2023-2024学年河北省沧州市南皮县桂和中学等校九年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年河北省沧州市南皮县桂和中学等校九年级（上）期中数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列关于x的方程是一元二次方程的是( )
A. 3x(x−4)=0B. x2+y−3=0C. 1x2+x=2D. x3−3x+8=0
2.如图，DE/​/BC，且AE：EC=3：2，BC=10，则DE的长为( )
A. 6
B. 9
C. 3
D. 4
3.已知在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=12，BC=8，则AC等于( )
A. 6B. 16C. 12D. 4
4.如图，在⊙O中∠O=50°，则∠A的度数为( )
A. 50°
B. 20°
C. 30°
D. 25°
5.若点A(a,b)在反比例函数y=2x的图象上，则代数式ab的值为( )
A. 0B. −2C. 2D. −6
6.现有一列数：6，3，3，4，5，4，3，若去掉一个数x后，这列数的中位数仍不变，则x的值可能为( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
7.已知a、b、c为常数，点P(a,c)在第二象限，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况为( )
A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根
C. 没有实数根D. 无法判断
8.如图，如果∠BAD=∠CAE，那么添加下列一个条件后，仍不能确定△ABC∽△ADE的是( )
A. ∠B=∠DB. ∠C=∠AEDC. ABAD=BCDED. ABAD=ACAE
9.如图，在坡度i=1：2的斜坡上要栽两棵树，要求它们之间的株距(相邻两棵树间的水平距离)为6m，则这两棵树之间的坡面距离为( )
A. 1m
B. 9m
C. 2 10m
D. 3 5m
10.如图，AB是⊙O的直径，若AC=2，∠D=60°，则⊙O的半径等于( )
A. 4
B. 5
C. 2
D. 2 3
11.如图，反比例函数y=−2x(x>0)的图象上有一点P，PA⊥x轴于点A，点B在y轴上，则△PAB的面积为( )
A. 1
B. 2
C. 4
D. 8
12.若关于x的方程(k+2)x2+3x+k2=0的两根互为倒数，则k=( )
A. 3B. 1C. −1D. ±1
13.如图，AB是⊙O直径，弦CD⊥AB，垂足为E，若AB=10，OE：EB=3：2，则CD等于( )
A. 6
B. 7
C. 8
D. 9
14.对于反比例函数y=6x，下列结论：①图象分布在第二、四象限；②y随x的增大而减小；③图象经过点(2,3)；④若点A(x1,y1)，B(x2,y2)都在图象上，且x1A. ①③④B. ②③④C. ①②④D. ①②③④
15.如图，∠α的顶点位于正方形网格的格点上，若tanα=23，则满足条件的∠α是( )
A. B.
C. D.
16.如图，AB是⊙O的弦，AB=4，C是⊙O上的一个动点，且∠ACB=45°.若M，N分别是AB，AC的中点，则MN长的最大值是( )
A. 2
B. 4
C. 2 2
D. 4 2
二、填空题：本题共3小题，共10分。
17.若sin(x−15°)= 32，则锐角x= ______．
18.一组数据的方差可以用式子s2=1n[(2−x−)2+3(3−x−)2+(5−x−)2+2(6−x−)2+2(8−x−)2]表示，则n= ______；这组数据的平均数是______．
19.函数y=4x和y=1x在第一象限内的图象如图，点P是y=4x的图象上一动点，PC⊥x轴于点C，交y=1x的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交y=1x的图象于点B.则：
(1)四边形PAOB的面积______发生变化；(选填“会”或“不会”)
(2)CACP= ______．
三、解答题：本题共7小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题9分)
(1)我们发现，利用配方法解一元二次方程的步骤是相同的，因此，用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，可以得到一元二次方程的求根公式．一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当b2−4ac≥0时，它的求根公式是x=______，用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法．
(2)小明在用公式法解方程x2−5x=1时出现了错误，解答过如下：
∵a=1，b=−5，c=1，(第一步)
∴b2−4ac=(−5)2−4×1×1=21.(第二步)
∴x=5± 212.(第三步)
