶点的△ABC，则与△ABC成轴对称且以格点为顶点三角形共有个．( )
A. 3个
B. 4个
C. 5个
D. 6个
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
7.已知点P(3,−4)关于y轴对称的对称点Q的坐标是______．
8.一个多边形的每个外角都是60°，则这个多边形边数为______．
9.一副三角板，如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是______．
10.把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后ED与BC的交点为G，D、C分别在M、N的位置上，若∠EFG=52°，则∠2= ______．
11.已知等腰△ABC的两边长分别为2和5，则等腰△ABC的周长为______．
12.如图所示，在等腰△ABC中，AB=AC，∠B=50°，D为BC的中点，点E在AB上，∠AED=70°，若点P是等腰△ABC的腰AC上的一点，则当△EDP为等腰三角形时，∠EDP的度数是______．
三、解答题：本题共11小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
13.(本小题6分)
在△ABC中，D是BC边上的一点，∠BDA=∠BAC.求证：∠1=∠C．
14.(本小题6分)
如图，E为BC上一点，AC/​/BD，AC=BE，∠ABD=∠CED.求证：AB=ED．
15.(本小题6分)
如果一个三角形的一边长为5cm，另一边长为2cm，若第三边长为x cm．
(1)第三边x的范围为______．
(2)当第三边长为奇数时，求出这个三角形的周长，并指出它是什么三角形(按边分类)．
16.(本小题6分)
如图所示，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点.△AOB的顶点均在格点上，点A，B的坐标分别是A(3,2)，B(1,3)，△AOB关于y轴对称的图形为△A1OB1．
(1)画出△A1OB1；
(2)求出△A1OB1的面积；
(3)在y轴上找出一点P，使PA+PB的值最小.(不写画法，但需保留作图痕迹)
17.(本小题6分)
小明在学习完“等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合”，继续探索，他猜想“如果三角形的一条角平分线是这个角对边上的中线，那么这个三角形是等腰三角形”并进行了证明．
(1)请根据以上命题和图形写出已知和求证：
已知：______，
求证：______．
(2)请证明以上命题．
18.(本小题8分)
在△ABC中，AB=AC，AC上的中线BD把三角形的周长分为15cm和30cm的两个部分，求：三角形的三边长．
19.(本小题8分)
如图，在等边三角形ABC中，点B、P、Q三点在同一条直线上，且∠ABP=∠ACQ，∠BAP=∠CAQ.判断△APQ是什么形状，并说明理由．
20.(本小题8分)
已知：如图，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CM，BE⊥CM，垂足分别为D，E．
(1)线段CD和BE的数量关系是______；
(2)请写出线段AD，BE，DE之间的数量关系并证明．
21.(本小题9分)
如图，在△ABC中，AB(1)若AB=4、BC=6，直接写出BE的取值范围______；
(2)求证：BE⊥DE．
22.(本小题9分)
如图，在△ABC中，∠BAD=∠DAC，DF⊥AB，DM⊥AC，AF=10cm，AC=14cm，动点E以2cm/s的速度从A点向F点运动，动点G以1cm/s的速度从C点向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t．
(1)求证：AF=AM；
(2)当t取何值时，△DFE与△DMG全等．
23.(本小题12分)
在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点(不与B、C重合)，以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．
(1)如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC=90°，则∠BCE=______度；
(2)设∠BAC=α，∠BCE=β．
①如图2，当点D在线段BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由；
②当点D在直线BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：选项B、C、D的图形均能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以是轴对称图形；
选项A的图形不能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以不是轴对称图形；
故选：A．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2.【答案】C
【解析】解：∵多边形的每个内角都等于150°，
∴多边形的每个外角都等于180°−150°=30°，
∴边数n=360°÷30°=12，
故选：C．
先求出多边形的外角度数，然后求出边数．
本题考查根据多边形的外角和求多边形的边数．
3.【答案】A
【解析】解：如图△ABC中，AB=AC，AC上的高．
