数学八年级下册17.1 勾股定理练习

这是一份数学八年级下册17.1 勾股定理练习，共42页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
【类型①】梯子滑落高度✭✭旗杆高度
1．如图所示，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在DE上的位置上，如图，测得DB的长0.5米，则梯子顶端A下落了（ ）米．
A．0.5B．0.4C．0.6D．1
2．学校旗杆上的绳子垂到地面还多2米，将绳子的下端拉开6米后，下端刚好接触地面，则旗杆的高度为（ ）
A．8米B．10米C．12米D．14米
【类型②】小鸟飞行距离✭✭大树折断前高度
3．有两棵树，一棵高6米，另一棵高3米，两树相距4米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了（ ）米．
A．3B．4C．5D．6
4．如图，已知树（垂直于地面）上的点处（米）有两只松鼠，为抢到处（点，在同一水平地面上，米）的坚果，一只松鼠沿到达点处，另一只松鼠沿到达点处．若两只松鼠经过的路程相等，则树的高为（ ）
A．6.5米B．7.0米C．7.5米D．8米
【类型③】水杯中筷子问题✭✭航海问题
5．如图，一根长18cm的牙刷置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度为hcm，则h的取值范围是（ ）
A．4＜h＜5B．5＜h＜6C．5≤h≤6D．4≤h≤5
6．已知，一轮船以16海里时的速度从港口A出发向北偏东方向航行，另一轮船以8海里时的速度同时从港口A出发向南偏东方向航行，则离开港口1小时后，两船相距（ ）
A．海里B．海里C．16海里D．24海里
【类型④】小河的宽度问题✭✭台阶上的地毯问题
7．游泳员小明横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲达到点B60米，结果他在水中实际游了100米，这条河宽为( )．
A．80米B．100米C．72米D．112米
8．如图是楼梯的一部分，若，，，一只蚂蚁在A处发现C处有一块糖，则这只蚂蚁吃到糖所走的最短路程为（ ）
A．B．3C．D．
【类型⑤】汽车是否超速问题✭✭是否受台风影响问题
9．如图，一艘船以40km/h的速度沿既定航线由西向东航行，途中接到台风警报，某台风中心正以20km/h的速度由南向北移动，距台风中心200km的圆形区域(包括边界)都属台风影响区，当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心的距离BC=500km，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离BA=300km，如果这艘轮船会受到台风影响，那么从接到警报开始，经过( )小时它就会进入台风影响区
A．10B．7C．6D．12
10．M 城气象中心测得台风中心在 M 城正北方向 240km 的 P 处，以每小时 45km 的速度向南偏东 30°的 PB 方向移动，距台风中心 150km 的范围内是受台风影响的区域，则 M 城 受台风影响的时间为（ ）小时．
A．4B．5C．6D．7
【类型⑥】选扯两地相等问题✭✭最短路径问题
11．如图，高速公路上有,两点相距，,为两村庄，已知，．于，于，现要在上建一个服务站，使得,两村庄到站的距离相等，则的长是 ．
A．4B．5C．6D．
12．如图，一长方体木块长，宽，高， 一直蚂蚁从木块点A处，沿木块表面爬行到点位置最短路径的长度为（ ）
A．B．C．D．
【类型⑦】航向是否正确问题✭✭两地距离达标问题
13．一艘轮船以16海里/时的速度离开港口（如图），向北偏东40°方向航行，另一艘轮船同时以12海里/时的速度向北偏西某一角度的航向行驶，已知它们离港口一个半小时后相距30海里（即BA=30），问另一艘轮船的航行的方向是（ ）
A．北偏西50°B．南偏西50°
C．南偏东40°D．北偏西40°
14．甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行速度都是40m/min，甲客轮用30min到达A处，乙客轮用40min到达B处.若A，B两处的直线距离为2000 m，甲客轮沿着北偏东30°的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是（ ）
A．北偏西30°B．南偏西30°C．南偏东60°D．南偏西60°
二、填空题
【类型①】梯子滑落高度✭✭旗杆高度
15．如图，一架梯子AB斜靠在左墙时，梯子顶端B距地面2.4m，保持梯子底端A不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端C距地面2m，梯子底端A到右墙角E的距离比到左墙角D的距离多0.8m，则梯子的长度为_____m．
