沪科版八年级数学下册举一反三训练 专题1.5 数据的初步分析章末重难点题型（举一反三）（原卷版+解析）

这是一份沪科版八年级数学下册举一反三训练 专题1.5 数据的初步分析章末重难点题型（举一反三）（原卷版+解析），共52页。


【考点1 频数与频率】
【方法点拨】根据频率＝频数÷总数进行计算．
【例1】（2020春•平江县期末）南北朝著名的数学家祖冲之算出圆周率约为3.1415926，在3.1415926这个数中数字“1”出现的频数与频率分别为（ ）
A．2，20%B．2，25%C．3，25%D．1，20%
【变式1-1】（2020秋•淅川县期末）一组数据共100个，分为6组，第1～4组的频数分别为10，14，16，20，第5组的频率为0.20，则第6组的频数为（ ）
A．20B．22C．24D．30
【变式1-2】（2020春•越城区期末）一组数据共分5组，第一、二、三组共有250个频数，第三、四、五组共有230个频数，若第三组的频率为0.2，则这组数据的总频数为 个．
【变式1-3】（2020秋•西城区校级月考）秋季新学期开学，某中学对初一新生掌握“中学生日常行为规范”的情况进行了知识测试，测试成绩全部合格．现随机抽取了部分学生的成绩制作成如下表格，则b＝ ，c＝ ．
【考点2 从频数分布直方图中获取信息】
【例2】（2021•云南模拟）“共享单车”为人们提供了一种经济便捷、绿色低碳的共享服务，成为城市交通出行的新方式，小文对他所在小区居民当月使用“共享单车”的次数进行了抽样调查，并绘制成了如图所示的频数分布直方图（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值），则下列说法正确的是（ ）
A．小文一共抽样调查了20人
B．样本中当月使用“共享单车”40～50次的人数最多
C．样本中当月使用“共享单车”不足30次的人数有14人
D．样本中当月使用次数不足30次的人数多于50～60次的人数
【变式2-1】（2020春•沂水县期末）小文同学统计了他所在小区部分居民每天微信阅读的时间，绘制了直方图．得出了如下结论：①样本中每天阅读微信的时间没人超过1小时，由此可以断定这个小区的居民每天阅读微信时间超过1小时的很少；②样本中每天微信阅读不足20分钟的人数大约占16%；③选取样本的样本容量是60；④估计所有居民每天微信阅读35分钟以上的人数大约占总居民数的一半左右．其中正确的是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
【变式2-2】（2020春•定襄县期末）为提高学生的课外阅读水平，我市各中学开展了“我的梦，中国梦”课外阅读活动，某校为了解七年级学生每日课外阅读所用的时间情况，从中随机抽取了部分学生，进行了统计分析，整理并绘制出如图所示的频数分布直方图，有下列说法：
①这次调查属于全面调查
②这次调查共抽取了200名学生
③这次调查阅读所用时间在2.5﹣3h的人数最少
④这次调查阅读所用时间在1﹣1.5h的人数占所调查人数的40%，其中正确的有（ ）
A．②③④B．①③④C．①②④D．①②③
【变式2-3】（2020春•荔城区期末）某班有48位同学，在一次数学检测中，分数只取整数，统计其成绩，绘制出频数分布直方图（横半轴表示分数，把50.5分到100.5分之间的分数分成5组，组距是10分，纵半轴表示频数）如图所示，从左到右的小矩形的高度比是1：3：6：4：2，则由图可知，其中分数在70.5～80.5之间的人数是（ ）
A．9B．18C．12D．6
【考点3 算术平均数的计算】
【方法点拨】平均数：在一组数据中，用数据的总和除以数据的总个数就得到这组数据的平均数.
【例3】（2020春•荔湾区期末）已知一组数据x1，x2，…，xn的平均数2，则数据3x1+2，3x2+2，…，3xn+2的平均数是（ ）
A．8B．6C．4D．2
【变式3-1】（2020•杭州）在某次演讲比赛中，五位评委给选手圆圆打分，得到互不相等的五个分数．若去掉一个最高分，平均分为x；去掉一个最低分，平均分为y；同时去掉一个最高分和一个最低分，平均分为z，则（ ）
A．y＞z＞xB．x＞z＞yC．y＞x＞zD．z＞y＞x
【变式3-2】（2020春•陆川县期末）x1，x2，…，x10的平均数为a，x11，x12，…，x50的平均数为b，则x1，x2，…，x50的平均数为（ ）
A．a+bB．C．D．
【变式3-3】（2020春•萧山区期末）已知一组数据1，3，5，x，y的平均数是3，则另一组数据﹣1，1，3，x﹣2，y﹣2的平均数是 ．
【考点4 加权平均数的计算】
【方法点拨】加权平均数：（1）加权平均数：若n个数x1，x2，x3，…，xn的权分别是w1，w2，w3，…
wn，则x1w1+x2w2+…+xnwnw1+w2+…+wn叫做这n个数的加权平均数．（2）权的表现形式，一种是比的
形式，如4：3：2，另一种是百分比的形式，如创新占50%，综合知识占30%，语言占20%，权的大小直接
影响结果．（3）数据的权能够反映数据的相对“重要程度”，要突出某个数据，只需要给它较大的“权”，
权的差异对结果会产生直接的影响．（4）对于一组不同权重的数据，加权平均数更能反映数据的真实信息．
【例4】（2020春•邹平市期末）某公司招聘职员一名，从学历、经验和工作态度三个方面对甲、乙、丙、丁四名应聘者进行测试．测试结果如下表（各项满分均为10分）：
如果将学历、经验和工作态度三项得分按1：2：3的比例确定各人的最终得分，并以此为依据录取得分最高者，那么将被录取的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【变式4-1】（2020•驻马店二模）双十一期间，某超市以优惠价销售A，B，C，D，E坚果五种礼盒，它们的单价分别
为90元、80元、70元、60元、50元、当天销售情况如图所示，则当天销售坚果礼盒的平均售价为（ ）
A．75元B．70元C．66.5元D．65元
【变式4-2】（2020春•德阳期末）某地某月中午12时的气温（单位：℃）如下：
根据上表计算得该地本月中午12时的平均气温是（ ）
A．18℃B．20℃C．22℃D．24℃
