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初中数学人教版八年级下册18.1.2 平行四边形的判定随堂练习题
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这是一份初中数学人教版八年级下册18.1.2 平行四边形的判定随堂练习题，共31页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．如图，下列选项中，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是( )
A．，B．，
C．，D．，
2．1.如图，在▱ABCD中，AB＝8，点E是AB上一点，AE＝3，连接DE，过点C作CF∥DE，交AB的延长线于点F，则BF的长为（ ）
A．5B．4C．3D．2
3．如图，有两块全等的含角的直角三角板，将它们拼成形状不同的平行四边形，则最多可以拼成（ ）
A．1种B．2种C．3种D．4种
4．如图，在中，，，的平分线交于点，则 的长是（ ）
A．5B．6C．7.5D．10
5．如图，在中，E、F分别为边AB、DC的中点，连接AF、CE、DE、BF、EF，AF与DE交于点G，CE与BF交于点H，则图中共有平行四边形（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
6．如图，四边形中，ADBC，，，．若点是线段的中点，则的长为（ ）
A．B．2C．D．3
7．如图，在平行四边形中，过对角线上一点，作EFBC，HGAB，若四边形和四边形的面积分别为和，则与的大小关系为（ ）
A．B．C．D．不能确定
8．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AC＝5，点D在BC上，以AC为对角线的所有ADCE中，DE最小的值是（ ）
A．3B．4C．2D．1
9．如图，是的边上的点，是中点，连接并延长交于点，连接与相交于点，若，，则阴影部分的面积为（ ）
A．24B．17C．13D．10
10．如图，四边形ABCD中，AB=CD，对角线AC、BD相交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连接AF、CE，若DE=BF，则下列结论：①CF=AE；②OE=OF；③四边形ABCD是平行四边形，其中正确结论的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
二、填空题
11．如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，BC，CA的中点，以这些点为顶点的平行四边形有______个．
12．如图，在中，对角线，，垂足为，且，，则与之间的距离为______．
13．如图，在中，E，F分别在边BC，AD上，有以下条件：①；②；③．若想使四边形AFCE为平行四边形，则还需添加一个条件，这个条件可以是__________（填写相应序号）．
14．如图，已知中，点M是BC的中点，线段AM、BD互相垂直，AM=3，BD=6，则该平行四边形的面积为____．
15．如图，在中，D是边上的中点，连结，把沿翻折，得到，连接，若，则的面积为___________
16．如图，中，，为锐角，点O是对角线的中点．某数学学习小组要在上找两点E、F，使四边形为平行四边形，现总结出如下甲、乙、丙三种方案，其中所有正确的方案是______________．
17．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，，，，分别是，，的中点，下列结论：
①；
②四边形是平行四边形；
③；
④，
其中正确的有_______个．
18．如图，四边形中，，，，是上一点，且，点从点出发以的速度向点运动，点从点出发，以的速度向点运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为，则当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，__________．
三、解答题
19．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，∠ABC的平分线交AD于点E，∠BCD的平分线交AD于点F，交BE于点G．
(1) 当∠BGC等于多少度时，四边形ABCD是平行四边形？并以此为条件，证明该四边形为平行四边形．
(2) 在（1）问的情况下，求证：AF＝DE．
20．如图，是的角平分线，点E，F分别在，上，且，．
(1) 求证：四边形是平行四边形
(2) 若，，求平行四边形的面积．
21．如图，四边形中，垂直平分，垂足为点为四边形外一点，且，．
(1) 求证：四边形是平行四边形；
(2) 如果平分，，，求的长．
22．如图，在四边形ABCD中，点H是BC的中点，作射线AH，在线段AH及其延长线上分别取点E,F，连接BE，CF.
（1）如图1，请你添加一个条件_____________，使得△BEH≌△CFH：
（2）如图2，在（1）的条件下，当BH与EH满足什么关系时，四边形BFCE是矩形，并给出证明.
23．如图1，平面直角坐标系中，轴，，C是点A关于x轴的对称点，，交x轴于点E，连接．
求证：
①平分；
②是等边三角形；
如图2，若F在上，，连接，点B的坐标为，直接写出点F的坐标（用a、b表示）．
24．如图1，在中，D、E分别是AB、两边的中点，延长至点F，使，连接，易知.
探究：如图2，是的中线，交于于点E，交于点F，且，求证：.
应用：如图3，在中，，，，是的中位线.过点D、E作，分别交边于点F、G，过点A作，分别与、的延长线交于点M、N.
①四边形的面积S是否会发生变化？如果变化，请直接写出S的范围，如果不变，请直接写出S的值.
②四边形的周长C是否会发生变化？如果变化，请直接写出C的范围，如果不变，请直接写出C的值.
