数学八年级下册18.1.2 平行四边形的判定习题

这是一份数学八年级下册18.1.2 平行四边形的判定习题，共27页。

1．理解平行四边形的定义，从角、边、对角线三个角度理解并识记平行四边形的判定定理；
2．能初步运用平行四边形的判定进行推理和计算，特别是利用判定定理来证明一个四边形为平行四边形；
3. 能综合运用平行四边形的判定定理和平行四边形的判定定理进行证明和计算．
【要点梳理】
平行四边形的判定方法：从边、角、对角线角度出发，有以下判定方法：
1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
5.对角线互相平分的四边形是平行四边形.
特别说明：
（1）这些判定方法是学习本章的基础，必须牢固掌握，当几种方法都能判定同一个平行四边形时，应选择较简单的方法.
这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据，也可作为“画平行 四边形”的依据.
以上判定方法从边、角、对角线上进行识记。
【典型例题】
类型一、平行四边形的判定➽➼平行四边形的判定✬✬添加条件构成平行四边形
1．四边形中，对角线，相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【分析】分别利用平行四边形的判定方法进行判断即可得出结论．
解： ，
四边形是平行四边形，故选项A不合题意；
，
四边形是平行四边形，故选项B不合题意；
，
四边形是平行四边形，故选项C不合题意；
，
四边形不一定是平行四边形，故选项D符合题意；
故选：D．
【点拨】本题考察了平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
举一反三：
【变式1】在四边形中，对角线相交于点O．给出下列四组条件：①，；②，；③，；④，．其中一定这个四边形是平行四边形的条件有（ ）
A．①②③B．②③④C．①②④D．①③④
【答案】A
【分析】根据平行四边形的5个判断定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可作出判断．
解：①根据平行四边形的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可知①能判断这个四边形是平行四边形；
②根据平行四边形的判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可知②能判断这个四边形是平行四边形；
③根据平行四边形的判定定理：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，可知③能判断这个四边形是平行四边形；
④根据平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可知④不能判断这个四边形是平行四边形（例可能是等腰梯形）；
故给出下列四组条件中，①②③能判断这个四边形是平行四边形．
故选：A．
【点拨】此题主要考查了平行四边形的判定定理，解题关键是准确无误的掌握平行四边形的判定定理，难度一般．
【变式2】如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，下列条件中不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．OA＝OC，OB＝ODB．ABCD，ADCB
C．AB＝CD，AD＝CBD．ABCD，AD＝CB
【答案】D
【分析】由平行四边形的判定定理对边对各个选项进行判断即可．
解：A、∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A不符合题意；
B、∵ABCD，ADCB，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项B不符合题意；
C、∵AB＝CD，AD＝CB，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项C不符合题意；
D、由ABCD，AD＝CB，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故选项D符合题意；
故选：D．
【点拨】本题考查了平行四边形的判定定理，熟记平行四边形的判定定理是解题的关键．
2．在四边形中，，分别添加下列条件：①；，其中能使四边形成为平行四边形的条件有（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
【答案】B
【分析】由平行四边形的判定、平行线的判定与性质分别对各个条件进行判断即可．
解：①，，
四边形是平行四边形；