【变式4-3】（2020•丰泽区校级模拟）某面包推出一款新面包，每个面包的成本价为4元，售价为10元，该款面包当天只出一炉（一炉至少15个，至多30个），当天如果没有售完，剩余的面包以每个2元的价格处理掉，为了确定这一炉面包的个数，该店记录了新款面包最近30天的日需求量（单位：个），整理得下表：
（1）若该店新款面包出炉的个数均为20个，日需求量为15个，求新款面包的日利润；
（2）试以这30天内新款面包日利润的平均数作为决策依据，说明这款面包日均出炉个数定为20个还是21个？
【考点5 中位数的计算】
【方法点拨】中位数：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则
处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这
组数据的中位数．
【例5】（2020•太原二模）新冠肺炎疫情爆发以来，山西共派出13批医疗队支援湖北，共计1516人，白衣逆行，千里弛援．如表是山西11个地市支援湖北的医疗队人数，这组数据的中位数是（ ）
A．33人B．86人C．91人D．98人
【变式5-1】（2020春•西湖区校级期中）一组数据按从小到大排列为2，4，6，x，14，15，若这组数据的中位数为9，则x是（ ）
A．7B．9C．12D．13
【变式5-2】（2020•成都模拟）在某公益活动中，某社区对本社区的捐款情况进行了统计，如图是该社区捐款情况的条形统计图，则本次捐款金额的中位数是 元．
【变式5-3】（2020•马鞍山二模）如表是某校合唱团成员的年龄分布统计，则这组数据（年龄）的中位数是（ ）
A．13B．14C．15D．16
【考点6 众数的计算】
【方法点拨】求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此
时众数就是这多个数据．
【例6】（2020•邹城市模拟）返校复学前，小张进行了14天体温测量，结果统计如下，则小张这14天的众数是 ．
【变式6-1】（2020春•湘桥区期末）若一组数据2，2，x，5，7，7的众数为7，则这组数据的x为（ ）
A．2B．5C．6D．7
【变式6-2】（2020•凉山州）已知一组数据1，0，3，﹣1，x，2，3的平均数是1，则这组数据的众数是（ ）
A．﹣1B．3C．﹣1和3D．1和3
【变式6-3】（2020•包头）两组数据：3，a，b，5与a，4，2b的平均数都是3．若将这两组数据合并为一组新数据，则这组新数据的众数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【考点7 平均数、中位数、众数综合计算】
【例7】（2020春•嘉陵区期末）已知一组数据4，5，7，9，x，y的众数为5，平均数为6，则这组数据的中位数为 ．
【变式7-1】（2020•新余模拟）若一组数据3，4，﹣3，1，0，3，﹣3，a的众数为3，则这组数据的平均数与中位数分别是（ ）
A．3，1B．1，2C．2，0D．0，
【变式7-2】（2023•鄂尔多斯）下表是抽查的某班10名同学中考体育测试成绩统计表．
若成绩的平均数为23，中位数是a，众数是b，则a﹣b的值是（ ）
A．﹣5B．﹣2.5C．2.5D．5
【变式7-3】（2020春•浠水县期末）某学校五个绿化小组一天植树的棵数如下：10，10，12，x，8，如果这组数据的平均数与众数相等，那么这组数据的中位数是（ ）
A．8B．9C．10D．12
【考点8 方差的计算】
【方法点拨】用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差，通常用S2来表示，计算公式是：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2[（x1）2+（x2）2+…+（xn）2]
【例8】（2020•宁德二模）已知一组数据的方差s2[（3﹣7）2+（8﹣7）2+（11﹣7）2+（a﹣7）2+（b﹣7）2+（c﹣7）2]，则a+b+c的值为（ ）
A．22B．21C．20D．7
【变式8-1】（2020春•孝义市期末）一组数据x1，x2，…，xn的方差是2，那么另一组数据x1+3，x2+3，…，xn+3的方差是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【变式8-2】（2020春•广丰区期末）有一组数据x1、x2、x3、x4、x5的方差S12＝n，那么数据2x1、2x2、2x3、2x4、2x5的方差S22＝（ ）
A．nB．2nC．4nD．4n2
【变式8-3】（2023秋•萧山区校级月考）已知一组数据x1，x2，x3，平均数为2，方差为3，那么另一组数2x1﹣1，2x2﹣1，2x3﹣1的平均数和方差分别是（ ）
A．2，B．3，3C．3，12D．3，4
【考点9 方差反映数据的稳定性】
【方法点拨】方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
【例9】（2020春•滨城区期末）甲，乙，丙，丁四位同学本学期5次50米短跑成绩的平均数（秒）及方差S2如下表所示．若从这四位同学中选出一位成绩较好且状态稳定的同学参加学校比赛，则应该选的同学是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【变式9-1】（2020•黄岛区二模）下表记录了甲、乙、丙、丁四名同学最近几次数学考试成绩的平均数与方差．根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加数学竞赛，应该选择 （填“甲”，“乙”，“丙”，“丁”）．
【变式9-2】（2020春•盘龙区期末）2022年将在北京﹣﹣张家口举办冬季奥运会，北京将成为世界上第一个既举办夏季奥运会，又举办冬季奥运会的城市．某队要从两名选手中选取一名参加比赛，为此对这两名队员进行了五次测试，测试成绩如图所示， 选手的成绩更稳定．
【变式9-3】（2020秋•海淀区校级月考）小宇在纸上写了六个两两不等的数x1，x2，x3，x4，x5，x6，并记录下这组数的中位数m1和方差S12，然后他将这六个数中大于m1的三个数分别加1，小于m1的三个数分别减1，得到了新的一组数，再次记录下新的这组数的中位数m2和方差S22，则m1 m2，S12 S22（两空均选填“＞”，“＝”或“＜”）．