16．如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端离地面2m，则旗杆的高度（滑轮上方的部分忽略不计）为_____m．
【类型②】小鸟飞行距离✭✭大树折断前高度
17．如图，，，，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着方向匀速滚向点，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球，如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，则机器人行走的路程BC为__________．
18．《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高二丈，末折抵地，去根九尺，问折高者几何？意思是一根竹子，原高两丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹稍恰好抵地，抵地处离竹子底部9尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为_______．
【类型③】水杯中筷子问题✭✭航海问题
19．如图，已知圆柱形茶杯，底面直径为5厘米，将长为20厘米的筷子沿底面放入杯中，筷子露在茶杯口外的最短长度是7厘米，茶杯的高度为______厘米．
20．如图，一艘轮船航行到B处时，测得小岛A在船的北偏东60°的方向上，轮船从B处继续向正东方向航行100海里到达C处时，测得小岛A在船的北偏东30°的方向上，于点D，则AD的长为______海里．
【类型④】小河的宽度问题✭✭台阶上的地毯问题
21．如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点A处偏离欲到达地点B处40m，结果他在水中实际游的路程比河的宽度多10m．该河的宽度BC为_____米．
22．如图，在一个长AB为18m，宽AD为7m的长方形草坪ABCD上，放着一根长方体的木块 ，已知木块的较长边与AD平行，横截是边长为2米的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木块到达C处需要走的最短路程是 ________ 米．
【类型⑤】汽车是否超速问题✭✭是否受台风影响问题
23．如图，铁路和公路在点处交汇，．公路上处距点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路上沿方向以36千米/时的速度行驶时，处受噪音影响的时间为______秒．
24．如图，有两条公路OM、ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点160米处有一所学校A，当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心，100米为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大．若已知重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为36千米/时，则对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离是___米；重型运输卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间是____秒．
【类型⑥】选扯两地相等问题✭✭最短路径问题
25．如图，商场（点M）距公路（直线l）的距离（MA）为3km，在公路上有一车站（点N），车站距商场（NM）为4km，公交公司拟在公路上建一个公交车站停靠站（点P），要求停靠站到商场与到车站的距离相等，则停靠站到车站的距离（NP）的长为_____．
26．棱长分别为两个正方体如图放置，点P在上，且，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点P，需要爬行的最短距离是______．
【类型⑦】航向是否正确问题✭✭两地距离达标问题
27．海面上有两个疑似漂浮目标．A舰艇以12海里/时的速度离开港口O，向北偏西方向航行；同时，B舰艇在同地以16海里/时的速度向北偏东一定角度的航向行驶，如图所示，离开港口5小时后两船相距100海里，则B舰艇的航行方向是______．
28．一个零件的形状如下图所示，工人师傅按规定做得AB=3，BC=4，∠ABC=90°，CD=12，AD=13，假如这是一块钢板，则这块钢板的面积是______．
