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沪科版八年级数学下册举一反三训练 专题1.1 二次根式章末重难点题型（举一反三）（原卷版+解析）
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这是一份沪科版八年级数学下册举一反三训练 专题1.1 二次根式章末重难点题型（举一反三）（原卷版+解析），共47页。
【考点1 二次根式的概念】
【方法点拨】掌握二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式，理解被开方数
是非负数，给出一个式子能准确的判断其是否为二次根式，并能根据二次根式的定义确定被开方数中的字
母取值范围．
【例1】（2020春•安庆期末）下列式子一定是二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】（2020春•文登区期中）在式子，（x＞0），，（y＝﹣2），（x＞0），，，x+y中，二次根式有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【变式1-2】（2020春•青云谱区校级期中）在式子，，，，，中，是二次根式的有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【变式1-3】（2023春•平舆县期末）下列各式中①；②；③；④；⑤一定是二次根式的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【考点2 二次根式有意义的条件（求取值范围）】
【方法点拨】对于二次根式有意义的条件求取值范围类题型，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数
以及分式分母不为零．
【例2】（2020春•文登区期末）若式子在实数范围内有意义，则m的取值范围是（ ）
A．m≥1B．m≤1且m≠2C．m≥1且m≠2D．m≠2
【变式2-1】（2020•合肥校级期中）要使有意义，则x的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式2-2】（2020•日照二模）若使式子成立，则x的取值范围是（ ）
A．1.5≤x≤2B．x≤1.5C．1≤x≤2D．1≤x≤1.5
【变式2-3】（2020秋•北辰区校级月考）等式成立的条件是（ ）
A．a≠1B．a≥3且a≠﹣1C．a＞1D．a≥3
【考点3 二次根式有意义的条件（被开方数互为相反数）】
【方法点拨】对于解决此类型的题目关键从被开方数中找出一对相反数，利用二次根式的被开方数是非负
数进行求解即可.
【例3】（2020春•蕲春县期中）已知，x、y是有理数，且y4，则2x+3y的立方根为 ．
【变式3-1】（2023春•咸宁期中）若a，b为实数，且，则a+b的值为（ ）
A．﹣1B．1C．1或7D．7
【变式3-2】（2023秋•新化县期末）已知，
（1）求a+b的值；
（2）求7x+y2020的值．
【变式3-3】（2023秋•南江县期末）已知，求（z﹣y）2的值．
【考点4 二次根式的性质与化简（根据被开方数为非负数）】
【方法点拨】对于解决此类型的题目关键根据被开方数为非负数确定相关字母的符号，利用二次根式的性
质即可化简.
【例4】（2020春•沭阳县期末）已知a≠0且a＜b，化简二次根式的正确结果是（ ）
A．aB．﹣aC．aD．﹣a
【变式4-1】（2020春•徐州期末）与根式﹣x的值相等的是（ ）
A．B．﹣x2C．D．
【变式4-2】（2020春•东湖区校级月考）化简﹣a的结果是（ ）
A．B．C．D．
【变式4-3】（2020春•柯桥区期中）把代数式（a﹣1）中的a﹣1移到根号内，那么这个代数式等于（ ）
A．B．C．D．
【考点5 二次根式的性质与化简（根据字母取值范围或数轴）】
【例5】（2020春•河北期末）若1≤x≤4，则化简的结果为（ ）
A．2x﹣5B．3C．3﹣2xD．﹣3
【变式5-1】（2020•攀枝花）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（ ）
A．﹣2B．0C．﹣2aD．2b
【变式5-2】（2020春•潮南区期末）若a、b、c为三角形的三条边，则|b﹣a﹣c|＝（ ）
A．2b﹣2cB．2aC．2（a+b﹣c）D．2a﹣2c
【变式5-3】（2020春•邗江区校级期末）已知实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，化简|a﹣c||b|．
【考点6 最简二次根式的概念】
【方法点拨】最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不
含有可化为平方数或平方式的因数或因式．
【例6】（2020春•广州期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【变式6-1】（2020春•包河区期末）在根式、、、、中，最简二次根式有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式6-2】（2023秋•新化县期末）若二次根式是最简二次根式，则最小的正整数a为 ．
【变式6-3】（2023春•望花区校级月考）若和都是最简二次根式，则m+n＝ ．
【考点7 同类二次根式的概念】
【方法点拨】同类二次根式的概念：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式，同类二次根式可以合并．
【例7】（2023春•潍城区期中）下列二次根式：，，，，，其中不能与合并的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式7-1】（2020春•西城区校级期中）若最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则x的值为（ ）
A．x＝0B．x＝1C．x＝2D．x＝3
【变式7-2】（2020春•赛罕区期末）若最简二次根式，2可以合并，则m﹣n的值为 ．
【变式7-3】（2023春•随州期中）若最简二次根式和是同类二次根式．
（1）求x，y的值；
（2）求的值．
【考点8 二次根式的加减运算】
【方法点拨】二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变解答．
【例8】（2023春•江夏区校级月考）计算：
（1）3
（2）7a4a27a
【变式8-1】（2023春•硚口区期中）计算：
（1）263
（2）5x
【变式8-2】（2023春•江宁区校级月考）计算：
（1）2
（2）（15）（x＞0）
【变式8-3】（2023春•海陵区校级月考）计算
（1）
（2）2
【考点9 二次根式的乘除运算】
【方法点拨】掌握二次根式的乘除法法则是解决此类题的关键，①两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变；②两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.
【例9】（2023秋•闵行区校级月考）计算：．
【变式9-1】（2023秋•黄浦区校级月考）计算：．
【变式9-2】（2023春•徐汇区校级期中）化简：
【变式9-3】（2023秋•嘉定区期中）计算：•（）（a＞0）
【考点10 二次根式的混合运算】
【方法点拨】二次根式的混合运算可以说是二次根式乘、除法、加、减法的综合应用，在进行二次根式的混合运算时应注意以下几点：
①观察式子的结构，选择合理的运算顺序，二次根式的混合运算与实数运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号先算括号内的；
②在运算过程中，每个根式可以看作是一个“单项式”，多个不同类的二次根式的和可以看作是“多项式”；
【例10】（2020春•宜春期末）（1）计算：；
（2）化简：．
【变式10-1】（2020春•永城市期末）（1）计算：．
（2）计算：．
【变式10-2】（2020春•吴忠期末）计算：
（1）（21）2+（2）（2）；
（2）24．
【变式10-3】（2020春•涪城区期末）计算：
（1）（2）（2）﹣（1）2+5；
（2）（2•）．
【考点11 二次根式的化简求值】
【例11】（2020春•涪城区校级月考）若x，y是实数，且y，求（x）﹣（）的值．
【变式11-1】（2023春•洛南县期末）已知x，求下列各式的值：
（1）x2﹣xy+y2；
（2）．
【变式11-2】（2023春•台安县期中）已知x，x，求x2﹣3xy+y2的值．
【变式11-3】（2023秋•宝山区校级月考）已知x，y，求x2﹣xy+y2的值．
【考点12 分母有理化】
【方法点拨】二次分母有理化就是通过分子和分母同时乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程，混合运算中进行二次根式的除法运算，一般都是通过分母有理化而进行的．
【例12】（2020•唐山二模）阅读下列材料，然后回答问题．
在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
1
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
（1）化简
（2）化简．
（3）化简：．
【变式12-1】（2020春•淮安区校级期末）阅读下面计算过程：
1；
；
2．
求：（1）的值．
（2）（n为正整数）的值．
（3）的值．
【变式12-2】（2020春•孟村县期末）观察下列格式，，，，
（1）化简以上各式，并计算出结果；
（2）以上格式的结果存在一定的规律，请按规律写出第5个式子及结果
（3）用含n（n≥1的整数）的式子写出第n个式子及结果，并给出证明的过程．
【变式12-3】（2023春•微山县期中）【阅读材料】
材料一：把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化
通常把分子、分母乘以同一个不等于0的式子，以达到化去分母中根号的目的
例如：化简
解：
