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备战2024年高考物理一轮重难点复习讲义 第05章+ 万有引力与宇宙航行【全攻略】
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这是一份备战2024年高考物理一轮重难点复习讲义 第05章+ 万有引力与宇宙航行【全攻略】，文件包含第五章万有引力与宇宙航行原卷版docx、第五章万有引力与宇宙航行解析版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共46页， 欢迎下载使用。
2、知道引力常数的数值、单位及其测量装置；
3、掌握万有引力定律并能应用；
4、理解三种宇宙速度及其区别。
一、开普勒定律
二、开普勒定律的理解
1．行星绕太阳运动的轨道通常按圆轨道处理．
2．由开普勒第二定律可得eq \f(1,2)Δl1r1＝eq \f(1,2)Δl2r2，eq \f(1,2)v1·Δt·r1＝eq \f(1,2)v2·Δt·r2，解得eq \f(v1,v2)＝eq \f(r2,r1)，即行星在两个位置的速度之比与到太阳的距离成反比，近日点速度最大，远日点速度最小．
3．开普勒第三定律eq \f(a3,T2)＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同，且该定律只能用在同一中心天体的两星体之间．
三、万有引力定律
1．内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的二次方成反比。
2．表达式：F＝Geq \f(m1m2,r2)，G是比例系数，叫作引力常量，G＝6.67×10－11 N·m2/kg2。
3．适用条件
(1)公式适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。
(2)质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离。
四、万有引力定律的理解及应用
1．地球表面的重力与万有引力
地面上的物体所受地球的吸引力产生两个效果，其中一个分力提供了物体绕地轴做圆周运动的向心力，另一个分力等于重力。
(1)在两极，向心力等于零，重力等于万有引力；
(2)除两极外，物体的重力都比万有引力小；
(3)在赤道处，物体的万有引力分解为两个分力，F向和mg，这两个分力刚好在一条直线上，则有F＝F向＋mg，所以mg＝F－F向＝eq \f(GMm,R2)－mRωeq \\al( 2,自)。
2．地球表面上的重力加速度
(1)设在地球表面附近的重力加速度为g(不考虑地球自转)，由mg＝Geq \f(Mm,R2)，得g＝Geq \f(M,R2)。
(2)设在地球上空距离地心r＝R＋h处的重力加速度为g′，由mg′＝eq \f(GMm,（R＋h）2)，得g′＝eq \f(GM,（R＋h）2)，所以eq \f(g,g′)＝eq \f(（R＋h）2,R2)。
3．万有引力的“两点理解”和“两个推论”
(1)两点理解
①两物体相互作用的万有引力是一对作用力和反作用力．
②地球上的物体(两极除外)受到的重力只是万有引力的一个分力．
(2)星体内部万有引力的两个推论
①推论1：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即∑F引＝0.
②推论2：在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体(M′)对它的万有引力，即F＝Geq \f(M′m,r2).
五、天体质量和密度的计算
1．利用天体表面重力加速度
已知天体表面的重力加速度g和天体半径R.
①由Geq \f(Mm,R2)＝mg，得天体质量M＝eq \f(gR2,G).
②天体密度ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(M,\f(4,3)πR3)＝eq \f(3g,4πGR).
2．利用运行天体(以已知周期为例)
测出卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r和周期T.
①由Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(4π2,T2)r，得M＝eq \f(4π2r3,GT2).
②若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(M,\f(4,3)πR3)＝eq \f(3πr3,GT2R3).
③若卫星绕天体表面运行，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝eq \f(3π,GT2)，故只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度．
六、人造卫星与宇宙航行
1．天体(卫星)运行问题分析
将天体或卫星的运动看成匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供．
2．物理量随轨道半径变化的规律
Geq \f(Mm,r2)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ma→a＝\f(GM,r2)→a∝\f(1,r2),m\f(v2,r)→v＝\r(\f(GM,r))→v∝\f(1,\r(r)),mω2r→ω＝\r(\f(GM,r3))→ω∝\f(1,\r(r3)),m\f(4π2,T2)r→T＝\r(\f(4π2r3,GM))→T∝\r(r3)))
即r越大，v、ω、a越小，T越大．(越高越慢)
3．人造卫星
卫星运行的轨道平面一定通过地心，一般分为赤道轨道、极地轨道和其他轨道，同步卫星的轨道是赤道轨道．
(1)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖．
(2)同步卫星
①轨道平面与赤道平面共面，且与地球自转的方向相同．
②周期与地球自转周期相等，T＝24 h.
③高度固定不变，h＝3.6×107 m.
④运行速率均为v＝3.1 km/s.
