专题10.1 二元一次方程组及其解法【九大题型】-2022-2023学年七年级数学下册举一反三系列（苏科版）

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\l "_Tc13661" 【题型1 二元一次方程（组）的概念】 PAGEREF _Tc13661 \h 1
\l "_Tc23720" 【题型2 已知二元一次方程（组）的解求参数】 PAGEREF _Tc23720 \h 2
\l "_Tc15422" 【题型3 二元一次方程（组）的解的情况】 PAGEREF _Tc15422 \h 2
\l "_Tc8585" 【题型4 二元一次方程组的一般解法】 PAGEREF _Tc8585 \h 3
\l "_Tc6193" 【题型5 整体换元求解二元一次方程组的解】 PAGEREF _Tc6193 \h 3
\l "_Tc26766" 【题型6 构建二元一次方程组】 PAGEREF _Tc26766 \h 4
\l "_Tc8873" 【题型7 二元一次方程组与二元一次方程的综合求值】 PAGEREF _Tc8873 \h 5
\l "_Tc23089" 【题型8 根据两个二元一次方程组解的情况求值】 PAGEREF _Tc23089 \h 5
\l "_Tc3013" 【题型9 二元一次方程组的错解复原问题】 PAGEREF _Tc3013 \h 6
【知识点1 二元一次方程（组）的概念】
1、二元一次方程
含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。
2、二元一次方程组
含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。
【题型1 二元一次方程（组）的概念】
【例1】（2022·山东·胶州市第七中学八年级阶段练习）下列万程中，是二元一次方程组的是（ ）
①x−2y=3y+2z=7 ②1x+y=4y−2x=−1 ③3x−4−2x=1x−y=5 ④x2−y3=12x+3y=12
A．①②③B．②③C．③④D．①②
【变式1-1】（2022·黑龙江·哈尔滨市松雷中学校七年级阶段练习）关于x、y的方程（m﹣2）x+y|m﹣1|＝2是二元一次方程，则m的值为 _____．
【变式1-2】（2022·四川·仁寿县文宫镇古佛九年制学校七年级期中）下列方程：
①2x−y3=1；②x2+3y=3；③x2−y2=4；④5x+y=7x−y；⑤2x2=3；⑥x+1y=1，其中是二元一次方程的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【知识点2 二元一次方程（组）的解】
3、二元一次方程的解
适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。
4、二元一次方程组的解
二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。
5、二元一次方程组的解法
（1）代入（消元）法（2）加减（消元）法
【题型2 已知二元一次方程（组）的解求参数】
【例2】（2022·黑龙江·齐齐哈尔市第二十八中学七年级期中）关于x和y的二元一次方程，2x+3y＝20的正整数解有（ ）组．
A．1B．2C．3D．4
【变式2-1】（2022·新疆塔城·七年级期末）已知x=2ky=3k是二元一次方程2x+y=14的解，则k的值是（ ）
A．2B．-2C．3D．-3
【变式2-2】（2022·全国·七年级单元测试）已知方程a2x+by=-1的两组解是x=−2y=−1和x=4y=3，求（a+b）（a4﹣2a2b2+b2）的值．
【变式2-3】（2022·浙江杭州·七年级期中）在关于x，y的二元一次方程组x+2y=a−33x−y=2a的下列说法中，错误的是（）
A．当a=2时，方程的两根互为相反数B．当且仅当a=−5时解得x为y的2倍
C．x，y满足关系式x−5y=6D．不存在自然数a使得x，y均为正整数
【题型3 二元一次方程（组）的解的情况】
【例3】（2022·四川省珙县巡场中学校七年级期中）关于x，y的方程组2x−ay=64x+y=7的解是整数，则整数a的个数为（）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【变式3-1】（2022·浙江杭州·七年级期中）若二元一次方程组mx−3y=92x−y=1无解，则m为（ ）
A．9B．6C．−6D．−9
【变式3-2】（2022·全国·八年级单元测试）下列说法中正确的是（ ）
A．方程3x-4y=1可能无解
B．方程3x-4y=1有无数组解，即xy可以取任何数值
C．方程3x-4y=1只有两组解，两组解是x=1y=12,x=−1y=−1
D．x=3，y=2是方程3x-4y=1的一组解
【变式3-3】（2022·河南商丘·七年级阶段练习）二元一次方程2x+y=13的非负整数解有（ ）
A．5个B．6个C．7个D．无数个
【题型4 二元一次方程组的一般解法】
【例4】（2022·云南·普洱市宁洱县勐先镇初级中学七年级期中）解方程组:
(1)y=2x①3y+2x=8②
(2)2x+3y=12①x−2y=−1②
【变式4-1】（2022·甘肃·金昌市金川区宁远中学七年级期中）用适当的方法解下列方程组：
(1)x+y=202x+y=38
(2)x−y=33x−8y=14
(3)用代入法解3x+4y=9x−3y=−10
(4)用加减法解7x−2y=−408x−3y=−50
【变式4-2】（2022·湖南·郴州市五雅高级中学有限公司七年级阶段练习）解方程组
(1)y=2x3y+2x=8；
(2)x+3y=7x−3y=1；
(3)x−3y=−22x+y=3；
(4)m5−n2=22(m+n+5)−(−m+n)=23．
【变式4-3】（2022·河南商丘·七年级期末）解下列方程组：
(1)3x−y=55y−1=3x+10
(2)x+7y=2x+y2−x−y6=−1
【题型5 整体换元求解二元一次方程组的解】
【例5】（2022·全国·八年级课时练习）已知关于x、y的二元一次方程组ax+by=7bx+ay=9的解为x=2y=3，那么关于m、n的二元一次方程组a(m+n)+b(m−n)=7b(m+n)+a(m−n)=9的解为 _____．
【变式5-1】（2022·河北石家庄·七年级期中）甲、乙、丙在探讨问题“已知x，y满足x+2y=5，且3x+7y=5m−32x+3y=8求m的值．”的解题思路时，甲同学说：“可以先解关于x，y的方程组3x+7y=5m−32x+3y=8再求m的值．”乙、丙同学听了甲同学的说法后，都认为自己的解题思路比甲同学的简单，乙、丙同学的解题思路如下．
乙同学：先将方程组3x+7y=5m−32x+3y=8中的两个方程相加，再求m的值；
丙同学：先解方程组x+2y=52x+3y=8，再求m的值．
你最欣赏乙、丙哪位同学的解题思路？先根据你最欣赏的思路解答此题，再简要说明你选择这种思路的理由．
【变式5-2】（2022·重庆·巴川初级中学校七年级期中）已知关于x，y的方程组x−2y=8−k ，2x−y=4−5k的解满足x−y=10，则k的值为_____．
【变式5-3】（2022·全国·七年级课时练习）先阅读材料，然后解方程组．
材料：解方程组x-y-1=0①4（x-y）-y=5②.