材料二：化简的方法：如果能找到两个实数m，n，使m2+n2＝a，并且mn，那么m±n
例如：化简
解：±1
【理解应用】
（1）填空：化简的结果等于 ；
（2）计算：
①；
②．
【考点13 复合二次根式的化简】
【例13】（2020春•安庆期末）阅读理解题，下面我们观察：
（1）2＝（）2﹣2×112＝2﹣21＝3﹣2．
反之3﹣22﹣21＝（1）2，所以3﹣2（1）2，
所以1．
完成下列各题：
（1）在实数范围内因式分解：3+2；
（2）化简：；
（3）化简：．
【变式13-1】（2020春•思明区校级月考）观察下式：（1）2＝（）2﹣2••1+12＝2﹣21＝3﹣2
反之，3﹣22﹣21＝（1）2
根据以上可求：1
求：（1）；
（2）你会算吗？
【变式13-2】（2020秋•延庆县期末）阅读下面的解答过程，然后作答：
有这样一类题目：将化简，若你能找到两个数m和n，使m2+n2＝a且mn，则a+2可变为m2+n2+2mn，即变成（m+n）2，从而使得，化简：
例如：∵5+23+2+2（）2+（）2+2（）2．
∴．
请你仿照上例将下列各式化简：
（1）；
（2）．
【变式13-3】（2023秋•常德期末）先阅读下列解答过程，然后再解答：
形如的化简，只要我们找到两个正数a，b，使a+b＝m，ab＝n，使得m，，那么便有：（a＞b）
例如：化简：
解：首先把化为，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12，即：7，，
所以．
问题：
①填空： ， ；
②化简：（请写出计算过程）．
【考点14 含二次根式的数式规律题】
【例14】（2023秋•高邑县期末）观察下列各式：
11
11
11
请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：
（1） 1
（2）请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式： 1 ；
（3）利用上述规律计算：（仿照上式写出过程）
【变式14-1】（2023春•当涂县期末）观察下列各式：
1，1，1，…
请利用你所发现的规律，
（1）计算
（2）根据规律，请写出第n个等式（n≥1，且n为正整数）．
【变式14-2】（2020春•长岭县期末）观察下列各式：①2，②3；③4，…
（1）请观察规律，并写出第④个等式： ；
（2）请用含n（n≥1）的式子写出你猜想的规律： ；
（3）请证明（2）中的结论．
【变式14-3】（2020春•惠城区期末）观察下列各式及其验算过程：
2，验证：2；
3，验证：3
（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果并进行验证．
（2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n为大于1的整数）表示的等式并给予验证．
专题1.1 二次根式章末重难点题型
【沪科版】
【考点1 二次根式的概念】
【方法点拨】掌握二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式，理解被开方数
是非负数，给出一个式子能准确的判断其是否为二次根式，并能根据二次根式的定义确定被开方数中的字
母取值范围．
【例1】（2020春•安庆期末）下列式子一定是二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式可得答案．
【解答】解：根据二次根式的定义可得中得被开方数无论x为何值都是非负数，
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次根式的定义，关键是掌握二次根式中的被开方数为非负数．
【变式1-1】（2020春•文登区期中）在式子，（x＞0），，（y＝﹣2），（x＞0），，，x+y中，二次根式有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【分析】根据二次根式的定义作答．
【解答】解：（x＞0），，符合二次根式的定义．
（y＝﹣2），（x＞0）无意义，不是二次根式．
属于三次根式．
x+y不是根式．
故选：B．
【点评】本题考查了二次根式的定义．一般形如（a≥0）的代数式叫做二次根式．当a≥0时，表示a的算术平方根；当a小于0时，非二次根式（在一元二次方程中，若根号下为负数，则无实数根）．
【变式1-2】（2020春•青云谱区校级期中）在式子，，，，，中，是二次根式的有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【分析】根据二次根式的定义形如（a≥0）的式子叫做二次根式，对被开方数的符号进行判断即可得．
【解答】解：在所列式子中是二次根式的有，，，这4个，
故选：B．
【点评】本题主要考查二次根式的定义，解题的关键是掌握形如（a≥0）的式子叫做二次根式．
【变式1-3】（2023春•平舆县期末）下列各式中①；②；③；④；⑤一定是二次根式的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式，据此逐一判断即可得．
【解答】解：在①；②；③；④；⑤一定是二次根式的是③④⑤，
故选：C．
【点评】本题考查了二次根式的定义．理解被开方数是非负数，给出一个式子能准确的判断其是否为二次根式，并能根据二次根式的定义确定被开方数中的字母取值范围．
【考点2 二次根式有意义的条件（求取值范围）】
【方法点拨】对于二次根式有意义的条件求取值范围类题型，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数
以及分式分母不为零．
【例2】（2020春•文登区期末）若式子在实数范围内有意义，则m的取值范围是（ ）
A．m≥1B．m≤1且m≠2C．m≥1且m≠2D．m≠2
【分析】分别根据二次根式及分式有意义的条件列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．
【解答】解：∵在实数范围内有意义，
∴，
解得m≥1且m≠2．
故选：C．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键．
【变式2-1】（2020•合肥校级期中）要使有意义，则x的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．
【解答】解：要使有意义，
则2x﹣1≥0，3﹣x＞0，
解得：x＜3．
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．
【变式2-2】（2020•日照二模）若使式子成立，则x的取值范围是（ ）
A．1.5≤x≤2B．x≤1.5C．1≤x≤2D．1≤x≤1.5
【分析】直接利用二次根式的性质进而计算得出答案．
【解答】解：由题意可得：，
解得：1≤x≤1.5．
故选：D．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握相关定义是解题关键．
【变式2-3】（2020秋•北辰区校级月考）等式成立的条件是（ ）
A．a≠1B．a≥3且a≠﹣1C．a＞1D．a≥3
【分析】观察等式右边，根据二次根式有意义和分式的分母不为0的条件列出不等式组，求出a的取值范围即可．
【解答】解：∵等式成立，
∴，
∴a≥3．
故选：D．
【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
【考点3 二次根式有意义的条件（被开方数互为相反数）】
【方法点拨】对于解决此类型的题目关键从被开方数中找出一对相反数，利用二次根式的被开方数是非负
数进行求解即可.
【例3】（2020春•蕲春县期中）已知，x、y是有理数，且y4，则2x+3y的立方根为 ．
【分析】根据二次根式有意义的条件可得x＝2，进而可得y的值，然后计算出2x+3y的值，进而可得立方根．
【解答】解：由题意得：，
解得：x＝2，
则y＝﹣4，
2x+3y＝2×2+3×（﹣4）＝4﹣12＝﹣8．
所以2．
故答案是：﹣2．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
【变式3-1】（2023春•咸宁期中）若a，b为实数，且，则a+b的值为（ ）
A．﹣1B．1C．1或7D．7
【分析】先根据二次根式的基本性质：有意义，则a≥0求出a的值，进一步求出b的值，从而求解．
【解答】解：∵，
∴a2﹣9＝0且a+3≠0，
解得a＝3，
b＝0+4＝4，
则a+b＝3+4＝7．
故选：D．
【点评】考查了二次根式有意义的条件，解决此题的关键：掌握二次根式的基本性质：有意义，则a≥0．
【变式3-2】（2023秋•新化县期末）已知，
（1）求a+b的值；
（2）求7x+y2020的值．
【分析】（1）根据二次根式有意义即可求出答案．
（2）根据二次根式有意义的条件列出方程组求出x与y的值即可求出答案．
【解答】解：（1）由题意可知：，
解得：a+b＝2020．
（2）由于0，
∴
∴解得：
∴7x+y2020＝14+1＝15．
【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
【变式3-3】（2023秋•南江县期末）已知，求（z﹣y）2的值．
【分析】首先根据二次根式的被开方数是非负数推知：原题中方程右边为0．方程左边也为0，据此求得x、y、z的值；然后代入求值．
【解答】解：由题中方程等号右边知：有意义，则x+y﹣2019≥0，即x+y≥2019，有意义，则2019﹣x﹣y≥0，即x+y≤2019，即，
∴x+y＝2019．
∴，．
∴原题中方程右边为0．
∴原题中方程左边也为0，即．
∵．
∴3x+y﹣z﹣8＝0，x+y﹣z＝0．
又x+y＝2019，
∴，
∴．
∴（z﹣y）2＝（2023﹣2015）2＝42＝16．
【点评】考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．同时考查了非负数的性质，几个非负数的和为0，这几个非负数都为0．
【考点4 二次根式的性质与化简（根据被开方数为非负数）】
【方法点拨】对于解决此类型的题目关键根据被开方数为非负数确定相关字母的符号，利用二次根式的性
质即可化简.