【考点10 统计量的选择—中位数场景】
【例10】（2023秋•海陵区期末）某次校运会共有13名同学报名参加百米赛跑，他们的预赛成绩各不相同，现取其中前6名参加决赛，小勇同学在知道自己成绩的情况下，要判断自己能否进入决赛，还需要知道这13名同学成绩的（ ）
A．平均数B．众数C．中位数D．方差
【变式10-1】（2023秋•景德镇期末）使用某共享单车，行程在m千米以内收费1元，超过m千米的，每千米另收2元．若要让使用该共享单车50%的人只花1元钱，m应取（ ）
A．平均数B．中位数C．众数D．方差
【变式10-2】（2023秋•镇江期末）共享单车已经成为城市公共交通的重要组成部分，某共享单车公司经过调查获得关于共享单车租用行驶时间的数据，并由此制定了新的收费标准：每次租用单车行驶a小时及以内，免费骑行；超过a小时后，每半小时收费1元，这样可保证不少于50%的骑行是免费的．制定这一标准中的a的值时，参考的统计量是此次调查所得数据的（ ）
A．方差B．平均数C．中位数D．众数
【变式10-3】（2023春•通州区期末）在国际跳水比赛中，根据规则，需要有7位裁判对选手的表现进行打分，在裁判完成打分后，总裁判会在7位裁判的打分中，去掉一个最高分，再去掉一个最低分，将剩下5位裁判的平均分作为该选手的最终得分．在总裁判去掉最高分与最低分后，一定保持不变的统计量是（ ）
A．平均分B．众数C．中位数D．最高分
【考点11 统计量的选择—众数场景】
【例11】（2023•花溪区一模）能辉专卖店专营雅戈尔衬衫，店主对上一周中不同尺码的衬衫销售情况统计如下：
该店主决定本周进货时，增加一些41码的衬衫，影响该店主决策的统计量是（ ）
A．平均数B．众数C．中位数D．方差
【变式11-1】（2020•南充模拟）一场篮球比赛，A队上场的5名队员和教练年龄如下（单位：岁）21，26，26，3■，40，42，其中一个两位数的个位数字被记号笔墨水覆盖了看不到．将它当作30统计分析，得到的统计量，一定不受影响的是（ ）
A．平均数B．中位数C．众数D．方差
【变式11-2】（2023春•朝阳区期末）5G是新一代信息技术的发展方向和数字经济的重要基础，预计我国5G商用将直接创造更多的就业岗位．小明准备到一家公司应聘普通员，他了解到该公司全体员工的月收入如下：
对这家公司全体员工的月收入，能为小明提供更为有用的信息的统计量是（ ）
A．平均数B．众数C．中位数D．方差
【变式11-3】（2020春•海淀区校级月考）某校合唱团有90名成员，下表是合唱团成员的年龄分布统计表：
对于不同的x，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（ ）
A．平均数、中位数B．平均数、方差
C．众数、中位数D．众数、方差
【考点12 统计量的选择—方差场景】
【例12】（2023秋•辽阳期末）甲乙两名同学本学期参加了相同的5次数学考试，老师想判断这两位同学的数学成绩谁更稳定，老师需比较这两人5次数学成绩的（ ）
A．平均数B．中位数C．众数D．方差
【变式12-1】（2023秋•肥城市期末）一组数据分别为a，b，c，d，e，将这组数据中的每个数都加上同一个大于0的常数，得到一组新的数据，则这组新数据的下列统计量与原数据相比，一定不发生变化的是（ ）
A．中位数B．方差C．平均数D．众数
【变式12-2】（2023秋•威海期末）一组数据0，1，2，2，3，4，若添加一个数据2，则下列统计量中发生变化的是（ ）
A．方差B．中位数C．平均数D．极差
【变式12-3】（2020•锦州二模）在一场排球比赛中，某排球队6名场上队员的身高（单位：cm）是：180，184，188，190，192，194．如果用一名身高为190cm的队员替换场上身高为184cm的队员，那么换人后与换人前相比，场上队员身高的平均数和方差大小变化正确的是（ ）
A．平均数变小，方差变小B．平均数变小，方差变大
C．平均数变大，方差变小D．平均数变大，方差变大
【考点13 四种统计量的意义】
【例13】（2020春•仙居县期末）为了在甲、乙两名运动员中选拔一人参加全省射击比赛，对他们的射击水平进行考核．在相同的情况下，两人的比赛成绩经统计算后如表：
某同学根据表格分析得出如下结论：①甲、乙两名运动员成绩的平均水平相同；②乙运动员优秀的次数多于甲运动员（环数≥8环为优秀）；③甲运动员成绩的波动比乙大．上述结论正确的是（ ）
A．①②③B．①②C．①③D．②③
【变式13-1】（2020春•武川县期末）武川县教育局准备举办一场“中国汉字听写大赛”，要求每校推选一名同学参加比赛，为此某学校组织了五轮选拔赛，在这五轮选拔赛中，甲同学的得分是：8、7、9、8、8，乙同学的得分是：7、9、6、9、9则下列说法中错误的是（ ）
A．甲乙得分的平均数都是8
B．甲得分的众数是8，乙得分的众数9
C．甲得分的方差比乙得分的方差小
D．甲得分的中位数是9，乙得分的中位数是6
【变式13-2】（2020•市南区模拟）如图是甲、乙两人射击成绩的统计图，两人都射击了10次，下列说法错误的是（ ）
A．甲和乙的平均成绩相同
B．甲和乙成绩的众数都是8环
C．甲和乙成绩的中位数都是8环
D．甲成绩的方差比乙成绩的方差大
【变式13-3】（2023•麒麟区模拟）为积极响应曲靖市政府“举全市之力，集全民之智，力争2020年夺得全国文明城市桂冠”的号召，麒麟区某校举办了一次创文知识竞赛，满分10分，学生得分均为整数，成绩达到6分及6分以上为合格，达到9分或10分为优秀，为了解本次大赛的成绩，校团委随机抽取了甲、乙两组学生成绩作为样本进行统计，绘制了如下统计图表：
则下列说法错误的是（ ）
A．a＝6，b＝7.2
B．甲组的众数是5，乙组的众数是3
C．小英同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中排名属中上游略偏上观察上面的表格可以判断，小英属于甲组
D．从平均数来看，乙组的平均分高于甲组，即乙组的总体平均水平高：从方差来看，乙组的方差比甲组小，即乙组的成绩比甲组的成绩稳定．所以从平均数和方差两方面来看，乙组成绩好于甲组成绩
【考点14 统计的综合应用】