参考答案
1．C
【分析】根据平行四边形的判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③对角线互相平分的四边形是平行四边形；④一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，对每个选项进行筛选可得答案．
解：A、根据对角线互相平分，可得四边形是平行四边形，可以证明四边形ABCD是平行四边形，本选项不符合题意；
B、ABCD，AB＝CD，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可以证明四边形ABCD是平行四边形，本选项不符合题意；
C、，不是同一组对边的平行且相等，不能证明四边形ABCD是平行四边形，本选项符合题意；
D、，，结合四边形内角和为可得∠ABC＋∠BCD＝180°，从而ABCD，同理可得∠ABC＋∠BAD＝180°，从而ADBC，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可以证明四边形ABCD是平行四边形，本选项不符合题意；
故选：C．
【点拨】本题主要考查平行四边形的判定问题，熟练掌握平行四边形的性质，能够熟练判定一个四边形是否为平行四边形是解决问题的关键．
2．C
【分析】根据平行四边形的性质可知CD＝AB＝8，由AE＝3，可得BE的长，再判定四边形DEFC是平行四边形，根据平行四边形的性质可得EF的长，由BF＝EF﹣BE，即可求出BF．
解：∵在▱ABCD中，AB＝8，
∴CD＝AB＝8，AB∥CD，
∵AE＝3，
∴BE＝AB﹣AE＝5，
∵CF∥DE，
∴四边形DEFC是平行四边形，
∴DC＝EF＝8，
∴BF＝EF﹣BE＝8﹣5＝3．
故选：C．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质以及判定，能够熟练运用平行四边形的判定是解题的关键．
3．C
【分析】分别以不同的三边为对角线进行拼接即可得．
解：以不同的三边为对角线进行拼接，可拼成如下三种平行四边形：
故选：C．
【点拨】本题考查了平行四边形的判定，掌握理解并灵活运用判定方法是解题关键．
4．A
【分析】由已知为的角平分线及，可得为等腰三角形，则，即可求出．
解：为的角平分线，
（两直线平行，内错角相等），
在中，，即，
，
故选A．
【点拨】本题考查了平行线的性质运用，关键要综合运用角平分线与平行线性质，得出为等腰三角形结论．
5．D
【分析】根据四边形ABCD是平行四边形，得到AB=CD，AB∥CD，根据E、F分别为边AB、DC的中点，得到AE=BE= AB，CF=DF= CD，推出AE=DF =CF=BE，推出四边形ADFE，AFCE，EDFB，EFCB都是平行四边形,得到AE∥CE，DE∥BF，推出四边形EGFH是平行四边形，至此，连原来的平行四边形共有6个．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∵E、F分别为边AB、DC的中点，
∴AE=BE= AB，CF=DF= CD，
∴AE=DF，AE=CF，BE=CF，BE=DF，
∴四边形ADFE，AFCE，EDFB，EFCB都是平行四边形,
∴AE∥CE，DE∥BF，
∴四边形EGFH是平行四边形，
故平行四边形共有6个．
故选D．
【点拨】本题主要考查了平行四边形，解决问题的关键是熟练掌握平行四边形的定义、判定和性质．
6．C
【分析】延长CM交AD于N，先由AAS证得△BCM≌△DNM，得出NM＝CM＝CN，DN＝BC＝3，求出AN＝BC，得出四边形ABCN是平行四边形，即可得出结果．
解：延长CM交AD于N，如图所示：
∵点M是线段BD的中点，
∴BM＝DM，
∵ADBC，
∴∠CBM＝∠NDM，∠BCM＝∠DNM，
在△BCM和△DNM中，
，
∴△BCM≌△DNM（AAS），
∴NM＝CM＝CN，DN＝BC＝3，
∴AN＝AD﹣DN＝6﹣3＝3，
∴AN＝BC，
∵ADBC，
∴四边形ABCN是平行四边形，
∴CN＝AB＝5，
∴CM＝，
故选：C．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、平行四边形的判定与性质等知识，添加辅助线证明△BCM≌△DNM是解题的关键．
7．A
【分析】先证明△ABD≌△CDB，△BEP≌△PGB，△HPD≌△FDP，再利用全等三角形的面积相等，得出 ，即．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，EFBC，HGAB，
∴AD=BC，AB=CD，ABGHCD，ADEFBC，
∴四边形GBEP、HPFD是平行四边形，
∵在△ABD和△CDB中，AB=CD，BD=BD，AD=BC，
∴△ABD≌△CDB，
∴；
同理可得：，，，
∴
即，也即．
故选A．
【点拨】本题考查平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，利用全等三角形的面积相等结合面积做差得出结论是解题的关键．
8．A
【分析】由平行四边形的对角线互相平分、垂线段最短知，当OD⊥BC时，线段DE取最小值，然后证明四边形ABDE是平行四边形，根据平行四边形的性质得到DE．
解：∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，
∴BC⊥AB，
∵四边形ADCE是平行四边形，
∴OD＝OE，OA＝OC，CD∥AE，
∴当OD取最小值时，线段DE最短，此时OD⊥BC，
∴OD∥AB，
∵BD∥AE，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴DE＝AB＝3，
故选：A．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质和判定以及垂线段最短等知识；熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
9．B
【分析】连接，如图，先根据平行四边形的性质得到，，再证明得到，则可判定四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质得到，接着证明四边形为平行四边形，所以，然后计算得到阴影部分的面积．
解：连接，如图，
四边形为平行四边形，
，，
，
是中点，
，
在和中，
，
，
，
，
四边形为平行四边形，
，
，
即，
，
四边形为平行四边形，
，
阴影部分的面积．
故选：B．
【点拨】本题考查了平行四边形的判定与性质：一组对边平行且相等的四边形为平行四边形；平行四边形的对边平行且相等；平行四边形的对角线把四边形分成面积相等的四部分．
10．D
【分析】根据平行四边形的性质与判定以及全等三角形的判定与性质分别分析得出即可．
解：①正确，∵DE=BF，即DF=BE，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠DFC=∠BEA=90°，
又∵AB=CD，∴Rt△DFC≌Rt△BEA（HL），
∴CF=AE；
②正确，∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴CF∥AE，
由①可知，FC=AE，
∴四边形CFAE是平行四边形，∴OE=OF，
③正确，∵Rt△DFC≌Rt△BEA（HL），∴∠CDF=∠ABE，∴CD∥AB，
∵AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形.