(3)近地卫星：轨道在地球表面附近的卫星，其轨道半径r＝R(地球半径)，运行速度等于第一宇宙速度v＝7.9 km/s(人造地球卫星的最大圆轨道运行速度)，T＝85 min(人造地球卫星的最小周期)．
注意：近地卫星可能为极地卫星，也可能为赤道卫星．
4．宇宙速度
(1)第一宇宙速度
①第一宇宙速度又叫环绕速度，其数值为7.9 km/s。
②第一宇宙速度是物体在地球附近绕地球做匀速圆周运动时的速度。
③第一宇宙速度是人造卫星的最小发射速度，也是人造卫星的最大环绕速度。
④第一宇宙速度的计算方法
由Geq \f(Mm,R2)＝meq \f(v2,R)得v＝eq \r(\f(GM,R))；
由mg＝meq \f(v2,R)得v＝eq \r(gR)．
(2)第二宇宙速度：使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度，其数值为11.2 km/s．
(3)第三宇宙速度：使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度，其数值为16.7 km/s．
5．第一宇宙速度的推导
方法一：由Geq \f(Mm,R2)＝meq \f(v12,R)，得v1＝eq \r(\f(GM,R))＝eq \r(\f(6.67×10－11×5.98×1024,6.4×106)) m/s≈7.9×103 m/s.
方法二：由mg＝meq \f(v12,R)得
v1＝eq \r(gR)＝eq \r(9.8×6.4×106) m/s≈7.9×103 m/s.
第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度，也是人造卫星的最大环绕速度，此时它的运行周期最短，Tmin＝2πeq \r(\f(R,g))＝2πeq \r(\f(6.4×106,9.8)) s≈5 075 s≈85 min.
6．宇宙速度与运动轨迹的关系
(1)v发＝7.9 km/s时，卫星绕地球表面做匀速圆周运动．
(2)7.9 km/s(3)11.2 km/s≤v发＜16.7 km/s，卫星绕太阳运动的轨迹为椭圆．
(4)v发≥16.7 km/s，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间．
七、卫星运行参量的分析
1．公式中r指轨道半径，是卫星到中心天体球心的距离，R通常指中心天体的半径，有r＝R＋h.
2．同一中心天体，各行星v、ω、a、T等物理量只与r有关；不同中心天体，各行星v、ω、a、T等物理量与中心天体质量M和r有关．
3．地球同步卫星的特点
4．卫星的各物理量随轨道半径变化的规律
八、卫星变轨问题
1．变轨原理（从低轨道到高轨道）
(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上，如图所示．
(2)在A点(近地点)点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供卫星在轨道Ⅰ上做圆周运动的向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ．
(3)在B点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ．
从高轨道到低轨道变轨，上述过程加速变减速．
2．变轨过程分析
(1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在轨道Ⅱ上过A点和B点时速率分别为vA、vB.在A点加速，则vA>v1，在B点加速，则v3>vB，又因v1>v3，故有vA>v1>v3>vB．
(2)加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点，卫星的加速度都相同，同理，卫星在轨道Ⅱ或轨道Ⅲ上经过B点的加速度也相同．
(3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、r2(半长轴)、r3，由开普勒第三定律eq \f(r3,T2)＝k可知T1(4)机械能：在一个确定的圆(椭圆)轨道上机械能守恒．若卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道的机械能分别为E1、E2、E3，从轨道Ⅰ到轨道Ⅱ，从轨道Ⅱ到轨道Ⅲ，都需要点火加速，则E1九、天体的“追及”问题
天体“相遇”指两天体相距最近，以地球和行星“相遇”为例(“行星冲日”)，某时刻行星与地球最近，此时行星、地球与太阳三者共线且行星和地球的运转方向相同(图甲)，根据eq \f(GMm,r2)＝mω2r可知，地球公转的速度较快，从初始时刻到之后“相遇”，地球与行星距离最小，三者再次共线，有两种方法可以解决问题：
1．角度关系
ω1t－ω2t＝n·2π(n＝1、2、3…)
2．圈数关系
eq \f(t,T1)－eq \f(t,T2)＝n(n＝1、2、3…)
解得t＝eq \f(nT1T2,T2－T1)(n＝1、2、3…)
同理，若两者相距最远(行星处在地球和太阳的延长线上)(图乙)，有关系式：ω1t－ω2t＝(2n－1)π(n＝1、2、3…)或eq \f(t,T1)－eq \f(t,T2)＝eq \f(2n－1,2)(n＝1、2、3…)
十、双星或多星模型
1．双星模型
(1)定义：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统．如图所示．
(2)特点
①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即eq \f(Gm1m2,L2)＝m1ω12r1，eq \f(Gm1m2,L2)＝m2ω22r2.
②两颗星的周期、角速度相同，即T1＝T2，ω1＝ω2.
③两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系为r1＋r2＝L.
④两颗星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即eq \f(m1,m2)＝eq \f(r2,r1).
⑤双星的运动周期T＝2π.
⑥双星的总质量m1＋m2＝eq \f(4π2L3,T2G).
