2024九年级数学下册第26章二次函数综合评价试题新版华东师大版

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第26章综合评价(时间：120分钟　　满分：120分)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一、选择题(每小题3分，共30分)1．下列函数中，属于二次函数的是(C)A．y＝－2x B．y＝x2＋ eq \f(1,x2) C．y＝(x＋3)2－9 D．y＝ eq \f(1,x2) ＋12．抛物线y＝2(x－3)2＋4的顶点坐标是(A)A．(3，4) B．(－3，4) C．(3，－4) D．(2，4)3．将抛物线y＝x2－4先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的表达式为(B)A．y＝(x＋2)2＋2 B．y＝(x－2)2－2 C．y＝(x－2)2＋2 D．y＝(x＋2)2－24．关于二次函数y＝x2－6x＋8，下列说法错误的是(B)A．开口向上 B．对称轴为直线x＝－3C．有最小值－1 D．与y轴交点为(0，8)5．若函数y＝mx2＋(m＋2)x＋ eq \f(1,2) m＋1的图象与x轴只有一个交点，则m的值为(D)A．0 B．0或2 C．2或－2 D．0，2或－26．已知函数y＝kx2－kx＋m的图象如图所示，且当x＝a时，y＜0，则当x＝a－1时，函数值(　C　)A.y＝m B．y＜0 C．y＞m D．0＜y＜m eq \o(\s\up7(),\s\do5(第6题图)) 　 eq \o(\s\up7(),\s\do5(第8题图)) 　 eq \o(\s\up7(),\s\do5(第9题图)) 7．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax＋1与二次函数y＝x2＋a的图象可能是(C) eq \o(\s\up7(),\s\do5(A))   eq \o(\s\up7(),\s\do5(B))   eq \o(\s\up7(),\s\do5(C))   eq \o(\s\up7(),\s\do5(D))  8．如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，若∠OBC＝45°，则下列各式成立的是(B)A．b－c－1＝0 B．b＋c＋1＝0 C．b－c＋1＝0 D．b＋c－1＝09．如图，点A，B的坐标分别为(1，4)和(4，4)，抛物线y＝a(x－m)2＋n的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C，D两点(点C在点D的左侧)，点C的横坐标的最小值为－3，则点D的横坐标的最大值为(D)A．－3 B．1 C．5 D．810．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②b2＞4ac；③2c＜3b；④a＋b＞m(am＋b)；⑤方程|ax2＋bx＋c|＝m有两个相等的实数根．其中正确的结论有(B)A．①③⑤ B．②③④ C．①④⑤ D．②④⑤ eq \o(\s\up7(),\s\do5(第10题图)) 　 eq \o(\s\up7(),\s\do5(第14题图)) 　 eq \o(\s\up7(),\s\do5(第15题图)) 二、填空题(每小题3分，共24分)11．已知二次函数y＝(m＋1)xm2－3的图象开口向下，则m的值是__－ eq \r(5) __．12．若二次函数y＝－x2＋4x＋k的最大值为3，则k的值为__－1__．13．已知抛物线的顶点坐标是(0，1)，且经过(－3，2)，则此抛物线的表达式为__y＝ eq \f(1,9) x2＋1__．14．如图，已知二次函数y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)与一次函数y2＝kx＋m(k≠0)的图象相交于点A(－2，4)，B(8，2)，则当y1＞y2时，x的取值范围是__x＜－2或x＞8__．15．如图，已知在平面直角坐标系中，抛物线y＝ eq \f(1,2) x2经过平移后得到抛物线y＝ eq \f(1,2) x2－2x，其对称轴与两段抛物线弧所围成的阴影部分的面积为__4__．16．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴相交于点A，B(m＋2，0)，与y轴相交于点C，点D在该抛物线上，与点C关于对称轴对称，坐标为(m，c)，则点A的坐标是__(－2，0)__． eq \o(\s\up7(),\s\do5(第17题图)) 　  eq \o(\s\up7(),\s\do5(第18题图)) 17．