∴x1=5+ 212，x2=5− 212.(第四步)
小明解答过程是从第______步开始出错的，其错误原因是______．
(3)请你写出此题正确的解答过程．
21.(本小题9分)
随着社会经济的飞速发展，网购已成为现代社会人的基本技能，而快递渐渐成为人们日常生活中一项必不可少的生活工具.王林想从甲、乙两家快递公司中选一家做快递员，为了解这两家公司快递员的收入情况，王林从两家公司各抽取10名快递员的月收入进行了抽样调查，利用收集的数据绘制成如图所示统计图：

根据以上统计图，对数据进行分析如表：
(1)直接写出表格中a，b的值：a= ______，b= ______；
(2)计算表格中c的值；
(3)根据表格，通过对反映数据集中趋势的统计量进行分析，王林选哪家快递公司做快递员收入会较高？说明理由．
22.(本小题9分)
如图，某小区A栋楼在B栋楼的南侧，两楼高度均为82m，楼间距为MN，春分日正午，太阳光线与水平面所成的角为60°，A栋楼在B栋楼墙面上的影高为DM；冬至日正午，太阳光线与水平面所成的角为45°，A栋楼在B栋楼墙面上的影高为CM，已知CD=32m.(结果保留一位小数)
(1)求楼间距MN；
(2)李阳家住B栋3楼，点M处为地面1楼，楼房层高3.2米，问李阳家能否照到春分日正午的太阳？并说明理由.(参考数据 2≈1.41， 3≈1.73)
23.(本小题10分)
如图，矩形ABCD中，AB=16，BC=8，点P为AB边上一动点，DP交AC于点Q．
(1)求证：△APQ∽△CDQ；
(2)当PD⊥AC时，求DQ的长．
24.(本小题10分)
如图1，一次函数y=12x+1的图象与反比例函数y=kx(x>0)的图象交于点A(a,3)，与y轴交于点B．

(1)求a，k的值．
(2)如图2，直线CD过点A，与反比例函数图象交于点C，与x轴交于点D，AC=AD．
①连接OA，OC，求△OAC的面积．
②利用图象信息，直接写出不等式12x+1−kx≥0的解集．
25.(本小题12分)
如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接AC，BC，BD，F为AC中点，且OF=1．
(1)求BD的长；
(2)当∠D=30°时，
①CD= ______；
②求阴影部分的周长和面积．
26.(本小题13分)
如图所示，△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm.点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动.P，Q分别从A，B同时出发．
(1)经过几秒，P、Q间的距离等于6cm？
(2)线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能，说明理由．
(3)几秒时，△PBQ与△ABC相似？
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A.原方程化简得3x2−12x=0，是一元二次方程，故此选项正确；
B. 含有两个未知数，故此选项错误；
C. 不是整式方程，故此选项错误；
D. 未知数的最高次数为3，故此选项错误．
故选A．
根据一元二次方程的概念对选项进行逐个判断即可．
本题主要考查一元二次方程的概念．
2.【答案】A
【解析】解：∵AE：EC=3：2，
∴AE：AC=3：5，
∵DE/​/BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴DEBC=AEAC=35，
∴DE=35BC=6；
故选：A．
根据DE/​/BC，得到△ADE∽△ABC，列出比例式求解即可．
本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是证明△ADE∽△ABC．
3.【答案】B
【解析】解：如图：
∵tanA=BCAC=12，BC=8，
∴AC=BC÷12=16，
故选：B．
根据正切=对边邻边，即可求解．
本题考查根据角度的正切值求线段长度，熟记正切的定义是解题关键．
4.【答案】D
【解析】解：∠A=12∠BOC=12×50°=25°．
故选：D．
直接利用圆周角定理求解．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
5.【答案】C
【解析】解：∵点A(a,b)在反比例函数y=2x的图象上，
∴b=2a
∴ab=2，
故选：C．
把点A(a,b)代入反比例函数y=2x，即可求出ab的值．
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：按从小到大排列如下：3，3，3，4，4，5，6，
第四个数为4，
去掉一个数x后，这列数的中位数仍不变，
则中位数是4不变
则去掉的数可以前三个数，
则x的值可能为3；
故选：A．
把这列数按从小到大排列，第四个、第五个数均为4，要使中位数不变，增加一个数后，数据由7个变为8个，则增加的数可以是4或大于4的数，从而可确定答案．