2．多星模型
(1)定义：所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同．
(2)常见的三星模型
①三颗星体位于同一直线上，两颗质量相等的环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行(如图甲所示)．
②三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图乙所示)．
(3)常见的四星模型
①四颗质量相等的星体位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动(如图丙所示)．
②三颗质量相等的星体始终位于正三角形的三个顶点上，另一颗位于中心O，外围三颗星绕O做匀速圆周运动(如图丁所示)．
一、单选题
1．2023年4月2日在酒泉卫星发射中心成功发射“爱太空科学号”遥感卫星，它将为中国青少年科普教育提供海量宇宙影像素材。该卫星在距地面约高度的圆周轨道上运行，则该卫星（ ）
A．运行周期大于地球的自转周期
B．运行线速度小于地球赤道上的物体随地球自转的线速度
C．向心加速度小于地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度
D．在竖直向上的加速升空过程中，卫星内的实验器材均处于超重状态
2．我国的“北斗三号”卫星导航系统由24颗中圆地球轨道卫星、3颗地球静止轨道卫星和3颗倾斜地球同步轨道卫星组成。倾斜地球同步轨道指卫星在该轨道上运行的周期与地球自转的周期相同，但该轨道平面与赤道平面有一定的夹角。下列说法正确的是（ ）
A．地球静止轨道卫星绕地球运行的周期比月球绕地球运行的周期大
B．倾斜地球同步轨道卫星的动能一定大于地球静止轨道卫星的动能
C．地球对倾斜地球同步轨道卫星的万有引力一定与地球对地球静止轨道卫星的万有引力大小相等
D．只要倾角合适，倾斜地球同步轨道卫星可以在每天的固定时间经过十堰上空
3．宇宙飞船绕地球做匀速圆周运动，它的轨道距地心的距离等于地球半径的倍，它的运动周期为，引力常量为，则地球的平均密度的表达式为（ ）
A．B．
C．D．
4．2022年11月9日，某天文爱好者通过卫星过境的GSatWatch（卫星追踪软件）获得“天宫空间站”过境运行轨迹如图甲所示，通过微信小程序“简单夜空”，点击“中国空间站过境查询”，获得中国“天宫空间站”过境连续两次最佳观察时间信息如图乙所示，在这连续两次最佳观察时间内，空间站绕地球共转过16圈。已知地球半径R约为，自转周期T为24小时，万有引力常量为，地球表面附近重力加速度约为，不考虑空间站轨道修正，则由以上信息（ ）
A．可估算出同步卫星距离地面高度为6
B．可估算出“天宫空间站”绕地转动周期约为0.67小时
C．可估算出“天宫空间站”离地高度约为400公里
D．不能估算出地球的密度和第一宇宙速度
5．火卫一是太阳系最暗的天体之一，假设火卫一围绕火星做匀速圆周运动的轨道半径为r1，运行周期为T1，火星半径为R。已知行星与卫星间引力势能的表达式为，r为行星与卫星的中心距离，则火星的第二宇宙速度为（ ）
A．B．C．D．
6．有a、b、c、d四颗地球卫星，a还未发射，在地球赤道上随地球表面一起转动，b处于地面附近的近地轨道上做圆周运动，c是地球同步卫星，d是高空探测卫星，各卫星排列位置如图所示，则有（ ）
A．a的向心加速度等于g
B．在相同时间内b转过的弧长最长
C．a的线速度等于b的线速度
D．d的运动周期可能是21h
7．我国首个火星探测器—“天问一号”，于2020年7月23日在海南文昌航天发射中心成功发射，于2021年5月15日成功着陆火星，开展巡视探测，如图为“天问一号”环绕火星变轨示意图。已知引力常量，地球质量为，地球半径为，地球表面重力加速度为；火星的质量约为地球质量的，半径约为地球半径的；着陆器质量为。下列说法正确的是（ ）
A．“天问一号”在轨道Ⅲ运行到点的速度小于在轨道Ⅱ运行到点的速度
B．若轨道Ⅰ为近火星圆轨道，测得周期为，则火星的密度约为
C．着陆器在火星表面所受重力约为
D．“天问一号”探测器环绕火星运动的速度应大于11.2km/s
8．2022年7月24日14时许，长征五号B遥三运载火箭从文昌航天发射场将问天实验舱成功发射到预定近地圆轨道Ⅰ，如图所示。假设问天实验舱在P点变轨进入椭圆轨道Ⅱ飞往天和号空间站，到达空间站所在的圆轨道Ⅲ的Q点与空间站自主交会对接。若空间站对接前后轨道半径保持不变，则下列说法中正确的是（ ）
A．监测问天实验舱与空间站交会对接过程，可以将它们看成质点
B．相对于地球，空间站停在轨道上等待问天实验舱前来对接
C．问天实验舱与空间站交会对接上的瞬间，实验舱相对空间站静止
D．空间站组合体沿轨道Ⅲ运动1周，位移和速度都为零
9．如图所示，地球可看作质量分布均匀、半径为R的球体，地球内部的a点距地心的距离为r，地球外部的b点距地心的距离为3r，。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，忽略地球的自转，则a、b两点的重力加速度大小之比为（ ）
A．B．C．D．
10．如图所示，假设在太空中有恒星A、B双星系统绕点O做顺时针匀速圆周运动，运动周期为T1，它们的轨道半径分别为rA、rB，rAA．若知道C的轨道半径，则可求出C的质量
B．若A也有一颗轨道半径与C相同的卫星，则其运动周期也一定为T2