三、解答题
【类型①】梯子滑落高度✭✭旗杆高度
29．课堂上同学们正在讨论课本例题：如图，一架长的梯子斜靠在竖直的墙上，的距离为，若梯子顶端下滑的距离为，则点向外移动的距离为多少？
同学甲：本题可以这样来做
解：在中，，，根据勾股定理得：
，则________，
又在中，，根据勾股定理得：
________，则________．
同学乙．我发现在本题答案中，梯子顶端下滑的距离比末端向外移动的距离小，说明在梯子下滑时，梯子顶端下滑的距离一定比末端向外移动的距离小．
同学丙：不一定，我能举个反例，比如，当梯子顶端下滑的距离为时，
在中，，，根据勾股定理得：________，则
，
又在中，，根据勾股定理得：
________，则________．即：，
老师．通过上面的讨论，同学们发现有时大，有时大，那么有没有可能正好的情况存在呢？
同学丁：有．当梯子顶端从处下滑时，末端向外也移动．你认为他的说法正确吗？说明理由．
30．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷．
应用场景——在数轴上画出表示无理数的点．
如图1，在数轴上找出表示3的点A，过点A作直线l垂直于，在l上取点B，使，以原点O为圆心，为半径作弧，则弧与数轴的交点C表示的数是______．
应用场景2——解决实际问题．
如图2，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推6m至C处时，水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长．
【类型②】小鸟飞行距离✭✭大树折断前高度
31．如图，在倾斜角为（即）的山坡上有一棵树，由于大风，该树从点E处折断，其树顶B恰好落在另一棵树的根部C处，已知， ．
(1) 求这两棵树的水平距离；
(2) 求树的高度．
32．有一个边长为10米的正方形水池，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1米．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问：这个水池水的深度和这根芦苇的长度分别是多少？
【类型③】水杯中筷子问题✭✭航海问题
33．《九章算术》中“勾股”一章有记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它的顶端恰好到达池边的水面，求芦苇的长度．（1丈＝10尺）
解决下列问题：
（1）示意图中，线段AF的长为 尺，线段EF的长为 尺；
（2）求芦苇的长度．
34．在一次海上救援中，两艘专业救助船、同时收到某事故渔船的求救讯息，已知此时救助船在的正北方向，事故渔船在救助船的北偏西30°方向上，在救助船的西南方向上，且事故渔船与救助船相距60海里．
求收到求救讯息时事故渔船与救助船之间的距离（结果保留根号）；
求救助船、分别以20海里/小时，15海里/小时的速度同时出发，匀速直线前往事故渔船处搜救，试通过计算判断哪艘船先到达．
【类型④】小河的宽度问题✭✭台阶上的地毯问题
35．高铁修建过程中需要经过一座小山．如图，施工方计划沿AC方向开挖隧道，为了加快施工速度，要在小山的另一侧D（共线）处同时施工．测得，求BD长．（结果精确到十分位）
36．如图，要修建一个育苗棚，棚高，棚宽，棚的长为，现要在棚顶上覆盖塑料薄膜，试求需要多少平方米塑料薄膜？
【类型⑤】汽车是否超速问题✭✭是否受台风影响问题
37．某城市规定小汽车在街道上的行驶速度不得超过70千米/时，一辆小汽车在一条城市街道上直行，某一时刻刚好行驶到路对面“车速检测仪A”正前方30米C处，过了2秒后，测得小汽车位置B与“车速检测仪A”之间的距离为50米，这辆小汽车超速了吗？请说明理由．
38．超速行驶是引发交通事故的主要原因．上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速．如图，观测点设在到迎泽大街（直线AO）的距离（线段PO）为120米的点P处.这时，一辆小轿车由点A向点O匀速行驶，测得此车从点A处行驶到点B处所用的时间为5秒，且∠APO＝60°，∠BPO＝45°．（参考数据：≈1.414，≈1.732）
(1) 求点A，B之间的距离；（精确到0.1米）
(2) 请判断此车是否超过了迎泽大街每小时60千米的限制速度，并说明理由．
【类型⑥】选扯两地相等问题✭✭最短路径问题
39．“三农”问题是关系国计民生的根本问题，实施乡村振兴战略是建设美丽中国的关键举措．如图，公路上两点相距50km，为两村庄，于，于，已知，，现在要在公路上建一个土特产品市场，使得两村庄到市场的距离相等，则市场应建在距多少千米处?并判断此时的形状，请说明理由．
