专题7.11 平面图形的认识（二）八类必考压轴题-2022-2023学年七年级数学下册举一反三系列（苏科版）

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必考点1
平行线中求角度的综合
1．已知，AB∥CD，F、G分别为直线AB、CD上的点，E为平面内任意一点，连接EF、EG．
(1)如图（1），请直接写出∠AFE、∠CGE与∠FEG之间的数量关系．
(2)如图（2），过点E作EM⊥EF、EH⊥EG交直线AB上的点M、H，点N在EH上，过N作PQ∥EF，求证：∠HNQ=∠MEG．
(3)如图（3），在（2）的条件下，若∠ENQ=∠EMF，∠EGD=110°，求∠CQP的度数．
2．已知直线AB∥CD，点P，Q分别在直线AB，CD上．
(1)如图①，当点E在直线AB，CD之间时，连接PE，QE．探究∠PEQ与∠BPE+∠DQE之间的数量关系，并说明理由；
(2)如图②，在①的条件下，PF平分∠BPE，QF平分∠DQE，交点为F．求∠PFQ与∠BPE+∠DQE之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图③，当点E在直线AB，CD的下方时，连接PE，QE．PF平分∠BPE，QH平分∠CQE，QH的反向延长线交PF于点F．若∠E=40°时，求∠F的度数．
3．已知：AB∥CD，E、G是AB上的点，F、H是CD上的点，∠EGH=∠EFH．
(1)如图1，求证：EF∥GH；
(2)如图2，EN为∠BEF的角平分线，交GH于点P，连接FN，求证：∠N=∠HPN−∠NFH；
(3)如图3，在（2）的条件下，过点F作FM⊥GH于点M，作∠AGH的角平分线交CD于点Q，若FN平分∠DFM，且∠GQH比∠N的13多3°，求∠AEF的度数．
4．已知：直线AB∥CD，点M、N分别在直线AB、直线CD上，点E为平面内一点，

(1)如图1，请写出∠AME、∠E、∠ENC之间的数量关系，并给出证明；
(2)如图2，利用（1）的结论解决问题，若∠AME=30°，EF平分∠MEN，NP平分∠ENC，EQ∥NP，求∠FEQ的度数；
(3)如图3，点G为CD上一点，∠AMN=m∠EMN，∠GEK=m∠GEM， EH∥MN交AB于点H，请写出∠GEK，∠BMN，∠GEH之间的数量关系（用含m的式子表示），并给出证明．
5．已知：直线AB∥CD，点M，N分别在直线AB，CD上，点P是平面内一个动点，且满足∠MPN=90°．过点N作射线NQ，使得∠PNQ=∠PNC．
(1)如图1所示，当射线NQ与NM重合，∠QND=50°时，则∠AMP= ；
(2)如图2所示，当射线NQ与NM不重合，∠QND=α°时，求∠AMP的度数；（用含α的代数式表示）
(3)在点P运动的过程中，请直接写出∠QND与∠AMP之间的数量关系．
6．如图，AB∥CD，点P为AB上方一点，E在直线AB上．
(1)如图1，求证：∠P=∠PEB-∠C；
(2)如图2，点F为直线CD上一点，∠PEB、∠CFP的角平分线所在直线交于点Q，求∠P与∠Q的数量关系；
(3)如图3，N为AB、CD之间一点，且在∠CPE内部，∠EPN=n∠CPN、∠DCN=n∠PCN，当2∠CNP-∠PEA=180°恒成立时，n= ．
7．如图：
(1)如图1，已知MN∥PQ，B在MN上，D在PQ上，点E在两平行线之间，求证：∠BED＝∠PDE+∠MBE；
(2)如图2，已知MN∥PQ，B在MN上，C在PQ上，A在B的左侧，D在C的右侧，DE平分∠ADC，BE平分∠ABC，直线DE、BE交于点E，∠CBN＝110°.
①若∠ADQ＝130°，求∠BED的度数；
②将线段AD沿DC方向平移，使得点D在点C的左侧，其他条件不变，如图3所示.若∠ADQ＝n°，则∠BED的度数是 度（用关于n的代数式表示）.