∠B=90°，C=48°；
∴C=∠=(180°−84°)2=48°；
∴∠BC=9°−48°42°．
∵A=84，且B=AC，
故选．
根据腰三角形的性质三角形角和定理可求出等腰三角形的底角度数，然后一腰上的底边所构成直三角形，可得求角的度．
本主要考查等腰三角形的性质，及三角形角定理．求一个的大小常常通角形角和来解决，意用．
4.【答案】A
【解析】解：A.AB=AD，AC=AE，∠B=∠D，不符合全等三角形的判定定理，不能判断△ABC≌△ADE，故本选项符合题意；
B.由∠EAC=∠DAB可得∠BAC=∠DAE，又∠B=∠D，AB=AD，根据全等三角形的判定定理ASA，能判断△ABC≌△ADE，故本选项不符合题意；
C.由AB=AD，∠B=∠D，BC=DE，根据全等三角形的判定定理SAS，能判断△ABC≌△ADE，故本选项不符合题意；
D.由∠B=∠D，∠C=∠E，AB=AD，根据全等三角形的判定定理AAS，能判断△ABC≌△ADE，故本选项不符合题意；
故选：A．
根据全等三角形的判定定理逐一判断即可．
本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL等．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
5.【答案】C
【解析】解：∵B点在AD的垂直平分线上，
∴BA=BD，
∴∠D=∠BAD=15°，
∴∠ABC=∠D+∠BAD=30°，
∵∠ACD=90°，AC=4，
∴AB=2AC=8，
故选：C．
利用线段垂直平分线的性质可得BA=BD，从而可得∠D=∠BAD=15°，然后利用三角形的外角性质可得∠ABC=30°，最后在Rt△ABC中，利用含30度角的直角三角形的性质进行计算即可解答．
本题考查了含30度角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：与△ABC成轴对称且以格点为顶点三角形有△ABG、△CDF、△AEF、△DBH，△BCG共5个，
故选：C．
解答此题首先找到△ABC的对称轴，EH、GC、AD，BF等都可以是它的对称轴，然后依据对称找出相应的三角形即可．
本题主要考查轴对称的性质；找着对称轴后画图是正确解答本题的关键．
7.【答案】(−3,−4)
【解析】解：由点P(3,−4)关于y轴对称的对称点Q的坐标是(−3,−4)，
故答案为：(−3,−4)．
根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，可得答案．
本题考查了关于y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
8.【答案】6
【解析】解：360÷60=6．
故这个多边形边数为6．
故答案为：6．
利用外角和除以外角的度数即可得到边数．
此题主要考查了多边形的外角和，关键是掌握任何多边形的外角和都360°．
9.【答案】75°
【解析】解：如图，∠1=45°−30°=15°，
∠α=90°−∠1=90°−15°=75°．
故答案为：75°
根据三角板的常数以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠1的度数，再根据直角等于90°计算即可得解．
本题考查了三角形的外角性质以及三角形内角和定理，熟知三角板的度数是解题的关键．
10.【答案】104°
【解析】【分析】
此题主要考查折叠的性质，平行线的性质和平角的定义，解决问题的关键是根据折叠的方法找准对应角，求出∠GEF的度数．由折叠的性质可得：∠DEF=∠GEF，根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等可得：∠DEF=∠EFG=52°，从而得到∠GEF=52°，根据平角的定义即可求得∠1，再由平行线的性质求得∠2．
【解答】
解：因为AD//BC，∠EFG=52°，
所以∠DEF=∠EFG=52°(两直线平行，内错角相等)，
∠1+∠2=180°(两直线平行，同旁内角互补)，
由折叠的性质可得：∠GEF=∠DEF=52°，
所以∠1=180°−∠GEF−∠DEF=180°−52°−52°=76°，
所以∠2=180°−∠1=104°．
故答案为104°．
11.【答案】12
【解析】解：分两种情况：
当等腰三角形的腰长为2，底边长为5时，
∵2+2=4<5，
∴不能组成三角形；
当等腰三角形的腰长为5，底边长为2时，
∴等腰△ABC的周长=5+5+2=12；
综上所述：等腰△ABC的周长为12，
故答案为：12．
分两种情况：当等腰三角形的腰长为2，底边长为5时，当等腰三角形的腰长为5，底边长为2时，然后分别进行计算即可解答．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，分两种情况讨论是解题的关键．
12.【答案】140°或100°
【解析】解：∵AB=AC，∠B=50°，∠AED=70°，
∴∠EDB=20°，
当△DEP是以DE为腰的等腰三角形，
①当点P在P1位置时，
∵AB=AC，D为BC的中点，
∴∠BAD=∠CAD，
过D作DG⊥AB于G，DH⊥AC于H，
∴DG=DH，
在Rt△DEG与Rt△DP1H中，
DE=DP1，DG=DH，
∴Rt△DEG≌Rt△DP1H(HL)，
∴∠AP1D=∠AED=70°，
∵∠BAC=180°−50°−50°=80°，
∴∠EDP1=140°，
②当点P在P2位置时，
同理证得Rt△DEG≌Rt△DPH(HL)，
∴∠EDG=∠P2DH，
