沪科版八年级数学下册举一反三训练 专题2.3 勾股定理章末重难点突破训练卷（原卷版+解析）

这是一份沪科版八年级数学下册举一反三训练 专题2.3 勾股定理章末重难点突破训练卷（原卷版+解析），共25页。
考试时间：100分钟；满分：100分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上
第Ⅰ卷（选择题）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2020春•太原期中）下列长度的三条线段中，可以构成直角三角形的是（ ）
A．6，15，17B．7，12，15C．13，15，20D．7，24，25
2．（3分）（2020春•海淀区校级期中）如图，以直角三角形的一条直角边和斜边为一边作正方形M和N，它们的面积分别为9平方厘米和25平方厘米，则直角三角形的面积为（ ）
A．6平方厘米B．12平方厘米C．24平方厘米D．3平方厘米
3．（3分）（2020春•临高县期末）如图，在水塔O的东北方向5m处有一抽水站A，在水塔的东南方12m处有一建筑工地B，在AB间建一条直水管，则水管的长为（ ）
A．10mB．13mC．14mD．8m
4．（3分）（2020春•金寨县期末）如图，赵爽弦图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形两条直角边长分别为a和b．若ab＝8，大正方形的边长为5，则小正方形的边长为（ ）
A．1B．2C．3D．4
5．（3分）（2023秋•沙河市期末）历史上对勾股定理的一种证法采用了下列图形：其中两个全等的直角三角形边AE、EB在一条直线上．证明中用到的面积相等关系是（ ）
A．S△EDA＝S△CEB
B．S△EDA+S△CEB＝S△CDB
C．S四边形CDAE＝S四边形CDEB
D．S△EDA+S△CDE+S△CEB＝S四边形ABCD
6．（3分）（2020春•襄城区期末）如图，有一个水池，水面是一边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度为（ ）尺．
A．10B．12C．13D．14
7．（3分）（2023秋•永安市期中）如图，圆柱的底面直径为，BC＝12，动点P从A点出发，沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S，则移动的最短距离为（ ）
A．10B．12C．14D．20
8．（3分）（2020春•郯城县期中）已知△ABC中，AB＝17，AC＝10，BC边上的高AH＝8，则BC的长是（ ）
A．21B．15C．6D．21或9
9．（3分）（2020春•灵山县期末）在直角三角形ABC中，∠C＝90°，两直角边长及斜边上的高分别为a，b，h，则下列关系式成立的是（ ）
A．B．
C．h2＝abD．h2＝a2+b2
10．（3分）（2020春•思明区校级月考）如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分△ABC的外角∠ACD，且EF∥BC交AC于M，若CM＝4，则CE2+CF2的值为（ ）
A．8B．16C．32D．64
第Ⅱ卷（非选择题）
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2020春•桦南县期末）在△ABC中，若其三条边的长度分别为9、12、15，则这个三角形的面积是 ．
12．（3分）（2020春•重庆期末）如图，所有阴影四边形都是正方形，两个空白三角形均为直角三角形，且A、B、C三个正方形的边长分别为2、3、4，则正方形D的面积为 ．
13．（3分）（2020春•东湖区校级期中）探索勾股数的规律：观察下列各组数：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），（9，40，41）…请写出下一数组： ．
14．（3分）（2020春•防城港期末）如图，一根长20cm的吸管置于底面直径为9cm，高为12cm的圆柱形水杯中，吸管露在杯子外面的长度最短是 cm．
15．（3分）（2020•扬州）《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．如图所示是其中记载的一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：一根竹子原高1丈（1丈＝10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？答：折断处离地面 尺高．
16．（3分）（2020春•齐齐哈尔期末）如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C1处（三条棱长如图所示），问最短路线长为 ．
三．解答题（共6小题，满分52分）