由，，不能判定四边形是平行四边形；
③，，
四边形是平行四边形；
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形；
⑤，
，
，
，
，
四边形是平行四边形；
其中能使四边形成为平行四边形的条件有，共个，
故选：．
【点拨】本题考查了平行四边形的判定、平行线的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
举一反三：
【变式1】四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA=OC． 如果再添加一个条件使得这个四边形ABCD是平行四边形，则下列条件中不能保证满足要求的是( )
A．ADBCB．AD=BCC．ABCDD．OB=OD
【答案】B
【分析】根据平行四边形的判定定理进行解答．
解：如图，
A、∵ADBC，
∴∠ADO＝∠CBO，∠DAO＝∠BCO，
∵OA=OC，
∴△DAO≌△BCO（AAS），
∴OD＝OB，
∴四边形ABCD是平行四边形，
此选项不符合题意；
B、添加条件AD＝BC不能使四边形ABCD是平行四边形，此选项符合题意；
C、∵ABCD，
∴∠CDO＝∠ABO，∠DCO＝∠BAO，
∵OA=OC，
∴△DOC≌△BOA（AAS），
∴OD＝OB，
∴四边形ABCD是平行四边形，
此选项不符合题意；
D、∵OB=OD，OA=OC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
此选项不符合题意；
故选：B．
【点拨】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
【变式2】如图，平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件使四边形AECF是平行四边形，则添加的条件不能是（ ）
A．AE＝CFB．BE＝FDC．BF＝DED．∠1＝∠2
【答案】A
【分析】利用SAS证明△ABE≌△CDF可以判断B选项；利用SAS证明△ABE≌△CDF可以判断C选项；利用ASA证明△ABE≌△CDF可以判断D选项．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，∠ABD=∠CDB；
又∵BE=DF，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴AE=CF，∠AEB=∠CFD，
∴∠AEF=∠CFE；
∴AECF；
∴四边形AECF是平行四边形，故B正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，∠ABD=∠CDB；
又∵BF=DE，
∴BF-EF=DE-EF，
∴BE=DF，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴AE=CF，∠AEB=∠CFD；
∴∠AEF=∠CFE；
∴AECF；
∴四边形AECF是平行四边形，故C正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，∠ABD=∠CDB；
又∵∠1=∠2，
∴△ABE≌△CDF（ASA），
∴AE=CF，∠AEB=∠CFD；
∴∠AEF=∠CFE；
∴AECF；
∴四边形AECF是平行四边形，故D正确；
添加AE=CF后，不能得出△ABE≌△CDF，进而得不出四边形AECF是平行四边形，故A错误；
故选：A．
【点拨】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．平行四边形的五种判定方法与平行四边形的性质相呼应，每种方法都对应着一种性质，在应用时应注意它们的区别与联系．
类型二、平行四边形的判定➽➼平行四边形的个数✬✬与已知三个点求点坐标
3．已知（如图），将它沿方向平移，平移的距离为．
作出经平移后所得的图形．
写出与构成的图形中所有的平行四边形（不必证明）．
【答案】(1) 图见分析；(2) ，，，，，．
【分析】（1）根据图形平移的性质画出平移后的即可；
（2）根据图形平移的性质以及平行四边形的判定定理即可得出结论．
（1）解：如图所示；
（2）解：由图可知，与构成的图形中所有的平行四边形有：，，，，，．
【点拨】本题考查的是作图－平移变换，平行四边形的判定定理，熟知图形平移不变性的性质以及平行四边形的判定定理是解答此题的关键．
举一反三：
【变式】如图所示，在中，两条对角线相交于点，点、、、分别是、、、的中点，以图中的任意四点(即点、、、、、、、、中的任意四点)为顶点画两种不同的平行四边形．
【答案】答案见分析
【分析】第一种：可画为平行四边形EFGH，第二种：可画为平行四边形DEBG．
解：如图所示