综上，故选D.
【点拨】本题考查了平行四边形的性质与判定以及全等三角形的判定与性质，解题关键是得出Rt△DFC≌Rt△BEA．
11．3
【分析】由于D、E、F分别是边AB，BC，CA的中点，易知DE、DF、EF都是△ABC的中位线，那么DE∥AC，DF∥BC，EF∥AB，根据平行四边形的定义，两两结合易证四边形EDFC是平行四边形；四边形EBDF是平行四边形；四边形ADEF是平行四边形．
解：∵D、E、F分别是边AB，BC，CA的中点，
∴DE、DF、EF都是△ABC的中位线，
∴DE∥AC，DF∥BC，EF∥AB，
∴四边形EDFC是平行四边形，四边形EBDF是平行四边形，四边形ADEF是平行四边形．
故答案为3．
【点拨】本题考查了平行四边形的判定、三角形中位线定理，解题的关键是熟练掌握三角形中位线定理的内容．
12．．
【分析】设与之间的距离为，由条件可知的面积是的面积的2倍，可求得的面积，，因此可求得的长．
解：∵四边形为平行四边形，
∴，，
，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
设与之间的距离为，
∵，
∴，
∴，
解得，
故答案为：．
【点拨】本题主要考查平行四边形的性质，由已知条件得到四边形ABCD的面积是△ABC的面积的2倍是解题的关键（本题也可以采用等底等高的三角形的面积是平行四边形面积的一半来求解）．
13．③
【分析】①和②都不能证得四边形AFCE是平行四边形；③可以采用两组对边分别平行的四边形是平行四边形证得．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ABCD，AB=CD，∠B=∠D，ADBC，AD=BC，
如果添加①，点E的位置无法确定，无法判定四边形AFCE的形状；
如果添加②，四边形AFCE可能是平行四边形或是等腰梯形；
如果③，则AE//CF，
∵AFCE，
∴四边形AFCE是平行四边形，故③正确，
故答案为：③．
【点拨】此题考查了平行四边形的性质与判定，解题的关键是选择适宜的证明方法：此题③采用两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
14．12
【分析】由题意连接MD,根据三角形同底同高可得，再利用平行四边形的性质得出
，进而运用面积的比例进行分析计算即可求得平行四边形的面积．
解：由题意连接MD,
∵点M是BC的中点，
∴，，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵线段AM、BD互相垂直，AM=3，BD=6，
∴S四边形ABMD=,
∵S四边形ABMD=,
∴,
∴．
故答案为：12．
【点拨】本题考查平行四边形的性质，熟练掌握三角形同底同高其面积相等以及平行四边形的对角线平分平行四边形的面积是解题的关键．
15．
【分析】过点A作，交延长线于点H，过D作于点G，则，先证得是等边三角形，可得，从而得到，进而得到四边形是平行四边形，可得到，从而得到，即可求解．
解：如图，过点A作，交延长线于点H，过D作于点G，则，
∵D是边上的中点，
∴，
∵把沿翻折，得到，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵是等边三角形，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：
【点拨】本题主要考查了图形的折叠，等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，根据题意得到是解题的关键．
16．甲、乙、丙
【分析】由平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质分别对各个方案进行判断即可．
解：方案甲，连接AC交BD与G，如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴GB＝GD，GA＝GC，
又O为BD的中点，
∴OB＝OD，
∴O，G为同一个点，
∵E、F分别为DO、BO的中点，
∴OE＝DE，OF＝BF，
∴OE＝OF，
∴四边形AECF为平行四边形，故方案甲正确；
方案乙，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD＝∠BCD，AD＝CB，ADCB，
∴∠ADE＝∠CBF，
∵AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，
∴，，
∴∠DAE＝∠BCF，
在△DAE和△BCF中，
，
∴△DAE≌△BCF（ASA），
∴AE＝CF，∠AED＝∠CFB，
∴∠AEF＝∠CFE，
∴AECF，
∴四边形AECF为平行四边形，故方案乙正确；
方案丙，∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴AECF，∠AED＝∠CFB＝90°，
在△DAE和△BCF中，
，
∴△DAE≌△BCF（AAS），
∴AE＝CF，
∴四边形AECF是平行四边形，故方案丙正确；
故答案为：甲、乙、丙．
【点拨】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
17．
【分析】由平行四边形的性质可得AB=CD，AD=BC，BO=DO=BD，AO=CO，ABCD，即可得BO=DO=AD=BC，由等腰三角形的性质可判断①，由中位线定理和直角三角形的性质可判断②④，由平行四边形的性质可判断③，即可求解．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，BO=DO=BD，AO=CO，ABCD，
∵BD=2AD，
∴BO=DO=AD=BC，且点E是OC中点，
∴BE⊥AC，
∴①正确；
∵E、F、分别是OC、OD中点，
∴EFDC，CD=2EF，
∵G是AB中点，BE⊥AC，
∴AB=2BG=2GE，且CD=AB，CDAB，
∴BG=EF=GE，EFCDAB，
∴四边形BGFE是平行四边形，
∴②④正确；
∵四边形BGFE是平行四边形，
∴BG=EF，GF=BE，且GE=GE，
∴△BGE≌△FEG（SSS），
∴③正确．
故答案为：4．
【点拨】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．
18．或.