本题考查了中位数，熟悉中位数的定义是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：∵点P(a,c)在第二象限，
∴a<0，c>0，
∴ac<0，
∴方程ax2+bx+c=0根的判别式Δ=b2−4ac>0，
∴方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根．
故选：B．
先利用第二象限点的坐标特征得到ac<0，则判断Δ>0，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．
8.【答案】C
【解析】解：∵∠BAD=∠CAE，
∴∠DAE=∠BAC，
∴A，B，D都可判定△ABC∽△ADE
选项C中不是夹这两个角的边，所以不相似，
故选：C．
根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案．
此题考查了相似三角形的判定：
①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；
②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；
③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．
9.【答案】D
【解析】解：∵i=1：2，
∴BCAC=12，
∵AC=6m，
∴BC=3m，
∴AB= AC2+BC2= 62+32=3 5(m)，
故选：D．
根据i=1：2，得出BC=3m，再利用勾股定理，即可求出坡面距离．
本题考查了解直角三角形的应用−坡度坡角问题，以及勾股定理．掌握坡面的铅垂高度和水平距离的比叫做坡面的坡度(或坡比)．
10.【答案】C
【解析】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠D=60°，
∴∠A=∠D=60°，
在Rt△ABC中，AC=2，
∴AB=2AC=4，
则⊙O的半径等于2，
故选：C．
根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB=90°，再利用同弧所对的圆周角相等可得∠A=∠D=60°，然后在Rt△ABC中，利用直角三角形的性质进行计算即可解答．
本题考查了圆周角定理，直角三角形性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
11.【答案】A
【解析】解：设P(x,y)，
∵点P在反比例函数y=−2x的图象上，
∴xy=−2．
∵PA⊥x轴，
∴S△PAB=12|xy|=12×2=1．
故选：A．
设P(x,y)，则|xy|=2，再由三角形的面积公式即可得出结论．
本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|是解题的关键．
12.【答案】C
【解析】解：设x1，x2是方程(k+2)x2+3x+k2=0的两根，
∴x1x2=k2k+2，
∵两根互为倒数，
∴k2k+2=1，
解得k=−1或2；
∵方程有两个实数根，Δ≥0，
∴当k=2时，Δ=32−4×4×4<0，舍去，
故k的值为−1．
故选：C．
根据已知和根与系数的关系x1x2=ca得出k2k+2=1，求出k的值，再根据原方程有两个实数根，求出符合题意的k的值．
本题考查了根与系数的关系，x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)的两个实数根，则x1+x2=−ba,x1x2=ca．
13.【答案】C
【解析】解：连接OD，设OE=3x，BE=2x，
∴OA=OB=OD=5x，
∵AB=10，
∴10x=10，
∴x=1，
∴OE=3，
由勾股定理，得：DE= OD2−OE2= 52−32=4，
∴CD=2DE=8；
故选：C．
连接OD，根据题意求出OE，根据勾股定理、垂径定理即可求解．
本题主要考查了垂径定理和勾股定理，熟练掌握相应定理的应用是求解的关键．
14.【答案】C
【解析】解：由题意可得，
∵k=6>0，
∴图象分布在第一，三象限，在每个象限，y随x增大而减小，故①②④不正确；
当x=2时，y=62=3，故③正确．
故选：C．
根据反比例函数性质直接逐个判断即可得到答案．
本题考查反比例函数的性质，解题的关键是熟练掌握各项性质．
15.【答案】B
【解析】解：A.观察图形可得tanα=32，不符合题意；
B.观察图形可得tanα=23，符合题意；
C.观察图形可得tanα=12，不符合题意；
D.观察图形可得tanα=13，不符合题意．
故选：B．
根据正切的定义分别求出每个图形中的α的正切值可得答案．
本题考查解直角三角形知识，熟练掌握锐角三角函数的定义并能在解直角三角形中灵活应用是解题的关键．
16.【答案】C
【解析】解：∵点M、N分别是AB、AC的中点，
∴MN是△ABC的中位线，
∴MN=12BC，
∴当BC取最大值时，MN就取最大值，
当BC是直径时，BC最大，
即MN为半径时，MN最大，
连接OA，OB，