必考点2
平行线中的辅助线构造
1．先阅读再解答：
(1)如图1，AB∥CD，试说明：∠B+∠D=∠BED；
(2)已知：如图2，AB∥CD，求证：∠B+∠BED=360°；
(3)已知：如图3，AB∥CD，∠ABF=∠DCE．求证：∠BFE=∠FEC．
2．综合与实践
(1)问题情境：图1中，AB∥CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度数．
小明的思路是：过P作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC．按小明的思路，易求得∠APC的度数为______；（直接写出答案）
(2)问题迁移：图2中，直线AB∥CD，P为平面内一点，连接PA、PD．若∠A=50°，∠D=150°，试求∠APD的度数；
(3)问题拓展：图3中，直线AB∥CD，则∠PAB、∠CDP、∠APD之间的数量关系为______．
3．如图1，小明和小亮在研究一个数学问题：
(1)已知：AB∥CD，AB和CD都不经过点P，探索∠P与∠A，∠C的数量关系．
小明是这样证明的：请填写理由
证明：过点P作PQ∥AB
∴∠APQ=∠A（ ）
∵PQ∥AB，AB∥CD．
∴PQ∥CD（ ）
∴∠CPQ=∠C（ ）
∴∠APQ+∠CPQ=∠A+∠C
即∠APC=∠A+∠C
(2)在图2中，AB∥CD，若∠A=120°，∠C=140°，则∠APC的度数为 ；
(3)在图3中，AB∥CD，若∠A=40°，∠C=70°，则∠APC的度数为 ；
(4)在图4中，AB∥CD，探索∠P与∠C，∠PAB的数量关系，并说明理由．
4．直线AB∥CE，BE—EC是一条折线段，BP平分∠ABE．
(1)如图1，若BP∥CE，求证：∠BEC+∠DCE=180°；
(2)CQ平分∠DCE，直线BP，CQ交于点F．
①如图2，写出∠BEC和∠BFC的数量关系，并证明；
②当点E在直线AB，CD之间时，若∠BEC=40°，直接写出∠BFC的大小．
5．课题学习：平行线的“等角转化”功能．
(1)阅读理解：如图1，已知点A是BC外一点，连接AB、AC，求∠B+∠BAC+∠C的度数．阅读并补充下面推理过程．
解：过点A作ED∥BC，
∴ ∠B= ，∠C ，
∵ ∠EAB+∠BAC+∠DAC=180°，
∴ ∠B+∠BAC+∠C=180°．
解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC、∠B、∠C“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
(2)方法运用：如图2，已知AB∥ED，求∠B+∠BCD+∠D的度数；
(3)深化拓展：已知AB∥CD，点C在点D的右侧，∠ADC=50°，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE，DE所在的直线交于点E，点E在直线AB与CD之间．
①如图3，点B在点A的左侧，若∠ABC=36°，求∠BED的度数．
②如图4，点B在点A的右侧，且AB必考点3
平行线中利用方程思想求角度
1．（1）如图1，点E、F分别在直线AB、CD上，点P为平面内AB、CD间一点，若∠EPF=∠PEB+∠PFD，证明：AB∥CD；
（2）如图2，AB∥CD，点E在直线AB上，点F、G分别在直线CD上，GP平分∠EGF，∠PEG=∠PFG，请探究∠EPF、∠PEG、∠DGE之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，AB∥CD，∠EPF=120°，∠PEG=n∠BEG，∠PFK=n∠CFK．直线MN交FK、EG分别于点M、N，若∠FMN−∠ENM=25°，求n的值．
2．已知AB∥CD，点M、N分别是AB、CD上两点，点G在AB、CD之间，连接MG、NG．
(1)如图1，若GM⊥GN，求∠AMG+∠CNG的度数．
(2)如图2，若点P是CD下方一点，MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，已知∠BMG=30°，求∠MGN+∠MPN的度数．
(3)如图3，若点E是AB上方一点，连接EM、EN，且GM的延长线MF平分∠AME，NE平分∠CNG，2∠MEN+∠MGN=120°，求∠AME的度数．
3．如图，直线AB、CD被EF所截，直线EF分别交AB、CD于G、H两点，∠AGE=∠FHD．

(1)如图1，求证：AB∥CD；
(2)如图2，HQ、GN分别为夹在AB、CD中的两条直线，∠AGN=∠QHD，求证：GN∥QH；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接HN，M为AB上一点，连接MN，V为AB上一点，连接VN，∠GNV=36°，NP平分∠VNM交AB于点K，∠HNK=2∠GNK，VP∥MN，∠NHD=∠VNK+6°，∠QHN=2∠KVN，求∠VPN的度数．
4．问题探究：