17．（8分）（2020春•来宾期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ACD＝∠B．
（1）求证：CD⊥AB；
（2）如果AC＝8，BC＝6，求CD的长．
18．（8分）（2020春•涿鹿县期中）如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地（图中的四边形ABCD），经测量，在四边形ABCD中，AB＝3m，BC＝4m，CD＝12m，DA＝13m，∠B＝90°．
（1）△ACD是直角三角形吗？为什么？
（2）小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米80元，试问铺满这块空地共需花费多少元？
19．（8分）（2020春•塔河县校级期末）如图，∠C＝90°，AM＝CM，MP⊥AB于点P，求证：BP2＝AP2+BC2．
20．（8分）（2020春•越城区期中）一艘轮船以20海里/时的速度由西向东航行，在途中接到台风警报，台风中心正以40海里/时的速度由南向北移动，距台风中心20海里的圆形区域（包括边界）都属于台风区域，当轮船到A处时测得台风中心移到位于点A正南方的B处，且AB＝100海里．若这艘轮船自A处按原速度继续航行，在途中是否会遇到台风？若会，则求出轮船最初遇到台风的时间；若不会，请说明理由．
21．（10分）（2020春•岳阳期末）如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝1.5千米，CH＝1.2千米，HB＝0.9千米．
（1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明；
（2）求新路CH比原路CA少多少千米？
22．（10分）（2020春•江阴市期中）【知识生成】我们已经知道，通过不同的方法表示同一图形的面积，可以探求相应的等式，2002年8月在北京召开了国际数学大会，大会会标如图1所示，它是由四个形状大小完全相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，四个直角三角形的两条直角边长均分别为a、b，斜边长为c．
（1）图中阴影部分小正方形的边长可表示为 ；
（2）图中阴影部分小正方形的面积用两种方法可分别表示为 、
（3）你能得出的a，b，c之间的数量关系是 （等号两边需化为最简形式）；
（4）一直角三角形的两条直角边长为5和12，则其斜边长为
【知识迁移】通过不同的方法表示同一几何体的体积，也可以探求相应的等式．如图2是边长为a+b的正方体，被如图所示的分割线分成8块．
（5）用不同方法计算这个正方体体积，就可以得到一个等式，这个等式可以为
（6）已知a+b＝4，ab＝2，利用上面的规律求a3+b3的值．
第18章 勾股定理章末重难点突破训练卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2020春•太原期中）下列长度的三条线段中，可以构成直角三角形的是（ ）
A．6，15，17B．7，12，15C．13，15，20D．7，24，25
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，这个就是直角三角形．
【答案】解：A、∵62+152≠172，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，不符合题意；
B、∵72+122≠152，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，不符合题意；
C、∵132+152≠202，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，不符合题意；
D、∵72+242＝252，∴该三角形符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
2．（3分）（2020春•海淀区校级期中）如图，以直角三角形的一条直角边和斜边为一边作正方形M和N，它们的面积分别为9平方厘米和25平方厘米，则直角三角形的面积为（ ）
A．6平方厘米B．12平方厘米C．24平方厘米D．3平方厘米
【分析】根据勾股定理求出另一条直角边的长，再根据直角三角形的面积公式求出直角三角形的面积．
【答案】解：根据勾股定理可得直角三角形的另一边长为：4（厘米），
可得这个直角三角形的面积为：4＝6（平方厘米）．
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理和直角三角形面积的求法，理解直角三角形的面积等于其两直角边长乘积的一半是解题的关键．
3．（3分）（2020春•临高县期末）如图，在水塔O的东北方向5m处有一抽水站A，在水塔的东南方12m处有一建筑工地B，在AB间建一条直水管，则水管的长为（ ）
A．10mB．13mC．14mD．8m