【例4】（2020春•沭阳县期末）已知a≠0且a＜b，化简二次根式的正确结果是（ ）
A．aB．﹣aC．aD．﹣a
【分析】首先根据二次根式有意义的条件确定ab的符号，然后根据a＜b来确定a、b各自的符号，再去根式化简．
【解答】解：由题意：﹣a3b≥0，即ab≤0，
∵a＜b，
∴a＜0＜b，
所以原式＝|a|a，
故选：D．
【点评】本题主要考查了二次根式的化简，解决此题的关键是根据已知条件确定出a、b的符号，以确保二次根式的双重非负性．
【变式4-1】（2020春•徐州期末）与根式﹣x的值相等的是（ ）
A．B．﹣x2C．D．
【分析】将原式进行化简后即可确定正确的选项．
【解答】解：∵有意义，
∴x＜0，
∴﹣x0，
∴﹣xx•，
故选：D．
【点评】考查了二次根式的性质与化简和二次根式有意义的条件，解题的关键是了解原式有意义是x的取值范围，难度不大．
【变式4-2】（2020春•东湖区校级月考）化简﹣a的结果是（ ）
A．B．C．D．
【分析】首先根据二次根式有意义的条件判断a的取值范围，再根据二次根式的性质进行化简即可．
【解答】解：∵0，
∴a＞0，
∴﹣a＜0，
∴﹣a，
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，能够正确化简二次根式是解题的关键．
【变式4-3】（2020春•柯桥区期中）把代数式（a﹣1）中的a﹣1移到根号内，那么这个代数式等于（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据二次根式的概念和性质化简即可．
【解答】解：（a﹣1）（1﹣a）．
故选：A．
【点评】正确理解二次根式的性质与化简及概念是解决问题的关键．
【考点5 二次根式的性质与化简（根据字母取值范围或数轴）】
【例5】（2020春•河北期末）若1≤x≤4，则化简的结果为（ ）
A．2x﹣5B．3C．3﹣2xD．﹣3
【分析】根据绝对值及二次根式的非负性化简即可求解．
【解答】解：∵1≤x≤4，
∴原式＝|1﹣x|﹣|x﹣4|
＝x﹣1﹣（4﹣x）
＝x﹣1﹣4+x
＝2x﹣5，
故选：A．
【点评】本题主要考查绝对值及二次根式的非负性，根据绝对值及二次根式的非负性化简是解题的关键．
【变式5-1】（2020•攀枝花）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（ ）
A．﹣2B．0C．﹣2aD．2b
【分析】根据实数a和b在数轴上的位置，确定出其取值范围，再利用二次根式和绝对值的性质求出答案即可．
【解答】解：由数轴可知﹣2＜a＜﹣1，1＜b＜2，
∴a+1＜0，b﹣1＞0，a﹣b＜0，
∴
＝|a+1|+|b﹣1|﹣|a﹣b|
＝﹣（a+1）+（b﹣1）+（a﹣b）
＝﹣a﹣1+b﹣1+a﹣b
＝﹣2
故选：A．
【点评】本题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，以及二次根式的性质，学会根据表示数的点在数轴上的位置判断含数式子的符号，掌握绝对值的化简及二次根式的性质是解决本题的关键．
【变式5-2】（2020春•潮南区期末）若a、b、c为三角形的三条边，则|b﹣a﹣c|＝（ ）
A．2b﹣2cB．2aC．2（a+b﹣c）D．2a﹣2c
【分析】先利用二次根式的性质得到原式＝|a+b﹣c|+|a+c﹣b|，然后根据三角形三边的关系和绝对值的意义去绝对值后合并同类项．
【解答】解：∵a、b、c为三角形的三条边，
∴a+b＞c，a+c＞b，
∴原式＝|a+b﹣c|+|a+c﹣b|
＝a+b﹣c+a+c﹣b
＝2a．
故选：B．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简：灵活应用二次根式的性质进行化简计算．也考查了三角形三边之间的关系．
【变式5-3】（2020春•邗江区校级期末）已知实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，化简|a﹣c||b|．
【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：由数轴可知：c＜a＜0＜b，
∴a﹣c＞0，b﹣c＞0，
∴原式＝|a|+|a﹣c|+|b﹣c|﹣|b|
＝﹣a+（a﹣c）+（b﹣c）﹣b
＝﹣2c．
【点评】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．
【考点6 最简二次根式的概念】
【方法点拨】最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不
含有可化为平方数或平方式的因数或因式．
【例6】（2020春•广州期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】判断一个二次根式是否为最简二次根式主要方法是根据最简二次根式的定义进行，或直观地观察被开方数的每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，且被开方数中不含有分母，被开方数是多项式时要先因式分解后再观察．
【解答】解：A.2，可化简；
B.|x|，可化简；
C.，可化简；
D.不能化简，符合最简二次根式的条件，是最简二次根式；
故选：D．
【点评】本题主要考查了最简二次根式．在判断最简二次根式的过程中要注意：（1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；（2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数大于或等于2，也不是最简二次根式．
【变式6-1】（2020春•包河区期末）在根式、、、、中，最简二次根式有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】被开方数不含分母，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
【解答】解：根式、、、、中，最简二次根式有、、，共3个，
故选：C．
【点评】本题主要考查了最简二次根式，最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．
【变式6-2】（2023秋•新化县期末）若二次根式是最简二次根式，则最小的正整数a为 2 ．
【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【解答】解：若二次根式是最简二次根式，则最小的正整数a为2，
故答案为：2．
【点评】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
【变式6-3】（2023春•望花区校级月考）若和都是最简二次根式，则m+n＝ ﹣6 ．
【分析】根据最简二次根式的定义，可知m+3＝1，2m﹣n+1＝1，解方程组求得m和n的值，则m+n的值可得．
【解答】解：由题意可得：
解得：
∴m+n＝﹣6
故答案为：﹣6．
【点评】本题考查了最简二次根式的定义、解二元一次方程组和简单的整式加法运算，属于基础知识的考查，难度不大．
【考点7 同类二次根式的概念】
【方法点拨】同类二次根式的概念：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式，同类二次根式可以合并．
【例7】（2023春•潍城区期中）下列二次根式：，，，，，其中不能与合并的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】先根据二次根式的性质化简各二次根式，找到不是同类二次根式即可得．
【解答】解：∵2，3，，5，，
∴不能与合并的是、这2个，
故选：B．
【点评】本题主要考查同类二次根式，解题的关键是掌握二次根式的性质和同类二次根式的概念．
【变式7-1】（2020春•西城区校级期中）若最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则x的值为（ ）
A．x＝0B．x＝1C．x＝2D．x＝3
【分析】根据同类二次根式的定义得出方程，求出方程的解即可．
【解答】解：∵最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，
∴x+3＝2x，
解得：x＝3，
故选：D．
【点评】本题考查了同类二次根式和最简二次根式，能根据同类二次根式的定义得出x+3＝2x是解此题的关键，注意：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式．
【变式7-2】（2020春•赛罕区期末）若最简二次根式，2可以合并，则m﹣n的值为 ．
【分析】由题意可知，与2同类二次根式，即被开方数相同，由此可列方程求解．
【解答】解：根据题意3m+n＝4m﹣2，
即﹣m+n＝﹣2，
所以m﹣n＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查同类二次根式的概念：化为最简二次根式后，被开方数相同的根式称为同类二次根式；同类二次根式可以合并．
【变式7-3】（2023春•随州期中）若最简二次根式和是同类二次根式．
（1）求x，y的值；
（2）求的值．
【分析】（1）根据同类二次根式的定义：①被开方数相同；②均为二次根式；列方程解组求解；
（2）根据x，y的值和算术平方根的定义即可求解．
【解答】解：（1）根据题意知，
解得：；
（2）当x＝4、y＝3时，
5．
【点评】此题主要考查了同类二次根式和算术平方根的定义，属于基础题，解答本题的关键是掌握被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．
【考点8 二次根式的加减运算】
【方法点拨】二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变解答．
【例8】（2023春•江夏区校级月考）计算：
（1）3
（2）7a4a27a
【分析】（1）根据二次根式的加减计算即可；
（2）根据二次根式的性质和加减计算解答即可．
【解答】解：（1）原式，
（2）原式．
【点评】此题考查二次根式的加减，关键是根据二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变解答．
【变式8-1】（2023春•硚口区期中）计算：
（1）263
（2）5x
【分析】（1）根据二次根式的运算法则即可求出答案．
（2）根据二次根式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：（1）原式＝4212
＝14．
（2）原式2
＝0
【点评】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型．
【变式8-2】（2023春•江宁区校级月考）计算：
（1）2
（2）（15）（x＞0）
【分析】（1）先将二次根式化简，再将被开方数相同的二次根式合并即可；
（2）先将二次根式化简，再利用去括号法则去括号，再将被开方数相同的二次根式合并即可．
【解答】解：（1）原式＝264
＝4；
（2）原式（152x）
＝332x
＝2x．
【点评】本题主要考查二次根式的加减，解决此类问题的关键是要先将二次根式化简，此外还要注意，只有被开方数相同的二次根式才能合并，当被开方数不相同时是不能合并的．
【变式8-3】（2023春•海陵区校级月考）计算
（1）
（2）2
【分析】（1）直接利用二次根式的性质分别化简计算得出答案；
（2）直接利用二次根式的性质分别化简计算得出答案．
【解答】解：（1）原式＝3325
＝85；
（2）原式＝23a102a
＝125a．
【点评】此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键．
【考点9 二次根式的乘除运算】
【方法点拨】掌握二次根式的乘除法法则是解决此类题的关键，①两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变；②两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.