40．如图，A，B两个村庄在河CD的同侧，两村庄的距离为a千米，，它们到河CD的距离分别是1千米和3千米．为了解决这两个村庄的饮水问题，乡政府决定在河CD边上修建一水厂向A，B两村输送水．
(1) 在图上作出向A，B两村铺设水管所用材料最省时的水厂位置M．（只需作图，不需要证明）
(2) 经预算，修建水厂需20万元，铺设水管的所有费用平均每千米为3万元，其他费用需5万元，求完成这项工程乡政府投入的资金至少为多少万元．
【类型⑦】航向是否正确问题✭✭两地距离达标问题
41．如图，有一艘货船和一艘客船同时从港口A出发，客船每小时比货船多走5海里，客船与货船速度的比为，货船沿南偏东80°方向航行，2小时后货船到达B处，客船到达C处，若此时两船相距50海里，求客船航行的方向．
42．在一条东西走向河的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米．
(1) 问是否为从村庄到河边的最近路？（即问：与是否垂直？）请通过计算加以说明；
(2)求原来的路线的长．
参考答案
1．A
【分析】在直角三角形ABC中，根据勾股定理，得：AC=2米，由于梯子的长度不变，在直角三角形CDE中，根据勾股定理，得CE=1.5米，所以AE=0.5米，即梯子的顶端下滑了0.5米．
解：∵在Rt△ABC中，AC⊥BC，
∴，
∵AB=2.5米，BC=1.5米，
∴AC===2米．
∵Rt△ECD中，CE⊥CD，
∴，
∵AB=DE=2.5米，CD=（1.5+0.5）米，
∴EC===1.5米，
∴AE=AC﹣CE=2﹣1.5=0.5米．
故选：A．
【点拨】本题主要考查了勾股定理，解题时注意梯子的长度不变，分别运用勾股定理求得AC和CE的长是解题的关键．
2．A
【分析】根据题意画出示意图，设旗杆的高AB为xm，则绳子AC的长为（x＋2）m，利用勾股定理即可求解．
解：画出示意图如下所示：
设旗杆的高AB为xm，则绳子AC的长为（x＋2）m，
在Rt△ABC中，AB2＋BC2＝AC2，
∴x2＋62＝（x＋2）2，
解得：x＝8，
∴AB＝8m，即旗杆的高是8m．
故本题选：A．
【点拨】本题主要考查了勾股定理的应用，能根据勾股定理构造方程模型是解题的关键．
3．C
【分析】此题可以过低树的一端向高树引垂线．则构造了一个直角三角形：其斜边是小鸟飞的路程，一条直角边是4，另一条直角边是两树相差的高度3．根据勾股定理得：小鸟飞了5米．
解：如图所示，
AB＝6m，CD＝3m，BC＝4m，过D作DE⊥AB于E，
则DE＝BC＝4m，BE＝CD＝3m，AE＝AB﹣BE＝6﹣3＝3m，
在Rt△ADE中，AD＝5m．
故选：C．
【点拨】能够正确理解题意，准确画出图形，熟练运用勾股定理即可．
4．C
【分析】设BF为xm，根据两只松鼠所经过的路程相等，则AF=(15-x)m，在Rt△AEF中，利用勾股定理列出方程，即可解决问题．
解：设BF为xm，则EF=（5+x）m，
由题意知：BE+AE=15m，
∵两只松鼠所经过的路程相等，
∴BF+AF=15m，
∴AF=（15-x）m，
在Rt△AEF中，由勾股定理得：
102+（x+5）2=（15-x）2，
解得x=2.5，
∴EF=5+2.5=7.5（m）．
答：这棵树高7.5米．
故选：C．
【点拨】本题主要考查了勾股定理的实际应用，读懂题意，得出BF+AF=BE+AE是解题的关键．
5．C
【分析】根据题意，求出牙刷在杯子外面长度最小与最大情况即可得出取值范围．
解：根据题意，当牙刷与杯底垂直时，最大，如图所示：
故最大cm；
∵当牙刷与杯底圆直径、杯高构成直角三角形时，最小，如图所示：
在Rt中，，cm，cm，则
cm，
牙刷长为18cm，即cm，
最小cm，
∴h的取值范围是5≤h≤6，
故选：C．
【点拨】本题考查勾股定理解实际应用题，读懂题意，根据牙刷的放置方式明确牙刷在杯子外面长度最小与最大情况是解决问题的关键．
6．B
【分析】根据方位角可知两船所走的方向夹角，再根据路程速度时间，得到，，最后利用勾股定理，即可求得两条船之间的距离．
解：由题意可知，，
离开港口1小时后，两艘船分别行驶了16海里和8海里，
即，，
由勾股定理得：，
故两船相距海里，
故选B．
【点拨】本题考查了勾股定理，方位角问题，熟练运用勾股定理进行计算是解题关键，基础知识，比较简单．
7．A
【分析】实际问题中找出直角三角形，利用勾股定理解答．
解：根据图中数据，运用勾股定理求得AB=m，
故选A．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，勾股定理揭示了直角三角形三边长之间的数量关系：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.当题目中出现直角三角形，且该直角三角形的一边为待求量时，常使用勾股定理进行求解这在几何的计算问题中是经常用到的，请同学们熟记并且能熟练地运用它.
