初中数学人教版八年级下册17.1 勾股定理课时练习

这是一份初中数学人教版八年级下册17.1 勾股定理课时练习，共27页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列各组数中不是勾股数的是（ ）
A．3，4．5B．6．8．10C．5，12．13D．4，5，6
2．已知在△ABC中，AB＝7，AC＝8，BC＝5，则∠C＝（ ）．
A．45°B．37°C．60°D．90°
3．若的两边长，满足，则第三边的长是（ ）
A．5B．C．5或7D．5或
4．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且∠A：∠B：∠C＝1：1：2，则下列说法中，错误的是（ ）
A．∠C＝90°B．a＝bC．c2＝2a2D．a2＝b2﹣c2
5．如图，在中，平分交于点，平分，，交于点，若，则（ ）
A．75B．100C．120D．125
6．△ABC的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．a2＋b2＝c2B．∠A＝∠B＋∠CC．∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5D．a＝5，b＝12，c＝13
7．如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，设CE＝a，HG＝b，则斜边BD的长是（ ）
A．a+bB．a﹣bC．D．
8．如图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形的两直角边分别是a、b，且，大正方形的面积是9，则小正方形的面积是（ ）
A．3B．4C．5D．6
9．如图，在中，，按以下步骤作图：①以为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于、两点；②分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线，交边于点．若，，则线段的长为（ ）
A．3B．C．D．
10．已知在等腰三角形ABC中，D为BC的中点AD=12，BD=5，AB=13，点P为AD边上的动点，点E为AB边上的动点，则PE+PB的最小值是（ ）
A．10B．12C．D．
二、填空题
11．如图，在平面直角坐标系中，，两点的坐标分别为和，为等边三角形，则点的坐标为______．
12．如图，在平面直角坐标系中，A（4，0），B（0，3），以点A为圆心，AB长为半径画弧，交x轴的负半轴于点C，则点C坐标为______．
13．观察下列各组勾股数
（1）3，4，5
（2）5，12，13；
（3）7，24，25：
（4）9，40，41
照此规律，将第n组勾股数按从小到大的顺序排列，排在中间的数，用含n的代数式可表示为 ___．
14．如图，在直线l上依次摆放着7个正方形，斜放置的三个正方形的面积分别是4，6，8，正放置的四个正方形的面积分别是，则__________．
15．如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置．若AE=1，BE=2，CE=3，则∠BE′C=___度．
16．如图，，点A是延长线上的一点，，动点P从点A出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点同时出发，用表示移动的时间，当_________s时，是等腰三角形；当_________s时，是直角三角形．
17．长、宽、高分别为4cm、3cm、12cm的长方体纸盒内可完全放入的棍子最长是_________ cm．
18．如图，已知点，点分别为轴和轴正半轴上两点，以为斜边作等腰直角三角形，点，点，点按顺时针方向排列，若的面积为，则点的坐标为_________．
三、解答题
19．如图，△ABC中，CD⊥AB于D．
（1）图中有几个直角三角形；
（2）若AD=12，AC=13，则CD等于多少；
（3）若CD2=AD·DB， 求证：△ABC是直角三角形．
20．（1）如图１是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式；
（2）伽菲尔德（1881年任美国第20届总统）利用（1）中的公式和图2证明了勾股定理（1876年4月1日发表在《新英格兰教育日志》上），现请你尝试证明过程．说明：．
21．如图，已知△ABC中，∠B=90°，AB=8 cm，BC=6 cm，P，Q是△ABC边上的两个动点，点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为1 cm，点Q从点B开始沿B→C方向运动，且速度为2 cm/s，它们同时出发，设运动的时间为t s.
（1）运动几秒时，△APC是等腰三角形？
（2）当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间.