【分析】分两种情形列出方程即可解决问题
解：①当点在线段上，时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形，
则有，解得，
②当在线段上，时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形，
则有，解得，
综上所述，或时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形．
故答案为：或
【点拨】本题考查平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．
19．(1) 90°，证明见分析(2) 见分析
【分析】（1）证出∠GBC+∠GCB=90°，由角平分线的定义得出∠ABC=2∠GBC，∠BCD=2∠DCF，得出∠ABC+∠BCD=180°，证出AB//CD，即可得出结论；
（2）根据平行四边形的性质可得：AB=CD，AD//BC，根据平行线性质和角平分线的定义求出∠ABE=∠AEB，推出AB=AE，同理求出DF=CD，即可证明AE=DF．
（1）解：∠BGC=90°时，四边形ABCD是平行四边形，
证明：∵∠BGC=90°，
∴∠GBC+∠GCB=90°，
∵∠ABC的平分线交AD于点E，∠BCD的平分线交AD于点F，
∴∠ABC=2∠GBC，∠BCD=2∠DCF，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∴AB//CD，
∵AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD//BC，
∴∠AEB=∠EBC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE，
同理可得：DF=CD，
∴AE=DF，即AF+EF=DE+EF，
∴AF=DE．
【点拨】本题考查了平行四边形性质，等腰三角形的判定等知识的运用，能综合运用平行四边形的性质进行推理是解此题的关键．
20．(1) 见分析；(2) ．
【分析】（1）根据角平分线的性质得到，根据平行线的性质得到，等量代换得到，于是得到，由，，可证得四边形是平行四边形；
（2）首先过点作于，过点作于，由，平分，可求，的长度，进而可得平行四边形的面积．
解：（1）证明：∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵
∴
∴四边形为平行四边形．
（2）过点作于，过点作于，
∵，平分，，
∴，
由（1）知，
∴，
∵，
∴，
，
∴，，
∵，
∴，
∴．
【点拨】此题考查平行四边形的判定及计算平行四边形的面积，含的直角三角形，添加辅助线构造含的直角三角形是解决问题的关键．
21．(1) 见分析(2)
【分析】（1）分别证明，得出结论；
（2）利用勾股定理求出，再利用等积法求出，即可得出结论．
解：（1）∵，
∴，
∵，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
（2）∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
过作，
∴，
∴，
∵垂直平分，则,
∵，
∴，
∴．
【点拨】本题考查平行四边形的判定以及利用勾股定理解直角三角形，利用等积法求高是解决问题的关键．
22．（1）BE∥CF(2)见分析
【分析】（1）根据全等三角形的判定方法，可得出当EH=FH，BE∥CF，∠EBH=∠FCH时，都可以证明△BEH≌△CFH；
（2）由（1）可得出四边形BFCE是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形为矩形可得出BH=EH时，四边形BFCE是矩形．
解：（1）添加：BE∥CF，
∵BE//CF，
∴∠BEH=∠F，
又∵∠BHE=∠CHF，BH=CH，
∴△BEH≌△CFH（ASA）；
（2）BH=EH时，四边形BFCE是矩形，证明如下：
∵△BEH≌△CFH，
∴BE=CF，
∵BE∥CF，
∴四边形BECF为平行四边形，
∵△BEH≌△CFH，
∴BH=CH，EH=FH，
∵BH=EH，
∴BH=CH=EH=FH，
∴BC=EF，
∴四边形BFCE是矩形.
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质以及平行四边形的判定，是基础题，难度不大．
23．(1) ①见分析；②见分析；(2) ．
【分析】（1）①利用平行线的性质和等腰三角形的性质证明即可证明结论；②先根据对称性得到，进而证明，．证明∴．得到，即可证明是等边三角形；
（2）如图所示，过点B作轴于G，过点F作于H，由等边三角形的性质得到，证明四边形是平行四边形，得到，，再由，，证明，得到，利用勾股定理和含30度角的直角三角形的性质求出，则，，同理，据此即可得到答案．
解：（1）证明：（1）①∵，
∴．
∵轴，
∴．
∴．
∴平分；
②C是点A关于x轴的对称点，
∴．
∵
∴．
∴．
∴．
在和中
∴．
∴．
∴是等边三角形．
（2）解：如图所示，过点B作轴于G，过点F作于H，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理，即，
∴；
【点拨】本题主要考查了坐标与图形，平行线的性质，三角形内角和定理，等边对等角，全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
24．(1) 证明见分析(2) ①S的值不变，S的值为②周长C会发生变化，范围是
【分析】（1）利用倍长中线法构造全等三角形，再利用等角对等边即可求证．
（2）①先判定四边形MFGN是平行四边形，再利用平行四边形的面积公式“面积=底×高”求解即可；
②利用平行四边形的周长公式以及转化为求的最大与最小值，由点F、G在边上，可以得出的最大与最小值，即可完成求解．
解：（1）如图2，延长至使DG=DF，
∵是△ABC的中线，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
（2）①的值不变，的值为；
理由：∵，，
∴四边形是平行四边形，