【例14】（2020秋•北碚区校级期末）拉尼娜现象再次到来，2020﹣2021或成超级寒冬，穿羽绒服是人们防寒保暖的常见方式．某羽绒服制造厂为了更好，更均匀地填充羽绒，准备新购进一种填充机器．现有甲、乙两种机器填充的标准质量均为200g羽绒，工厂的采购员对甲、乙两种机器填充的若干羽绒服进行了抽样调查，对数据进行分类整理分析（羽绒质量用x表示，共分成四组A：190≤x＜195，B：195≤x＜200，C：200≤x＜205，D：205≤x＜210）并给出了下列信息：
从甲、乙两种机器填充的羽绒服中各自随机抽取10件，测得实际质量x（单位：g）如下：
甲机器填充羽绒服中B组的数据是：196，198，198，198
乙机器填充羽绒的数据：200，196，205，197，204，199，203，200，200，198
甲、乙机器填充羽绒质量数据分析表
请回答下列问题：
（1）a＝ ，b＝ ，c＝ ．
（2）请根据以上数据判断羽绒填充机情况比较好的是 （填甲或乙）说明你的理由．
（3）若甲、乙两种机器填充的这批羽绒服各有600件，估计这批羽绒服的质量属于C类的数量共有多少件？
【变式14-1】（2020秋•沙坪坝区校级期末）“无篮球，不青春”，2020年12月，重庆一中举办了系列篮球活动，展现了同学们积极向上的青春风采．为加强初、高中教师们的联系，提高教师的身体素质，在活动收尾阶段，举办了“初、高中教师友谊赛”．在女教师的比赛环节中，初、高中各随机派出10名女教师，每名女教师定点投篮10次，进球个数（x）作为这名女教师的成绩，学校对数据进行整理，将数据分为5组：（A组：0≤x≤2；B组：3≤x≤4；C组：5≤x≤6；D组：7≤x≤8；E组：9≤x≤10）．通过分析后，得到如下部分信息：
A．初中参赛女教师定点投篮投球成绩频数分布直方图
B．初中参赛女教师定点投篮投球个数在C组：5≤x≤6这一组的数据是：5、5、5、6；
C．高中参赛女教师定点投篮投球成绩统计表
D．初、高中参赛女教师定点投篮投球个数的平均数、中位数、众数如下：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：m＝ ，n＝ ；t＝ ；
（2）根据以上数据分析，你认为初、高中哪支队伍“定点投篮”成绩更优异，请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）若该校初、高中女教师共有800名，估计全校女教师“定点投篮”进球个数不少于5个的人数．
【变式14-2】（2020秋•桃江县期末）为加强安全教育，某校开展了“防溺水”安全知识检测，现从七年级学生中随机抽取50名学生进行测试，并将他们的测试成绩（百分制）进行整理，部分信息如下：
a．参检学生成绩频数分布直方图（数据分成五组：50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）如图所示．
b．参检学生成绩在70≤x＜80这一组的具体得分是：70 71 73 75 76 76 76 77 77 78 79．
c．参检学生成绩的平均数、中位数、众数如下表：
d．参检学生甲的成绩为79分．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）在这次测试中，求75分以上（含75分）的人数及表中m的值；
（2）在这次测试中，求参赛学生甲的成绩得分排名名次（从高分到低分）；
（3）该校七年级学生有500人，假设全部参加测试，请估计成绩超过平均分的人数．
【变式14-3】（2020秋•沙坪坝区校级期末）玉米是一种重要的粮食作物，也是全世界总产量最高的农作物．玉米的容重是指每升玉米的重量，可以反映出玉米的饱满度以及整齐度．超市采购员小李准备进购一批玉米，小李对甲、乙两个乡镇的玉米进行实地考察，各随机采摘了20根玉米进行容重检测，这些玉米的容重记为x（单位：g/L），对数据进行整理后，将所得的数据分为5个等级：五等玉米：600≤x＜630；四等玉米：630≤x＜660；三等玉米：660≤x＜690；二等玉米：690≤x＜720；一等玉米：x≥720．其中二等玉米和一等玉米，我们把它称为“优等玉米”．下面给出了小李整理、描述和分析数据的部分信息．
a．甲乡镇被抽取的20根玉米的容重分别为（单位：g/L）：
整理数据：
b．乙乡镇被抽取的玉米容重频数分布直方图
乙乡镇被抽取的玉米容重在660≤x＜690这一组的数据是：
660 670 685 680 685 685 685
c．分析数据：样本数据的平均数、众数、中位数、“优等玉米”所占的百分比如下表：
根据以上信息：解答下列问题：
（1）上述表中的a＝ ，b＝ ，c＝ ，d＝ ；
（2）若小李只选择一个产地采购玉米，根据以上数据，你认为小李选择哪个乡镇采购玉米比较好？（写出一条理由即可）
（3）小李最终决定在甲乡镇采购400根玉米，在乙乡镇采购600根玉米，估计本次小李采购的玉米中“优等玉米”的数量是多少？
专题1.5 数据的初步分析章末重难点题型
【沪科版】


【考点1 频数与频率】
【方法点拨】根据频率＝频数÷总数进行计算．
【例1】（2020春•平江县期末）南北朝著名的数学家祖冲之算出圆周率约为3.1415926，在3.1415926这个数中数字“1”出现的频数与频率分别为（ ）
A．2，20%B．2，25%C．3，25%D．1，20%
【分析】根据频率的定义作答．
【解答】解：在8个数字中，1出现了2次，则数字1出现的频率是2÷8＝25%．
故选：B．
【点评】本题主要考查了频率的计算方法，记住频率＝频数÷总数是解答此题的关键．
【变式1-1】（2020秋•淅川县期末）一组数据共100个，分为6组，第1～4组的频数分别为10，14，16，20，第5组的频率为0.20，则第6组的频数为（ ）
A．20B．22C．24D．30
【分析】直接利用频数与频率的关系得出第5组的频数，进而得出答案．
【解答】解：∵一组数据共100个，第5组的频率为0.20，
∴第5组的频数是：100×0.20＝20，
∵一组数据共100个，分为6组，第1～4组的频数分别为10，14，16，20，
∴第6组的频数为：100﹣20﹣10﹣14﹣16﹣20＝20．
故选：A．