如图，直线y＝n与二次函数y＝ eq \f(1,2) (x－2)2－1的图象交于点B，C，二次函数图象的顶点为A，当△ABC是等腰直角三角形时，n＝__1__．18．如图，正方形ABCO放置在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点B，C，点D在边AB上，连结OD，将△OAD沿着OD折叠，使点A落在此抛物线的顶点E处，若AB＝2，则a的值是__2－ eq \r(3) __.三、解答题(共66分)19．(8分)已知抛物线y＝a(x－h)2－4经过点(1，－3)，且与抛物线y＝x2的开口方向相同，形状也相同．(1)求a，h的值；(2)求它与x轴的交点，并画出这个二次函数图象的草图；(3)若点A(m，y1)，B(n，y2)(m＜n＜0)都在该抛物线上，试比较y1与y2的大小．解：(1)a＝1，h＝2或0(2)当抛物线y＝x2－4x时，它与x轴的交点坐标为(0，0)和(4，0)，图象略；当抛物线y＝x2－4时，它与x轴的交点坐标为(2，0)和(－2，0)，图象略(3)y1＞y220．(8分)如图，已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，顶点为D.(1)求这个二次函数的表达式；(2)求四边形ABDC的面积．解：(1)y＝－x2＋2x＋3(2)连结OD.可求得C(0，3)，D(1，4)，则S四边形ABDC＝S△AOC＋S△COD＋S△BOD＝ eq \f(1,2) ×1×3＋ eq \f(1,2) ×3×1＋ eq \f(1,2) ×3×4＝921．(8分)已知抛物线y＝ax2＋(3b＋1)x＋b－3(a＞0)，若存在实数m，使得点P(m，m)在该抛物线上，我们称点P(m，m)是这个抛物线上的一个“和谐点”．(1)当a＝2，b＝1时，求该抛物线的“和谐点”；(2)若对于任意实数b，抛物线上恒有两个不同的“和谐点”A，B，求实数a的取值范围．解：(1)当a＝2，b＝1时，m＝2m2＋4m＋1－3，解得m＝ eq \f(1,2) 或m＝－2，∴点P的坐标是( eq \f(1,2) ， eq \f(1,2) )或(－2，－2)(2)m＝am2＋(3b＋1)m＋b－3，Δ＝9b2－4ab＋12a.令y＝9b2－4ab＋12a，对于任意实数b，均有y＞0，也就是说抛物线y＝9b2－4ab＋12a的图象都在b轴(横轴)上方，∴Δ＝(－4a)2－4×9×12a＜0，∴0＜a＜27　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 eq \a\vs4\al(　— 87 —) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 eq \a\vs4\al(　— 88 —) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 eq \a\vs4\al(　— 89 —) (这是边文，请据需要手工删加)22．(8分)如图①是某河上一座古代拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水面的距离都是1 m，拱桥的跨度为 10 m，桥洞与水面的最大距离是5 m，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4 m的景观灯，若把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中(如图②)：(1)求该拱桥桥洞上沿所在抛物线的表达式；(2)求两盏景观灯之间的水平距离．解：(1)由题意设拱桥桥洞上沿所在抛物线的表达式为y＝a(x－5)2＋5，∵抛物线经过(10，1)，∴1＝(10－5)2a＋5，∴a＝－ eq \f(4,25) ，∴y＝－ eq \f(4,25) (x－5)2＋5(2)当y＝4时，－ eq \f(4,25) (x－5)2＋5＝4，∴x1＝7.5，x2＝2.5，∴两盏景观灯之间的水平距离为7.5－2.5＝5(m)23．(10分)在△ABC中，BC＝6，AC＝4 eq \r(2) ，∠C＝45°，在BC上有一动点P(点P不与点B，C重合)，过P作PD∥BA与AC相交于点D，连结AP，设BP＝x，△APD的面积为y.(1)求y与x之间的函数关系式，并指出自变量x的取值范围；(2)是否存在点P，使△APD的面积最大？若存在，求出BP的长，并求出△APD面积的最大值．解：(1)过点A作AE⊥BC于点E.在Rt△AEC中，AC＝4 eq \r(2) ，∠C＝45°，∴AE＝AC·sin45°＝4 eq \r(2) × eq \f(\r(2),2) ＝4.设△CDP中PC边上的高为h.