又∵是的中位线，
∴，且，
∵四边形也是个平行四边形，
∴，
如图，过A点作，垂足为H，
∵，，
∴，
∴，
∴,
因此，S的值不变，为．
②周长会发生变化，范围是．
由①知，四边形是平行四边形，
∴，
∴，
当时，得，
此时，且为最小值；
∵中，，，，，
∴，
∴，
∴当时，，
此时，且为最大值；
因此周长会发生变化，范围是．
【点拨】本题考查了平行四边形的判定与性质、倍长中线法、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解题关键是能正确作出辅助线，构造全等三角形和直角三角形，再利用勾股定理解决问题．甲：分别取、的中点E、F
乙：作、分别平分、
丙：分别作、垂直于点E、F
1．如图，下列选项中，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是( )
A．，B．，
C．，D．，
2．1.如图，在▱ABCD中，AB＝8，点E是AB上一点，AE＝3，连接DE，过点C作CF∥DE，交AB的延长线于点F，则BF的长为（ ）
A．5B．4C．3D．2
3．如图，有两块全等的含角的直角三角板，将它们拼成形状不同的平行四边形，则最多可以拼成（ ）
A．1种B．2种C．3种D．4种
4．如图，在中，，，的平分线交于点，则 的长是（ ）
A．5B．6C．7.5D．10
5．如图，在中，E、F分别为边AB、DC的中点，连接AF、CE、DE、BF、EF，AF与DE交于点G，CE与BF交于点H，则图中共有平行四边形（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
6．如图，四边形中，ADBC，，，．若点是线段的中点，则的长为（ ）
A．B．2C．D．3
7．如图，在平行四边形中，过对角线上一点，作EFBC，HGAB，若四边形和四边形的面积分别为和，则与的大小关系为（ ）
A．B．C．D．不能确定
8．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AC＝5，点D在BC上，以AC为对角线的所有ADCE中，DE最小的值是（ ）
A．3B．4C．2D．1
9．如图，是的边上的点，是中点，连接并延长交于点，连接与相交于点，若，，则阴影部分的面积为（ ）
A．24B．17C．13D．10
10．如图，四边形ABCD中，AB=CD，对角线AC、BD相交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连接AF、CE，若DE=BF，则下列结论：①CF=AE；②OE=OF；③四边形ABCD是平行四边形，其中正确结论的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
二、填空题
11．如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，BC，CA的中点，以这些点为顶点的平行四边形有______个．
12．如图，在中，对角线，，垂足为，且，，则与之间的距离为______．
13．如图，在中，E，F分别在边BC，AD上，有以下条件：①；②；③．若想使四边形AFCE为平行四边形，则还需添加一个条件，这个条件可以是__________（填写相应序号）．
14．如图，已知中，点M是BC的中点，线段AM、BD互相垂直，AM=3，BD=6，则该平行四边形的面积为____．
15．如图，在中，D是边上的中点，连结，把沿翻折，得到，连接，若，则的面积为___________
16．如图，中，，为锐角，点O是对角线的中点．某数学学习小组要在上找两点E、F，使四边形为平行四边形，现总结出如下甲、乙、丙三种方案，其中所有正确的方案是______________．
17．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，，，，分别是，，的中点，下列结论：
①；
②四边形是平行四边形；
③；
④，
其中正确的有_______个．
18．如图，四边形中，，，，是上一点，且，点从点出发以的速度向点运动，点从点出发，以的速度向点运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为，则当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，__________．
三、解答题
19．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，∠ABC的平分线交AD于点E，∠BCD的平分线交AD于点F，交BE于点G．
(1) 当∠BGC等于多少度时，四边形ABCD是平行四边形？并以此为条件，证明该四边形为平行四边形．
(2) 在（1）问的情况下，求证：AF＝DE．
20．如图，是的角平分线，点E，F分别在，上，且，．
(1) 求证：四边形是平行四边形
(2) 若，，求平行四边形的面积．
21．如图，四边形中，垂直平分，垂足为点为四边形外一点，且，．
(1) 求证：四边形是平行四边形；
(2) 如果平分，，，求的长．
22．如图，在四边形ABCD中，点H是BC的中点，作射线AH，在线段AH及其延长线上分别取点E,F，连接BE，CF.
（1）如图1，请你添加一个条件_____________，使得△BEH≌△CFH：
（2）如图2，在（1）的条件下，当BH与EH满足什么关系时，四边形BFCE是矩形，并给出证明.
23．如图1，平面直角坐标系中，轴，，C是点A关于x轴的对称点，，交x轴于点E，连接．
求证：
①平分；
②是等边三角形；
如图2，若F在上，，连接，点B的坐标为，直接写出点F的坐标（用a、b表示）．
24．如图1，在中，D、E分别是AB、两边的中点，延长至点F，使，连接，易知.
探究：如图2，是的中线，交于于点E，交于点F，且，求证：.
应用：如图3，在中，，，，是的中位线.过点D、E作，分别交边于点F、G，过点A作，分别与、的延长线交于点M、N.
①四边形的面积S是否会发生变化？如果变化，请直接写出S的范围，如果不变，请直接写出S的值.
②四边形的周长C是否会发生变化？如果变化，请直接写出C的范围，如果不变，请直接写出C的值.