∴∠EDP2=∠GDH=180°−80°=100°，
综上∠EDP的度数为140°或100°．
故答案为：140°或100°．
根据等腰三角形的性质和全等三角形的判定和性质定理分两种情况解答即可．
本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
13.【答案】证明：∵∠B+∠1+∠BDA=180°，∠B+∠C+∠BAC=180°，
又∵∠BDA=∠BAC，
∴∠1=∠C．
【解析】利用三角形内角和定理推出∠B+∠1+∠BDA=180°，∠B+∠C+∠BAC=180°，结合已知即可证明∠1=∠C．
本题考查了三角形内角和定理，关键是三角形内角和定理的应用．
14.【答案】证明：∵AC/​/BD，
∴∠ACB=∠EBD，
∵∠ABD=∠CED，∠ABD=∠ABC+∠EBD，∠CED=∠EBD+∠EDB，
∴∠ABC=∠EDB，
在△ABC与△EDB，
∠ABC=∠EDB∠ACB=∠EBDAC=BE，
∴△ABC≌△EDB(AAS)，
∴AB=ED．
【解析】先由平行线的性质得∠ACB=∠EBD，再由角的和与差得∠ABC=∠EDB，根据AAS定理可得△ABC≌△EDB，最后根据三角形全等的性质可得．
本题考查了三角形全等的判定定理与性质，熟记判定定理与性质是解题关键．
15.【答案】3【解析】解：(1)根据三角形两边的和大于第三边，则
x<5+2．
即x<7．
根据三角形两边的差小于第三边，则
5−2即3综上所述
3故答案为：3(2)∵第三边的长为奇数，
∴第三边的长为5cm．
∴三角形的周长=5+5+2=12(cm)．
∵两条边的长为5cm，另外一条边的长为2cm，
∴这个三角形是底边和腰不相等的等腰三角形．
(1)三角形两边的和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，据此可求得答案．
(2)先求得第三边的长度，然后计算三角形的周长并按边的相等关系分类即可．
本题主要考查三角形三边之间的大小关系以及三角形按边的相等关系分类，牢记三角形三边之间的大小关系(三角形两边的和大于第三边，三角形两边的差小于第三边)和三角形按边的相等关系分类是解题的关键．
16.【答案】解：(1)△A1OB1即为所求作的图形；
(2)S△A1OB1=3×3−12×1×2−12×2×3−12×1×3=9−1−3−1.5=9−5.5=3.5；
(3)如图所示，点P即为所求的点，使PA+PB的值最小．
【解析】(1)首先确定A、B、O三点关于y轴的对称点位置，再连接即可；
(2)利用矩形面积减去周围多余三角形的面积即可；
(3)找出B点关于y轴的对称点B1，再连接AB1，AB1与y轴的交点就是P点位置．
此题主要考查了作图--轴对称变换，以及最短路线，关键是正确确定组成图形的关键点的对称点位置．
17.【答案】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，D为BC中点 △ABC是等腰三角形
【解析】(1)解：已知：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，D为BC中点．
求证：△ABC是等腰三角形；
故答案为：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，D为BC中点，△ABC是等腰三角形；
(2)证明：过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，∠DEB=∠DFC=90°，
∵D是BC中点，
∴BD=CD，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
BD=CDDE=DF，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，
∴∠B=∠C，
∴△ABC是等腰三角形．
(1)根据命题和图形写出已知和求证即可；
(2)
本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
18.【答案】解：如图：
(1)当AB与AD的和是15cm时，
AD=15÷(1+2)=15÷3=5(cm)，
所以AB=AC=5×2=10(cm)，
BC=15+30−10×2=25(cm)(不合题意舍去)；
(2)当AB与AD的和是30cm时，
AD=30÷(1+2)=30÷3=10(cm)，
所以AB=AC=10×2=20(cm)，
BC=15+30−20×2=5(cm)．
答：三角形的三角形是20cm，20cm，5cm．
【解析】本题要分情况进行讨论：(1)等腰三角形的腰与另一边腰的中点线段长度的和是15cm；(2)等腰三角形的腰与另一边腰的中点线段长度的是30cm；据此解答．
此题考查等腰三角形的性质，本题的重点是分情况进行讨论，再根据和倍问题的解决方法解决问题．
19.【答案】解：△APQ是等边三角形，理由如下：
∵△ACB是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
在△ABP与△ACQ中，
∠ABP=∠ACQAB=AC∠BAP=∠CAQ，
∴△ABP≌△ACQ(ASA)，
∴AP=AQ，
∵∠BAP+∠PAC=∠PAC+∠CAQ，即∠BAC=∠PAQ=60°，
∴△PAQ是等边三角形．
【解析】利用ASA证明△ABP≌△ACQ得到AP=AQ，再证明∠BAC=∠PAQ=60°即可证明△APQ是等边三角形．
本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，掌握这些判定是解题的关键．