22．在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于种种原因，由C到A的路现在已经不通了，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝3千米，CH＝2.4千米，HB＝1.8千米．
（1）问CH是不是从村庄C到河边的最近路，请通过计算加以说明；
（2）求原来的路线AC的长．
23．如图，在△ABC中，AB=AC，D为线段BC的延长线上一点，且DB=DA，BE⊥AD于点E，取BE的中点F，连接AF．
（1）若AC=，AE=，求BE的长；
（2）在（1）的条件下，求△ABD的面积．
（3）若∠BAC=∠DAF，求证：2AF=AD；
24．如图，，分别为锐角边，上的点，把沿折叠，点落在所在平面内的点处．
如图1，点在的内部，若，，求的度数．
如图2，若，，折叠后点在直线上方，与交于点，且，求折痕的长．
如图3，若折叠后，直线，垂足为点，且，，求此时的长．
参考答案
1．D
【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需满足两小边的平方和等于最长边的平方．
解：A、32+42=25=52，是勾股数，此选项不符合题意；
B、62+82＝100=102，是勾股数，此选项不符合题意；
C、52+122＝169=132，是勾股数，此选项不符合题意；
D、42+52=41≠62，不是勾股数，此选项符合题意．
故选：D．
【点拨】此题主要考查了勾股数：满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数．注意：
①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2＝c2，但是它们不是正整数，所以它们不是勾股数．
②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．
③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…
2．C
【分析】过点A作AD⊥BC于D，设CD＝x，则BD＝BC−CD＝5−x，由勾股定理得72−（5−x）2＝82−x2，得出CD＝4，则CD＝AC，再证∠CAD＝30°，即可求解．
解：过点A作AD⊥BC于D，如图所示：
设CD＝x，
则BD＝BC−CD＝5−x，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD2＝AB2−BD2，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD2＝AC2−CD2，
∴AB2−BD2＝AC2−CD2，
即：72−（5−x）2＝82−x2，
解得：x＝4，
∴CD＝4，
∴CD＝AC，
∴∠CAD＝30°，
∴∠C＝90°−30°＝60°，
故选：C．
【点拨】本题考查了勾股定理、含30°角的直角三角形的判定、三角形内角和定理等知识；熟练掌握勾股定理，证出∠CAD＝30°是解题的关键．
3．D
【分析】先求出a和b的值，再设第三边为x，讨论斜边情况，利用勾股定理建立方程求解即可．
解：∵
又∵,
∴
∴
设第三边长为x，由则共有以下两种情况：
①当时，
②当时，由所以，
∴第三边长是5或；
故选：D．
【点拨】本题考查了平方和算术平方根的非负性特点、利用平方根解方程以及勾股定理的应用，解题关键是牢记它们的“非负性”，理解并能运用勾股定理求直角三角形的边等，该题属于中等难度题目，易错点是学生容易误选A，该题蕴含了分类讨论的思想方法等．
4．D
【解析】由题意可得△ABC为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可得到解答 ．
解：A、由∠A：∠B：∠C＝1：1：2及∠A+∠B+∠C＝180°可以得到：
∠A=∠B=45°，∠C=90°，故本选项正确，不符合题意；
B、由上可得∠A=∠B，所以a=b，故本选项正确，不符合题意；
C、由上知△ABC是直角三角形，所以a2+b2=c2，又因为a=b，所以c2＝2a2，故本选项正确，不符合题意；
D、由上知a2+b2=c2，故本选项不正确，符合题意；
故选D．
【点拨】本题考查三角形内角和与比例的综合应用，根据三角形内角和与角的比例求出三角形每个角的度数，再结合特殊三角形的一些性质求解是解题关键．
5．B
【分析】根据角平分线的定义推出△ECF为直角三角形，然后根据勾股定理求得CE2+CF2=EF2．
解：∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠ACE=∠ACB，∠ACF=∠ACD，即∠ECF=（∠ACB+∠ACD）=90°，
又∵EF∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠ECB=∠MEC=∠ECM，∠DCF=∠CFM=∠MCF，
∴CM=EM=MF=5，EF=10，
由勾股定理可知CE2+CF2=EF2=100．
故选：B
【点拨】本题考查角平分线的定义，直角三角形的判定以及勾股定理的运用．