参考答案
1．C
【分析】根据平行四边形的判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③对角线互相平分的四边形是平行四边形；④一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，对每个选项进行筛选可得答案．
解：A、根据对角线互相平分，可得四边形是平行四边形，可以证明四边形ABCD是平行四边形，本选项不符合题意；
B、ABCD，AB＝CD，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可以证明四边形ABCD是平行四边形，本选项不符合题意；
C、，不是同一组对边的平行且相等，不能证明四边形ABCD是平行四边形，本选项符合题意；
D、，，结合四边形内角和为可得∠ABC＋∠BCD＝180°，从而ABCD，同理可得∠ABC＋∠BAD＝180°，从而ADBC，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可以证明四边形ABCD是平行四边形，本选项不符合题意；
故选：C．
【点拨】本题主要考查平行四边形的判定问题，熟练掌握平行四边形的性质，能够熟练判定一个四边形是否为平行四边形是解决问题的关键．
2．C
【分析】根据平行四边形的性质可知CD＝AB＝8，由AE＝3，可得BE的长，再判定四边形DEFC是平行四边形，根据平行四边形的性质可得EF的长，由BF＝EF﹣BE，即可求出BF．
解：∵在▱ABCD中，AB＝8，
∴CD＝AB＝8，AB∥CD，
∵AE＝3，
∴BE＝AB﹣AE＝5，
∵CF∥DE，
∴四边形DEFC是平行四边形，
∴DC＝EF＝8，
∴BF＝EF﹣BE＝8﹣5＝3．
故选：C．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质以及判定，能够熟练运用平行四边形的判定是解题的关键．
3．C
【分析】分别以不同的三边为对角线进行拼接即可得．
解：以不同的三边为对角线进行拼接，可拼成如下三种平行四边形：
故选：C．
【点拨】本题考查了平行四边形的判定，掌握理解并灵活运用判定方法是解题关键．
4．A
【分析】由已知为的角平分线及，可得为等腰三角形，则，即可求出．
解：为的角平分线，
（两直线平行，内错角相等），
在中，，即，
，
故选A．
【点拨】本题考查了平行线的性质运用，关键要综合运用角平分线与平行线性质，得出为等腰三角形结论．
5．D
【分析】根据四边形ABCD是平行四边形，得到AB=CD，AB∥CD，根据E、F分别为边AB、DC的中点，得到AE=BE= AB，CF=DF= CD，推出AE=DF =CF=BE，推出四边形ADFE，AFCE，EDFB，EFCB都是平行四边形,得到AE∥CE，DE∥BF，推出四边形EGFH是平行四边形，至此，连原来的平行四边形共有6个．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∵E、F分别为边AB、DC的中点，
∴AE=BE= AB，CF=DF= CD，
∴AE=DF，AE=CF，BE=CF，BE=DF，
∴四边形ADFE，AFCE，EDFB，EFCB都是平行四边形,
∴AE∥CE，DE∥BF，
∴四边形EGFH是平行四边形，
故平行四边形共有6个．
故选D．
【点拨】本题主要考查了平行四边形，解决问题的关键是熟练掌握平行四边形的定义、判定和性质．
6．C
【分析】延长CM交AD于N，先由AAS证得△BCM≌△DNM，得出NM＝CM＝CN，DN＝BC＝3，求出AN＝BC，得出四边形ABCN是平行四边形，即可得出结果．
解：延长CM交AD于N，如图所示：
∵点M是线段BD的中点，
∴BM＝DM，
∵ADBC，
∴∠CBM＝∠NDM，∠BCM＝∠DNM，
在△BCM和△DNM中，
，
∴△BCM≌△DNM（AAS），
∴NM＝CM＝CN，DN＝BC＝3，
∴AN＝AD﹣DN＝6﹣3＝3，
∴AN＝BC，
∵ADBC，
∴四边形ABCN是平行四边形，
∴CN＝AB＝5，
∴CM＝，
故选：C．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、平行四边形的判定与性质等知识，添加辅助线证明△BCM≌△DNM是解题的关键．
7．A
【分析】先证明△ABD≌△CDB，△BEP≌△PGB，△HPD≌△FDP，再利用全等三角形的面积相等，得出 ，即．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，EFBC，HGAB，
∴AD=BC，AB=CD，ABGHCD，ADEFBC，
∴四边形GBEP、HPFD是平行四边形，
∵在△ABD和△CDB中，AB=CD，BD=BD，AD=BC，
∴△ABD≌△CDB，
∴；
同理可得：，，，
∴
即，也即．
故选A．
【点拨】本题考查平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，利用全等三角形的面积相等结合面积做差得出结论是解题的关键．
8．A
【分析】由平行四边形的对角线互相平分、垂线段最短知，当OD⊥BC时，线段DE取最小值，然后证明四边形ABDE是平行四边形，根据平行四边形的性质得到DE．
解：∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，
∴BC⊥AB，
∵四边形ADCE是平行四边形，
∴OD＝OE，OA＝OC，CD∥AE，
∴当OD取最小值时，线段DE最短，此时OD⊥BC，
∴OD∥AB，
∵BD∥AE，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴DE＝AB＝3，
故选：A．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质和判定以及垂线段最短等知识；熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
9．B
【分析】连接，如图，先根据平行四边形的性质得到，，再证明得到，则可判定四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质得到，接着证明四边形为平行四边形，所以，然后计算得到阴影部分的面积．
解：连接，如图，
四边形为平行四边形，
，，
，
是中点，
，
在和中，
，
，
，
，
四边形为平行四边形，
，
，
即，
，
四边形为平行四边形，
，
阴影部分的面积．
故选：B．
【点拨】本题考查了平行四边形的判定与性质：一组对边平行且相等的四边形为平行四边形；平行四边形的对边平行且相等；平行四边形的对角线把四边形分成面积相等的四部分．
10．D
【分析】根据平行四边形的性质与判定以及全等三角形的判定与性质分别分析得出即可．
解：①正确，∵DE=BF，即DF=BE，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠DFC=∠BEA=90°，
又∵AB=CD，∴Rt△DFC≌Rt△BEA（HL），
∴CF=AE；
②正确，∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴CF∥AE，
由①可知，FC=AE，
∴四边形CFAE是平行四边形，∴OE=OF，
③正确，∵Rt△DFC≌Rt△BEA（HL），∴∠CDF=∠ABE，∴CD∥AB，
∵AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形.
综上，故选D.