∵∠ACB=45°，
∴∠AOB=90°，
∵AB=4，
∴AB2=AO2+OB2，
∴OB=2 2，
∴MN=2 2时，MN的长度最大，
故选：C．
根据中位线定理得到MN的长最大时，BC最大，当BC最大时是直径，从而求得直径后就可以求得最大值．
本题考查了三角形的中位线定理、等腰直角三角形的性质及圆周角定理，解题的关键是了解当什么时候MN的值最大．
17.【答案】75°
【解析】解：由已知得：
sin(x−15°)= 32，
∴x−15°=60°，
解得：x=75°，
故答案为：75°．
根据特殊角的三角函数值，求出结果．
本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解答本题的关键．
18.【答案】9 449
【解析】解：由题意，得：n=1+3+1+2+2=9，
这组数据的平均数为19(2+3+3+3+5+6+6+8+8)=449；
故答案为：9，449．
根据方差是每个数据与所有数据的平均数之差的平方的和的平均数，进行作答即可．
本题考查方差的定义和求平均数，熟练掌握方差的定义和平均数的定义是解题的关键．
19.【答案】不会 14
【解析】解：(1)∵A、B是反比函数y=1x上的点，
∴S△OBD=S△OAC=12，
∵P是y=4x的图象上一动点，
∴S四边形PDOC=4，
∴S四边形PAOB=S四边形PDOC−S△ODB−S△OAC=4−12−12=3，
故答案为：不会；
(2)连接OP，
∴S△POCS△OAC=12S四边形PDOCS△OAC=212=4=PCAC，
∴CACP=14，
故答案为：14．
由于A、B是反比函数y=1x上的点，可得出S△OBD=S△OAC=12，根据反比例函数系数k的几何意义可求出四边形PAOB的面积；连接PO，根据底面相同的三角形面积的比等于高的比即可得出结论．
本题考查的是反比例函数图象，动点问题函数图象，反比例函数性质，熟知反比例函数中系数k的几何意义是解答此题的关键．
20.【答案】−b± b2−4ac2a 一 方程没有化成一般式
【解析】解：(1)一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当b2−4ac≥0时，它的根是：x=−b± b2−4ac2a.用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法．
故答案为：−b± b2−4ac2a；
(2)小明解答过程是从第一步开始出错的，其错误原因是方程没有化成一般式．
故答案为：一，方程没有化成一般式；
(3)方程化为x2−5x−1=0，
∵a=1，b=−5，c=−1，
∴b2−4ac=(−5)2−4×1×(−1)=29．
∴x=5± 292．
∴x1=5+ 292，x2=5− 292．
(1)利用求根公式解方程的方法称为公式法；
(2)根据一元二次方程的解法步骤即可求出答案；
(3)根据一元二次方程的解法即可求出答案．
本题考查公式法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握应用公式法的条件和要求．
21.【答案】5.9 5
【解析】解：(1)a=4×20%+5×10%+6×40%+7×20%+8×10%=5.9，
乙公司的中位数b=4+62=5(千元)，
故答案为：5.9，5；
(2)c=110×[5×(4−6)2+2×(6−6)2+2×(8−6)2+(12−6)2]=6.4；
(3)选甲公司，
理由如下：
因为甲、乙两家快递公司平均数相差不大，但是甲公司的中位数、众数都大于乙公司，且甲公司的方差小，更稳定，所以王林选甲公司做快递员收入会较高．
(1)根据平均数、中位数的定义进行解答即可；
(2)根据方差公式即可得出答案；
(3)根据平均数、中位数、众数和方差的意义进行选择即可．
本题考查了平均数、众数、中位数、方差，一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为x−，则方差S2=1n[(x1−x−)2+(x2−x−)2+…+(xn−x−)2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立，关键是能根据平均数、众数、中位数、方差的意义对本题进行分析．
22.【答案】解：(1)如图，连接PQ，则PQ⊥QM，则：四边形PQMN为矩形，

∴PQ=MN，
由题意得，∠PCQ=90°−45°=45°，∠PDQ=90°−60°=30°．
∴CQ=PQ，DQ= 3PQ，
又∵CD=DQ−CQ=32m，
∴ 3PQ−PQ=32m，
解得PQ=16 3+16≈43.7(m)，
∴MN=PQ=43.7m，
(2)李阳家能照到春分日正午的太阳．理由如下：
由(1)得，DQ= 3PQ=(48+16 3)m，
∴DM=QM−DQ=82−(48+16 3)≈6.3(m)，
李阳家距地面的距离为：3.2×2=6.4(m)，
∵6.4m>6.3m，
∴李阳家能照到春分日正午的太阳．
【解析】(1)连接PQ，易得CQ=PQ，DQ= 3PQ，根据CD=32=DQ−CQ，进行求解即可；