6．C
【分析】根据勾股定理的逆定理及三角形内角和定理对各选项进行逐一判断即可．
解：A、∵，∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
B、∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠A＝∠B＋∠C，
∴∠A＝90°，
∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
C、设∠A＝3x，则∠B＝4x，∠C＝5x，
∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，
∴3x＋4x＋5x＝180°，解得x＝15°，
∴∠C＝5×15°＝75°，
∴此三角形不是直角三角形，故本选项符合题意；
D、∵，
∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点拨】本题考查的是勾股定理的逆定理及三角形内角和定理，如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形．
7．C
【分析】解：设CD=x，则DE=a-x，求得AH=CD=AG-HG=DE-HG=a-x-b=x，求得CD= ，得到BC=DE=，根据勾股定理即可得到结论．
解：设CD＝x，则DE＝a﹣x，
∵HG＝b，
∴AH＝CD＝AG﹣HG＝DE﹣HG＝a﹣x﹣b＝x，
∴x＝，
∴BC＝DE＝a﹣＝，
∴BD2＝BC2+CD2＝（）2+（）2＝，
∴BD＝，
故选：C．
【点拨】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质，正确的识别图形,用含的式子表示各个线段是解题的关键．
8．A
【分析】观察图形可知，小正方形的面积=大正方形的面积−4个直角三角形的面积，利用已知(a+b)2=15，大正方形的面积为9，可以得出直角三角形的面积，进而求出答案．
解：∵(a+b)2=15，
∴a2+2ab+b2=15，
∵大正方形的面积为：a2+b2=9，
∴2ab=15−9=6，即ab=3，
∴直角三角形的面积为：，
∴小正方形的面积为：，
故选：A．
【点拨】此题主要考查了完全平方公式及勾股定理的应用，熟练应用完全平方公式及勾股定理是解题关键．
9．A
【分析】由尺规作图痕迹可知，BD是∠ABC的角平分线，过D点作DH⊥AB于H点，根据全等证明出BC=BH,设DC=DH=x则AD=AC-DC=8-x，BC=BH=6，AH=AB-BH=4，在Rt△ADH中，由勾股定理得到 ，由此即可求出x的值．
解：由尺规作图痕迹可知，BD是∠ABC的角平分线，
过D点作DH⊥AB于H点，
∵∠C=∠DHB=90°，
∴DC=DH，
，
∵∠C=∠DHB=90°，∠HBD=∠CBD，BD=BD
∴△BHD≌△BCD（AAS）
∴ BC=BH
设DC=DH=x，则AD=AC-DC=8-x，BC=BH=6，AH=AB-BH=4，
在Rt△ADH中，由勾股定理：，
代入数据：，解得，故，
故选：A．
【点拨】本题考查了角平分线的尺规作图，在角的内部角平分线上的点到角两边的距离相等，勾股定理等相关知识点，熟练掌握角平分线的尺规作图是解决本题的关键．
10．D
【分析】根据勾股定理的逆定理得到∠ADB=90°，得到点B，点C关于直线AD对称，过C作CE⊥AB交AD于P，则此时PE+PB=CE的值最小，根据三角形的面积公式即可得到结论．
解：∵AD=12，BD=5，AB=13，
∴AB2=AD2+BD2，
∴∠ADB=90°，
∵D为BC的中点，BD=CD，
∴AD垂直平分BC，
∴点B，点C关于直线AD对称，
过C作CE⊥AB交AD于P，则此时PE+PB=CE的值最小，
∵S△ABC=AB•CE=BC•AD，
∴13•CE=10×12，
∴CE=，
∴PE+PB的最小值为，
故选：D．
【点拨】本题考查了轴对称-最短路线问题，勾股定理的逆定理，两点这间线段最短，线段垂直平分线的性质，三角形的面积公式，利用两点之间线段最短来解答本题．
11．
【分析】过点A作AD⊥BC于D，根据等腰三角形三线合一的性质可得BD=CD，再求出点D的横坐标，然后利用勾股定理列式求出AD的长度，再写出点A的坐标即可．
解：如图，过点A作AD⊥BC于D，
∵B、C两点的坐标分别为(-2，0)和(6，0)，
∴BC=6-（-2）=8，
∵△ABC为等边三角形
∴AB=AC=BC=8，BD=CD=4，
∴点D的横坐标为6-4=2，
在Rt△ABD中，AD=，
所以，点A的坐标为(2，)，
故答案为：(2，)．
【点拨】本题考查了点的坐标，主要利用了等腰三角形三线合一的性质，勾股定理，作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．
12．（﹣1，0）
【分析】根据勾股定理求出AB的长，由AB=AC即可求出C点坐标．
解：∵A(4，0)，B(0，3)，
∴OA=4，OB=3，
∴AB==5
∴AC=5，
∴点C的横坐标为：4-5=-1，纵坐标为：0，
∴点C的坐标为(-1，0).
故答案为(-1，0).