8．D
【分析】此类题目只需要将其展开便可直观的得出解题思路．将台阶展开得到的是一个矩形，蚂蚁要从A点到C点的最短距离，便是矩形的对角线，利用勾股定理即可解出答案．
解：将台阶展开，如图，
因为DC=AE+BE=3+1=4，AD=2，
所以AC2=DC2+AD2=20，
所以AC=，
故选：D．
【点拨】本题考查了平面展开-最短路径问题，用到台阶的平面展开图，根据题意判断出长方形的长和宽是解题的关键．
9．B
【分析】首先根据题意结合题目条件画出图形，进而利用勾股定理得出等式计算即可．
解：由题意，作图如下：
设x小时后，就进入台风影响区，根据题意得出：
CE=40x千米，BB′=20x千米，
∵BC=500km，AB=300km，
∴AC=400km，
∴AE=400-40x，AB′=300-20x，
∴AE2+AB′2=EB′2，
即（400-40x）2+（300-20x）2=2002，
解得：x1=，x2=（不符合题意，舍去）．
故答案为：B．
【点拨】此题主要考查了一元二次方程的应用以及勾股定理等知识，根据题意得出关于x的等式是解题关键．
10．A
【分析】如图，过点M作ME⊥PB，在BP上取点F，H，设MF=MH=150km，求出FH，然后利用时间=路程÷速度，计算即可解决问题．
解：如图，过点M作ME⊥PB，在BP上取点F，H，设MF=MH=150km
在Rt△PME中，∵∠MEP=90°，PM=240km，∠MPB=30°，
∴ME=PM=120km，
∴EF=EH==90（km），
∴FH=180km，
∴受台风影响的时间有180÷45=4（小时）．
故选：A
【点拨】本题考查解直角三角形的应用-方向角问题，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线根据直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
11．A
【分析】根据题意设出的长为，再由勾股定理列出方程求解即可．
解：设km，则，
在中，
，
在中，
，
由题意可知：，
∴，
解得：．
所以，=．
故选：A
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，根据题意构造方程，是本题的关键．
12．B
【分析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体展开，然后利用两点之间线段最短解答．注意不同的展法，答案不同，需要分别分析．
解：如图将长方体展开，根据“两点之间，线段最短”知，线段即为最短路线．
①如图1，
∵，，，
∴在中，，，
∴；
②如图2，
∵，，，
∴，
∴，
∴．
②如图3，
∵，，，
∴，，
∴．
∵，
∴蚂蚁所行路程的最小值为．
故选：B．
【点拨】此题考查了最短路径问题．解决本题的关键是熟练掌握用勾股定理的应用，要注意数形结合思想的应用．
13．A
【分析】根据题意可得海里，海里，然后利用勾股定理的逆定理求出，然后进行计算即可解答．
解：由题意得：（海里），（海里），
，，
，
，
，
另一艘轮船的航行的方向是：北偏西，
故选：A．
【点拨】本题考查了勾股定理的逆定理，方向角，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
14．C
【分析】首先根据速度和时间计算出行驶路程,再根据勾股定理逆定理结合路程可判断出甲和乙两艘轮船的行驶路线呈垂直关系,进而可得答案.
解：根据题意可得甲的路程：40×30＝1200（m），
乙的路程：40×40＝1600（m）.
∵12002＋16002＝20002，
∴甲和乙两艘轮船的行驶路线呈垂直关系.
∵甲客轮沿着北偏东30°，
∴乙客轮的航行方向可能是南偏东60°.
故选C.
【点拨】此题主要考查了勾股定理逆定理的应用,关键是掌握如果三角形的三边长a,b,c满足,那么这个三角形就是直角三角形.
15．##
【分析】设，则 结合再利用勾股定理建立方程再解方程求解 再利用勾股定理求解梯子的长即可.
解：设，则 而
由勾股定理可得：
整理得：
解得：

所以梯子的长度为m.
故答案为：
【点拨】本题考查的是勾股定理的应用，熟练的利用勾股定理建立方程是解本题的关键.