【点评】此题主要考查了频数与频率，正确得出第5组频数是解题关键．
【变式1-2】（2020春•越城区期末）一组数据共分5组，第一、二、三组共有250个频数，第三、四、五组共有230个频数，若第三组的频率为0.2，则这组数据的总频数为 个．
【分析】根据频率的意义，每组的频率＝小组的频数：样本容量可得第三组的频率．
【解答】解：第三组的频率为0.2，则250+230的频率为1.2，
则这组数据的总频数为（250+230）÷1.2＝400（个）．
故答案为：400．
【点评】本题考查频率的意义与计算方法，频率的意义，每组的频率＝小组的频数：样本容量．
【变式1-3】（2020秋•西城区校级月考）秋季新学期开学，某中学对初一新生掌握“中学生日常行为规范”的情况进行了知识测试，测试成绩全部合格．现随机抽取了部分学生的成绩制作成如下表格，则b＝ ，c＝ ．
【分析】根据频数、频率与总数之间的关系分别进行求解即可．
【解答】解：抽取的学生总数是：20÷0.4＝50（人），
b0.3；c＝50×0.18＝9；
故答案为：0.3，9．
【点评】此题考查了频数与频率，熟练掌握频率是解题的关键．
【考点2 从频数分布直方图中获取信息】
【例2】（2021•云南模拟）“共享单车”为人们提供了一种经济便捷、绿色低碳的共享服务，成为城市交通出行的新方式，小文对他所在小区居民当月使用“共享单车”的次数进行了抽样调查，并绘制成了如图所示的频数分布直方图（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值），则下列说法正确的是（ ）
A．小文一共抽样调查了20人
B．样本中当月使用“共享单车”40～50次的人数最多
C．样本中当月使用“共享单车”不足30次的人数有14人
D．样本中当月使用次数不足30次的人数多于50～60次的人数
【分析】利用频数分布直方图中的信息一一判断即可．
【解答】解：小文一共抽样调查了4+8+14+20+16+12＝74（人），故A选项错误，
样本中当月使用“共享单车”30～40次的人数最多，有20人，故B选项错误，
样本中当月使用“共享单车”不足30次的人数有26人，故C选项错误，
样本中当月使用“共享单车”50～60次的人数为12人，当月使用“共享单车”不足30次的人数有26人，
所以样本中当月使用次数不足30次的人数多于50～60次的人数，故D选项正确，
故选：D．
【点评】本题考查频数分布直方图、样本估计总体的思想等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
【变式2-1】（2020春•沂水县期末）小文同学统计了他所在小区部分居民每天微信阅读的时间，绘制了直方图．得出了如下结论：①样本中每天阅读微信的时间没人超过1小时，由此可以断定这个小区的居民每天阅读微信时间超过1小时的很少；②样本中每天微信阅读不足20分钟的人数大约占16%；③选取样本的样本容量是60；④估计所有居民每天微信阅读35分钟以上的人数大约占总居民数的一半左右．其中正确的是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
【分析】根据题意和频数分布直方图中的数据，可以判断各个小题中的说法是否正确，本题得以解决．
【解答】解：由直方图可得，
样本中每天阅读微信的时间没人超过1小时，由此可以断定这个小区的居民每天阅读微信时间超过1小时的很少，故①正确；
样本中每天微信阅读不足20分钟的人数大约占：（4+8）÷（4+8+14+20+16+12）×100%≈16%，故②正确；
选取样本的样本容量是：4+8+14+20+16+12＝74，故③错误；
（10+16+12）÷74≈0.51，
即所有居民每天微信阅读35分钟以上的人数大约占总居民数的一半左右，故④正确：
故选：B．
【点评】本题考查频数分布直方图、样本容量、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
【变式2-2】（2020春•定襄县期末）为提高学生的课外阅读水平，我市各中学开展了“我的梦，中国梦”课外阅读活动，某校为了解七年级学生每日课外阅读所用的时间情况，从中随机抽取了部分学生，进行了统计分析，整理并绘制出如图所示的频数分布直方图，有下列说法：
①这次调查属于全面调查
②这次调查共抽取了200名学生
③这次调查阅读所用时间在2.5﹣3h的人数最少
④这次调查阅读所用时间在1﹣1.5h的人数占所调查人数的40%，其中正确的有（ ）
A．②③④B．①③④C．①②④D．①②③
【分析】根据题意和频数分布直方图中的数据，可以判断各个小题中的说法是否正确，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，
这次调查属于抽样调查，故①错误；
这次调查共抽取了10+20+80+70+12+8＝200名学生，故②正确；
这次调查阅读所用时间在2.5﹣3h的人数最少，故③正确；
这次调查阅读所用时间在1﹣1.5h的人数占所调查人数的100%＝40%，故④正确；
故选：A．
【点评】本题考查频数分布直方图、全面调查与抽样调查，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
【变式2-3】（2020春•荔城区期末）某班有48位同学，在一次数学检测中，分数只取整数，统计其成绩，绘制出频数分布直方图（横半轴表示分数，把50.5分到100.5分之间的分数分成5组，组距是10分，纵半轴表示频数）如图所示，从左到右的小矩形的高度比是1：3：6：4：2，则由图可知，其中分数在70.5～80.5之间的人数是（ ）
A．9B．18C．12D．6
【分析】由频数分布直方图上的小长方形的高为频数，即高之和为总数，知道高度比，即可算出个范围的频数，即各个范围的人数．
【解答】解：由图形可知，从左到右的小矩形的高度比是1：3：6：4：2，且总数为48，
即各范围的人数分别为3，9，18，12，6．
所以分数在70.5～80.5之间的人数是18人．
故选：B．
【点评】本题主要考查学生对频率直方图的认识和对频数的计算．
【考点3 算术平均数的计算】
【方法点拨】平均数：在一组数据中，用数据的总和除以数据的总个数就得到这组数据的平均数.