如图①，已知AB∥CD，我们发现∠E＝∠B+∠D．我们怎么证明这个结论呢？
张山同学：如图②，过点E作EF∥AB，把∠BED分成∠BEF与∠DEF的和，然后分别证明∠BEF＝∠B，∠DEF＝∠D．
李思同学：如图③，过点B作BF∥DE，则∠E＝∠EBF，再证明∠ABF＝∠D．
问题解答：
(1)请按张山同学的思路，写出证明过程；
(2)请按李思同学的思路，写出证明过程；
问题迁移：
(3)如图④，已知AB∥CD，EF平分∠AEC，FD平分∠EDC．若∠CED＝3∠F，求∠F的度数．
5．如图，已知AB∥CD，点E在直线AB，CD之间．
(1)求证：∠AEC=∠BAE+∠ECD；
(2)若AH平分∠BAE，将线段CE沿CD平移至FG．
①如图2，若∠AEC=90°，HF平分∠DFG，求∠AHF的度数；
②如图3，若HF平分∠CFG，请直接写出∠AHF与∠AEC的数量关系．
6．已知：AB∥CD，点P、Q分别在AB、CD上，在两直线间取一点E．
(1)如图1，求证：∠E=∠APE+∠CQE；
(2)将线段EQ沿DC平移至FG，∠CGF的平分线和∠APE的平分线交于直线AB、CD内部一点H．
①如图2，若∠E=90°，求∠H的度数；
②如图3，若点I在直线AB、CD内部，且PI平分∠BPE，连接HI，若∠I−∠H=m°，∠E=n°，请直接写出m与n的数量关系，不必证明．
必考点4
平行线中利用分类讨论思想求角度
1．问题情境：如图 1，AB∥CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度数．小明的思路是：如图 2，过 P 作PE∥AB，通过平行线性质，可得∠APC=50°+60°=110°
问题迁移：
(1)如图 3，AD∥BC，点 P 在射线 OM 上运动，当点 P 在A、B两点之间运动时，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β，∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由
(2)在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时， 点 P 与 点A、B、O三点不重合，请你直接写出∠CPD、∠α,∠β 间的数量关系．
2．已知AB∥CD．
(1)如图1，若∠ABE=120°，∠BED=135°，则∠EDK=______．
(2)如图2，EF⊥BE于点E，∠HBE、∠KDE的角平分线交于点P，GE平分∠DEF，若∠P比∠GEF的5倍还多5°，求∠GEF的度数．
(3)如图3，在（1）的条件下，在同一平面内的点M、N满足：∠MBH=12∠MBE，∠NDK=12∠NDE，直线MB与直线ND交于点Q，直接写出∠BQD的大小______．
3．如图，已知直线AB∥射线CD，∠CEB=100°．P是射线EB上一动点，过点P作PQ∥EC交射线CD于点Q，连接CP．作∠PCF＝∠PCQ，交直线AB于点F，CG平分∠ECF．
(1)若点P，F，G都在点E的右侧．
①求∠PCG的度数；
②若∠EGC−∠ECG=40°，求∠CPQ的度数．
(2)在点P的运动过程中，是否存在这样的情形，使∠EGC∠EFC=32？若存在，求出∠CPQ的度数；若不存在，请说明理由．
4．如图1，AD∥BC，∠BAD的平分线交BC于点G，∠BCD=90°．
(1)试说明：∠BAG=∠BGA；
(2)如图2，点F在AG的反向延长线上，连接CF交AD于点E，若∠BAG−∠F=45°，求证：CF平分∠BCD；
(3)如图3，线段AG上有点P，满足∠ABP=3∠PBG，过点C作CH∥AG.若在直线AG上取一点M，使∠PBM=∠DCH，求∠ABM∠GBM的值．
必考点5
平行线中的动态问题
1．如图，已知两条直线AB，CD被直线EF所截，分别交于点E，点F，EM交CD于点M，AB∥CD，且∠FEM=∠FME．
(1)当∠AEF=70°时，∠FME=__________°．
(2)判断EM是否平分∠AEF，并说明理由．
(3)如图，点G是射线FD上一动点（不与点F重合），EH平分∠FEG交CD于点H，过点H作HN⊥EM于点N，设∠EGF=α．探究当点G在运动过程中，∠MHN−∠FEH和α之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．
2．如图1，一块直尺和一块含30°的直角三角板如图放置，其中直尺和直角三角板的斜边平行，我们可以抽象出如图2的数学模型：MN∥AB，∠BAC=60°，∠C=90°，MN分别交AC、BC于点E、F、∠BAC的角平分线AD交MN于点D，H为线段AB上一动点（不与A、B重合），连接FH交AD于点K．
(1)当∠BFH=12∠BFN时，求∠AKF．
(2)H在线段AB上任意移动时，求∠AKF，∠HAK，∠DFH之间的关系．
(3)在（1）的条件下，将△DKF绕着点F以每秒5°的速度逆时针旋转，旋转时间为t0≤t≤36，则在旋转过程中，当△DKF的其中一边与△CEF的某一边平行时，直接写出此时t的值．