C．恒星A的质量为
D．设A、B、C三星由图示位置到再次共线的时间为t，则
二、多选题
11．2023年1月9日，我国在文昌航天发射场使用长征七号改运载火箭，成功将实践二十三号卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功。已知地球的半径为R，表面的重力加速度为g，引力常量为G，实践二十三号卫星离地球中心的距离为r，绕地运行周期为T。不考虑地球自转，则（ ）
A．该卫星的向心加速度大于g
B．该卫星绕地运行的速度可表示为
C．根据题中信息不能求出地球的质量
D．地球的平均密度可表示为
12．如图所示，在进行火星考查时，火星探测器对火星完成了“绕、着、巡”三项目标。经考查已知火星表面的重力加速度为g火，火星的平均密度为ρ，火星可视为均匀球体，火星探测器离火星表面的高度为h，引力常量G。根据以上信息能求出的物理量是（ ）
A．火星的半径B．火星探测器的质量
C．火星探测器的周期D．火星的第一宇宙速度
13．“古有司南，今有北斗”，如图甲所示的北斗卫星导航系统入选“2022全球十大工程成就”。组成北斗系统的卫星运行轨道半径r越高，线速度v越小，卫星运行状态视为匀速圆周运动，其v2-r图像如图乙所示，图中R为地球半径，r0为北斗星座GEO卫星的运行轨道半径，图中物理量单位均为国际单位，引力常量为G，忽略地球自转，则（ ）
A．地球的质量为
B．地球的密度为
C．GEO卫星的加速度为
D．地球表面的重力加速度为
14．科学家在太空发现了一颗未知天体，并发射探测器对该天体进行观测。探测器在圆形轨道Ⅰ上绕行，探测器的周期为T，距该星体表面的高度为h，飞行器对星球观测张角为θ，如图所示。观测到该星体有一颗低轨道卫星在圆形轨道Ⅱ上运动（绕行方向与探测器方向相同），探测器和卫星两次靠得最近的时间间隔为t。已知万有引力常量为G，不计探测器和卫星之间的引力及其他天体引力影响，根据题目所给的信息，可得出的是（ ）
A．可以求出探测器在轨道Ⅰ上运行时探测器与该未知天体之间的万有引力
B．可以求出该未知天体的质量M
C．可以求出轨道Ⅱ离该天体表面的高度
D．探测器在轨道Ⅱ上运行的速度一定小于7.9km/s
15．在两个大物体引力场空间中存在着一些点，在这些点处的小物体可相对于两个大物体基本保持静止，这些点称为拉格朗日点。中国探月工程中的“鹊桥号”中继卫星是世界上首颗运行于地月拉格朗日点的通信卫星，如图所示，该卫星在几乎不消耗燃料的情况下与月球同步绕地球做圆周运动，关于处于拉格朗日和点上的两颗同等质量卫星，下列说法正确的是（ ）
A．两卫星绕地球做圆周运动的线速度相等
B．处于点的卫星绕地球做圆周运动的向心加速度大
C．处于点的卫星绕地球做圆周运动的角速度大
D．处于点的卫星绕地球做圆周运动的向心力大
三、解答题
16．假设某卫星绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径为r，运动周期为T，地球半径为R，引力常量为G，不考虑地球自转，求：
（1）卫星的向心加速度大小；
（2）地球的平均密度。
17．如图所示，水星、地球绕太阳的公转可以看成同一平面内的匀速圆周运动。已知太阳的半径为R，地球—水星连线与地球—太阳连线夹角的最大值为θ，地球的轨道半径为L，地球的公转周期为T，万有引力常量为G。求：
（1）太阳的密度；
（2）水星的公转周期。
18．宇航员站在某质量分布均匀的星球表面一斜坡上P点，沿水平方向以初速度v0抛出一个小球，测得小球经时间t落到斜坡另一点Q上，斜坡的倾角为α，已知该星球的半径为R，引力常量为G，球的体积公式是。求：
（1）该星球表面的重力加速度g；
（2）该星球的密度；
（3）该星球的第一宇宙速度。
19．如图所示，探月卫星的发射过程可简化如下：首先进入绕地球运行的“停泊轨道”，在该轨道的P处通过变速再进入“地月转移轨道”，在快要到达月球时，对卫星再次变速，卫星被月球引力“俘获”后，成为环月卫星，最终在环绕月球的“工作轨道”绕月飞行（视为圆周运动），对月球进行探测。“工作轨道”周期为T、距月球表面的高度为h，月球半径为R，引力常量为G，忽略其他天体对探月卫星在“工作轨道”上环绕运动的影响。
（1）求探月卫星在“工作轨道”上环绕的线速度大小；
（2）求月球的质量；
（3）求月球的第一宇宙速度。
20．我国发射的探月卫星有一类为绕月极地卫星。利用该卫星可对月球进行成像探测。如图所示，设卫星在绕月极地轨道上做圆周运动时距月球表面的高度为h，绕行周期为T2；月球绕地球公转的周期为T1，公转轨道半径为r；地球半径为R1，月球半径为R2，忽略地球引力、太阳引力对绕月卫星的影响，万有引力常量已知。
（1）求月球质量M2；
（2）求地球表面重力加速度g1。
定律
内容
图示或公式
开普勒第一定律(轨道定律)
所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，
太阳位于椭圆的一个焦点上
开普勒第二定律(面积定律)
任何一个行星与太阳的连线在相等的时间内
扫过的面积相等
开普勒第三定律(周期定律)
行星绕太阳运行轨道半长轴a的立方与其
公转周期T的平方成正比
2、知道引力常数的数值、单位及其测量装置；
3、掌握万有引力定律并能应用；
4、理解三种宇宙速度及其区别。
一、开普勒定律
二、开普勒定律的理解
1．行星绕太阳运动的轨道通常按圆轨道处理．