16．17
【分析】根据题意画出示意图，设旗杆高度为，可得，，，在中利用勾股定理可求出．
解：设旗杆高度为，则，，，
在中，，即，
解得：，
即旗杆的高度为17米．
故答案是：17．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，构造直角三角形的一般方法就是作垂线．
17．5m
【分析】由题意根据小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，得到BC=AC，设BC=AC=xm，根据勾股定理求出x的值即可．
解：∵小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，
∴BC=AC，
设BC=AC=xm，
则OC=（9-x）m，
在Rt△BOC中，
∵OB2+OC2=BC2，
∴32+（9-x）2=x2，
解得x=5．
故答案为：5m．
【点拨】本题考查的是勾股定理的应用，熟知在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．
18．
【分析】根据题意画出图形，设折断处离地面的高度为x尺，再利用勾股定理列出方程即可．
解：如图，设折断处离地面的高度为x尺，
则尺，尺，
在中，，
即．
故答案为：．
【点拨】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图，领会数形结合的思想的应用．
19．12
【分析】直接利用已知结合勾股定理得出茶杯的高．
解：根据题意可得：AC=20-7=13，
在Rt△ABC中，AC=13，BA=5，
∴，
故答案为：12．
【点拨】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出各边长是解题关键．
20．
【分析】如图，和有公共边，在两个直角三角形中，利用三角函数即可用表示出与，根据即可列方程，从而求得的长．
解：如图所示：
则，
∴，
∴海里．
在中，设海里，则海里，
，
在中， ， ，
又∵,
∴，
解得：，
∴海里
故答案为：
【点拨】本题主要考查了勾股定理的应用、直角三角形的计算，一般的三角形可以通过作高线转化为解直角三角形的计算，计算时首先计算直角三角形的公共边是常用的思路．
21．75
【分析】设BC=xm，由题意得AB=40m，AC=（x+10）m，然后运用勾股定理求出x即可．
解：设BC=x，由题意得AB=40m，AC=x+10
由勾股定理可得：AB2+BC2=AC2, 402+x2=（x+10）2，解得x=75．
故答案为75．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理列出关于x的方程是解答本题的关键．
22．
【分析】解答此题要将木块表面展开，再构建直角三角形，然后根据两点之间线段最短，再利用勾股定理进行解答．
解：如图，由题意可知，将木块展开， 展开图的长相当于是AB+2个正方形的宽，
∴长为18+2×2=22米；宽为7米．
于是最短路径为：（米）．
故答案为：．
【点拨】本题考查了平面展开-最短路径问题，两点之间线段最短的性质，勾股定理的应用，有一定的难度，要注意培养空间想象能力．
23．32
【分析】如图，首先过点作，求出最短距离的长度，然后在上取点，使得，根据勾股定理得出的长度，即可求出的长度，然后计算出时间即可．
解：如图，过点作，
米，
米米，
在上取点，使得，当火车在上时，处受噪音影响，
米，
由勾股定理得米，米，
即米，
36千米/时10米/秒，
处受噪音影响的时间为：秒，
故答案为：32．
【点拨】本题主要考查了勾股定理，解题的关键在于准确找出受影响的路段，从而利用勾股定理求出其长度．
24． 80 12
【分析】作于，求出的长即可解决问题，如图以为圆心m为半径画圆，交于、两点，求出的长，利用时间计算即可．
解：作于，
，m，
m，
即对学校的噪声影响最大时卡车与学校的距离m．
如图以为圆心m为半径画圆，交于、两点，
，
，
在中，m，
m，
重型运输卡车的速度为36千米时米秒，
重型运输卡车经过的时间（秒，
故卡车沿道路方向行驶一次给学校带来噪声影响的时间为12秒．
故答案为：80，12．
【点拨】本题考查勾股定理的应用、解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
25．km
【分析】首先在Rt△AMN中，求出AN，设PN=PM=x，在Rt△PAM中，利用勾股定理列出方程即可解决问题．
解：如图，
连接MP，在Rt△MAN中，MA=3，MN=4，
由勾股定理得，
设NP=xkm，则PM=xkm，
∴PA=（ -x）km，
在Rt△MAP中，由勾股定理得
，
解得．
故答案为：km
【点拨】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是学会利用勾股定理构建方程解决问题．
26．cm．
【分析】求出两种展开图的值，比较即可判断；
解：如图，有两种展开方法：
方法一∶，
方法二∶．
故需要爬行的最短距离是cm．
故答案为：cm．
【点拨】本题考查平面展开-最短问题，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
27．北偏东
【分析】根据勾股定理的逆定理判断是直角三角形，求出的度数即可．
解：由题意得，（海里），（海里），
又∵海里，
∵，
即
∴，
∵，
∴，
则B舰艇的航行方向是北偏东，
故答案为：北偏东．
【点拨】本题考查的是勾股定理的逆定理的应用和方位角的知识，根据题意判断出是直角三角形是解决问题的关键．
28．36
【分析】利用勾股定理求AC,再利用勾股定理逆定理求∠ACD=90°，分别求的面积．
解：∠B=90°，AB＝3，BC＝4,AC=
=169,
所以∠ACD=90°,
．
故答案为：36．
【点拨】本题考查了勾股定理以及逆定理的应用，掌握勾股定理以及逆定理的应用;学会用割补法去求算图形的面积是解题的关键．
29．，，；，，；丁的说法正确，理由见分析
【分析】在中，根据勾股定理求出的值，从而得到的值，在中，根据勾股定理求出的值，即可得出的值；再根据同学甲、乙、丁的情况给出的数值分别代入求解即可.