【分析】由题意可知东北方向和东南方向间刚好是一直角，利用勾股定理解图中直角三角形即可．
【答案】解：已知东北方向和东南方向刚好是一直角，
∴∠AOB＝90°，
又∵OA＝5m，OB＝12m，
∴AB（m）．
故选：B．
【点睛】本题考查的知识点是勾股定理的应用，正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
4．（3分）（2020春•金寨县期末）如图，赵爽弦图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形两条直角边长分别为a和b．若ab＝8，大正方形的边长为5，则小正方形的边长为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长．
【答案】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，
∵每一个直角三角形的面积为：ab8＝4，
∴4ab+（a﹣b）2＝52，
∴（a﹣b）2＝25﹣16＝9，
∵正方形的边长a﹣b＞0，
∴a﹣b＝3，
故选：C．
【点睛】本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型．
5．（3分）（2023秋•沙河市期末）历史上对勾股定理的一种证法采用了下列图形：其中两个全等的直角三角形边AE、EB在一条直线上．证明中用到的面积相等关系是（ ）
A．S△EDA＝S△CEB
B．S△EDA+S△CEB＝S△CDB
C．S四边形CDAE＝S四边形CDEB
D．S△EDA+S△CDE+S△CEB＝S四边形ABCD
【分析】用三角形的面积和、梯形的面积来表示这个图形的面积，从而证明勾股定理．
【答案】解：∵由S△EDA+S△CDE+S△CEB＝S四边形ABCD．
可知abc2ab（a+b）2，
∴c2+2ab＝a2+2ab+b2，整理得a2+b2＝c2，
∴证明中用到的面积相等关系是：S△EDA+S△CDE+S△CEB＝S四边形ABCD．
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理的证明依据．此类证明要转化成该图形面积的两种表示方法，从而转化成方程达到证明的结果．
6．（3分）（2020春•襄城区期末）如图，有一个水池，水面是一边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度为（ ）尺．
A．10B．12C．13D．14
【分析】找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答．
【答案】解：设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺，
根据勾股定理得：x2+（）2＝（x+1）2，
解得：x＝12，
芦苇的长度＝x+1＝12+1＝13（尺），
答：芦苇长13尺．
故选：C．
【点睛】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
7．（3分）（2023秋•永安市期中）如图，圆柱的底面直径为，BC＝12，动点P从A点出发，沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S，则移动的最短距离为（ ）
A．10B．12C．14D．20
【分析】先把圆柱的侧面展开，连接AS，利用勾股定理即可得出AS的长．
【答案】解：如图所示，
∵在圆柱的截面ABCD中AB，BC＝12，
∴ABπ＝8，BSBC＝6，
∴AS10．
故选：A．
【点睛】本题考查的是平面展开﹣最短路径问题，根据题意画出圆柱的侧面展开图，利用勾股定理求解是解答此题的关键．
8．（3分）（2020春•郯城县期中）已知△ABC中，AB＝17，AC＝10，BC边上的高AH＝8，则BC的长是（ ）
A．21B．15C．6D．21或9
【分析】高线AH可能在三角形的内部也可能在三角形的外部，本题应分两种情况进行讨论．分别依据勾股定理即可求解．
【答案】解：如图所示，在Rt△ABH中，
∵AB＝17，AH＝8，
∴BH15；
在Rt△ACH中，
∵AC＝10，AH＝8，
∴CH6，
∴当AH在三角形的内部时，如图1，BC＝15+6＝21；
当AH在三角形的外部时，如图2，BC＝15﹣6＝9．
∴BC的长是21或9．
故选：D．
【点睛】本题考查的是勾股定理，在解答此题时要进行分类讨论，不要漏解．
9．（3分）（2020春•灵山县期末）在直角三角形ABC中，∠C＝90°，两直角边长及斜边上的高分别为a，b，h，则下列关系式成立的是（ ）
A．B．
C．h2＝abD．h2＝a2+b2
【分析】设斜边为c，根据勾股定理得出c，再由三角形的面积公式即可得出结论．
【答案】解：设斜边为c，根据勾股定理得出c，
∵abch，