2．由开普勒第二定律可得eq \f(1,2)Δl1r1＝eq \f(1,2)Δl2r2，eq \f(1,2)v1·Δt·r1＝eq \f(1,2)v2·Δt·r2，解得eq \f(v1,v2)＝eq \f(r2,r1)，即行星在两个位置的速度之比与到太阳的距离成反比，近日点速度最大，远日点速度最小．
3．开普勒第三定律eq \f(a3,T2)＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同，且该定律只能用在同一中心天体的两星体之间．
三、万有引力定律
1．内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的二次方成反比。
2．表达式：F＝Geq \f(m1m2,r2)，G是比例系数，叫作引力常量，G＝6.67×10－11 N·m2/kg2。
3．适用条件
(1)公式适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。
(2)质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离。
四、万有引力定律的理解及应用
1．地球表面的重力与万有引力
地面上的物体所受地球的吸引力产生两个效果，其中一个分力提供了物体绕地轴做圆周运动的向心力，另一个分力等于重力。
(1)在两极，向心力等于零，重力等于万有引力；
(2)除两极外，物体的重力都比万有引力小；
(3)在赤道处，物体的万有引力分解为两个分力，F向和mg，这两个分力刚好在一条直线上，则有F＝F向＋mg，所以mg＝F－F向＝eq \f(GMm,R2)－mRωeq \\al( 2,自)。
2．地球表面上的重力加速度
(1)设在地球表面附近的重力加速度为g(不考虑地球自转)，由mg＝Geq \f(Mm,R2)，得g＝Geq \f(M,R2)。
(2)设在地球上空距离地心r＝R＋h处的重力加速度为g′，由mg′＝eq \f(GMm,（R＋h）2)，得g′＝eq \f(GM,（R＋h）2)，所以eq \f(g,g′)＝eq \f(（R＋h）2,R2)。
3．万有引力的“两点理解”和“两个推论”
(1)两点理解
①两物体相互作用的万有引力是一对作用力和反作用力．
②地球上的物体(两极除外)受到的重力只是万有引力的一个分力．
(2)星体内部万有引力的两个推论
①推论1：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即∑F引＝0.
②推论2：在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体(M′)对它的万有引力，即F＝Geq \f(M′m,r2).
五、天体质量和密度的计算
1．利用天体表面重力加速度
已知天体表面的重力加速度g和天体半径R.
①由Geq \f(Mm,R2)＝mg，得天体质量M＝eq \f(gR2,G).
②天体密度ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(M,\f(4,3)πR3)＝eq \f(3g,4πGR).
2．利用运行天体(以已知周期为例)
测出卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r和周期T.
①由Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(4π2,T2)r，得M＝eq \f(4π2r3,GT2).
②若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(M,\f(4,3)πR3)＝eq \f(3πr3,GT2R3).
③若卫星绕天体表面运行，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝eq \f(3π,GT2)，故只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度．
六、人造卫星与宇宙航行
1．天体(卫星)运行问题分析
将天体或卫星的运动看成匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供．
2．物理量随轨道半径变化的规律
Geq \f(Mm,r2)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ma→a＝\f(GM,r2)→a∝\f(1,r2),m\f(v2,r)→v＝\r(\f(GM,r))→v∝\f(1,\r(r)),mω2r→ω＝\r(\f(GM,r3))→ω∝\f(1,\r(r3)),m\f(4π2,T2)r→T＝\r(\f(4π2r3,GM))→T∝\r(r3)))
即r越大，v、ω、a越小，T越大．(越高越慢)
3．人造卫星
卫星运行的轨道平面一定通过地心，一般分为赤道轨道、极地轨道和其他轨道，同步卫星的轨道是赤道轨道．
(1)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖．
(2)同步卫星
①轨道平面与赤道平面共面，且与地球自转的方向相同．
②周期与地球自转周期相等，T＝24 h.
③高度固定不变，h＝3.6×107 m.
④运行速率均为v＝3.1 km/s.