【例9】（2023秋•闵行区校级月考）计算：．
【分析】根据二次根式的乘法法则进行计算即可．
【解答】解：
＝（14）
＝（1）
＝10．
【点评】本题主要考查了二次根式的乘法法则，掌握二次根式的乘法法则是解决问题的关键．
【变式9-1】（2023秋•黄浦区校级月考）计算：．
【分析】依据二次根式的乘除法法则进行计算即可．
【解答】解：
（）÷1
＝±．
【点评】本题主要考查了二次根式的乘除法法则，掌握二次根式的乘除法法则是解决问题的关键．
【变式9-2】（2023春•徐汇区校级期中）化简：
【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式••4x•（4x2y）
•
【点评】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的运算，本题属于基础题型．
【变式9-3】（2023秋•嘉定区期中）计算：•（）（a＞0）
【分析】直接利用二次根式的性质化简进而得出答案．
【解答】解：•（）（a＞0）
•a2b
＝﹣9a2
．
【点评】此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确化简二次根式是解题关键．
【考点10 二次根式的混合运算】
【方法点拨】二次根式的混合运算可以说是二次根式乘、除法、加、减法的综合应用，在进行二次根式的混合运算时应注意以下几点：
①观察式子的结构，选择合理的运算顺序，二次根式的混合运算与实数运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号先算括号内的；
②在运算过程中，每个根式可以看作是一个“单项式”，多个不同类的二次根式的和可以看作是“多项式”；
【例10】（2020春•宜春期末）（1）计算：；
（2）化简：．
【分析】（1）根据二次根式的乘除法则运算；
（2）先进行二次根式的除法法则运算，然后把二次根式化为最简二次根式后合并即可．
【解答】解：（1）原式3
＝63
＝6﹣2；
（2）原式＝3x•
＝3
＝5．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
【变式10-1】（2020春•永城市期末）（1）计算：．
（2）计算：．
【分析】（1）利用二次根式的乘除法则运算；
（2）利用完全平方公式和平方差公式计算．
【解答】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
【变式10-2】（2020春•吴忠期末）计算：
（1）（21）2+（2）（2）；
（2）24．
【分析】（1）利用完全平方公式和平方差公式计算；
（2）先利用二次根式的乘除法则运算，然后化简后合并即可．
【解答】解：（1）原式＝12﹣41+3﹣4
＝12﹣4；
（2）原式2
＝2﹣32
＝2．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
【变式10-3】（2020春•涪城区期末）计算：
（1）（2）（2）﹣（1）2+5；
（2）（2•）．
【分析】（1）先利用平方差公式和完全平方公式计算，再去括号，最后计算加减可得；
（2）先化简二次根式，再计算括号内二次根式的减法，最后将除法转化为乘法、约分即可得．
【解答】解：（1）原式＝（3﹣4）﹣（3﹣21）+5
＝﹣1﹣3+21+5
＝2；
（2）原式＝（5）
•
＝﹣13．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．
【考点11 二次根式的化简求值】
【例11】（2020春•涪城区校级月考）若x，y是实数，且y，求（x）﹣（）的值．
【分析】先根据二次根式有意义的条件求出x的值，求出y的值，再把根式化成最简二次根式，合并后代入求出即可．
【解答】解：∵x，y是实数，且y，
∴4x﹣1≥0且1﹣4x≥0，
解得：x，
∴y，
∴（x）﹣（）的值．
＝2x2x5
＝x3
3
．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的化简求值的应用，解此题的关键是求出xy的值，题目比较好，难度适中．
【变式11-1】（2023春•洛南县期末）已知x，求下列各式的值：
（1）x2﹣xy+y2；
（2）．
【分析】（1）先将x、y的值分母有理化，再计算出x+y、xy的值，继而代入x2﹣xy+y2＝（x+y）2﹣3xy计算可得；
（2）将x+y、xy的值代入计算可得．
【解答】解：（1）∵x，y，
∴x+y，xy，
则x2﹣xy+y2＝（x+y）2﹣3xy
＝5
；
（2）
＝8．
【点评】本题主要考查二次根式和分式的计算，解题的关键是掌握二次根式与分式的混合运算顺序和运算法则．
【变式11-2】（2023春•台安县期中）已知x，x，求x2﹣3xy+y2的值．
【分析】先由x、y的值计算出x﹣y、xy的值，再代入原式＝（x﹣y）2﹣xy计算可得．
【解答】解：∵x，y，
∴x﹣y，
xy（5﹣3）2，
则原式＝（x﹣y）2﹣xy
＝（）2
＝3
．
【点评】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的运算法则与完全平方公式、平方差公式．
【变式11-3】（2023秋•宝山区校级月考）已知x，y，求x2﹣xy+y2的值．
【分析】根据分母有理化化简x与y，然后求出x+y与xy的表达式即可求出答案．
【解答】解：∵x，y，
∴x，y，
∴x+y，xy，
∴原式＝x2+2xy+y2﹣3xy
＝（x+y）2﹣3xy
＝2a+b
＝2a
【点评】本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型．
【考点12 分母有理化】
【方法点拨】二次分母有理化就是通过分子和分母同时乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程，混合运算中进行二次根式的除法运算，一般都是通过分母有理化而进行的．
【例12】（2020•唐山二模）阅读下列材料，然后回答问题．
在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
1
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
（1）化简
（2）化简．
（3）化简：．
【分析】（1）分子分母分别乘即可；
（2）分子分母分别乘即可；
（3）分母有理化后，合并同类二次根式即可；
【解答】解：（1）
（2）化简
（3）化简：
（1）
（1）
【点评】本题考查二次根式的化简、分母有理化等知识，解题的关键是熟练掌握分母有理化的方法，属于中考常考题型．
【变式12-1】（2020春•淮安区校级期末）阅读下面计算过程：
1；
；
2．
求：（1）的值．
（2）（n为正整数）的值．
（3）的值．
【分析】（1）根据给定算式，在分式的分母和分子上分别相乘（），计算后即可得出结论；
（2）根据给定算式，在分式的分母和分子上分别相乘（），计算后即可得出结论；
（3）根据（2）的结论即可得出（1）+（）+（2）+…+（10），由此即可算出结论．
【解答】解：（1）；
（2）；
（3）（1）+（）+（2）+…+（10）＝10﹣1＝9．
【点评】本题考查了分母有理化，根据给定算式找出利用平方差公式寻找有理化因式是解题的关键．
【变式12-2】（2020春•孟村县期末）观察下列格式，，，，
（1）化简以上各式，并计算出结果；
（2）以上格式的结果存在一定的规律，请按规律写出第5个式子及结果
（3）用含n（n≥1的整数）的式子写出第n个式子及结果，并给出证明的过程．
【分析】（1）分别把每个式子的第二项进行分母有理化，观察结果；
（2）根据（1）的结果写出第5个式子及结果；
（3）根据（1）的规律可得，然后分母有理化，求出结果即可．
【解答】解：（1）1，
2，
3，
4，
（2）5，
（3）n．
【点评】本题主要考查分母有理化的知识点，解答本题的关键是找出上述各式的变化规律，此题难度一般．
【变式12-3】（2023春•微山县期中）【阅读材料】
材料一：把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化
通常把分子、分母乘以同一个不等于0的式子，以达到化去分母中根号的目的
例如：化简
解：
材料二：化简的方法：如果能找到两个实数m，n，使m2+n2＝a，并且mn，那么m±n
例如：化简
解：±1
【理解应用】
（1）填空：化简的结果等于 ；
（2）计算：
①；
②．
【分析】（1）根据分母有理化法则计算；
（2）①根据完全平方公式、二次根式的性质化简；
②先把原式分母有理化，再合并同类二次根式即可．
【解答】解：（1）原式4，
故答案为：4；
（2）①；
②原式141．
【点评】本题考查的是分母有理化、二次根式的化简，掌握分母有理化法则、二次根式的性质是解题的关键．
【考点13 复合二次根式的化简】
【例13】（2020春•安庆期末）阅读理解题，下面我们观察：
（1）2＝（）2﹣2×112＝2﹣21＝3﹣2．
反之3﹣22﹣21＝（1）2，所以3﹣2（1）2，
所以1．
完成下列各题：
（1）在实数范围内因式分解：3+2；
（2）化简：；
（3）化简：．
【分析】（1）利用二次根式的性质结合完全平方公示直接化简得出即可；
（2）利用二次根式的性质结合完全平方公示直接化简得出即可；
（3）利用二次根式的性质结合完全平方公示直接化简得出即可．
【解答】解：（1）3+2；
（2）；
（3）．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确理解二次根式化简的意义是解题关键．
【变式13-1】（2020春•思明区校级月考）观察下式：（1）2＝（）2﹣2••1+12＝2﹣21＝3﹣2
反之，3﹣22﹣21＝（1）2
根据以上可求：1
求：（1）；
（2）你会算吗？
【分析】根据二次根式的性质以及完全平方公式即可求出答案．
【解答】解：（1）原式．
（2）原式1
【点评】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．
【变式13-2】（2020秋•延庆县期末）阅读下面的解答过程，然后作答：
有这样一类题目：将化简，若你能找到两个数m和n，使m2+n2＝a且mn，则a+2可变为m2+n2+2mn，即变成（m+n）2，从而使得，化简：
例如：∵5+23+2+2（）2+（）2+2（）2．
∴．
请你仿照上例将下列各式化简：
（1）；
（2）．
【分析】（1）利用完全平方公式把4+2化为（1）2，然后利用二次根式的性质化简即可．
（2）利用完全平方公式把7﹣2化为（）2然后利用二次根式的性质化简即可．
【解答】解：（1）∵4+21+3+2122（1）2，
∴1；
（2）．
【点评】本题主要考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是熟记掌握完全平方公式．
【变式13-3】（2023秋•常德期末）先阅读下列解答过程，然后再解答：
形如的化简，只要我们找到两个正数a，b，使a+b＝m，ab＝n，使得m，，那么便有：（a＞b）
例如：化简：
解：首先把化为，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12，即：7，，
所以．
问题：
①填空： ， ；
②化简：（请写出计算过程）．
【分析】①②仿照例题、根据完全平方公式、二次根式的性质解答即可．
【解答】解：①1，
2，
故答案为：1；2；
②2．
【点评】本题考查的是二次根式的化简，掌握完全平方公式、二次根式的性质是解题的关键．
【考点14 含二次根式的数式规律题】
【例14】（2023秋•高邑县期末）观察下列各式：
11
11
11
请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：
（1） 1
（2）请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式： 1 ；
（3）利用上述规律计算：（仿照上式写出过程）
【分析】（1）根据提供的信息，即可解答；
（2）根据规律，写出等式；
（3）根据（2）的规律，即可解答．
【解答】解：（1）11；故答案为：1；
（2）11；故答案为：1；
（3）．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，解决本题的关键是关键信息，找到规律．
【变式14-1】（2023春•当涂县期末）观察下列各式：
1，1，1，…
请利用你所发现的规律，
（1）计算
（2）根据规律，请写出第n个等式（n≥1，且n为正整数）．
【分析】（1）根据所给等式可得规律，然后再计算即可；
（2）根据所给等式可得规律，然后再利用含n的式子表示即可．
【解答】解：（1）原式＝1111
＝1+1111
＝9+1
＝9；
（2）第n个等式：1．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，关键是认真观察等式，确定所给规律．
【变式14-2】（2020春•长岭县期末）观察下列各式：①2，②3；③4，…
（1）请观察规律，并写出第④个等式： ；
（2）请用含n（n≥1）的式子写出你猜想的规律： ；
（3）请证明（2）中的结论．
【分析】（1）认真观察题中所给的式子，得出其规律并根据规律写出第④个等式；
（2）根据规律写出含n的式子即可；
（3）结合二次根式的性质进行化简求解验证即可．
【解答】解：（1）5；
（2）（n+1）；
（3）
＝（n+1）．
故答案为：（1）5；
（2））（n+1）．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，解答本题的关键在于认真观察题中所给的式子，得出其规律并根据规律进行求解即可．
【变式14-3】（2020春•惠城区期末）观察下列各式及其验算过程：
2，验证：2；
3，验证：3
（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果并进行验证．
（2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n为大于1的整数）表示的等式并给予验证．
【分析】（1）利用已知，观察2，3，可得的值；
（2）由（1）根据二次根式的性质可以总结出一般规律；
【解答】解：（1）∵2，3，
∴44，
验证：，正确；
（2）由（1）中的规律可知3＝22﹣1，8＝32﹣1，15＝42﹣1，
∴，
验证：；正确；
【点评】此题主要考查二次根式的性质与化简，善于发现题目数字之间的规律，是解题的关键．
【考点1 二次根式的概念】
【方法点拨】掌握二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式，理解被开方数
是非负数，给出一个式子能准确的判断其是否为二次根式，并能根据二次根式的定义确定被开方数中的字
母取值范围．
【例1】（2020春•安庆期末）下列式子一定是二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】（2020春•文登区期中）在式子，（x＞0），，（y＝﹣2），（x＞0），，，x+y中，二次根式有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【变式1-2】（2020春•青云谱区校级期中）在式子，，，，，中，是二次根式的有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【变式1-3】（2023春•平舆县期末）下列各式中①；②；③；④；⑤一定是二次根式的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【考点2 二次根式有意义的条件（求取值范围）】
【方法点拨】对于二次根式有意义的条件求取值范围类题型，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数
以及分式分母不为零．
【例2】（2020春•文登区期末）若式子在实数范围内有意义，则m的取值范围是（ ）
A．m≥1B．m≤1且m≠2C．m≥1且m≠2D．m≠2
【变式2-1】（2020•合肥校级期中）要使有意义，则x的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式2-2】（2020•日照二模）若使式子成立，则x的取值范围是（ ）
A．1.5≤x≤2B．x≤1.5C．1≤x≤2D．1≤x≤1.5
【变式2-3】（2020秋•北辰区校级月考）等式成立的条件是（ ）
A．a≠1B．a≥3且a≠﹣1C．a＞1D．a≥3
【考点3 二次根式有意义的条件（被开方数互为相反数）】
【方法点拨】对于解决此类型的题目关键从被开方数中找出一对相反数，利用二次根式的被开方数是非负
数进行求解即可.