解：同学甲：在中，，，
根据勾股定理，得，
则，
又在中，，
根据勾股定理，得，则．
故答案为：；；.
同学丙：在中，，，
根据勾股定理，得，
则，
又在中，，
根据勾股定理，得，
则．即.
故答案为：；；.
同学丁：说法正确，理由如下：
在中，，，
根据勾股定理，得，
则，
又在中，，
根据勾股定理，得，
则，即.
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键.
30．(1) (2) 绳索AC的长为7.5m．
【分析】（1）根据勾股定理求出OB，根据实数与数轴解答即可．
（2）设秋千的绳索长为x m，根据题意可得AD=（x-3）m，利用勾股定理可得x2=62+（x-3）2，即可得到结论．
（1）解：在Rt△OAB中，OB=，
∴OC=，
∴点C表示的数是，
故答案为：．
（2）解：设秋千绳索AB的长度为x m，
由题意可得AC=AB=x m，
四边形DCFE为矩形，BE=1m，DC=6m，CF=4m，DE=CF=4m，
∴DB=DE-BE=3m，AD=AB-BD=（x-3）m，
在Rt△ADC中，AD2+DC2=AC2，
即（x-3）2+62=x2，
解得x=7.5，
即AC的长度为7.5m，
答：绳索AC的长为7.5m．
【点拨】本题主要考查了勾股定理的应用，正确理解题意，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键．
31．(1) 3m(2) 6m
【分析】（1）根据平行的性质，证得，根据勾股定理即可求得．
（2）在中，根据勾股定理即可解得．
解：（1）由题可知，
∴，
∴
在中，
，
∴，
∴（m）．
即这两棵树的水平距离为3m．
（2）在中，

∴，
∴（m）．
即树的高度为6m．
【点拨】此题考查了勾股定理，解题的关键是熟悉勾股定理的实际应用．
32．水池水深12米，芦苇长13米
【分析】根据题意，构造直角三角形，根据勾股定理列出方程求解即可．
解：如图：设芦苇BC长为x米，则水深AB为（x-1）米．
∵芦苇长在水池中央，
∴AC=×10=5（米）
根据勾股定理得：，
则：，
解得：x=13，
∴x-1=13-1=12，
答：水池水深12米，芦苇长13米．
【点拨】本题主要考查勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理的内容，勾股题意构造直角三角形，，根据勾股定理列出方程求解是解题的关键．
33．（1）5，1；（2）芦苇长13尺．
【分析】（1）直接利用水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，且边长为10尺的正方形，F为AB中点，即可得出答案；
（2）根据题意，可知AB的长为10尺，则AF=5尺，设芦苇长EG=AG=x尺，表示出水深FG，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长和水深．
解：（1）由题意可得：EF=1尺，AF==5尺；
故答案为：5，1；
（2）设芦苇长EG=AG=x尺，
则水深FG=（x-1）尺，
在Rt△AGF中，
52+（x-1）2=x2，
解得：x=13，
∴芦苇长13尺．
【点拨】此题主要考查了勾股定理的应用，解本题的关键是数形结合以及表示出直角三角形的各边长．
34．(1) 海里(2) 救助船先到达，计算过程见分析
【分析】（1）如图，作于，在中先求出的长，继而在中求出的长即可；
（2）根据“时间=路程÷速度”分别求出救助船A和救助船B所需的时间，进行比较即可．
（1）解：如图，过点P作于，
∴，
由题意得：海里，，，
∴海里，是等腰直角三角形，
∴海里，海里，
答：收到求救讯息时事故渔船与救助船之间的距离为海里；
（2）解：∵海里，海里，救助船分别以20海里/小时、15海里/小时的速度同时出发，
∴救助船所用的时间为(小时)，
救助船所用的时间为(小时)，
∵，
∴救助船先到达．
【点拨】本题考查了解直角三角形的应用，涉及了含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定，勾股定理的应用等，熟练正确添加辅助线构建直角三角形是解题的关键．
35．长约为．
【分析】如图，先利用直角三角形的性质可得，，再根据等腰直角三角形的判定与性质即可得．