(3)近地卫星：轨道在地球表面附近的卫星，其轨道半径r＝R(地球半径)，运行速度等于第一宇宙速度v＝7.9 km/s(人造地球卫星的最大圆轨道运行速度)，T＝85 min(人造地球卫星的最小周期)．
注意：近地卫星可能为极地卫星，也可能为赤道卫星．
4．宇宙速度
(1)第一宇宙速度
①第一宇宙速度又叫环绕速度，其数值为7.9 km/s。
②第一宇宙速度是物体在地球附近绕地球做匀速圆周运动时的速度。
③第一宇宙速度是人造卫星的最小发射速度，也是人造卫星的最大环绕速度。
④第一宇宙速度的计算方法
由Geq \f(Mm,R2)＝meq \f(v2,R)得v＝eq \r(\f(GM,R))；
由mg＝meq \f(v2,R)得v＝eq \r(gR)．
(2)第二宇宙速度：使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度，其数值为11.2 km/s．
(3)第三宇宙速度：使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度，其数值为16.7 km/s．
5．第一宇宙速度的推导
方法一：由Geq \f(Mm,R2)＝meq \f(v12,R)，得v1＝eq \r(\f(GM,R))＝eq \r(\f(6.67×10－11×5.98×1024,6.4×106)) m/s≈7.9×103 m/s.
方法二：由mg＝meq \f(v12,R)得
v1＝eq \r(gR)＝eq \r(9.8×6.4×106) m/s≈7.9×103 m/s.
第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度，也是人造卫星的最大环绕速度，此时它的运行周期最短，Tmin＝2πeq \r(\f(R,g))＝2πeq \r(\f(6.4×106,9.8)) s≈5 075 s≈85 min.
6．宇宙速度与运动轨迹的关系
(1)v发＝7.9 km/s时，卫星绕地球表面做匀速圆周运动．
(2)7.9 km/s
(4)v发≥16.7 km/s，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间．
七、卫星运行参量的分析
1．公式中r指轨道半径，是卫星到中心天体球心的距离，R通常指中心天体的半径，有r＝R＋h.
2．同一中心天体，各行星v、ω、a、T等物理量只与r有关；不同中心天体，各行星v、ω、a、T等物理量与中心天体质量M和r有关．
3．地球同步卫星的特点
4．卫星的各物理量随轨道半径变化的规律
八、卫星变轨问题
1．变轨原理（从低轨道到高轨道）
(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上，如图所示．
(2)在A点(近地点)点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供卫星在轨道Ⅰ上做圆周运动的向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ．
(3)在B点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ．
从高轨道到低轨道变轨，上述过程加速变减速．
2．变轨过程分析
(1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在轨道Ⅱ上过A点和B点时速率分别为vA、vB.在A点加速，则vA>v1，在B点加速，则v3>vB，又因v1>v3，故有vA>v1>v3>vB．
(2)加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点，卫星的加速度都相同，同理，卫星在轨道Ⅱ或轨道Ⅲ上经过B点的加速度也相同．
(3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、r2(半长轴)、r3，由开普勒第三定律eq \f(r3,T2)＝k可知T1
天体“相遇”指两天体相距最近，以地球和行星“相遇”为例(“行星冲日”)，某时刻行星与地球最近，此时行星、地球与太阳三者共线且行星和地球的运转方向相同(图甲)，根据eq \f(GMm,r2)＝mω2r可知，地球公转的速度较快，从初始时刻到之后“相遇”，地球与行星距离最小，三者再次共线，有两种方法可以解决问题：
1．角度关系
ω1t－ω2t＝n·2π(n＝1、2、3…)
2．圈数关系
eq \f(t,T1)－eq \f(t,T2)＝n(n＝1、2、3…)
解得t＝eq \f(nT1T2,T2－T1)(n＝1、2、3…)
同理，若两者相距最远(行星处在地球和太阳的延长线上)(图乙)，有关系式：ω1t－ω2t＝(2n－1)π(n＝1、2、3…)或eq \f(t,T1)－eq \f(t,T2)＝eq \f(2n－1,2)(n＝1、2、3…)
十、双星或多星模型
1．双星模型
(1)定义：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统．如图所示．
(2)特点
①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即eq \f(Gm1m2,L2)＝m1ω12r1，eq \f(Gm1m2,L2)＝m2ω22r2.
②两颗星的周期、角速度相同，即T1＝T2，ω1＝ω2.
③两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系为r1＋r2＝L.
④两颗星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即eq \f(m1,m2)＝eq \f(r2,r1).
⑤双星的运动周期T＝2π.
⑥双星的总质量m1＋m2＝eq \f(4π2L3,T2G).