【例3】（2020春•蕲春县期中）已知，x、y是有理数，且y4，则2x+3y的立方根为 ．
【变式3-1】（2023春•咸宁期中）若a，b为实数，且，则a+b的值为（ ）
A．﹣1B．1C．1或7D．7
【变式3-2】（2023秋•新化县期末）已知，
（1）求a+b的值；
（2）求7x+y2020的值．
【变式3-3】（2023秋•南江县期末）已知，求（z﹣y）2的值．
【考点4 二次根式的性质与化简（根据被开方数为非负数）】
【方法点拨】对于解决此类型的题目关键根据被开方数为非负数确定相关字母的符号，利用二次根式的性
质即可化简.
【例4】（2020春•沭阳县期末）已知a≠0且a＜b，化简二次根式的正确结果是（ ）
A．aB．﹣aC．aD．﹣a
【变式4-1】（2020春•徐州期末）与根式﹣x的值相等的是（ ）
A．B．﹣x2C．D．
【变式4-2】（2020春•东湖区校级月考）化简﹣a的结果是（ ）
A．B．C．D．
【变式4-3】（2020春•柯桥区期中）把代数式（a﹣1）中的a﹣1移到根号内，那么这个代数式等于（ ）
A．B．C．D．
【考点5 二次根式的性质与化简（根据字母取值范围或数轴）】
【例5】（2020春•河北期末）若1≤x≤4，则化简的结果为（ ）
A．2x﹣5B．3C．3﹣2xD．﹣3
【变式5-1】（2020•攀枝花）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（ ）
A．﹣2B．0C．﹣2aD．2b
【变式5-2】（2020春•潮南区期末）若a、b、c为三角形的三条边，则|b﹣a﹣c|＝（ ）
A．2b﹣2cB．2aC．2（a+b﹣c）D．2a﹣2c
【变式5-3】（2020春•邗江区校级期末）已知实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，化简|a﹣c||b|．
【考点6 最简二次根式的概念】
【方法点拨】最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不
含有可化为平方数或平方式的因数或因式．
【例6】（2020春•广州期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【变式6-1】（2020春•包河区期末）在根式、、、、中，最简二次根式有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式6-2】（2023秋•新化县期末）若二次根式是最简二次根式，则最小的正整数a为 ．
【变式6-3】（2023春•望花区校级月考）若和都是最简二次根式，则m+n＝ ．
【考点7 同类二次根式的概念】
【方法点拨】同类二次根式的概念：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式，同类二次根式可以合并．
【例7】（2023春•潍城区期中）下列二次根式：，，，，，其中不能与合并的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式7-1】（2020春•西城区校级期中）若最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则x的值为（ ）
A．x＝0B．x＝1C．x＝2D．x＝3
【变式7-2】（2020春•赛罕区期末）若最简二次根式，2可以合并，则m﹣n的值为 ．
【变式7-3】（2023春•随州期中）若最简二次根式和是同类二次根式．
（1）求x，y的值；
（2）求的值．
【考点8 二次根式的加减运算】
【方法点拨】二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变解答．
【例8】（2023春•江夏区校级月考）计算：
（1）3
（2）7a4a27a
【变式8-1】（2023春•硚口区期中）计算：
（1）263
（2）5x
【变式8-2】（2023春•江宁区校级月考）计算：
（1）2
（2）（15）（x＞0）
【变式8-3】（2023春•海陵区校级月考）计算
（1）
（2）2
【考点9 二次根式的乘除运算】
【方法点拨】掌握二次根式的乘除法法则是解决此类题的关键，①两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变；②两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.
【例9】（2023秋•闵行区校级月考）计算：．
【变式9-1】（2023秋•黄浦区校级月考）计算：．
【变式9-2】（2023春•徐汇区校级期中）化简：
【变式9-3】（2023秋•嘉定区期中）计算：•（）（a＞0）
【考点10 二次根式的混合运算】
【方法点拨】二次根式的混合运算可以说是二次根式乘、除法、加、减法的综合应用，在进行二次根式的混合运算时应注意以下几点：
①观察式子的结构，选择合理的运算顺序，二次根式的混合运算与实数运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号先算括号内的；
②在运算过程中，每个根式可以看作是一个“单项式”，多个不同类的二次根式的和可以看作是“多项式”；
【例10】（2020春•宜春期末）（1）计算：；
（2）化简：．
【变式10-1】（2020春•永城市期末）（1）计算：．
（2）计算：．
【变式10-2】（2020春•吴忠期末）计算：
（1）（21）2+（2）（2）；
（2）24．
【变式10-3】（2020春•涪城区期末）计算：
（1）（2）（2）﹣（1）2+5；
（2）（2•）．
【考点11 二次根式的化简求值】
【例11】（2020春•涪城区校级月考）若x，y是实数，且y，求（x）﹣（）的值．
【变式11-1】（2023春•洛南县期末）已知x，求下列各式的值：
（1）x2﹣xy+y2；
（2）．
【变式11-2】（2023春•台安县期中）已知x，x，求x2﹣3xy+y2的值．
【变式11-3】（2023秋•宝山区校级月考）已知x，y，求x2﹣xy+y2的值．
【考点12 分母有理化】
【方法点拨】二次分母有理化就是通过分子和分母同时乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程，混合运算中进行二次根式的除法运算，一般都是通过分母有理化而进行的．
【例12】（2020•唐山二模）阅读下列材料，然后回答问题．
在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
1
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
（1）化简
（2）化简．
（3）化简：．
【变式12-1】（2020春•淮安区校级期末）阅读下面计算过程：
1；
；
2．
求：（1）的值．
（2）（n为正整数）的值．
（3）的值．
【变式12-2】（2020春•孟村县期末）观察下列格式，，，，
（1）化简以上各式，并计算出结果；
（2）以上格式的结果存在一定的规律，请按规律写出第5个式子及结果
（3）用含n（n≥1的整数）的式子写出第n个式子及结果，并给出证明的过程．
【变式12-3】（2023春•微山县期中）【阅读材料】
材料一：把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化
通常把分子、分母乘以同一个不等于0的式子，以达到化去分母中根号的目的
例如：化简
解：
材料二：化简的方法：如果能找到两个实数m，n，使m2+n2＝a，并且mn，那么m±n
例如：化简
解：±1
【理解应用】
（1）填空：化简的结果等于 ；
（2）计算：
①；
②．
【考点13 复合二次根式的化简】
【例13】（2020春•安庆期末）阅读理解题，下面我们观察：
（1）2＝（）2﹣2×112＝2﹣21＝3﹣2．
反之3﹣22﹣21＝（1）2，所以3﹣2（1）2，
所以1．
完成下列各题：
（1）在实数范围内因式分解：3+2；
（2）化简：；
（3）化简：．
【变式13-1】（2020春•思明区校级月考）观察下式：（1）2＝（）2﹣2••1+12＝2﹣21＝3﹣2
反之，3﹣22﹣21＝（1）2
根据以上可求：1
求：（1）；
（2）你会算吗？
【变式13-2】（2020秋•延庆县期末）阅读下面的解答过程，然后作答：
有这样一类题目：将化简，若你能找到两个数m和n，使m2+n2＝a且mn，则a+2可变为m2+n2+2mn，即变成（m+n）2，从而使得，化简：
例如：∵5+23+2+2（）2+（）2+2（）2．
∴．
请你仿照上例将下列各式化简：
（1）；
（2）．
【变式13-3】（2023秋•常德期末）先阅读下列解答过程，然后再解答：
形如的化简，只要我们找到两个正数a，b，使a+b＝m，ab＝n，使得m，，那么便有：（a＞b）
例如：化简：
解：首先把化为，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12，即：7，，
所以．
问题：
①填空： ， ；
②化简：（请写出计算过程）．
【考点14 含二次根式的数式规律题】
【例14】（2023秋•高邑县期末）观察下列各式：
11
11
11
请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：
（1） 1
（2）请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式： 1 ；
（3）利用上述规律计算：（仿照上式写出过程）
【变式14-1】（2023春•当涂县期末）观察下列各式：
1，1，1，…
请利用你所发现的规律，
（1）计算
（2）根据规律，请写出第n个等式（n≥1，且n为正整数）．
【变式14-2】（2020春•长岭县期末）观察下列各式：①2，②3；③4，…
（1）请观察规律，并写出第④个等式： ；
（2）请用含n（n≥1）的式子写出你猜想的规律： ；
（3）请证明（2）中的结论．
【变式14-3】（2020春•惠城区期末）观察下列各式及其验算过程：
2，验证：2；
3，验证：3
（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果并进行验证．
（2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n为大于1的整数）表示的等式并给予验证．
专题1.1 二次根式章末重难点题型
【沪科版】
【考点1 二次根式的概念】
【方法点拨】掌握二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式，理解被开方数
是非负数，给出一个式子能准确的判断其是否为二次根式，并能根据二次根式的定义确定被开方数中的字
母取值范围．
【例1】（2020春•安庆期末）下列式子一定是二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式可得答案．
【解答】解：根据二次根式的定义可得中得被开方数无论x为何值都是非负数，
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次根式的定义，关键是掌握二次根式中的被开方数为非负数．
