人教版八年级下册第十六章 二次根式16.2 二次根式的乘除教学设计

这是一份人教版八年级下册第十六章 二次根式16.2 二次根式的乘除教学设计，共4页。教案主要包含了方法总结等内容，欢迎下载使用。

教学目标
1．会运用二次根式的除法法则进行二次根式的除法运算．
2．会利用商的算术平方根的性质化简二次根式．
3．理解最简二次根式的概念，知道在二次根式的运算中，把最后结果化为最简二次根式．
重点难点
重点：二次根式的除法法则、商的算术平方根的性质和最简二次根式．
难点：二次根式的除法法则与商的算术平方根的性质之间的关系和运用．
教学过程：
导入：
站在水平高度为h m的地方与可见的水平线的距离为d m，它们近似地符合公式d＝eq \r(\f(h,5))．一名登山者爬到海拔100 m处，则他与可见的水平线的距离d1是多少？
探究新知
探究点一 二次根式的除法法则
【例1】计算：
(1)eq \r(48)÷eq \r(6)；
(2)－eq \r(27)÷；
(3)eq \r(4a3b)÷；
(4)eq \f(\r(72a2b),\r(6b))(a≥0，b>0)．
【解析】利用二次根式的除法法则进行计算，且被开方数相除时，可以用“除以一个不等于0的数等于乘这个数的倒数”进行约分、化简．
【解】(1)原式＝eq \r(48÷6)＝eq \r(8)＝eq \r(4×2)＝2eq \r(2).
(2)原式＝×eq \r(27÷\f(3,8))
＝－eq \f(10,3)×eq \r(9×4×2)
＝－eq \f(10,3)×3×2×eq \r(2)
＝－20eq \r(2).
(3)原式＝－eq \r(4a3b÷\f(a,4b))
＝－eq \r(4a3b·\f(4b,a))
＝－4ab.
(4)原式＝eq \r(\f(72a2b,6b))
＝eq \r(12a2)
＝2eq \r(3)a.
【方法总结】
两个二次根式相除，可采用根号前的系数与系数对应相除，根号内的被开方数与被开方数对应相除，再把除得的结果相乘．
探究点二 商的算术平方根的性质
【例2】将下列各式化简：
(1)eq \r(1\f(7,9))；(2)eq \r(\f(1,32))；(3)aeq \r(\f(28,a3))；
(4)eq \f(xy,x－y)eq \r(\f(x2－2xy＋y2,xy))(x＞y＞0)．
【解析】(1)先将带分数化为假分数，然后运用性质化简；
(2)需要将分子、分母同时乘以2，将分母化成一个完全平方数，然后运用性质化简；
(3)需要将分子、分母同乘以a，再运用性质化简；
(4)将被开方数的分子分解因式，并且分子、分母同时乘x y，确保分母开方后不含根号．
【解】(1)eq \r(1\f(7,9))＝eq \r(\f(16,9))＝eq \f(\r(16),\r(9))＝eq \f(4,3).
(2)eq \r(\f(1,32))＝eq \r(\f(2,64))＝eq \f(\r(2),8).
(3)aeq \r(\f(28,a3))＝aeq \r(\f(22×7·a,a3·a))＝a·eq \f(2\r(7a),a2)＝
eq \f(2\r(7a),a).
(4)eq \f(xy,x－y)eq \r(\f(x2－2xy＋y2,xy))＝eq \f(xy,x－y)eq \r(\f(xy（x－y）2,x2y2))＝eq \f(xy,x－y)·eq \f(x－y,xy)eq \r(xy)＝eq \r(xy).
【方法总结】
利用商的算术平方根的性质化简二次根式的方法：
(1)若被开方数的分母是一个完全平方数(或式)，则可以直接利用商的算术平方根的性质，先将分子、分母分别开平方，然后求商；(2)若被开方数的分母不是完全平方数(或式)，可根据分式的基本性质，先将分式的分子、分母同时乘一个不等于0的数或整式，使分母变成一个完全平方数(或式)，然后利用商的算术平方根的性质进行化简．
探究点三 最简二次根式
【例3】下列式子中，是最简二次根式的是 ( )
A. eq \r(a2＋b2) B. eq \r(a2)
C. eq \r(12a) D.eq \r(\f(1,2))
【解析】A.eq \r(a2＋b2)符合最简二次根式的条件，是最简二次根式；B.eq \r(a2)＝|a|，可以化简；C.eq \r(12a)＝2eq \r(3a)，可以化简；D.eq \r(\f(1,2))＝eq \f(\r(2),2)，可以化简．
【答案】A
【方法总结】
在判断最简二次根式的过程中要注意：
(1)在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；
(2)在二次根式的被开方数中的每一个因式(或因数)，如果幂的指数大于或等于2，也不是最简二次根式．
课堂训练
1．计算eq \r(8)÷eq \r(2)的结果为( )
A．eq \r(6) B．eq \r(2)
C．2 D．eq \r(3)
2．下列二次根式中，是最简二次根式的是 ( )
A.eq \r(8) B.eq \r(2x2y)
C.eq \r(\f(ab,2)) D.eq \r(3x2＋y2)
3．计算eq \r(18)÷eq \r(\f(3,4))×eq \r(\f(4,3))结果为( )
A．3eq \r(2) B．4eq \r(2)
C．5eq \r(2) D．6eq \r(2)
答案
1．C 2．D 3．B
板书设计
二次根式的除法
1．二次根式的除法法则：eq \f(\r(a),\r(b))＝eq \r(\f(a,b))(a≥0，b＞0)．
2．商的算术平方根等于算术平方根的商，即eq \r(\f(a,b))＝eq \f(\r(a),\r(b))(a≥0，b＞0)．
3．最简二次根式的概念．
课堂小结：
本节课学习了二次根式的除法法则：eq \f(\r(a),\r(b))＝eq \r(\f(a,b))(a≥0，b＞0)，使学生能用除法法则进行二次根式的除法运算；还学习了二次根式的除法法则的逆用及最简二次根式的概念，掌握满足最简二次根式的两个条件，能准确地判断哪些式子是最简二次根式．
教学反思
本节课的内容是在前一节二次根式的乘法的学习基础上，在熟练计算积的算术平方根的情况下，让学生通过具体实例再结合积的性质，对比、归纳得到商的二次根式的性质．在此过程中教师要给予适当的指导，提出的问题要让学生有一定的探索方向．