2．多星模型
(1)定义：所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同．
(2)常见的三星模型
①三颗星体位于同一直线上，两颗质量相等的环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行(如图甲所示)．
②三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图乙所示)．
(3)常见的四星模型
①四颗质量相等的星体位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动(如图丙所示)．
②三颗质量相等的星体始终位于正三角形的三个顶点上，另一颗位于中心O，外围三颗星绕O做匀速圆周运动(如图丁所示)．
一、单选题
1．2023年4月2日在酒泉卫星发射中心成功发射“爱太空科学号”遥感卫星，它将为中国青少年科普教育提供海量宇宙影像素材。该卫星在距地面约高度的圆周轨道上运行，则该卫星（ ）
A．运行周期大于地球的自转周期
B．运行线速度小于地球赤道上的物体随地球自转的线速度
C．向心加速度小于地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度
D．在竖直向上的加速升空过程中，卫星内的实验器材均处于超重状态
2．我国的“北斗三号”卫星导航系统由24颗中圆地球轨道卫星、3颗地球静止轨道卫星和3颗倾斜地球同步轨道卫星组成。倾斜地球同步轨道指卫星在该轨道上运行的周期与地球自转的周期相同，但该轨道平面与赤道平面有一定的夹角。下列说法正确的是（ ）
A．地球静止轨道卫星绕地球运行的周期比月球绕地球运行的周期大
B．倾斜地球同步轨道卫星的动能一定大于地球静止轨道卫星的动能
C．地球对倾斜地球同步轨道卫星的万有引力一定与地球对地球静止轨道卫星的万有引力大小相等
D．只要倾角合适，倾斜地球同步轨道卫星可以在每天的固定时间经过十堰上空
3．宇宙飞船绕地球做匀速圆周运动，它的轨道距地心的距离等于地球半径的倍，它的运动周期为，引力常量为，则地球的平均密度的表达式为（ ）
A．B．
C．D．
4．2022年11月9日，某天文爱好者通过卫星过境的GSatWatch（卫星追踪软件）获得“天宫空间站”过境运行轨迹如图甲所示，通过微信小程序“简单夜空”，点击“中国空间站过境查询”，获得中国“天宫空间站”过境连续两次最佳观察时间信息如图乙所示，在这连续两次最佳观察时间内，空间站绕地球共转过16圈。已知地球半径R约为，自转周期T为24小时，万有引力常量为，地球表面附近重力加速度约为，不考虑空间站轨道修正，则由以上信息（ ）
A．可估算出同步卫星距离地面高度为6
B．可估算出“天宫空间站”绕地转动周期约为0.67小时
C．可估算出“天宫空间站”离地高度约为400公里
D．不能估算出地球的密度和第一宇宙速度
5．火卫一是太阳系最暗的天体之一，假设火卫一围绕火星做匀速圆周运动的轨道半径为r1，运行周期为T1，火星半径为R。已知行星与卫星间引力势能的表达式为，r为行星与卫星的中心距离，则火星的第二宇宙速度为（ ）
A．B．C．D．
6．有a、b、c、d四颗地球卫星，a还未发射，在地球赤道上随地球表面一起转动，b处于地面附近的近地轨道上做圆周运动，c是地球同步卫星，d是高空探测卫星，各卫星排列位置如图所示，则有（ ）
A．a的向心加速度等于g
B．在相同时间内b转过的弧长最长
C．a的线速度等于b的线速度
D．d的运动周期可能是21h
7．我国首个火星探测器—“天问一号”，于2020年7月23日在海南文昌航天发射中心成功发射，于2021年5月15日成功着陆火星，开展巡视探测，如图为“天问一号”环绕火星变轨示意图。已知引力常量，地球质量为，地球半径为，地球表面重力加速度为；火星的质量约为地球质量的，半径约为地球半径的；着陆器质量为。下列说法正确的是（ ）
A．“天问一号”在轨道Ⅲ运行到点的速度小于在轨道Ⅱ运行到点的速度
B．若轨道Ⅰ为近火星圆轨道，测得周期为，则火星的密度约为
C．着陆器在火星表面所受重力约为
D．“天问一号”探测器环绕火星运动的速度应大于11.2km/s
8．2022年7月24日14时许，长征五号B遥三运载火箭从文昌航天发射场将问天实验舱成功发射到预定近地圆轨道Ⅰ，如图所示。假设问天实验舱在P点变轨进入椭圆轨道Ⅱ飞往天和号空间站，到达空间站所在的圆轨道Ⅲ的Q点与空间站自主交会对接。若空间站对接前后轨道半径保持不变，则下列说法中正确的是（ ）
A．监测问天实验舱与空间站交会对接过程，可以将它们看成质点
B．相对于地球，空间站停在轨道上等待问天实验舱前来对接
C．问天实验舱与空间站交会对接上的瞬间，实验舱相对空间站静止
D．空间站组合体沿轨道Ⅲ运动1周，位移和速度都为零
9．如图所示，地球可看作质量分布均匀、半径为R的球体，地球内部的a点距地心的距离为r，地球外部的b点距地心的距离为3r，。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，忽略地球的自转，则a、b两点的重力加速度大小之比为（ ）
A．B．C．D．
10．如图所示，假设在太空中有恒星A、B双星系统绕点O做顺时针匀速圆周运动，运动周期为T1，它们的轨道半径分别为rA、rB，rA