【点拨】本题考查了平行四边形的性质与判定以及全等三角形的判定与性质，解题关键是得出Rt△DFC≌Rt△BEA．
11．3
【分析】由于D、E、F分别是边AB，BC，CA的中点，易知DE、DF、EF都是△ABC的中位线，那么DE∥AC，DF∥BC，EF∥AB，根据平行四边形的定义，两两结合易证四边形EDFC是平行四边形；四边形EBDF是平行四边形；四边形ADEF是平行四边形．
解：∵D、E、F分别是边AB，BC，CA的中点，
∴DE、DF、EF都是△ABC的中位线，
∴DE∥AC，DF∥BC，EF∥AB，
∴四边形EDFC是平行四边形，四边形EBDF是平行四边形，四边形ADEF是平行四边形．
故答案为3．
【点拨】本题考查了平行四边形的判定、三角形中位线定理，解题的关键是熟练掌握三角形中位线定理的内容．
12．．
【分析】设与之间的距离为，由条件可知的面积是的面积的2倍，可求得的面积，，因此可求得的长．
解：∵四边形为平行四边形，
∴，，
，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
设与之间的距离为，
∵，
∴，
∴，
解得，
故答案为：．
【点拨】本题主要考查平行四边形的性质，由已知条件得到四边形ABCD的面积是△ABC的面积的2倍是解题的关键（本题也可以采用等底等高的三角形的面积是平行四边形面积的一半来求解）．
13．③
【分析】①和②都不能证得四边形AFCE是平行四边形；③可以采用两组对边分别平行的四边形是平行四边形证得．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ABCD，AB=CD，∠B=∠D，ADBC，AD=BC，
如果添加①，点E的位置无法确定，无法判定四边形AFCE的形状；
如果添加②，四边形AFCE可能是平行四边形或是等腰梯形；
如果③，则AE//CF，
∵AFCE，
∴四边形AFCE是平行四边形，故③正确，
故答案为：③．
【点拨】此题考查了平行四边形的性质与判定，解题的关键是选择适宜的证明方法：此题③采用两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
14．12
【分析】由题意连接MD,根据三角形同底同高可得，再利用平行四边形的性质得出
，进而运用面积的比例进行分析计算即可求得平行四边形的面积．
解：由题意连接MD,
∵点M是BC的中点，
∴，，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵线段AM、BD互相垂直，AM=3，BD=6，
∴S四边形ABMD=,
∵S四边形ABMD=,
∴,
∴．
故答案为：12．
【点拨】本题考查平行四边形的性质，熟练掌握三角形同底同高其面积相等以及平行四边形的对角线平分平行四边形的面积是解题的关键．
15．
【分析】过点A作，交延长线于点H，过D作于点G，则，先证得是等边三角形，可得，从而得到，进而得到四边形是平行四边形，可得到，从而得到，即可求解．
解：如图，过点A作，交延长线于点H，过D作于点G，则，
∵D是边上的中点，
∴，
∵把沿翻折，得到，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵是等边三角形，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：
【点拨】本题主要考查了图形的折叠，等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，根据题意得到是解题的关键．
16．甲、乙、丙
【分析】由平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质分别对各个方案进行判断即可．
解：方案甲，连接AC交BD与G，如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴GB＝GD，GA＝GC，
又O为BD的中点，
∴OB＝OD，
∴O，G为同一个点，
∵E、F分别为DO、BO的中点，
∴OE＝DE，OF＝BF，
∴OE＝OF，
∴四边形AECF为平行四边形，故方案甲正确；
方案乙，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD＝∠BCD，AD＝CB，ADCB，
∴∠ADE＝∠CBF，
∵AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，
∴，，
∴∠DAE＝∠BCF，
在△DAE和△BCF中，
，
∴△DAE≌△BCF（ASA），
∴AE＝CF，∠AED＝∠CFB，
∴∠AEF＝∠CFE，
∴AECF，
∴四边形AECF为平行四边形，故方案乙正确；
方案丙，∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴AECF，∠AED＝∠CFB＝90°，
在△DAE和△BCF中，
，
∴△DAE≌△BCF（AAS），
∴AE＝CF，
∴四边形AECF是平行四边形，故方案丙正确；
故答案为：甲、乙、丙．
【点拨】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
17．
【分析】由平行四边形的性质可得AB=CD，AD=BC，BO=DO=BD，AO=CO，ABCD，即可得BO=DO=AD=BC，由等腰三角形的性质可判断①，由中位线定理和直角三角形的性质可判断②④，由平行四边形的性质可判断③，即可求解．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，BO=DO=BD，AO=CO，ABCD，
∵BD=2AD，
∴BO=DO=AD=BC，且点E是OC中点，
∴BE⊥AC，
∴①正确；
∵E、F、分别是OC、OD中点，
∴EFDC，CD=2EF，
∵G是AB中点，BE⊥AC，
∴AB=2BG=2GE，且CD=AB，CDAB，
∴BG=EF=GE，EFCDAB，
∴四边形BGFE是平行四边形，
∴②④正确；
∵四边形BGFE是平行四边形，
∴BG=EF，GF=BE，且GE=GE，
∴△BGE≌△FEG（SSS），
∴③正确．
故答案为：4．
【点拨】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．
18．或.