【例3】（2020春•荔湾区期末）已知一组数据x1，x2，…，xn的平均数2，则数据3x1+2，3x2+2，…，3xn+2的平均数是（ ）
A．8B．6C．4D．2
【分析】一组数据中的每一个数加或减一个数，它的平均数也加或减这个数；一组数据中的每一个数都变为原数的n倍，它的方差变为原数据的n2倍；依此规律求解即可．
【答案】解：∵一组数据x1，x2…，xn的平均数x＝2，
∴x1+x2+…+xn＝2n，
∴数据3x1+2，3x2+2，…，3xn+2的平均数（3x1+2+3x2+2+…+3xn+2）
[3（x1+x2+…+xn）+2n]
（3×2n+2n）
8n
＝8，
故选：A．
【点睛】本题考查了平均数，平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．
【变式3-1】（2020•杭州）在某次演讲比赛中，五位评委给选手圆圆打分，得到互不相等的五个分数．若去掉一个最高分，平均分为x；去掉一个最低分，平均分为y；同时去掉一个最高分和一个最低分，平均分为z，则（ ）
A．y＞z＞xB．x＞z＞yC．y＞x＞zD．z＞y＞x
【分析】根据题意，可以判断x、y、z的大小关系，从而可以解答本题．
【答案】解：由题意可得，
若去掉一个最高分，平均分为x，则此时的x一定小于同时去掉一个最高分和一个最低分后的平均分为z，
去掉一个最低分，平均分为y，则此时的y一定大于同时去掉一个最高分和一个最低分后的平均分为z，
故y＞z＞x，
故选：A．
【点睛】本题考查算术平均数，解答本题的关键是明确算术平均数的含义．
【变式3-2】（2020春•陆川县期末）x1，x2，…，x10的平均数为a，x11，x12，…，x50的平均数为b，则x1，x2，…，x50的平均数为（ ）
A．a+bB．C．D．
【分析】先求前10个数的和，再求后40个数的和，然后利用平均数的定义求出50个数的平均数．
【答案】解：前10个数的和为10a，后40个数的和为40b，50个数的平均数为．
故选：D．
【点睛】正确理解算术平均数的概念是解题的关键．
【变式3-3】（2020春•萧山区期末）已知一组数据1，3，5，x，y的平均数是3，则另一组数据﹣1，1，3，x﹣2，y﹣2的平均数是 ．
【分析】平均数的计算方法是求出所有数据的和，然后除以数据的总个数．先求数据x与y的和，然后用平均数的定义求新数据的平均数．
【答案】解：∵一组数据1，3，5，x，y的平均数是3，
∴1+3+5+x+y＝15，
∴x+y＝6，
∴另一组数据﹣1，1，3，x﹣2，y﹣2的平均数是（﹣1+1+3+x﹣2+y﹣2）（x+y﹣1）＝1．
故答案为：1．
【点睛】本题考查的是算术平均数的求法及运用，熟记平均数的计算公式是解题的关键．
【考点4 加权平均数的计算】
【方法点拨】加权平均数：（1）加权平均数：若n个数x1，x2，x3，…，xn的权分别是w1，w2，w3，…
wn，则x1w1+x2w2+…+xnwnw1+w2+…+wn叫做这n个数的加权平均数．（2）权的表现形式，一种是比的
形式，如4：3：2，另一种是百分比的形式，如创新占50%，综合知识占30%，语言占20%，权的大小直接
影响结果．（3）数据的权能够反映数据的相对“重要程度”，要突出某个数据，只需要给它较大的“权”，
权的差异对结果会产生直接的影响．（4）对于一组不同权重的数据，加权平均数更能反映数据的真实信息．
【例4】（2020春•邹平市期末）某公司招聘职员一名，从学历、经验和工作态度三个方面对甲、乙、丙、丁四名应聘者进行测试．测试结果如下表（各项满分均为10分）：
如果将学历、经验和工作态度三项得分按1：2：3的比例确定各人的最终得分，并以此为依据录取得分最高者，那么将被录取的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【分析】根据加权平均数的概念分别计算出四人的平均得分，从而得出答案．
【答案】解：∵甲的平均得分为8.7（分），
乙的平均得分为7.7（分），
丙的平均得分为8.3（分），
丁的平均得分为8（分），
∴甲将被录取，
故选：A．
【点睛】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．
【变式4-1】（2020•驻马店二模）双十一期间，某超市以优惠价销售A，B，C，D，E坚果五种礼盒，它们的单价分别
为90元、80元、70元、60元、50元、当天销售情况如图所示，则当天销售坚果礼盒的平均售价为（ ）
A．75元B．70元C．66.5元D．65元
【分析】根据题目中的数据和加权平均数的计算方法，可以得到当天销售坚果礼盒的平均售价．
【答案】解：90×10%+80×20%+70×25%+60×15%+50×30%
＝9+16+17.5+9+15
＝66.5（元）
即当天销售坚果礼盒的平均售价为66.5元，
故选：C．
【点睛】本题考查加权平均数，解答本题的关键是明确加权平均数的计算方法，会求一组数据的加权平均数．
【变式4-2】（2020春•德阳期末）某地某月中午12时的气温（单位：℃）如下：
根据上表计算得该地本月中午12时的平均气温是（ ）
A．18℃B．20℃C．22℃D．24℃
【分析】气温x取各组组中值，利用加权平均数的定义列式计算可得．
【答案】解：该地本月中午12时的平均气温是20（℃），
故选：B．
【点睛】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．
【变式4-3】（2020•丰泽区校级模拟）某面包推出一款新面包，每个面包的成本价为4元，售价为10元，该款面包当天只出一炉（一炉至少15个，至多30个），当天如果没有售完，剩余的面包以每个2元的价格处理掉，为了确定这一炉面包的个数，该店记录了新款面包最近30天的日需求量（单位：个），整理得下表：
（1）若该店新款面包出炉的个数均为20个，日需求量为15个，求新款面包的日利润；