(2)求出DM的长，再求出李阳家离地面的高度，进行比较即可．
本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形．
23.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD/​/AB，
∴∠PAQ=∠DCQ，∠QPA=∠QDC，
∴△APQ∽△CDQ；
(2)解：∵DP⊥AC，
∴∠AQD=90°，
在Rt△ADC中，AD=BC=8，CD=AB=16，
∴AC=8 5，
∴AD⋅DC=AC⋅DQ，
即8×16=8 5DQ，
∴DQ=16 55．
【解析】(1)根据矩形的性质，可得出CD/​/AB，从而得出C，利用两角对应相等的三角形相似得出结论；
(2)由PD⊥AC，得∠AQD=90°，得出AC=8 5，由等面积法得出DQ的长．
本题考查了相似三角形的判定和性质以及矩形的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
24.【答案】解：(1)将(a,3)代入y=12x+1，得3+12a+1，
∴a=4，
将(4,3)代入y=kx，
∴k=12．
(2)①∵AC=AD，A(4,3)，设C(m,n)，D(z,0)，
由中点公式知：n+02=3，m+z2=4，
∴解得n=6，
将n=6代入y=12x，得6=12m，
∴m=2，
将m=2代入m+z2=4，得2+z2=4，
∴z=6，
∴△OAC的面积=6×6÷2−6×3÷2=9；
②根据图象信息可知：x≥4．
【解析】(1)将点A的坐标代入y=x+1求得a，再把点A坐标代入y=kx求出k；
(2)①设C(m,n)，D(z,0)，利用中点坐标公式求出m，n，z的坐标，进而求得△OAC的面积；
②根据图象信息可知：2≤x≤4．
本题考查了一次函数与反比例函数的综合，等腰三角形的定义，中点坐标公式，数形结合是本题的解题关键．
25.【答案】2 3
【解析】解：(1)∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵F为AC中点，O为AB中点，
∴OF/​/BC且OF=12BC，
∵OF=1，
∴BC=2OF=2，
∵弦CD⊥AB于点E，
∴BC=BD，
∴BD=BC=2；
(2)①∵弦CD⊥AB于点E，
∴BE⊥CD，CD=2DE，
∵∠D=30°，BD=2，
∴BE=1，DE= BD2−BE2= 3，
∴CD=2 3．
故答案为：2 3；
②连接OC，
∵∠CAB=∠D=30°，OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=30°，
∴∠AOC=120°．
在Rt△ABC，
∵∠ACB=90°，BC=2，∠CAB=30°，
∴AB=2BC=4，AC= 3BC=2 3，
∴AC的长=120⋅π⋅2180=4π3，
阴影部分的周长=4π3+2 3，
阴影部分的面积=120⋅π⋅2360−12×2 3×1=4π3− 3．
(1)由题意可得OF/​/BC且OF=12BC，结合“垂径定理”可得BC=BD，BD=BC，据此即可求解；
(2)①由“垂径定理”可得BE⊥CD，CD=2DE，解直角三角形BDE即可求解；②连接OC，在Rt△ABC求出线段AC的长度即可．
本题以圆为几何背景，考查了中位线定理、垂径定理、勾股定理等知识点．熟记定理内容是解题关键．
26.【答案】解：(1)设经过x秒，PQ=6cm，依题意有(6−x)2+(2x)2=36，
解得x1=0(舍去)，x2=2.4，
故经过24秒，PQ=6cm；
(2)线段PQ能将△ABC分成面积相等的两部分；理由如下：
设经过y秒，线段PQ能将△ABC分成面积相等的两部分，
依题意有△ABC的面积=12×6×8=24cm2，
根据题意得12(6−y)⋅2y=12，
y2−6y+12=0，
∵Δ=b2−4ac=36−4×12=−12<0，
∴此方程无实数根，
∴线段PQ不能将△ABC分成面积相等的两部分；
(3)设经过t秒时，△PBQ与△ABC相似，
①△PBQ∽△ABC时，
∴BPBA=BQBC，
∴6−t6=2t8，
∴t=2.4，
②当△PBQ∽△CBA时，
∴BPBC=BQBA，
∴6−t8=2t6，
∴t=1811，
综上所述，1811秒或2.4秒时，△PBQ与△ABC相似．
【解析】(1)设经过x秒，点P和点Q间的距离是6cm，列出方程求解即可；
(2)设经过y秒，线段PQ能将△ABC分成面积相等的两部分，根据面积之间的等量关系和判别式即可求解；
(3)设经过t秒时，△PBQ与△ABC相似，分①△PBQ∽△ABC时，②当△PBQ∽△CBA时，两种情况进行讨论即可求解．
本题考查了一元二次方程的应用以及相似三角形的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解，注意分类思想的运用．平均月收入/千元
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众数/千元
方差
甲公司
a
6
6
1
乙公司
6
b
4
c