由①，得x－y＝1.③
把③代入②，得4×1－y＝5，解得y＝－1.
把y＝－1代入③，得x＝0.
∴原方程组的解为x=0y=-1.
这种方法称为“整体代入法”．你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答，请用这种方法解方程组：2x-3y-2=0①2x-3y+57+2y=9②.
【题型6 构建二元一次方程组】
【例6】（2019·内蒙古呼伦贝尔·七年级期中）如果（x+y-5）2与│3y-2x+10│互为相反数，那么x、y的值为（ ）
A．x=3，y=2B．x=2，y=3C．x=0，y=5D．x=5，y=0
【变式6-1】（2022·吉林松原·七年级期中）已知y=kx+b，当x=2时，y=−3；当x=−1时，y=3．
（1）求k，b的值；
（2）当x取何值时，y的值为−4？
【变式6-2】（2022·浙江·兰溪市实验中学七年级阶段练习）对于实数a、b，定义关于“⊗”的一种运算：a⊗b=2a+b，例如1⊗3=2×1+3=5．
（1）求4⊗−3的值；
（2）若x⊗−y=−2，2y⊗x=−1，求x+y的值．
【变式6-3】（2022·山东聊城·七年级期中）已知a、b都是有理数，观察表中的运算，则m＝________．
【题型7 二元一次方程组与二元一次方程的综合求值】
【例7】（2022·广东揭阳·八年级期末）若关于x,y的二元一次方程组x+2y=5k+1x−y=2k−5的解满足x+y=7,则k的值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式7-1】（2022·全国·七年级课时练习）关于x,y的方程组2x−3y=11−4m3x+2y=21−5m的解也是二元一次方程x+3y+7m=20的解，则m的值是( )
A．2B．1C．0D．12
【变式7-2】（2022·湖南株洲·七年级期末）已知关于x、y的二元一次方程组2x+y=5m3x−2y=4m的解满足二元一次方程x3-y=4，求m的值．
【变式7-3】（2022·四川·天府四中七年级期中）已知方程组x+ay=22x+3y=7的解是二元一次方程x−y=1的一个解，则a=________________．
【题型8 根据两个二元一次方程组解的情况求值】
【例8】（2022·浙江·宁波市镇海蛟川书院七年级期中）关于x、y的方程组3x−y=54ax+5by=−26与2x+3y=−4ax−by=8有相同的解，则a+b=______．
【变式8-1】（2019·四川成都·中考模拟）数学学霸甲、乙两人在一次解方程组比赛中，甲求关于x、y的方程组3x−y=6ax−by=2的正确解与乙求关于x、y的方程组3x+y=6bx−ay=20的正确的解相同．则a2018+(−110b)2018的值为_____.
【变式8-2】（2022·福建省永春乌石中学七年级阶段练习）已知方程组3x+y=5ax−2y=4的解也是方程组3x−by=54x−5y=−6的解求a,b的值．
【变式8-3】（2022·山东潍坊·七年级期中）若关于x，y的二元一次方程组ax+by=mcx+dy=n与a+1x+b+2y=m+2c+3x+d+4y=n+5有相同的解，则这个解是_________．
【题型9 二元一次方程组的错解复原问题】
【例9】（2022·四川·射洪中学七年级阶段练习）小明和小文解一个二元一次方程组cx−3y=−2ax+by=2，小明正确解得x=1y=−1，小文抄错了c，解得x=2y=−6，已知小文抄错了c外没有发生其他错误，则a−b−c＝______．
【变式9-1】（2019·全国·八年级单元测试）甲、乙二人解同一个方程组3x+ay=13,①bx−3y=9.②甲因看错①中的a得解为x=6,y=7,乙因看错了②中的b解得x=1，y=5，求a，b的值.
【变式9-2】（2019·江苏徐州·七年级期末）甲、乙二人同时解一个方程组2x+ay=61bx−7y=162，甲解得x=13y=7 ，乙解得x=9y=4.甲仅因为看错了方程(1)中y的系数a，乙仅因为看错了方程(2)中x的系数b，求方程组正确的解.
【变式9-3】（2019·全国·八年级单元测试）小敏不小心将墨水溅在同桌小娟的作业本上，结果二元一次方程组3x+□y=11,□x+2y=−2中第一个方程y的系数和第二个方程x的系数看不到了，现在已知方程组的解是x=1,y=2,则原来的方程组为____________.
a、b的运算
a＋b
a－b
（a＋2b）3
运算的结果
5
9
m