【变式1-1】（2020春•文登区期中）在式子，（x＞0），，（y＝﹣2），（x＞0），，，x+y中，二次根式有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【分析】根据二次根式的定义作答．
【解答】解：（x＞0），，符合二次根式的定义．
（y＝﹣2），（x＞0）无意义，不是二次根式．
属于三次根式．
x+y不是根式．
故选：B．
【点评】本题考查了二次根式的定义．一般形如（a≥0）的代数式叫做二次根式．当a≥0时，表示a的算术平方根；当a小于0时，非二次根式（在一元二次方程中，若根号下为负数，则无实数根）．
【变式1-2】（2020春•青云谱区校级期中）在式子，，，，，中，是二次根式的有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【分析】根据二次根式的定义形如（a≥0）的式子叫做二次根式，对被开方数的符号进行判断即可得．
【解答】解：在所列式子中是二次根式的有，，，这4个，
故选：B．
【点评】本题主要考查二次根式的定义，解题的关键是掌握形如（a≥0）的式子叫做二次根式．
【变式1-3】（2023春•平舆县期末）下列各式中①；②；③；④；⑤一定是二次根式的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式，据此逐一判断即可得．
【解答】解：在①；②；③；④；⑤一定是二次根式的是③④⑤，
故选：C．
【点评】本题考查了二次根式的定义．理解被开方数是非负数，给出一个式子能准确的判断其是否为二次根式，并能根据二次根式的定义确定被开方数中的字母取值范围．
【考点2 二次根式有意义的条件（求取值范围）】
【方法点拨】对于二次根式有意义的条件求取值范围类题型，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数
以及分式分母不为零．
【例2】（2020春•文登区期末）若式子在实数范围内有意义，则m的取值范围是（ ）
A．m≥1B．m≤1且m≠2C．m≥1且m≠2D．m≠2
【分析】分别根据二次根式及分式有意义的条件列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．
【解答】解：∵在实数范围内有意义，
∴，
解得m≥1且m≠2．
故选：C．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键．
【变式2-1】（2020•合肥校级期中）要使有意义，则x的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．
【解答】解：要使有意义，
则2x﹣1≥0，3﹣x＞0，
解得：x＜3．
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．
【变式2-2】（2020•日照二模）若使式子成立，则x的取值范围是（ ）
A．1.5≤x≤2B．x≤1.5C．1≤x≤2D．1≤x≤1.5
【分析】直接利用二次根式的性质进而计算得出答案．
【解答】解：由题意可得：，
解得：1≤x≤1.5．
故选：D．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握相关定义是解题关键．
【变式2-3】（2020秋•北辰区校级月考）等式成立的条件是（ ）
A．a≠1B．a≥3且a≠﹣1C．a＞1D．a≥3
【分析】观察等式右边，根据二次根式有意义和分式的分母不为0的条件列出不等式组，求出a的取值范围即可．
【解答】解：∵等式成立，
∴，
∴a≥3．
故选：D．
【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
【考点3 二次根式有意义的条件（被开方数互为相反数）】
【方法点拨】对于解决此类型的题目关键从被开方数中找出一对相反数，利用二次根式的被开方数是非负
数进行求解即可.
【例3】（2020春•蕲春县期中）已知，x、y是有理数，且y4，则2x+3y的立方根为 ．
【分析】根据二次根式有意义的条件可得x＝2，进而可得y的值，然后计算出2x+3y的值，进而可得立方根．
【解答】解：由题意得：，
解得：x＝2，
则y＝﹣4，
2x+3y＝2×2+3×（﹣4）＝4﹣12＝﹣8．
所以2．
故答案是：﹣2．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
【变式3-1】（2023春•咸宁期中）若a，b为实数，且，则a+b的值为（ ）
A．﹣1B．1C．1或7D．7
【分析】先根据二次根式的基本性质：有意义，则a≥0求出a的值，进一步求出b的值，从而求解．
【解答】解：∵，
∴a2﹣9＝0且a+3≠0，
解得a＝3，
b＝0+4＝4，
则a+b＝3+4＝7．
故选：D．
【点评】考查了二次根式有意义的条件，解决此题的关键：掌握二次根式的基本性质：有意义，则a≥0．
【变式3-2】（2023秋•新化县期末）已知，
（1）求a+b的值；
（2）求7x+y2020的值．
【分析】（1）根据二次根式有意义即可求出答案．
（2）根据二次根式有意义的条件列出方程组求出x与y的值即可求出答案．
【解答】解：（1）由题意可知：，
解得：a+b＝2020．
（2）由于0，
∴
∴解得：
∴7x+y2020＝14+1＝15．
【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
【变式3-3】（2023秋•南江县期末）已知，求（z﹣y）2的值．
【分析】首先根据二次根式的被开方数是非负数推知：原题中方程右边为0．方程左边也为0，据此求得x、y、z的值；然后代入求值．
【解答】解：由题中方程等号右边知：有意义，则x+y﹣2019≥0，即x+y≥2019，有意义，则2019﹣x﹣y≥0，即x+y≤2019，即，
∴x+y＝2019．
∴，．
∴原题中方程右边为0．
∴原题中方程左边也为0，即．
∵．
∴3x+y﹣z﹣8＝0，x+y﹣z＝0．
又x+y＝2019，
∴，
∴．
∴（z﹣y）2＝（2023﹣2015）2＝42＝16．
【点评】考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．同时考查了非负数的性质，几个非负数的和为0，这几个非负数都为0．
【考点4 二次根式的性质与化简（根据被开方数为非负数）】
【方法点拨】对于解决此类型的题目关键根据被开方数为非负数确定相关字母的符号，利用二次根式的性
质即可化简.
【例4】（2020春•沭阳县期末）已知a≠0且a＜b，化简二次根式的正确结果是（ ）
A．aB．﹣aC．aD．﹣a
【分析】首先根据二次根式有意义的条件确定ab的符号，然后根据a＜b来确定a、b各自的符号，再去根式化简．
【解答】解：由题意：﹣a3b≥0，即ab≤0，
∵a＜b，
∴a＜0＜b，
所以原式＝|a|a，
故选：D．
【点评】本题主要考查了二次根式的化简，解决此题的关键是根据已知条件确定出a、b的符号，以确保二次根式的双重非负性．
【变式4-1】（2020春•徐州期末）与根式﹣x的值相等的是（ ）
A．B．﹣x2C．D．
【分析】将原式进行化简后即可确定正确的选项．
【解答】解：∵有意义，
∴x＜0，
∴﹣x0，
∴﹣xx•，
故选：D．
【点评】考查了二次根式的性质与化简和二次根式有意义的条件，解题的关键是了解原式有意义是x的取值范围，难度不大．
【变式4-2】（2020春•东湖区校级月考）化简﹣a的结果是（ ）
A．B．C．D．
【分析】首先根据二次根式有意义的条件判断a的取值范围，再根据二次根式的性质进行化简即可．
【解答】解：∵0，
∴a＞0，
∴﹣a＜0，
∴﹣a，
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，能够正确化简二次根式是解题的关键．
【变式4-3】（2020春•柯桥区期中）把代数式（a﹣1）中的a﹣1移到根号内，那么这个代数式等于（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据二次根式的概念和性质化简即可．
【解答】解：（a﹣1）（1﹣a）．
故选：A．
【点评】正确理解二次根式的性质与化简及概念是解决问题的关键．
【考点5 二次根式的性质与化简（根据字母取值范围或数轴）】
【例5】（2020春•河北期末）若1≤x≤4，则化简的结果为（ ）
A．2x﹣5B．3C．3﹣2xD．﹣3
【分析】根据绝对值及二次根式的非负性化简即可求解．
【解答】解：∵1≤x≤4，
∴原式＝|1﹣x|﹣|x﹣4|
＝x﹣1﹣（4﹣x）
＝x﹣1﹣4+x
＝2x﹣5，
故选：A．
【点评】本题主要考查绝对值及二次根式的非负性，根据绝对值及二次根式的非负性化简是解题的关键．
【变式5-1】（2020•攀枝花）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（ ）
A．﹣2B．0C．﹣2aD．2b
【分析】根据实数a和b在数轴上的位置，确定出其取值范围，再利用二次根式和绝对值的性质求出答案即可．
【解答】解：由数轴可知﹣2＜a＜﹣1，1＜b＜2，
∴a+1＜0，b﹣1＞0，a﹣b＜0，
∴
＝|a+1|+|b﹣1|﹣|a﹣b|
＝﹣（a+1）+（b﹣1）+（a﹣b）
＝﹣a﹣1+b﹣1+a﹣b
＝﹣2
故选：A．
【点评】本题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，以及二次根式的性质，学会根据表示数的点在数轴上的位置判断含数式子的符号，掌握绝对值的化简及二次根式的性质是解决本题的关键．
【变式5-2】（2020春•潮南区期末）若a、b、c为三角形的三条边，则|b﹣a﹣c|＝（ ）
A．2b﹣2cB．2aC．2（a+b﹣c）D．2a﹣2c
【分析】先利用二次根式的性质得到原式＝|a+b﹣c|+|a+c﹣b|，然后根据三角形三边的关系和绝对值的意义去绝对值后合并同类项．
【解答】解：∵a、b、c为三角形的三条边，
∴a+b＞c，a+c＞b，
∴原式＝|a+b﹣c|+|a+c﹣b|
＝a+b﹣c+a+c﹣b
＝2a．
故选：B．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简：灵活应用二次根式的性质进行化简计算．也考查了三角形三边之间的关系．
【变式5-3】（2020春•邗江区校级期末）已知实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，化简|a﹣c||b|．
【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：由数轴可知：c＜a＜0＜b，
∴a﹣c＞0，b﹣c＞0，
∴原式＝|a|+|a﹣c|+|b﹣c|﹣|b|
＝﹣a+（a﹣c）+（b﹣c）﹣b
＝﹣2c．
【点评】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．
【考点6 最简二次根式的概念】
【方法点拨】最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不