【分析】分两种情形列出方程即可解决问题
解：①当点在线段上，时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形，
则有，解得，
②当在线段上，时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形，
则有，解得，
综上所述，或时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形．
故答案为：或
【点拨】本题考查平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．
19．(1) 90°，证明见分析(2) 见分析
【分析】（1）证出∠GBC+∠GCB=90°，由角平分线的定义得出∠ABC=2∠GBC，∠BCD=2∠DCF，得出∠ABC+∠BCD=180°，证出AB//CD，即可得出结论；
（2）根据平行四边形的性质可得：AB=CD，AD//BC，根据平行线性质和角平分线的定义求出∠ABE=∠AEB，推出AB=AE，同理求出DF=CD，即可证明AE=DF．
（1）解：∠BGC=90°时，四边形ABCD是平行四边形，
证明：∵∠BGC=90°，
∴∠GBC+∠GCB=90°，
∵∠ABC的平分线交AD于点E，∠BCD的平分线交AD于点F，
∴∠ABC=2∠GBC，∠BCD=2∠DCF，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∴AB//CD，
∵AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD//BC，
∴∠AEB=∠EBC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE，
同理可得：DF=CD，
∴AE=DF，即AF+EF=DE+EF，
∴AF=DE．
【点拨】本题考查了平行四边形性质，等腰三角形的判定等知识的运用，能综合运用平行四边形的性质进行推理是解此题的关键．
20．(1) 见分析；(2) ．
【分析】（1）根据角平分线的性质得到，根据平行线的性质得到，等量代换得到，于是得到，由，，可证得四边形是平行四边形；
（2）首先过点作于，过点作于，由，平分，可求，的长度，进而可得平行四边形的面积．
解：（1）证明：∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵
∴
∴四边形为平行四边形．
（2）过点作于，过点作于，
∵，平分，，
∴，
由（1）知，
∴，
∵，
∴，
，
∴，，
∵，
∴，
∴．
【点拨】此题考查平行四边形的判定及计算平行四边形的面积，含的直角三角形，添加辅助线构造含的直角三角形是解决问题的关键．
21．(1) 见分析(2)
【分析】（1）分别证明，得出结论；
（2）利用勾股定理求出，再利用等积法求出，即可得出结论．
解：（1）∵，
∴，
∵，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
（2）∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
过作，
∴，
∴，
∵垂直平分，则,
∵，
∴，
∴．
【点拨】本题考查平行四边形的判定以及利用勾股定理解直角三角形，利用等积法求高是解决问题的关键．
22．（1）BE∥CF(2)见分析
【分析】（1）根据全等三角形的判定方法，可得出当EH=FH，BE∥CF，∠EBH=∠FCH时，都可以证明△BEH≌△CFH；
（2）由（1）可得出四边形BFCE是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形为矩形可得出BH=EH时，四边形BFCE是矩形．
解：（1）添加：BE∥CF，
∵BE//CF，
∴∠BEH=∠F，
又∵∠BHE=∠CHF，BH=CH，
∴△BEH≌△CFH（ASA）；
（2）BH=EH时，四边形BFCE是矩形，证明如下：
∵△BEH≌△CFH，
∴BE=CF，
∵BE∥CF，
∴四边形BECF为平行四边形，
∵△BEH≌△CFH，
∴BH=CH，EH=FH，
∵BH=EH，
∴BH=CH=EH=FH，
∴BC=EF，
∴四边形BFCE是矩形.
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质以及平行四边形的判定，是基础题，难度不大．
23．(1) ①见分析；②见分析；(2) ．
【分析】（1）①利用平行线的性质和等腰三角形的性质证明即可证明结论；②先根据对称性得到，进而证明，．证明∴．得到，即可证明是等边三角形；
（2）如图所示，过点B作轴于G，过点F作于H，由等边三角形的性质得到，证明四边形是平行四边形，得到，，再由，，证明，得到，利用勾股定理和含30度角的直角三角形的性质求出，则，，同理，据此即可得到答案．
解：（1）证明：（1）①∵，
∴．
∵轴，
∴．
∴．
∴平分；
②C是点A关于x轴的对称点，
∴．
∵
∴．
∴．
∴．
在和中
∴．
∴．
∴是等边三角形．
（2）解：如图所示，过点B作轴于G，过点F作于H，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理，即，
∴；
【点拨】本题主要考查了坐标与图形，平行线的性质，三角形内角和定理，等边对等角，全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
24．(1) 证明见分析(2) ①S的值不变，S的值为②周长C会发生变化，范围是
【分析】（1）利用倍长中线法构造全等三角形，再利用等角对等边即可求证．
（2）①先判定四边形MFGN是平行四边形，再利用平行四边形的面积公式“面积=底×高”求解即可；
②利用平行四边形的周长公式以及转化为求的最大与最小值，由点F、G在边上，可以得出的最大与最小值，即可完成求解．
解：（1）如图2，延长至使DG=DF，
∵是△ABC的中线，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
（2）①的值不变，的值为；
理由：∵，，
∴四边形是平行四边形，
又∵是的中位线，
∴，且，
∵四边形也是个平行四边形，
∴，
如图，过A点作，垂足为H，
∵，，
∴，
∴，
∴,
因此，S的值不变，为．
②周长会发生变化，范围是．
由①知，四边形是平行四边形，
∴，
∴，
当时，得，
此时，且为最小值；
∵中，，，，，
∴，
∴，
∴当时，，
此时，且为最大值；
因此周长会发生变化，范围是．
【点拨】本题考查了平行四边形的判定与性质、倍长中线法、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解题关键是能正确作出辅助线，构造全等三角形和直角三角形，再利用勾股定理解决问题．甲：分别取、的中点E、F
乙：作、分别平分、
丙：分别作、垂直于点E、F
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