（2）试以这30天内新款面包日利润的平均数作为决策依据，说明这款面包日均出炉个数定为20个还是21个？
【分析】（1）日需求量为15个，新款面包的日利润X＝15×（10﹣4）+（20﹣15）×（2﹣4）＝80（元）；
（2）新款面包出炉的个数均为20个，日需求量为18个，新款面包的日利润为X＝18×（10﹣4）+（20﹣18）×（2﹣4）＝104（元），日需求量不少于20个，新款面包的日利润为X＝20×（10﹣4）＝120（元），则该店新款面包出炉的个数均为20个，这30天内新款面包日利润的平均数为：X（80×10+104×8+120×12）＝102.4（元）；若新款面包出炉的个数均为21个，日需求量为15个，新款面包的日利润为X＝15×（10﹣4）+（21﹣15）×（2﹣4）＝78（元），日需求量为18个，新款面包的日利润为X＝18×（10﹣4）+（21﹣18）×（2﹣4）＝102（元），日需求量不少于21个，新款面包的日利润为X＝21×（10﹣4）＝126（元），则该店新款面包出炉的个数均为21个，这30天内新款面包日利润的平均数为：X（78×10+102×8+126×12）≈103.6（元）；即可得出结果．
【答案】解：（1）该店新款面包出炉的个数均为20个，日需求量为15个，新款面包的日利润为：X＝15×（10﹣4）+（20﹣15）×（2﹣4）＝90﹣10＝80（元）；
（2）新款面包出炉的个数均为20个，日需求量为18个，新款面包的日利润为：X＝18×（10﹣4）+（20﹣18）×（2﹣4）＝108﹣4＝104（元），
日需求量不少于20个，新款面包的日利润为：X＝20×（10﹣4）＝120（元），
∴该店新款面包出炉的个数均为20个，这30天内新款面包日利润的平均数为：X（80×10+104×8+120×12）102.4（元）；
若新款面包出炉的个数均为21个，日需求量为15个，新款面包的日利润为：X＝15×（10﹣4）+（21﹣15）×（2﹣4）＝90﹣12＝78（元），
日需求量为18个，新款面包的日利润为：X＝18×（10﹣4）+（21﹣18）×（2﹣4）＝108﹣6＝102（元），
日需求量不少于21个，新款面包的日利润为：X＝21×（10﹣4）＝126（元），
∴该店新款面包出炉的个数均为21个，这30天内新款面包日利润的平均数为：X（78×10+102×8+126×12）103.6（元）；
∵103.6＞102.4
∴这款面包日均出炉个数定为21个比20个利润大，
∴这款面包日均出炉个数定为21个．
【点睛】本题考查了加权平均数和频数分布表等知识，熟练掌握加权平均数的计算方法是解题的关键．
【考点5 中位数的计算】
【方法点拨】中位数：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则
处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这
组数据的中位数．
【例5】（2020•太原二模）新冠肺炎疫情爆发以来，山西共派出13批医疗队支援湖北，共计1516人，白衣逆行，千里弛援．如表是山西11个地市支援湖北的医疗队人数，这组数据的中位数是（ ）
A．33人B．86人C．91人D．98人
【分析】根据中位数的定义直接求解即可．
【答案】解：把这些数从小到大排列，处于中间位置的是第6个数，
则这组数据的中位数是91人；
故选：C．
【点睛】此题考查了中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会错误地将这组数据最中间的那个数当作中位数．
【变式5-1】（2020春•西湖区校级期中）一组数据按从小到大排列为2，4，6，x，14，15，若这组数据的中位数为9，则x是（ ）
A．7B．9C．12D．13
【分析】根据中位数为9和数据的个数，可求出x的值．
【答案】解：由题意得，（6+x）÷2＝9，
解得：x＝12，
故选：C．
【点睛】本题考查了中位数的知识，属于基础题，掌握中位数的定义是关键．
【变式5-2】（2020•成都模拟）在某公益活动中，某社区对本社区的捐款情况进行了统计，如图是该社区捐款情况的条形统计图，则本次捐款金额的中位数是 元．
【分析】由统计图可知，捐款金额为50元的有5人，100元的有18人，200元的有17人，200元以上的有8人，共有48人参加捐款，中位数是将捐款金额从小到大排列后处在第24、25位都是200元，因此捐款金额的中位数是200元．
【答案】解：共有5+18+17+8＝48人参加捐款，
将捐款金额从小到大排列，处在第24、25位的两个数都是200元，
因此中位数是200元，
故答案为：200．
【点睛】考查中位数的意义和计算方法，将一组数据从小到大排列后，处在中间位置的一个数或两个数的平均数是中位数．
【变式5-3】（2020•马鞍山二模）如表是某校合唱团成员的年龄分布统计，则这组数据（年龄）的中位数是（ ）
A．13B．14C．15D．16
【分析】根据给出的数据先求出总人数，再根据中位数的定义直接解答即可．
【答案】解：由表可知，年龄为14岁与年龄为16岁的频数和为7﹣a+a＝7，
则总人数为：5+7+13＝25人，
把这些数从小到大排列，则中位数是15岁，
故选：C．
【点睛】此题考查了中位数，熟练掌握中位数的定义是解题的关键；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．
【考点6 众数的计算】
【方法点拨】求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此
时众数就是这多个数据．
【例6】（2020•邹城市模拟）返校复学前，小张进行了14天体温测量，结果统计如下，则小张这14天的众数是 ．
【分析】根据众数的定义就可解决问题．
【答案】解：36.6出现的次数最多有4次，所以众数是36.6．
故答案为：36.6．
【点睛】本题主要考查了众数的定义，正确理解众数的意义是解决本题的关键．