∴ab•h，即a2b2＝a2h2+b2h2，
∴，
即．
故选：B．
【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
10．（3分）（2020春•思明区校级月考）如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分△ABC的外角∠ACD，且EF∥BC交AC于M，若CM＝4，则CE2+CF2的值为（ ）
A．8B．16C．32D．64
【分析】根据角平分线的定义推出△ECF为直角三角形，然后根据勾股定理求得CE2+CF2＝EF2，即可得出结果．
【答案】解：∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠ACE∠ACB，∠ACF∠ACD，
即∠ECF（∠ACB+∠ACD）＝90°，
又∵EF∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠ECB＝∠MEC＝∠ECM，∠DCF＝∠CFM＝∠MCF，
∴CM＝EM＝MF＝4，
∴EF＝8，
由勾股定理得：CE2+CF2＝EF2＝64，
故选：D．
【点睛】本题考查角平分线的定义、勾股定理、直角三角形的判定；熟练掌握勾股定理，证明三角形是直角三角形是解决问题的关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2020春•桦南县期末）在△ABC中，若其三条边的长度分别为9、12、15，则这个三角形的面积是 54 ．
【分析】利用勾股定理逆定理可判断出△ABC为直角三角形，然后再求面积即可．
【答案】解：∵92+122＝152，
∴△ABC为直角三角形，
∴这个三角形的面积是：9＝54，
故答案为：54．
【点睛】此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
12．（3分）（2020春•重庆期末）如图，所有阴影四边形都是正方形，两个空白三角形均为直角三角形，且A、B、C三个正方形的边长分别为2、3、4，则正方形D的面积为 29 ．
【分析】设正方形D的面积为x，根据图形得出方程4+16＝x﹣9，求出即可．
【答案】解：设正方形D的面积为x，
∵正方形A、B、C的边长分别为2、3、4，
∴正方形的面积分别为4、9、16，
根据图形得：4+16＝x﹣9，
解得：x＝29，
故答案为：29．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解此题的关键是能根据题意得出方程，题目比较典型，难度适中．
13．（3分）（2020春•东湖区校级期中）探索勾股数的规律：观察下列各组数：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），（9，40，41）…请写出下一数组： （11，60，61） ．
【分析】先找出每组勾股数与其组数的关系，找出规律，再根据此规律进行解答．
【答案】解：∵（3，4，5）：3＝2×1+1，4＝2×12+2×1，5＝2×12+2×1+1；
（5，12，13）：5＝2×2+1，12＝2×22+2×2，13＝2×22+2×2+1；
（7，24，25）：7＝2×3+1，24＝2×32+2×3，25＝2×32+2×3+1；
（9，40，41）：9＝2×4+1，40＝2×42+2×4，41＝2×42+2×4+1；
∴下一组数为：11＝2×5+1，60＝2×52+2×5，61＝2×52+2×5+1，
故答案为：（11，60，61）．
【点睛】本题考查的是勾股数，根据所给的每组勾股数找出各数与组数的规律是解答此题的关键．
14．（3分）（2020春•防城港期末）如图，一根长20cm的吸管置于底面直径为9cm，高为12cm的圆柱形水杯中，吸管露在杯子外面的长度最短是 5 cm．
【分析】根据勾股定理求出h的最短距离，进而可得出结论．
【答案】解：如图，当吸管、底面直径、杯子的高恰好构成直角三角形时，h最短，
此时AB（cm），
故h最短＝20﹣15＝5（cm）；
故答案为：5．
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
15．（3分）（2020•扬州）《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．如图所示是其中记载的一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：一根竹子原高1丈（1丈＝10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？答：折断处离地面 4.55 尺高．
【分析】根据题意结合勾股定理得出折断处离地面的高度即可．
【答案】解：设折断处离地面x尺，
根据题意可得：x2+32＝（10﹣x）2，
解得：x＝4.55．
答：折断处离地面4.55尺．