含有可化为平方数或平方式的因数或因式．
【例6】（2020春•广州期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】判断一个二次根式是否为最简二次根式主要方法是根据最简二次根式的定义进行，或直观地观察被开方数的每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，且被开方数中不含有分母，被开方数是多项式时要先因式分解后再观察．
【解答】解：A.2，可化简；
B.|x|，可化简；
C.，可化简；
D.不能化简，符合最简二次根式的条件，是最简二次根式；
故选：D．
【点评】本题主要考查了最简二次根式．在判断最简二次根式的过程中要注意：（1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；（2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数大于或等于2，也不是最简二次根式．
【变式6-1】（2020春•包河区期末）在根式、、、、中，最简二次根式有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】被开方数不含分母，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
【解答】解：根式、、、、中，最简二次根式有、、，共3个，
故选：C．
【点评】本题主要考查了最简二次根式，最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．
【变式6-2】（2023秋•新化县期末）若二次根式是最简二次根式，则最小的正整数a为 2 ．
【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【解答】解：若二次根式是最简二次根式，则最小的正整数a为2，
故答案为：2．
【点评】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
【变式6-3】（2023春•望花区校级月考）若和都是最简二次根式，则m+n＝ ﹣6 ．
【分析】根据最简二次根式的定义，可知m+3＝1，2m﹣n+1＝1，解方程组求得m和n的值，则m+n的值可得．
【解答】解：由题意可得：
解得：
∴m+n＝﹣6
故答案为：﹣6．
【点评】本题考查了最简二次根式的定义、解二元一次方程组和简单的整式加法运算，属于基础知识的考查，难度不大．
【考点7 同类二次根式的概念】
【方法点拨】同类二次根式的概念：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式，同类二次根式可以合并．
【例7】（2023春•潍城区期中）下列二次根式：，，，，，其中不能与合并的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】先根据二次根式的性质化简各二次根式，找到不是同类二次根式即可得．
【解答】解：∵2，3，，5，，
∴不能与合并的是、这2个，
故选：B．
【点评】本题主要考查同类二次根式，解题的关键是掌握二次根式的性质和同类二次根式的概念．
【变式7-1】（2020春•西城区校级期中）若最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则x的值为（ ）
A．x＝0B．x＝1C．x＝2D．x＝3
【分析】根据同类二次根式的定义得出方程，求出方程的解即可．
【解答】解：∵最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，
∴x+3＝2x，
解得：x＝3，
故选：D．
【点评】本题考查了同类二次根式和最简二次根式，能根据同类二次根式的定义得出x+3＝2x是解此题的关键，注意：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式．
【变式7-2】（2020春•赛罕区期末）若最简二次根式，2可以合并，则m﹣n的值为 ．
【分析】由题意可知，与2同类二次根式，即被开方数相同，由此可列方程求解．
【解答】解：根据题意3m+n＝4m﹣2，
即﹣m+n＝﹣2，
所以m﹣n＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查同类二次根式的概念：化为最简二次根式后，被开方数相同的根式称为同类二次根式；同类二次根式可以合并．
【变式7-3】（2023春•随州期中）若最简二次根式和是同类二次根式．
（1）求x，y的值；
（2）求的值．
【分析】（1）根据同类二次根式的定义：①被开方数相同；②均为二次根式；列方程解组求解；
（2）根据x，y的值和算术平方根的定义即可求解．
【解答】解：（1）根据题意知，
解得：；
（2）当x＝4、y＝3时，
5．
【点评】此题主要考查了同类二次根式和算术平方根的定义，属于基础题，解答本题的关键是掌握被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．
【考点8 二次根式的加减运算】
【方法点拨】二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变解答．
【例8】（2023春•江夏区校级月考）计算：
（1）3
（2）7a4a27a
【分析】（1）根据二次根式的加减计算即可；
（2）根据二次根式的性质和加减计算解答即可．
【解答】解：（1）原式，
（2）原式．
【点评】此题考查二次根式的加减，关键是根据二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变解答．
【变式8-1】（2023春•硚口区期中）计算：
（1）263
（2）5x
【分析】（1）根据二次根式的运算法则即可求出答案．
（2）根据二次根式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：（1）原式＝4212
＝14．
（2）原式2
＝0
【点评】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型．
【变式8-2】（2023春•江宁区校级月考）计算：
（1）2
（2）（15）（x＞0）
【分析】（1）先将二次根式化简，再将被开方数相同的二次根式合并即可；
（2）先将二次根式化简，再利用去括号法则去括号，再将被开方数相同的二次根式合并即可．
【解答】解：（1）原式＝264
＝4；
（2）原式（152x）
＝332x
＝2x．
【点评】本题主要考查二次根式的加减，解决此类问题的关键是要先将二次根式化简，此外还要注意，只有被开方数相同的二次根式才能合并，当被开方数不相同时是不能合并的．
【变式8-3】（2023春•海陵区校级月考）计算
（1）
（2）2
【分析】（1）直接利用二次根式的性质分别化简计算得出答案；
（2）直接利用二次根式的性质分别化简计算得出答案．
【解答】解：（1）原式＝3325
＝85；
（2）原式＝23a102a
＝125a．
【点评】此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键．
【考点9 二次根式的乘除运算】
【方法点拨】掌握二次根式的乘除法法则是解决此类题的关键，①两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变；②两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.
【例9】（2023秋•闵行区校级月考）计算：．
【分析】根据二次根式的乘法法则进行计算即可．
【解答】解：
＝（14）
＝（1）
＝10．
【点评】本题主要考查了二次根式的乘法法则，掌握二次根式的乘法法则是解决问题的关键．
【变式9-1】（2023秋•黄浦区校级月考）计算：．
【分析】依据二次根式的乘除法法则进行计算即可．
【解答】解：
（）÷1
＝±．
【点评】本题主要考查了二次根式的乘除法法则，掌握二次根式的乘除法法则是解决问题的关键．
【变式9-2】（2023春•徐汇区校级期中）化简：
【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式••4x•（4x2y）
•
【点评】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的运算，本题属于基础题型．
【变式9-3】（2023秋•嘉定区期中）计算：•（）（a＞0）
【分析】直接利用二次根式的性质化简进而得出答案．
【解答】解：•（）（a＞0）
•a2b
＝﹣9a2
．
【点评】此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确化简二次根式是解题关键．
【考点10 二次根式的混合运算】
【方法点拨】二次根式的混合运算可以说是二次根式乘、除法、加、减法的综合应用，在进行二次根式的混合运算时应注意以下几点：
①观察式子的结构，选择合理的运算顺序，二次根式的混合运算与实数运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号先算括号内的；
②在运算过程中，每个根式可以看作是一个“单项式”，多个不同类的二次根式的和可以看作是“多项式”；
【例10】（2020春•宜春期末）（1）计算：；
（2）化简：．
【分析】（1）根据二次根式的乘除法则运算；
（2）先进行二次根式的除法法则运算，然后把二次根式化为最简二次根式后合并即可．
【解答】解：（1）原式3
＝63
＝6﹣2；
（2）原式＝3x•
＝3
＝5．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
【变式10-1】（2020春•永城市期末）（1）计算：．
（2）计算：．
【分析】（1）利用二次根式的乘除法则运算；
（2）利用完全平方公式和平方差公式计算．
【解答】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
【变式10-2】（2020春•吴忠期末）计算：
（1）（21）2+（2）（2）；
（2）24．
【分析】（1）利用完全平方公式和平方差公式计算；
（2）先利用二次根式的乘除法则运算，然后化简后合并即可．
【解答】解：（1）原式＝12﹣41+3﹣4
＝12﹣4；
（2）原式2
＝2﹣32
＝2．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
【变式10-3】（2020春•涪城区期末）计算：
（1）（2）（2）﹣（1）2+5；
（2）（2•）．
【分析】（1）先利用平方差公式和完全平方公式计算，再去括号，最后计算加减可得；
（2）先化简二次根式，再计算括号内二次根式的减法，最后将除法转化为乘法、约分即可得．
【解答】解：（1）原式＝（3﹣4）﹣（3﹣21）+5
＝﹣1﹣3+21+5
＝2；
（2）原式＝（5）
•
＝﹣13．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．