【点拨】本题考查了勾股定理和坐标与图形性质的应用， 解此题的关键是求出的长， 注意： 在直角三角形中， 两直角边的平方和等于斜边的平方 ．
13．##
【分析】观察数据，题中数据第二个数和第三个数是连续的，第一个数是从3开始的连续的奇数，则第个为：，根据完全平方公式展开即可求得中间的数．
解：观察数据可知，第一个数是从3开始的连续的奇数，则第个为：，
，
，，……，则第组勾股数为
设中间的数为，则第三个数为，
即
即中间的数为
故答案为：
【点拨】本题考查了数字类找规律，勾股数，整式的乘法运算，找到规律是解题的关键．
14．12
【分析】如图，易证△CDE≌△ABC，得AB2+DE2=DE2+CD2=CE2，同理FG2+LK2=HL2，S1+S2+S3+S4=4+8=12．
解：如图，
∵，，
，
∴，
∵在△CDE和△ABC中，
，
∴△CDE≌△ABC（AAS），
∴AB=CD，BC=DE，
∴AB2+DE2=DE2+CD2=CE2=8，
同理可证FG2+LK2=HL2=4，
∴S1+S2+S3+S4=CE2+HL2=4+8=12．
故答案为：12．
【点拨】本题考查了全等三角形的证明，考查了勾股定理的灵活运用，本题中证明AB2+DE2=DE2+CD2=CE2是解题的关键．
15．135
解：试题分析：如图，连接EE′，
∵将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置，AE=1，BE=2，CE=3，
∴∠EBE′=90°，BE=BE′=2，AE=E′C=1．
∴EE′=2，∠BE′E=45°．
∵E′E2+E′C2=8+1=9，EC2=9．∴E′E2+E′C2=EC2．
∴△EE′C是直角三角形，∴∠EE′C=90°．∴∠BE′C=135°．
16． 或5 4或10
【分析】根据是等腰三角形，分两种情况进行讨论：点在上，或点在上；根据是直角三角形，分两种情况进行讨论：，或，据此进行计算即可．
解：如图，当时，是等腰三角形，
，，
当时，，
解得；
如图，当时，是等腰三角形，
，，
当时，，
解得；
如图，当时，是直角三角形，且，
，，
当时，，
解得；
如图，当时，是直角三角形，且，
，，
当时，，
解得：t=10．
故答案为：或5；4或10．
【点拨】本题主要考查了等腰三角形的性质以及直角三角形的性质，解决问题的关键是进行分类讨论，分类时注意不能遗漏，也不能重复．
17．13
解：分析：根据题意画出图形，再两次运用勾股定理：两直角边的平方和等于斜边的平方进行解答即可．
详解：如图所示：
BC=3cm，CD=4cm，AB=12cm，
连接BD、AD，
在Rt△BCD中，BD==5cm，
在Rt△ABD中，AD==13cm．
故这个盒子最长能放13cm的棍子．
故答案为13．
点睛：本题考查的是勾股定理的应用，根据题意画出图形，作出辅助线、构造出直角三角形是解答此题的关键．
18．或
【分析】过点C作交x轴于点N，延长NC至点M使，根据勾股定理解得AC、BC的长，再证明，由全等三角形对应边相等解得，再根据，设，用加减消元法解得x的值，最终得到点C的坐标．
解：过点C作交x轴于点N，延长NC至点M使，
为等腰直角三角形，
设
在中，①
②
①-②得，
或
故答案为：或．
【点拨】本题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，其中涉及勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
19．（1）2；（2）5；（3）见分析.
【分析】（1）根据CD⊥AB即可进行判断；
（2）利用勾股定理求解即可；
（3）根据勾股定理可得BD2=BC2﹣CD2，AD2=AC2﹣CD2，再利用完全平方公式（AD+BD）2=AD2+2AD·BD+BD2，代入整理，根据勾股定理的逆定理即可得证.
解：（1）∵CD⊥AB，
∴△ACD与△BCD都是直角三角形，
故图中有2个直角三角形；
（2）在Rt△ACD中，
CD==5；
（3）在Rt△ACD中，AD2=AC2﹣CD2，
在Rt△BCD中，BD2=BC2﹣CD2，
∵CD2=AD·DB，
∴（AD+BD）2=AD2+2AD·BD+BD2
= AC2﹣CD2+2 CD2+BC2﹣CD2
= AC2+ BC2=AB2，
则△ABC是直角三角形．
【点拨】本题主要考查勾股定理及其逆定理，解此题的关键在于利用完全平方公式进行变形整理，再根据勾股定理的逆定理进行判定即可.
20．（1）；（2）证明见分析．
【分析】（1）根据正方形面积计算公式解答；
（2）利用面积法证明即可得到结论．
解：（1）；
（2）如图，∵Rt△DEC≌Rt△EAB，
∴∠DEC=∠EAB，DE=AE，
∵，
∴，
∴△AED为等腰直角三角形，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴．
【点拨】此题考查勾股定理的证明，完全平方公式在几何图形中的应用，正确理解各部分图形之间的关系，正确分析它们之间的面积等量关系是解题的关键．
21．（1）运动s时，△APC是等腰三角形.（2）当运动时间为5.5 s 或6 s 或6.6 s时，△BCQ为等腰三角形.