故答案为：4.55．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，根据题意正确应用勾股定理是解题关键．
16．（3分）（2020春•齐齐哈尔期末）如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C1处（三条棱长如图所示），问最短路线长为 5 ．
【分析】分别利用从不同的表面得出其路径长，进而得出答案．
【答案】解：如图1，
AC1，
如图2，
AC15，
如图3，
AC1，
故沿长方体的表面爬到对面顶点C处，只有图2最短，
其最短路线长为：5，
故答案为：5．
【点睛】此题主要考查了平面展开图最短路径问题，利用分类讨论得出是解题关键．
三．解答题（共6小题，满分52分）
17．（8分）（2020春•来宾期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ACD＝∠B．
（1）求证：CD⊥AB；
（2）如果AC＝8，BC＝6，求CD的长．
【分析】（1）根据∠ACB＝90°，得出∠A+∠B＝90°，根据∠ACD＝∠B，得出∠A+∠ACD＝90°，再根据两锐角互余的三角形是直角三角形即可得出答案．
（2）根据勾股定理求得AB的长度，然后利用等面积法求得CD的长度．
【答案】（1）证明：∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵∠ACD＝∠B，
∴∠A+∠ACD＝90°，
∴∠ADC＝90°，
∴CD⊥AB．
（2）解：在直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，由勾股定理得
AB10．
∵•AB•CD•AC•BC．
∴CD．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，关键是根据直角三角形的性质得出∠A+∠B＝90°．
18．（8分）（2020春•涿鹿县期中）如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地（图中的四边形ABCD），经测量，在四边形ABCD中，AB＝3m，BC＝4m，CD＝12m，DA＝13m，∠B＝90°．
（1）△ACD是直角三角形吗？为什么？
（2）小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米80元，试问铺满这块空地共需花费多少元？
【分析】（1）先在Rt△ABC中，利用勾股定理可求AC，在△ACD中，易求AC2+CD2＝AD2，再利用勾股定理的逆定理可知△ACD是直角三角形，且∠ACD＝90°；
（2）分别利用三角形的面积公式求出△ABC、△ACD的面积，两者相加即是四边形ABCD的面积，再乘以80，即可求总花费．
【答案】解：（1）如图，连接AC，
在Rt△ABC中，∵AB＝3m，BC＝4m，∠B＝90°，AB2+CB2＝AC2
∴AC＝5cm，
在△ACD中，AC＝5cmCD＝12m，DA＝13m，
∴AC2+CD2＝AD2，
∴△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°；
（2）∵S△ABC3×4＝6，S△ACD5×12＝30，
∴S四边形ABCD＝6+30＝36，
费用＝36×80＝2880（元）．
答：铺满这块空地共需花费2880元．
【点睛】本题考查勾股定理、勾股定理的逆定理的应用、三角形的面积公式．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
19．（8分）（2020春•塔河县校级期末）如图，∠C＝90°，AM＝CM，MP⊥AB于点P，求证：BP2＝AP2+BC2．
【分析】在直角三角形中，利用勾股定理得到AB2﹣AC2+（AM2﹣MP2）＝BC2+（MC2﹣MP2）①，AM2﹣MP2＝AP2②，MC2+BC2﹣MP2＝BM2﹣MP2＝BP2③．把②③代入①证得结论．
【答案】证明：∵△ABC是直角三角形，∠C＝90°，
∴AB2＝BC2+AC2，则AB2﹣AC2＝BC2．
又∵在直角△AMP中，AP2＝AM2﹣MP2，
∴AB2﹣AC2+（AM2﹣MP2）＝BC2+（AM2﹣MP2）．
又∵AM＝CM，
∴AB2﹣AC2+（AM2﹣MP2）＝BC2+（MC2﹣MP2），①
∵△APM是直角三角形，∴AM2＝AP2+MP2，则AM2﹣MP2＝AP2，②
∵△BPM与△BCM都是直角三角形，
∴BM2＝BP2+MP2＝MC2+BC2，
MC2+BC2﹣MP2＝BM2﹣MP2＝BP2，③
把②③代入①，得
AB2﹣AC2+AP2＝BP2，即BP2＝AP2+BC2．
【点睛】本题考查了勾股定理．正确利用等量代换是解题的难点．