B．若A也有一颗轨道半径与C相同的卫星，则其运动周期也一定为T2
C．恒星A的质量为
D．设A、B、C三星由图示位置到再次共线的时间为t，则
二、多选题
11．2023年1月9日，我国在文昌航天发射场使用长征七号改运载火箭，成功将实践二十三号卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功。已知地球的半径为R，表面的重力加速度为g，引力常量为G，实践二十三号卫星离地球中心的距离为r，绕地运行周期为T。不考虑地球自转，则（ ）
A．该卫星的向心加速度大于g
B．该卫星绕地运行的速度可表示为
C．根据题中信息不能求出地球的质量
D．地球的平均密度可表示为
12．如图所示，在进行火星考查时，火星探测器对火星完成了“绕、着、巡”三项目标。经考查已知火星表面的重力加速度为g火，火星的平均密度为ρ，火星可视为均匀球体，火星探测器离火星表面的高度为h，引力常量G。根据以上信息能求出的物理量是（ ）
A．火星的半径B．火星探测器的质量
C．火星探测器的周期D．火星的第一宇宙速度
13．“古有司南，今有北斗”，如图甲所示的北斗卫星导航系统入选“2022全球十大工程成就”。组成北斗系统的卫星运行轨道半径r越高，线速度v越小，卫星运行状态视为匀速圆周运动，其v2-r图像如图乙所示，图中R为地球半径，r0为北斗星座GEO卫星的运行轨道半径，图中物理量单位均为国际单位，引力常量为G，忽略地球自转，则（ ）
A．地球的质量为
B．地球的密度为
C．GEO卫星的加速度为
D．地球表面的重力加速度为
14．科学家在太空发现了一颗未知天体，并发射探测器对该天体进行观测。探测器在圆形轨道Ⅰ上绕行，探测器的周期为T，距该星体表面的高度为h，飞行器对星球观测张角为θ，如图所示。观测到该星体有一颗低轨道卫星在圆形轨道Ⅱ上运动（绕行方向与探测器方向相同），探测器和卫星两次靠得最近的时间间隔为t。已知万有引力常量为G，不计探测器和卫星之间的引力及其他天体引力影响，根据题目所给的信息，可得出的是（ ）
A．可以求出探测器在轨道Ⅰ上运行时探测器与该未知天体之间的万有引力
B．可以求出该未知天体的质量M
C．可以求出轨道Ⅱ离该天体表面的高度
D．探测器在轨道Ⅱ上运行的速度一定小于7.9km/s
15．在两个大物体引力场空间中存在着一些点，在这些点处的小物体可相对于两个大物体基本保持静止，这些点称为拉格朗日点。中国探月工程中的“鹊桥号”中继卫星是世界上首颗运行于地月拉格朗日点的通信卫星，如图所示，该卫星在几乎不消耗燃料的情况下与月球同步绕地球做圆周运动，关于处于拉格朗日和点上的两颗同等质量卫星，下列说法正确的是（ ）
A．两卫星绕地球做圆周运动的线速度相等
B．处于点的卫星绕地球做圆周运动的向心加速度大
C．处于点的卫星绕地球做圆周运动的角速度大
D．处于点的卫星绕地球做圆周运动的向心力大
三、解答题
16．假设某卫星绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径为r，运动周期为T，地球半径为R，引力常量为G，不考虑地球自转，求：
（1）卫星的向心加速度大小；
（2）地球的平均密度。
17．如图所示，水星、地球绕太阳的公转可以看成同一平面内的匀速圆周运动。已知太阳的半径为R，地球—水星连线与地球—太阳连线夹角的最大值为θ，地球的轨道半径为L，地球的公转周期为T，万有引力常量为G。求：
（1）太阳的密度；
（2）水星的公转周期。
18．宇航员站在某质量分布均匀的星球表面一斜坡上P点，沿水平方向以初速度v0抛出一个小球，测得小球经时间t落到斜坡另一点Q上，斜坡的倾角为α，已知该星球的半径为R，引力常量为G，球的体积公式是。求：
（1）该星球表面的重力加速度g；
（2）该星球的密度；
（3）该星球的第一宇宙速度。
19．如图所示，探月卫星的发射过程可简化如下：首先进入绕地球运行的“停泊轨道”，在该轨道的P处通过变速再进入“地月转移轨道”，在快要到达月球时，对卫星再次变速，卫星被月球引力“俘获”后，成为环月卫星，最终在环绕月球的“工作轨道”绕月飞行（视为圆周运动），对月球进行探测。“工作轨道”周期为T、距月球表面的高度为h，月球半径为R，引力常量为G，忽略其他天体对探月卫星在“工作轨道”上环绕运动的影响。
（1）求探月卫星在“工作轨道”上环绕的线速度大小；
（2）求月球的质量；
（3）求月球的第一宇宙速度。
20．我国发射的探月卫星有一类为绕月极地卫星。利用该卫星可对月球进行成像探测。如图所示，设卫星在绕月极地轨道上做圆周运动时距月球表面的高度为h，绕行周期为T2；月球绕地球公转的周期为T1，公转轨道半径为r；地球半径为R1，月球半径为R2，忽略地球引力、太阳引力对绕月卫星的影响，万有引力常量已知。
（1）求月球质量M2；
（2）求地球表面重力加速度g1。
定律
内容
图示或公式
开普勒第一定律(轨道定律)
所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，
太阳位于椭圆的一个焦点上
开普勒第二定律(面积定律)
任何一个行星与太阳的连线在相等的时间内
扫过的面积相等
开普勒第三定律(周期定律)
行星绕太阳运行轨道半长轴a的立方与其
公转周期T的平方成正比
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