20.【答案】CD=BE
【解析】解：(1)∵∠ACB=90°
∴∠ACD+∠BCE=90°．
∵AD⊥CM，
∴∠ACD+∠CAD=90°，
∴∠CAD=∠BCE．
在△CAD和△BCE中，
∠ADC=∠CEB∠CAD=∠CAEAC=BC，
∴△CAD≌△BCE(AAS)，
∴CD=BE．
故答案为：CD=BE；
(2)DE=BE+AD，
证明：∵△CAD≌△BCE，
∴AD=CE，CD=BE．
∵DE=CD+CE，
∴DE=BE+AD．
(1)由题意易证△CAD≌△BCE(AAS)，即得出CD=BE；
(2)由全等的性质可知AD=CE，CD=BE.再根据DE=CD+CE，即推出DE=BE+AD．
本题主要考查三角形全等的判定和性质，正确记忆三角形全等的判定是解题关键．
21.【答案】解：(1)1(2)证明：∵AD+BD=BC，
∴AD+BD=AK，
∴BD=DK，
∵BE=EK，
∴BE⊥DE．
【解析】(1)解：延长AD，BE交于K点，
∵AD/​/BC，
∴∠KAC=∠C，
∵E为AC的中点，
∴AE=CE，
在△AEK与△CEB中，
∠KAC=∠C∠AEK=∠CEBAE=CE，
∴△AEK≌△CEB(ASA)，
∴AK=BC，
∵BC−AB<2BE∴1故答案为：1(2)见答案．
(1)延长AD，BE交于K点，根据全等三角形的性质得到AK=BC，根据三角形的三边关系即可得到结论；
(2)由AD+BD=BC，得到AD+BD=AK于是得到结论，然后根据三线合一即可解决问题．
本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形的三边关系，正确的作出辅助线是解题的关键．
22.【答案】(1)证明：∵∠BAD=∠DAC，DF⊥AB，DM⊥AC，
∴DF=DM，
在Rt△AFD和Rt△AMD中，
DF=DMAD=AD，
∴Rt△AFD≌Rt△AMD(HL)；
∴AF=AM；
(2)解：若△DFE与△DMG全等，且DF=DM，∠EFD=∠GMD=90°，
∴EF=MG，
①当0∴EF=10−2t，MG=4−t
∴10−2t=4−t，
∴t=6(不合题意，舍去)；
②当4≤t<5时，点G在线段AM上，点E在线段AF上，
EF=10−2t，MG=t−4，
∴10−2t=t−4，
∴t=143，
综上所述，当t=143时，△DFE与△DMG全等．
【解析】(1)由“HL”可证Rt△AFD≌Rt△AMD，可得AF=AM；
(2)分两种情况讨论，由全等三角形的性质可求解．
本题考查了全等三角形的判定，直角三角形的性质，角平分线的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
23.【答案】解：(1)90；
(2)①α+β=180°，
理由：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC，
即∠BAD=∠CAE，
在△ABD与△ACE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴∠B=∠ACE，
∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB，
∴∠B+∠ACB=β，
∵α+∠B+∠ACB=180°，
∴α+β=180°；
②α+β=180°或者α=β．
【解析】【分析】
本题考查三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质．
(1)要求∠BCE的度数，可将它转化成与已知角有关的联系，根据已知条件和全等三角形的判定定理，得出△ABD≌△ACE，再根据全等三角形中对应角相等得到∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB，最后根据直角三角形的性质可得出结论；
(2)①问在第(1)问的基础上，将α+β转化成三角形的内角和；
②问是第(1)问和第①问的拓展和延伸，要注意分析两种情况讨论即可．
【解答】
解：(1)∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC，
即∠BAD=∠CAE，
在△ABD与△ACE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴∠B=∠ACE，
∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB，
∴∠BCE=∠B+∠ACB，
又∵∠BAC=90°，
∴∠BCE=90°；
(2)①见答案．
②当点D在射线BC上时，α+β=180°；
理由：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE，
∵在△ABD和△ACE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠BAC+∠ABD+∠BCA=180°，
∴∠BAC+∠BCE=∠BAC+∠BCA+∠ACE=∠BAC+∠BCA+∠ABD=180°，
∴α+β=180°；
当点D在射线BC的反向延长线上时，α=β．
理由：∵∠DAE=∠BAC，
∴∠DAB=∠EAC，
∵在△ADB和△AEC中，
AD=AE∠DAB=∠EACAB=AC，
∴△ADB≌△AEC(SAS)，
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠ABD=∠BAC+∠ACB，∠ACE=∠BCE+∠ACB，
∴∠BAC=∠BCE，
即α=β．