【点拨】此题考查了平行四边形的判定和学生的动手操作能力，解题的关键是熟知平行四边形的性质．
4．如图，是由边长为的小正方形组成的网格，其中点、、均在网格的格点上．
直接写出格点的面积为______；
(2) 在网格中画出使A、B、、四点构成平行四边形的所有点；
(3) 直接写出线段的长为______．
【答案】(1) 4(2) 见分析(3) 或
【分析】（1）把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可；
（2）根据平行四边形的定义画出图形即可；
（3）利用勾股定理求解．
解：（1）
故答案为：；
（2）如图，点，，即为所求；
（3），．
故答案为：或．
【点拨】本题考查作图应用与设计作图，平行四边形的判定和性质等知识，解题关键是学会用割补法求三角形面积，学会用分类讨论的思想思考问题．
举一反三：
【变式】在平面直角坐标系中的位置如图所示（坐标系内正方形网格的单位长度为1）：
在网格内画出关于y轴对称的图形；
平面内有一点D，使得以点A，B，C，D构成平行四边形，请直接写出点D的坐标．
【答案】(1) 见分析；(2) ，或．
【分析】（1）先找到A、B、C点关于y轴的对称点，顺次连接即可；
（2）将点A向右平移3个单位长度得到点，将点A向左平移3个单位长度得到点，将点B向下移动3个单位，再向右移动2个单位得到点．
解：（1）如图所示：
（2）∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，
∴将点A向右平移3个单位长度得到点，将点A向左平移3个单位长度得到点，将点B向下移动3个单位，再向右移动2个单位得到点．
所以，点D的坐标为：，或．
【点拨】本题考查画轴对称图形，平行四边形的判定，有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
类型三、平行四边形的判定➽➼平行四边形的证明✬✬全等三角形拼成平行四边形
5．如图，四边形中，垂直平分，垂足为点为四边形外一点，且，．
求证：四边形是平行四边形；
如果平分，，，求的长．
【答案】(1) 见分析(2)
【分析】（1）分别证明，得出结论；
（2）利用勾股定理求出，再利用等积法求出，即可得出结论．
解：（1）∵，
∴，
∵，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
（2）∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
过作，
∴，
∴，
∵垂直平分，则,
∵，
∴，
∴．
【点拨】本题考查平行四边形的判定以及利用勾股定理解直角三角形，利用等积法求高是解决问题的关键．
举一反三：
【变式】如图，在平行四边形中，，平分，交于点E，交的延长线于点F，连接、．
求证：四边形ACDF是平行四边形；
请直接写出图中与面积相等的三角形（除外）．
【答案】(1) 见分析(2)
【分析】（1）由平行四边形的性质得出，由平行线的性质得出，再由角平分线得出，得出，证出，证明，得出，即与互相平分，即可得出结论；
（2）根据平行四边形的一条对角线将平行四边形分成两个全等的三角形，利用全等三角形的面积相等，即可得解．
解：（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴
∴，，
∴与互相平分，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵平行四边形的一条对角线将平行四边形分成两个全等的三角形（），全等三角形的面积相等，
∴图中与面积相等的三角形有：．
【点拨】本题考查平行四边形的判定和性质．熟练掌握对角线互相平分的四边形是平行四边形，是解题的关键．
6．如图，由六个全等的正三角形拼成的图中，有多少个平行四边形？为什么？
【答案】6个，两组对边分别相等的四边形是平行四边形
【分析】根据平行四边形的判定定理求解即可．
解：如图所示，
∵六个三角形是全等的正三角形，
∴OA=EF，AF=OE，
∵两组对边分别相等，
∴四边形AOEF为平行四边形；
同理可证，四边形ABOF，四边形ABCO，四边形BCDO，四边形CDEO，四边形DEFO均为平行四边形，
∴共有6个平行四边形，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
【点拨】本题考查平行四边形的判定，理解并熟练运用平行四边形的判定方法是解题关键．
举一反三：
【变式】如图，在的方格子中，的三个顶点都在格点上，
（1）在图1中画出线段，使，其中是格点，
（2）在图2中画出平行四边形，其中是格点.
【答案】（1）见分析；（2）见分析.
【分析】（1）过点C作，且点D是格点即可.（2）作一个△BEC与△BAC全等即可得出图形.