3．“一带一路”让中国和世界联系更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视若灯A转动的速度是每秒2°，灯B转动的速度是每秒1°．假定主道路是平行的，即PQ∥MN，且∠BAM:∠BAN=2:1．
(1)填空：∠BAN=______°；
(2)若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？
(3)若两灯同时开始转动，两灯射出的光束交于点C，且∠ACB=120°，则在灯B射线到达BQ之前，转动的时间为______秒．
4．长江汛期即将来临，为了便于夜间查看江水及两岸河堤的情况，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯（如图1），假定这一带长江两岸河堤是平行的，即PQ∥MN，连结AB，且∠ABN=45°．灯A射线自AQ顺时针旋转至AP便立即回转，灯B射线自BM顺时针旋转至BN便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是1度/秒，灯B转动的速度是3度/秒．
(1)若两灯同时转动，在灯B射线第一次转到BN之前，两灯射出的光线交于点C．
①如图1，当两灯光线同时转动50秒时，求∠ABC的度数．
②如图2，过C作CD⊥BC交PQ于点D，则在转动过程中，求∠ABC与∠ACD的比值，并说明理由．
(2)若灯A射线先转动30秒，灯B射线才开始转动，在灯A射线第一次转到AP之前，B灯转动几秒，两灯的光线互相平行？
必考点6
构成三角形的条件
1．（2022秋·广东珠海·八年级珠海市斗门区实验中学校考期中）如图，已知P是△ABC内任一点， AB＝12，BC＝10，AC＝6，则 PA+PB+PC的值一定大于（ ）
A．14B．15C．16D．28
2．（2022秋·浙江杭州·八年级期末）设a,b,c表示一个三角形三边的长，且他们都是自然数，其中a≤b≤c，若b=2020，则满足此条件的三角形共有____个．
3．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·八年级校考期中）三角形的周长小于13，且各边长为互不相等的整数，则这样的三角形共有________个．
4．（2022秋·陕西西安·七年级西安益新中学校考期中）不能构成三角形的三条整数长度的线段的长度和的最小值为1+1+2=4；若四条整数长度的线段中，任意三条不能构成三角形，则该四条线段的长度和的最小值为1+1+2+3=7；……，依此规律，若八条整数长度的线段中，任意三条不能构成三角形，则该八条线段的长度和的最小值为________．
5．（2022秋·陕西西安·七年级西安益新中学校考期中）把一条长为18米的细绳围成一个三角形,其中两边长分别为x米和4米.
(1)求x的取值范围;
(2)若围成的三角形是等腰三角形,求x的值.
必考点7
三角形中线与面积关系探究
1．（2022秋·新疆吐鲁番·八年级统考期末）设△ABC的面积为a，如图①将边BC、AC分别2等份，BE1、AD1相交于点O，△AOB的面积记为S1；如图②将边BC、AC分别3等份，BE1、AD1相交于点O，△AOB的面积记为S2；……， 依此类推，若S5=311则a的值为（ ）
A．1B．2C．6D．3
2．（2022春·江苏无锡·七年级校联考期中）如图，在△ABC中，AB=5，AC=6，CD=4BD，点E是AC的中点，BE、AD交于点F，则四边形DCEF的面积的最大值是______．
3．（2022春·江苏无锡·七年级江苏省锡山高级中学实验学校校考期中）如图，点C为直线AB外一动点，AB=5，连接CA、CB，点D、E分别是AB、BC的中点，连接AE、CD交于点F，当四边形BEFD的面积为5时，线段AC的长度的最小值为___．
4．（2022春·江苏无锡·七年级无锡市侨谊实验中学校考期中）如图，在△ABC中，点D，点E分别是AC和AB上的点，且满足AE=2BE，CD=3AD，过点A的直线l平行BC，射线BD交CE于点O，交直线l于点F．若△CDF的面积为12，则四边形AEOD的面积为____________．
5．（2022春·山东青岛·七年级山东省青岛第二十六中学校考期中）如图，△ABC的面积为1．第一次操作：分别延长AB，BC，CA至点A1，B1，C1，使A1B＝AB，B1C＝BC，C1A＝CA，顺次连接A1，B1，C1，得到△A1B1C1．第二次操作：分别延长A1B1，B1C1，C1A1至点A2，B2，C2，使A2B1＝A1B1，B2C1＝B1C1，C2A1＝C1A1，顺次连接A2，B2，C2，得到△A2B2C2，…按此规律，要使得到的三角形的面积超过2021，最少经过多少次操作 ___________
6．（2022秋·陕西西安·七年级西安益新中学校考期中）探索：在图1至图3中，已知△ABC的面积为a，
(1)如图1，延长△ABC的边BC到点D，使CD=BC，连接DA.若△ACD的面积为S1，则S1=______.(用含a的代数式表示)