20．（8分）（2020春•越城区期中）一艘轮船以20海里/时的速度由西向东航行，在途中接到台风警报，台风中心正以40海里/时的速度由南向北移动，距台风中心20海里的圆形区域（包括边界）都属于台风区域，当轮船到A处时测得台风中心移到位于点A正南方的B处，且AB＝100海里．若这艘轮船自A处按原速度继续航行，在途中是否会遇到台风？若会，则求出轮船最初遇到台风的时间；若不会，请说明理由．
【分析】假设途中会遇到台风，且最初遇到的时间为th，此时轮船位于C处，台风中心移到E处，连接CE，由题意得：AC＝20t，AE＝AB﹣BE＝100﹣40t，EC＝20，根据勾股定理可得（20t）2+（100﹣40t）2＝202，方程无解，进而可得不会受影响．
【答案】解：不会受影响，
假设途中会遇到台风，且最初遇到的时间为th，此时轮船位于C处，台风中心移到E处，连接CE，
则AC＝20t，
AE＝AB﹣BE＝100﹣40t，
AC2+AE2＝EC2．
（20t）2+（100﹣40t）2＝202，
整理得：5t2﹣20t+24＝0
∵△＝（﹣20）2﹣4×5×24＜0
∴方程无实数根，
∴不会受影响．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
21．（10分）（2020春•岳阳期末）如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝1.5千米，CH＝1.2千米，HB＝0.9千米．
（1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明；
（2）求新路CH比原路CA少多少千米？
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理解答即可；
（2）根据勾股定理解答即可．
【答案】解：（1）是，
理由是：在△CHB中，
∵CH2+BH2＝（1.2）2+（0.9）2＝2.25，
BC2＝2.25，
∴CH2+BH2＝BC2，
∴CH⊥AB，
所以CH是从村庄C到河边的最近路；
（2）设AC＝x千米，
在Rt△ACH中，由已知得AC＝x，AH＝x﹣0.9，CH＝1.2，
由勾股定理得：AC2＝AH2+CH2
∴x2＝（x﹣0.9）2+（1.2）2，
解这个方程，得x＝1.25，
1.25﹣1.2＝0.05（千米）
答：新路CH比原路CA少0.05千米．
【点睛】此题考查勾股定理的应用，关键是根据勾股定理的逆定理和定理解答．
22．（10分）（2020春•江阴市期中）【知识生成】我们已经知道，通过不同的方法表示同一图形的面积，可以探求相应的等式，2002年8月在北京召开了国际数学大会，大会会标如图1所示，它是由四个形状大小完全相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，四个直角三角形的两条直角边长均分别为a、b，斜边长为c．
（1）图中阴影部分小正方形的边长可表示为 （b﹣a） ；
（2）图中阴影部分小正方形的面积用两种方法可分别表示为 c2﹣2ab 、 （b﹣a）2
（3）你能得出的a，b，c之间的数量关系是 a2+b2＝c2 （等号两边需化为最简形式）；
（4）一直角三角形的两条直角边长为5和12，则其斜边长为 13
【知识迁移】通过不同的方法表示同一几何体的体积，也可以探求相应的等式．如图2是边长为a+b的正方体，被如图所示的分割线分成8块．
（5）用不同方法计算这个正方体体积，就可以得到一个等式，这个等式可以为 （a+b）3＝a3+b3+3a2b+3ab2
（6）已知a+b＝4，ab＝2，利用上面的规律求a3+b3的值．
【分析】（1）根据直角三角形的两边长即可得到结论；
（2）求出图形的各个部分的面积，即可得出答案；
（3）根据（1）的结果，即可得出答案；
（4）代入求出即可；
（5）求出大正方体的条件和各个部分的体积，即可得出答案；
（6）代入（5）中的等式求出即可．
【答案】解：（1）图中阴影部分小正方形的边长可表示为（b﹣a），
故答案为：（b﹣a）；
（2）图中阴影部分的面积为c2﹣2ab或（b﹣a）2，
故答案为：c2﹣2ab，（b﹣a）2；
（3）由（1）知：c2﹣2ab＝（b﹣a）2，
即a2+b2＝c2，
故答案为：a2+b2＝c2；
（4）∵a2+b2＝c2，a＝5，b＝12，
∴c＝13，
故答案为：13；
（5）图形的体积为（a+b）3或a3+b3+a2b+a2b+a2b+ab2+ab2+ab2，
即（a+b）3＝a3+b3+3a2b+3ab2，
故答案为：（a+b）3＝a3+b3+3a2b+3ab2；
（6）∵a+b＝4，ab＝2，（a+b）3＝a3+b3+3a2b+3ab2，＝a3+b3+3ab（a+b）
∴43＝a3+b3+3×2×4，
解得：a3+b3＝40．
【点睛】本题考查了勾股定理的证明，完全平方公式的几何应用，能正确列代数式表示各个部分的体积和面积是解此题的关键． 题号
一
二
三
总分
得分
评卷人
得 分


评卷人
得 分


评卷人
得 分