（1）解：如图，
线段就是所求作的图形．
（2）解：如图，
就是所求作的图形
【点拨】本题考查作图-应用与设计，平行四边形的判定等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
类型四、平行四边形的判定与性质➽➼求坐标✬✬求线段长✬✬求角度
7．（1）如图，以线段、为邻边，用尺规作图画出平行四边形（保留作图痕迹），并说明它用了平行四边形的哪个判定方法？
（2）连接、，若，，，求平行四边形的面积．
【答案】（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（2）．
【分析】（1）分别以A、C为圆心，以为半径画弧，两弧相交于点D，则四边形满足条件；根据两组对边分别相等的四边形为平行四边形进行判断；
（2）根据平行四边形的性质求得，，利用勾股定理求得，再根据面积公式即可求解．
解：（1）如图，平行四边形为所作；
由作法得，，
所以四边形为平行四边形．
结论：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
（2）解：如图：
设和交于点O，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点拨】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行四边形的判定和性质以及勾股定理．
举一反三：
【变式1】如图，在□ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使，连结DE，CF．
求证：；
若AB=6，AD=8，∠B=60°，求的面积．
【答案】(1) 见分析(2) 的面积为
【分析】（1）根据四边形是平行四边形，得，，根据F是AD的中点，，判定四边形是平行四边形，即可证明；
（2）过点作于点，根据四边形是平行四边形，得，，又根据四边形是平行四边形，，；根据直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理，求出，的长度，根据三角形的面积公式，即可求出的面积．
解：（1）∵四边形是平行四边形，
∴，，
又∵F是AD的中点，
∴，
∵，
∴，
又∵FD∥CE，
∴四边形是平行四边形，
∴．
（2）∵四边形是平行四边形
∴，
又∵四边形是平行四边形
∴，
∴
∵过点作于点
∴
∵
∴
∴
∴
∴．
【点拨】本题考查平行四边形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质和判定，勾股定理，直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半．
【变式2】如图，在四边形中，，，，点是边的中点，连接并延长与的延长线交于点，连接、．
求证：四边形是平行四边形；
若，求的长．
【答案】(1) 见分析(2)
【分析】（1）证△BEC≌△FED（AAS），得BE=FE，即可得出结论；
（2）由勾股定理得AB，再由平行四边形的性质得DF=BC=3，则AF=AD+DF=4，然后由勾股定理即可求解．
（1）证明：∵∠A=∠ABC=90°，
∴∠A+∠ABC=180°，
∴BC∥AD，
∴∠CBE=∠DFE，
又∵E是边CD的中点，
∴CE=DE，
在△BEC与△FED中，
，
∴△BEC≌△FED（AAS），
∴BE=FE，
∴四边形BDFC是平行四边形；
（2）解：∵BD=BC=3，∠A=90°，
∴
由（1）可知，四边形BDFC是平行四边形，
∴DF=BC=3，
∴AF=AD+DF=4，
∴．
【点拨】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
类型五、平行四边形的判定与性质➽➼证明✬✬求线段长✬✬求角度
8．如图，在平行四边形中，点E，F对角线上，且，连接、、、、求证：四边形是平行四边形．
【答案】见分析
【分析】连接交于点O，求出，根据两条对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明四边形是平行四边形．
解：连接交于点O，
∵四边形为平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴四边形为平行四边形．
【点拨】本题考查平行四边形的性质与判定，熟练掌握平行四边形性质与判定定理是解题的关键．
举一反三：
【变式1】已知：如图，在中，点D是边的中点，，交于点，求证：（请用两种方法进行证明）
【答案】见分析
【分析】方法一：过点作 ， 交的延长线于点，证明，得出，利用平行四边形的判定和性质解答即可；
方法二：取中点，连接，易知是的中位线，得到， ，利用平行四边形的判定和性质解答即可；
解：证明：方法不唯一，答案仅供参考：
方法一：过点作 ， 交的延长线于点，
∴，
∵点是边的中点,
∴
∵
∴（ASA），
∴
∵，，
∴四边形是平行四边形
∴
∴
方法二：取中点，连接，
∵点是边的中点 ∴是的中位线，
∴， ，
∵，
∴四边形是平行四边形
∴