【考点11 二次根式的化简求值】
【例11】（2020春•涪城区校级月考）若x，y是实数，且y，求（x）﹣（）的值．
【分析】先根据二次根式有意义的条件求出x的值，求出y的值，再把根式化成最简二次根式，合并后代入求出即可．
【解答】解：∵x，y是实数，且y，
∴4x﹣1≥0且1﹣4x≥0，
解得：x，
∴y，
∴（x）﹣（）的值．
＝2x2x5
＝x3
3
．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的化简求值的应用，解此题的关键是求出xy的值，题目比较好，难度适中．
【变式11-1】（2023春•洛南县期末）已知x，求下列各式的值：
（1）x2﹣xy+y2；
（2）．
【分析】（1）先将x、y的值分母有理化，再计算出x+y、xy的值，继而代入x2﹣xy+y2＝（x+y）2﹣3xy计算可得；
（2）将x+y、xy的值代入计算可得．
【解答】解：（1）∵x，y，
∴x+y，xy，
则x2﹣xy+y2＝（x+y）2﹣3xy
＝5
；
（2）
＝8．
【点评】本题主要考查二次根式和分式的计算，解题的关键是掌握二次根式与分式的混合运算顺序和运算法则．
【变式11-2】（2023春•台安县期中）已知x，x，求x2﹣3xy+y2的值．
【分析】先由x、y的值计算出x﹣y、xy的值，再代入原式＝（x﹣y）2﹣xy计算可得．
【解答】解：∵x，y，
∴x﹣y，
xy（5﹣3）2，
则原式＝（x﹣y）2﹣xy
＝（）2
＝3
．
【点评】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的运算法则与完全平方公式、平方差公式．
【变式11-3】（2023秋•宝山区校级月考）已知x，y，求x2﹣xy+y2的值．
【分析】根据分母有理化化简x与y，然后求出x+y与xy的表达式即可求出答案．
【解答】解：∵x，y，
∴x，y，
∴x+y，xy，
∴原式＝x2+2xy+y2﹣3xy
＝（x+y）2﹣3xy
＝2a+b
＝2a
【点评】本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型．
【考点12 分母有理化】
【方法点拨】二次分母有理化就是通过分子和分母同时乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程，混合运算中进行二次根式的除法运算，一般都是通过分母有理化而进行的．
【例12】（2020•唐山二模）阅读下列材料，然后回答问题．
在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
1
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
（1）化简
（2）化简．
（3）化简：．
【分析】（1）分子分母分别乘即可；
（2）分子分母分别乘即可；
（3）分母有理化后，合并同类二次根式即可；
【解答】解：（1）
（2）化简
（3）化简：
（1）
（1）
【点评】本题考查二次根式的化简、分母有理化等知识，解题的关键是熟练掌握分母有理化的方法，属于中考常考题型．
【变式12-1】（2020春•淮安区校级期末）阅读下面计算过程：
1；
；
2．
求：（1）的值．
（2）（n为正整数）的值．
（3）的值．
【分析】（1）根据给定算式，在分式的分母和分子上分别相乘（），计算后即可得出结论；
（2）根据给定算式，在分式的分母和分子上分别相乘（），计算后即可得出结论；
（3）根据（2）的结论即可得出（1）+（）+（2）+…+（10），由此即可算出结论．
【解答】解：（1）；
（2）；
（3）（1）+（）+（2）+…+（10）＝10﹣1＝9．
【点评】本题考查了分母有理化，根据给定算式找出利用平方差公式寻找有理化因式是解题的关键．
【变式12-2】（2020春•孟村县期末）观察下列格式，，，，
（1）化简以上各式，并计算出结果；
（2）以上格式的结果存在一定的规律，请按规律写出第5个式子及结果
（3）用含n（n≥1的整数）的式子写出第n个式子及结果，并给出证明的过程．
【分析】（1）分别把每个式子的第二项进行分母有理化，观察结果；
（2）根据（1）的结果写出第5个式子及结果；
（3）根据（1）的规律可得，然后分母有理化，求出结果即可．
【解答】解：（1）1，
2，
3，
4，
（2）5，
（3）n．
【点评】本题主要考查分母有理化的知识点，解答本题的关键是找出上述各式的变化规律，此题难度一般．
【变式12-3】（2023春•微山县期中）【阅读材料】
材料一：把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化
通常把分子、分母乘以同一个不等于0的式子，以达到化去分母中根号的目的
例如：化简
解：
材料二：化简的方法：如果能找到两个实数m，n，使m2+n2＝a，并且mn，那么m±n
例如：化简
解：±1
【理解应用】
（1）填空：化简的结果等于 ；
（2）计算：
①；
②．
【分析】（1）根据分母有理化法则计算；
（2）①根据完全平方公式、二次根式的性质化简；
②先把原式分母有理化，再合并同类二次根式即可．
【解答】解：（1）原式4，
故答案为：4；
（2）①；
②原式141．
【点评】本题考查的是分母有理化、二次根式的化简，掌握分母有理化法则、二次根式的性质是解题的关键．
【考点13 复合二次根式的化简】
【例13】（2020春•安庆期末）阅读理解题，下面我们观察：
（1）2＝（）2﹣2×112＝2﹣21＝3﹣2．
反之3﹣22﹣21＝（1）2，所以3﹣2（1）2，
所以1．
完成下列各题：
（1）在实数范围内因式分解：3+2；
（2）化简：；
（3）化简：．
【分析】（1）利用二次根式的性质结合完全平方公示直接化简得出即可；
（2）利用二次根式的性质结合完全平方公示直接化简得出即可；
（3）利用二次根式的性质结合完全平方公示直接化简得出即可．
【解答】解：（1）3+2；
（2）；
（3）．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确理解二次根式化简的意义是解题关键．
【变式13-1】（2020春•思明区校级月考）观察下式：（1）2＝（）2﹣2••1+12＝2﹣21＝3﹣2
反之，3﹣22﹣21＝（1）2
根据以上可求：1
求：（1）；
（2）你会算吗？
【分析】根据二次根式的性质以及完全平方公式即可求出答案．
【解答】解：（1）原式．
（2）原式1
【点评】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．
【变式13-2】（2020秋•延庆县期末）阅读下面的解答过程，然后作答：
有这样一类题目：将化简，若你能找到两个数m和n，使m2+n2＝a且mn，则a+2可变为m2+n2+2mn，即变成（m+n）2，从而使得，化简：
例如：∵5+23+2+2（）2+（）2+2（）2．
∴．
请你仿照上例将下列各式化简：
（1）；
（2）．
【分析】（1）利用完全平方公式把4+2化为（1）2，然后利用二次根式的性质化简即可．
（2）利用完全平方公式把7﹣2化为（）2然后利用二次根式的性质化简即可．
【解答】解：（1）∵4+21+3+2122（1）2，
∴1；
（2）．
【点评】本题主要考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是熟记掌握完全平方公式．
【变式13-3】（2023秋•常德期末）先阅读下列解答过程，然后再解答：
形如的化简，只要我们找到两个正数a，b，使a+b＝m，ab＝n，使得m，，那么便有：（a＞b）
例如：化简：
解：首先把化为，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12，即：7，，
所以．
问题：
①填空： ， ；
②化简：（请写出计算过程）．
【分析】①②仿照例题、根据完全平方公式、二次根式的性质解答即可．
【解答】解：①1，
2，
故答案为：1；2；
②2．
【点评】本题考查的是二次根式的化简，掌握完全平方公式、二次根式的性质是解题的关键．
【考点14 含二次根式的数式规律题】
【例14】（2023秋•高邑县期末）观察下列各式：
11
11
11
请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：
（1） 1
（2）请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式： 1 ；
（3）利用上述规律计算：（仿照上式写出过程）
【分析】（1）根据提供的信息，即可解答；
（2）根据规律，写出等式；
（3）根据（2）的规律，即可解答．
【解答】解：（1）11；故答案为：1；
（2）11；故答案为：1；
（3）．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，解决本题的关键是关键信息，找到规律．
【变式14-1】（2023春•当涂县期末）观察下列各式：
1，1，1，…
请利用你所发现的规律，
（1）计算
（2）根据规律，请写出第n个等式（n≥1，且n为正整数）．
【分析】（1）根据所给等式可得规律，然后再计算即可；
（2）根据所给等式可得规律，然后再利用含n的式子表示即可．
【解答】解：（1）原式＝1111
＝1+1111
＝9+1
＝9；
（2）第n个等式：1．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，关键是认真观察等式，确定所给规律．
【变式14-2】（2020春•长岭县期末）观察下列各式：①2，②3；③4，…
（1）请观察规律，并写出第④个等式： ；
（2）请用含n（n≥1）的式子写出你猜想的规律： ；
（3）请证明（2）中的结论．
【分析】（1）认真观察题中所给的式子，得出其规律并根据规律写出第④个等式；
（2）根据规律写出含n的式子即可；
（3）结合二次根式的性质进行化简求解验证即可．
【解答】解：（1）5；
（2）（n+1）；
（3）
＝（n+1）．
故答案为：（1）5；
（2））（n+1）．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，解答本题的关键在于认真观察题中所给的式子，得出其规律并根据规律进行求解即可．
【变式14-3】（2020春•惠城区期末）观察下列各式及其验算过程：
2，验证：2；
3，验证：3
（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果并进行验证．
（2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n为大于1的整数）表示的等式并给予验证．
【分析】（1）利用已知，观察2，3，可得的值；
（2）由（1）根据二次根式的性质可以总结出一般规律；
【解答】解：（1）∵2，3，
∴44，
验证：，正确；
（2）由（1）中的规律可知3＝22﹣1，8＝32﹣1，15＝42﹣1，
∴，
验证：；正确；
【点评】此题主要考查二次根式的性质与化简，善于发现题目数字之间的规律，是解题的关键．
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