∵PD∥BA，∴△DPC∽△ABC，∴ eq \f(h,AE) ＝ eq \f(PC,BC) ，即 eq \f(h,4) ＝ eq \f(6－x,6) ，∴h＝ eq \f(2,3) (6－x)(0＜x＜6)，∴y＝S△APC－S△CDP＝ eq \f(1,2) ·4(6－x)－ eq \f(1,2) (6－x)× eq \f(2,3) (6－x)＝12－2x－ eq \f(1,3) (6－x)2＝－ eq \f(1,3) x2＋2x(0＜x＜6)(2)存在．y＝－ eq \f(1,3) x2＋2x＝－ eq \f(1,3) (x－3)2＋3，∴当x＝3时，y有最大值3.即当BP＝3，P是BC的中点时，△APD的面积最大，最大值为324．(12分)某超市销售一种商品，成本价为30元/千克，经市场调查，每天销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)之间的关系如图所示，规定每千克售价不能低于30元，且不高于80元．(1)直接写出y与x之间的函数关系式；(2)如果该超市销售这种商品每天获得3 600元的利润，那么该商品的销售单价为多少？(3)当销售单价定为多少时，该超市每天的利润最大？最大利润是多少元？解：(1)设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b(k≠0)，将(30，150)，(80，100)分别代入，得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(30k＋b＝150，,80k＋b＝100，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－1，,b＝180，)) ∴y与x之间的函数关系式为y＝－x＋180(2)设每天获得的利润为w元，由题意得w＝(x－30)(－x＋180)＝－x2＋210x－5 400(30≤x≤80).令－x2＋210x－5 400＝3 600，解得x＝60或x＝150(舍)，∴如果该超市销售这种商品每天获得3 600元的利润，那么该商品的销售单价为60元/千克(3)由(2)知w＝－(x－105)2＋5 625.∵－1＜0，∴当x≤105时，w随x的增大而增大．∵30≤x≤80，∴当x＝80时，w最大，最大值为5 000.∴当销售单价定为80元/千克时，该超市每天的利润最大，最大利润是5 000元25．(12分)如图，抛物线y＝－ eq \f(1,2) x2＋bx＋c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点B的坐标为(6，0)，点C的坐标为(0，6)，点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连结BD.(1)求抛物线的表达式及点D的坐标；(2)若点F是抛物线上的一动点，当∠FBA＝∠BDE时，求点F的坐标；(3)若点M是抛物线上的一动点，过点M作MN∥x轴，与抛物线交于点N，点P在x轴上，点Q在坐标平面内，以线段MN为对角线作正方形MPNQ，请写出点Q的坐标．解：(1)y＝－ eq \f(1,2) x2＋2x＋6，D(2，8)(2)如图①，过点F作FG⊥x轴于点G.设F(m，－ eq \f(1,2) m2＋2m＋6)，则FG＝|－ eq \f(1,2) m2＋2m＋6|.∵B(6，0)，D(2，8)，∴BE＝4，DE＝8，BG＝6－m.∵∠FBA＝∠BDE，∠FGB＝∠BED＝90°，∴△FBG∽△BDE，∴ eq \f(FG,BG) ＝ eq \f(BE,DE) ，∴ eq \f(|－\f(1,2)m2＋2m＋6|,6－m) ＝ eq \f(1,2) .当点F在x轴上方时，有 eq \f(－\f(1,2)m2＋2m＋6,6－m) ＝ eq \f(1,2) ，解得m＝－1或m＝6(舍去)，此时F点的坐标为(－1， eq \f(7,2) )；当点F在x轴下方时，有 eq \f(－\f(1,2)m2＋2m＋6,6－m) ＝－ eq \f(1,2) ，解得m＝－3或m＝6(舍去)，此时F点的坐标为(－3，－ eq \f(9,2) ).综上可知，F点的坐标为(－1， eq \f(7,2) )或(－3，－ eq \f(9,2) )(3)设点M在点N的左侧，如图②，设对角线MN，PQ交于点O′.∵点M，N关于抛物线的对称轴直线x＝2对称，且四边形MPNQ为正方形，∴点P为直线x＝2与x轴的交点，点Q在直线x＝2上．设Q(2，2n)，则M(2－n，n).∵点M在抛物线上，∴－ eq \f(1,2) (n－2)2＋2(2－n)＋6＝n，解得n＝－1＋ eq \r(17) 或n＝－1－ eq \r(17) ，∴满足条件的点Q有两个，分别为(2，－2＋2 eq \r(17) )，(2，－2－2 eq \r(17) )