∴，
∴，
方法三：延长至，使，连接，（如图1，方法略）．
方法四：过点作 ， 交于点，（如图2，方法略）．
【点拨】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线，熟练掌握平行四边形的判定和性质定理是解题的关键．
【变式2】如图，四边形为平行四边形，为上的一点，连接并延长，使，连接并延长，使，连接．为的中点，连接．
求证：四边形为平行四边形；
若，，，求的度数．
【答案】(1) 见分析(2)
【分析】（1）根据平行四边的性质得出，，根据，，可得是的中位线，等量代换得出，可得，即可得证；
（2）根据平行四边形的性质得出，求得，根据，由等边对等角即可求解．
（1）解：证明：四边形是平行四边形，
，，
，，
是的中位线，
，，
为的中点，
，
，，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：四边形是平行四边形，
，
，
，
，
．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质与判定，中位线的性质与判定，掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键．
类型六、平行四边形的判定与性质应用➽➼证明✬✬求线段长✬✬求角度
9．如图，四边形中，，，过点作，垂足为，且．连接，交于点．
（1）探究与的数量关系，并证明；
（2）探究线段，，的数量关系，并证明你的结论．
【答案】（1）∠DAE+∠CAE=90°，理由见分析；（2）AF=EF+CE，理由见分析．
【分析】（1）设∠CAE=，先证∠EAB=∠EBA=45°，再证∠DAC=180°-∠DCA-∠ADC=90°-2，最后由∠DAE+∠CAE=∠DAC+∠CAE+∠CAE得出结论；
（2）延长DC交AE延长线于G，连接BG，先证△CEA≌△GEB，再证四边形ABGD是平行四边形，最后根据平行四边形的性质解答即可．
解：（1）∠DAE+∠CAE=90°，
理由：设∠CAE=，
∵AE⊥BE，
∴∠AEB=90°，
∵AE=BE，
∴∠EAB=∠EBA=45°，
∵CD∥AB，
∴∠DCA=∠CAB=45°+，
∵AC=AD，
∴∠DCA=∠ADC=45°+，
∴∠DAC=180°-∠DCA-∠ADC=90°-2，
∴∠DAE+∠CAE=∠DAC+∠CAE+∠CAE=90°-2++=90°；
（2）AF=EF+CE，
理由：延长DC交AE延长线于G，连接BG，
∵CD∥AB，
∴∠ECG=∠EBA=∠EAB=∠CGE=45°，
∴CE=EG，AE=BE，
又∵∠CEA=∠GEB=90°，
∴△CEA≌△GEB，
∴AC=GB=AD，∠ACE=∠BGE，
∴∠CAE=∠GBE，
∵∠GEB=90°，
∴∠AGB+∠GBE=90°，
∵由（1）知∠DAE+∠CAE=90°，
∴∠DAE=∠AGB，
∴AD∥BG，
∵DG∥AB，
∴四边形ABGD是平行四边形，
∴AF=GF，
∵GF=EF+GE=EF+CE，
∴AF=EF+CE．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质及平行四边形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键．
举一反三：
【变式1】如图，△ABC，△BDE都是由△CEF平移得到的图形．A，B，D三点在同一条直线上，∠F＝35°．
（1）试判断CE，AD之间的数量关系，并说明理由．
（2）求∠EBC的度数．
【答案】（1）AD＝2EC．理由见分析；（2）∠EBC＝35°．
【分析】（1）利用平移的性质解决问题即可．
（2）利用平行四边形的性质求解即可．
解：（1）结论：AD=2EC．
理由：由平移的性质可知，AB=EC，BD=CE，
∴AD=2CE．
（2）∵BC=EF，BC∥EF，
∴四边形BCFE是平行四边形，
∴∠EBC=∠F=35°．
【点拨】本题主要考查平移的性质和平行四边形的判定和性质，解决本题的关键是熟练掌握平移的性质和平行四边形的判定和性质．
【变式2】如图，在中，平分交于点，交于点．
（1）用尺规完成以下基本作图：作的平分线，交于点．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）连接，．求证：四边形为平行四边形．
【答案】（1）见分析；（2）见分析．
【分析】（1）利用基本作图作的平分线即可；
（2）先利用平行四边形的性质得到，，，则，，然后证明，得出，间接可得，推导出从而得到结论．
（1）解：如图，为所作；
（2）证明：四边形为平行四边形，
，，，
平分，平分，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
根据对顶角相等可得出，
，
即，
四边形为平行四边形．
【点拨】本题考查了作图基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线），也考查了全等三角形的判定与性质和平行四边形的判定与性质．