解：如图，过点作于点，
，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
答：长约为．
【点拨】本题考查了直角三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理，通过作辅助线，构造直角三角形是解题关键．
36．平方米
【分析】根据勾股定理先求出棚顶的宽，然后根据长方形的面积公式即可求出需要多少塑料薄膜．
解：棚高，棚宽，设棚顶的宽为b，
则，
棚的长d为，
∴．
【点拨】此题重点考查学生对勾股定理的实际应用能力，理清题意，掌握勾股定理是解题的关键．
37．该小汽车超速了，平均速度大于70千米/时．
【分析】直接利用勾股定理得出BC的长，进而得出汽车的速度，即可比较得出答案．
解：由题意知，AB＝50米，AC＝30米，且在Rt△ABC中，AB是斜边，
根据勾股定理，可以求得BC＝40米＝0.04千米，
且2秒时，所以速度为千米/时，
∵72>70，∴该小汽车超速了．
【点拨】此题主要考查了勾股定理的应用，根据题意得出汽车的速度是解题关键．
38．(1) 87.8米(2) 此车超过迎泽大街每小时60千米的限制速度，理由见分析
【分析】（1）根据解直角三角形求得AO、BO即可；
（2）根据速度=路程÷时间求出车速即可判断．
(1)解：在Rt△APO中，∠APO＝60°，∴∠PAO＝30°，
∵PO＝120米，∴AP＝2PO＝240米，
根据勾股定理，得AO＝＝120米 ，
在Rt△BPO中，∠BPO＝45°，∴∠PBO＝45°，
∴BO＝PO＝120米，
∴AB＝AO－BO＝120－120≈87.8(米)；
(2)解：超过了．
理由：车速为＝17.56(米/秒)，
限速为≈16.67(米/秒).
∵17.56>16.67，
∴此车超过迎泽大街每小时60千米的限制速度．
【点拨】本题考查含30°的直角三角形边角关系、等腰直角三角形的判定，熟练掌握直角三角形的性质是解答的关键．
39．市场应建在距的20千米处；是等腰直角三角形，理由见分析．
【分析】可以设，则，在直角中根据勾股定理可以求得，在直角中根据勾股定理可以求得，根据可以求得x的值，即可求得的值．
解：设，则，
在直角中，，
在直角中，，
，
解得：，
即；
市场应建在距的20千米处；
，，
在和中，

可得，
∴，
又 ，
∴，
∴
又，
是等腰直角三角形．
【点拨】本题考查了勾股定理在直角三角形中的应用，本题中根据和求x的值是解题的关键．
40．(1)见分析；(2)50万元.
【分析】（1）作点A关于直线的对称点，连接，交于M点，即M为所求；
（2）连接交于H点，过点B作，根据勾股定理求出，即可得出答案．
（1）解：如图，作点A关于直线的对称点，连接，交于M点，即M为所求.
（2）解：如图，连接交于H点，过点B作，
由题意可知：，，，
∴，
∴在中，，
∴在中，，
由对称性质可知：，
水管长，
完成这项工程乡政府投入的资金至少为（万元）
【点拨】本题考查了轴对称最短路线问题，勾股定理，题目比较典型，是一道比较好的题目，考查了学生的动手操作能力和计算能力．
41．客船航行的方向为北偏东
【分析】先根据客船与货船的速度关系求出两条船的速度，进而求出，再利用勾股定理的逆定理求出，进而求出即可得到答案．
解：客船的速度为海里/小时，则货船的速度为海里/小时，
由题意得，
解得，
∴客船的速度为海里/小时，则货船的速度为海里/小时，
∵货船沿南偏东80°方向航行，2小时后货船到达B处，客船到达C处，
∴海里，海里，,
又∵海里，
∴，
∴，
∴，
∴客船航行的方向为北偏东．
【点拨】本题主要考查了勾股定理的逆定理的实际应用，正确求出两条船的速度是解题的关键．
42．(1) 是，理由见分析(2) 原来的路线的长为千米
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理解答即可；
（2）根据勾股定理解答即可．
（1）解：是，
理由是：在中，
，
，
，
，
是从村庄到河边的最近路；
（2）解：设，
在中，由已知得，，，
由勾股定理得：，
，
解这个方程，得，
答：原来的路线的长为千米．
【点拨】本题考查勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，关键是熟练掌握勾股定理及勾股定理的逆定理．