【分析】（1）根据题意得，AP=PC，列方程，求解即可；
（2）分BQ=BC，CQ=BC和BQ=CQ三种情况分别讨论得到关于t的方程，求出t即可．
解：（1）由题意可知AP=t，PC=
∵AP=PC，
∴t=，
解得，t=，
∴出发秒后△APC能形成等腰三角形；
（2）在△ABC中，由勾股定理可求得AC=10，
当点Q在AC上时，AQ=BC+AC-2t=16-2t，所以CQ=AC-AQ=10-（16-2t）=2t-6，
当BQ=BC=6时，如图1，过B作BD⊥AC，则CD=CQ=t-3，在Rt△ABC中，可求得BD=，
在Rt△BCD中，由勾股定理可得BC2=BD2+CD2，即62=（）2+（t-3）2，
解得t=或t=-＜0（舍去）；
当CQ=BC=6时，则2t-6=6，解得t=6，
当CQ=BQ时，则∠C=∠QBC，
∴∠C+∠A=∠CBQ+∠QBA，
∴∠A=∠QBA，
∴QB=QA，
∴CQ=AC=5，即2t-6=5，解得t=5.5，
综上可知当△BCQ为等腰三角形时，t=或t=6或t=5.5．
【点拨】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，掌握等腰三角形的两腰相等是解题的关键，利用t表示出线段的长度，化动为静是解决这类问题的常用思路．
22．（1）是，理由见分析；（2）2.5米．
【分析】（1）先根据勾股定理逆定理证得Rt△CHB是直角三角形，然后根据点到直线的距离中，垂线段最短即可解答；
（2）设AC＝AB＝x，则AH＝x－1.8，在Rt△ACH中，根据勾股定理列方程求得x即可．
解：（1）∵，即，
∴Rt△CHB是直角三角形，即CH⊥BH，
∴CH是从村庄C到河边的最近路（点到直线的距离中，垂线段最短）；
（2）设AC＝AB＝x，则AH＝x－1.8，
∵在Rt△ACH，
∴，即 ，解得x＝2.5，
∴原来的路线AC的长为2.5米．
【点拨】本题主要考查了勾股定理的应用，灵活应用勾股定理的逆定理和定理是解答本题的关键．
23．（1）；（2）；（3）见详解
【分析】（1）在Rt△AEB中，利用勾股定理即可解决问题；
（2）设，则，根据勾股定理求出AD的长，再利用三角的面积公式计算即可；
（3）如图，延长AF至M点，使AF＝MF，连接BM，首先证明△AEF≌△MFB，再证明△ABM≌△ACD即可．
解：（1）∵AB＝AC，AC＝，
∴AB＝，
∵BE⊥AD，AE＝，
∴在Rt△AEB中，；
（2）设，则，
，
，
在中，根据勾股定理得：
，
即，
解得：，
即,
则，
则；
（3）证明：如图，延长AF至M点，使AF＝MF，连接BM，

∵点F为BE的中点，
∴EF＝BF，
在△AEF和△MBF中，

∴△AEF≌△MBF（SAS），
∴∠FAE＝∠FMB，
∴AE∥MB，
∴∠EAB+∠ABM＝180°，
∴∠ABM＝180°﹣∠BAD，
又∵AB＝AC，DB＝DA，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAD，
∴∠ACD＝180°﹣∠ACB，
∴∠ABM＝∠ACD．
又∵∠BAC＝∠DAF，
∴∠BAC﹣∠MAC＝∠DAF﹣∠MAC，
∴∠1＝∠2．
在△ABM和△ACD中，
，
∴△ABM≌△ACD（ASA），
∴AM＝AD，
又∵AM＝AF+MF＝2AF，
∴2AF＝AD．
【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是中线延长一倍，作出正确的辅助线构造全等三角形，属于常考题型．
24．(1) (2) (3) 或10
【分析】（1）根据折叠知，，根据三角形内角和定理即可求得答案；
（2）根据，由等边对等角可得，设度，根据三角形内角和为180°，建立一元一次方程解方程求解即可求得，过作于，根据勾股定理求得，根据含30度角的直角三角形的性质即可求得的长；
（3）①当点在上方时，②当点在下方时，设，则，勾股定理求解即可；
解：（1）由折叠知，，
同理得，
∴.
（2）如图，∵，
∴，
设度，
∵，
∴度，
∴，
解得，即，
过作于，
∵，
∴，
∴.
（3）当点在上方时，如图3-1
∵，，直线，
∴，
设，则，
又由折叠知：，，
∴，
在中，根据勾股定理，得
解得，即；
当点在下方时，如图3-2
由折叠知：，，
∴，
设，则，
在中，根据勾股定理，得，
解得，即.
【点拨】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，等边对等角求角度，勾股定理，分类讨论是解题的关键．