(2)如图2，延长△ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD=BC，AE=CA，连接DE.若△DEC的面积为S2，则S2=______.(用含a的代数式表示)
(3)在图2的基础上延长AB到点F，使BF=AB，连接FD，FE，得到△DEF（如图）若阴影部分的面积为S3，则S3=______.(用含a的代数式表示)
(4)发现：像上面那样，将△ABC各边均顺次延长一倍，连接所得端点，得到△DEF(如图3)，此时，我们称△ABC向外扩展了一次．可以发现，扩展一次后得到的△DEF的面积是原来△ABC面积的______倍．
(5)应用：要在一块足够大的空地上栽种花卉，工程人员进行了如下的图案设计：首先在△ABC的空地上种红花，然后将△ABC向外扩展三次(图4已给出了前两次扩展的图案).在第一次扩展区域内种黄花，第二次扩展区域内种紫花，第三次扩展区域内种蓝花．如果种红花的区域(即△ABC的面积是10平方米，请你运用上述结论求出：
①种紫花的区域的面积；
②种蓝花的区域的面积．
7．（2022春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨工业大学附属中学校校考期中）在一个三角形中，如果一个角是另一个角的2倍，这样的三角形我们称之为“智慧三角形”．如，三个内角分别为120°， 40°， 20°的三角形是“智慧三角形”．
(1)如图1，在△ABC中，∠B=∠C=45°，在BC上取一点D，连接AD，∠CAD=∠ADC．求证：△ABD是“智慧三角形”．
(2)如图2，在△ABC中，在AB、AC、BC上分别取点F、点E、点D，连接DE、DF，∠DEC=∠EDC，∠FDB=∠BFD，∠EDF=45°．求证：AB⊥AC．
(3)如图3，在（2）的条件下，△ABC的面积为25，BD=25BC，延长DE、BA交于点G，且E为DG的中点，连接BE、AD交于点I．求四边形EIDC的面积．
必考点8
多边形截角后的内角和或外角问题
1．（2022春·江苏扬州·七年级统考期中）从如图的五边形ABCDE纸片中减去一个三角形，剩余部分的多边形的内角和和是__________
2．（2022秋·江西南昌·八年级南昌二中校考期中）（1）如图1所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=_________∘；
（2）如果把图1称为二环三角形，它的内角和为∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F；图2称为二环四边形，它的内角和为∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H，则二环四边形的内角和为__________∘；二环五边形的内角和为__________∘；二环n边形的内角和为_________∘．
3．（2022春·江西南昌·七年级南昌市外国语学校校考期中）一个多边形纸片剪去一个内角后，得到一个内角和为2340°的新多边形，求原多边形的边数.
4．（2022秋·新疆吐鲁番·八年级统考期末）阅读下题及解题过程．
如图（1），我们知道四边形的内角和为4−2×180∘=360∘，现在将一张四边形的纸剪掉一个角后，剩余纸所有内角的和是多少？
如图（2），剩余纸为五边形，所以剩余纸所有内角的和为5−2×180∘=540∘．
上面的解答过程是否正确？若正确，说出你的判断根据；若不正确，请说明原因，并写出你认为正确的结论．
5．（2022春·四川遂宁·七年级统考期末）如图，将六边形纸片ABCDEF沿虚线剪去一个角（∠BCD）后，得到∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝470°．
(1)求六边形ABCDEF的内角和；
(2)求∠BGD的度数．
6．（2022秋·新疆吐鲁番·八年级统考期末）如图1，四边形MNBD为一张长方形纸片．
（1）如图2，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（∠BAE、∠AEC、∠ECD），则∠BAE+∠AEC+∠ECD=__________°．
（2）如图3，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（∠BAE、∠AEF、∠EFC、∠FCD），则∠BAE+∠AEF+∠EFC+∠FCD=__________°．
（3）如图4，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（∠BAE、∠AEF、∠EFG、∠FGC、∠GCD），则∠BAE+∠AEF+∠EFG+∠FGC+∠GCD=___________°．
（4）根据前面探索出的规律，将本题按照上述剪法剪n刀，剪出n+1个角，那么这n+1个角的和是____________°．