【变式6-1】（2020春•湘桥区期末）若一组数据2，2，x，5，7，7的众数为7，则这组数据的x为（ ）
A．2B．5C．6D．7
【分析】根据众数是一组数据中出现次数最多的数据，分类讨论即可．
【答案】解：当x＝2时，这组数据的众数为2；
当x＝5时，这组数据的众数为2、5、7；
当x＝7时，这组数据的众数为7；
当x≠2、5、7时，这组数据的众数为2、7．
综上x＝7．
故选：D．
【点睛】本题考查了众数，掌握众数的定义是解决本题的关键．
【变式6-2】（2020•凉山州）已知一组数据1，0，3，﹣1，x，2，3的平均数是1，则这组数据的众数是（ ）
A．﹣1B．3C．﹣1和3D．1和3
【分析】先根据算术平均数的定义列出关于x的方程，解之求出x的值，从而还原这组数据，再利用众数的概念求解可得．
【答案】解：∵数据1，0，3，﹣1，x，2，3的平均数是1，
∴1+0+3﹣1+x+2+3＝7×1，
解得x＝﹣1，
则这组数据为1，0，3，﹣1，﹣1，2，3，
∴这组数据的众数为﹣1和3，
故选：C．
【点睛】本题主要考查众数和算术平均数，解题的关键是掌握算术平均数和众数的概念．
【变式6-3】（2020•包头）两组数据：3，a，b，5与a，4，2b的平均数都是3．若将这两组数据合并为一组新数据，则这组新数据的众数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】根据平均数的意义，求出a、b的值，进而确定两组数据，再合并成一组，找出出现次数最多的数据即可．
【答案】解：由题意得，
，
解得，
这两组数据为：3、3、1、5和3、4、2，这两组数合并成一组新数据，
在这组新数据中，出现次数最多的是3，因此众数是3，
故选：B．
【点睛】本题考查平均数、众数的意义和计算方法，二元一次方程组的应用，理解平均数、众数的意义和计算方法是得出正确答案的前提．
【考点7 平均数、中位数、众数综合计算】
【例7】（2020春•嘉陵区期末）已知一组数据4，5，7，9，x，y的众数为5，平均数为6，则这组数据的中位数为 ．
【分析】先判断出x，y中至少有一个是5，再用平均数求出x+y＝11，即可得出结论．
【答案】解：∵一组数据4，5，7，9，x，y的众数为5，
∴x，y中至少有一个是5，
∵一组数据4，5，7，9，x，y的平均数为6，
∴（4+x+5+y+7+9）＝6，
∴x+y＝11，
∴x，y中一个是5，另一个是6，
∴这组数为4，5，5，6，7，9，
∴这组数据的中位数是（5+6）＝5.5，
故答案为：5.5．
【点睛】本题考查了众数、平均数和中位数的知识，解答本题的关键是掌握各个知识点的概念．
【变式7-1】（2020•新余模拟）若一组数据3，4，﹣3，1，0，3，﹣3，a的众数为3，则这组数据的平均数与中位数分别是（ ）
A．3，1B．1，2C．2，0D．0，
【分析】根据平均数和中位数的概念求解．
【答案】解：∵这组数据的众数为3，
∴a＝3，
这组数据按照从小到大的顺序排列为：﹣3，﹣3，0，1，3，3，3，4，
则平均数为：1，
中位数为：2．
故选：A．
【点睛】本题考查了众数、平均数和中位数的概念，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
【变式7-2】（2023•鄂尔多斯）下表是抽查的某班10名同学中考体育测试成绩统计表．
若成绩的平均数为23，中位数是a，众数是b，则a﹣b的值是（ ）
A．﹣5B．﹣2.5C．2.5D．5
【分析】首先根据平均数求得x、y的值，然后利用中位数及众数的定义求得a和b的值，从而求得a﹣b的值即可．
【答案】解：∵平均数为23，
∴23，
∴25x+20y＝155，
即：5x+4y＝31，
∵x+y＝7，
∴x＝3，y＝4，
∴中位数a＝22.5，b＝20，
∴a﹣b＝2.5，
故选：C．
【点睛】本题考查了众数及中位数的定义，求得x、y的值是解答本题的关键，难度不大．
【变式7-3】（2020春•浠水县期末）某学校五个绿化小组一天植树的棵数如下：10，10，12，x，8，如果这组数据的平均数与众数相等，那么这组数据的中位数是（ ）
A．8B．9C．10D．12
【分析】利用平均数、众数与中位数的意义求解．可先算出x的值，再把数据按从小到大的顺序排列，找出最中间的数（或中间的两个数的平均数），即为中位数．
【答案】解：①当众数是10，
平均数为10，
所以x＝10，
将这组数据从小到大的顺序排列8，10，10，10，12，
处于中间位置的那个数是10，
那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是10．
②当众数为12，则12，x＝20，不合题意舍去．
③当众数为8，则8，x＝0，不合题意舍去
故选：C．
【点睛】本题为统计题，考查平均数、众数与中位数的意义．解题的关键是理解题意，列出方程求得x的值．
一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．
将一组数据从小到大依次排列，把中间数据（或中间两数据的平均数）叫做中位数．中位数把样本数据分成了相同数目的两部分．
【考点8 方差的计算】
【方法点拨】用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差，通常用S2来表示，计算公式是：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2[（x1）2+（x2）2+…+（xn）2]
【例8】（2020•宁德二模）已知一组数据的方差s2[（3﹣7）2+（8﹣7）2+（11﹣7）2+（a﹣7）2+（b﹣7）2+（c﹣7）2]，则a+b+c的值为（ ）
A．22B．21C．20D．7
【分析】根据方差的定义得出这组数据为3，8，11，a，b，c，其平均数为7，再利用平均数的概念求解可得．
【答案】解：由题意知，这组数据为3，8，11，a，b，c，其平均数为7，
则7，
∴a+b+c＝20，
故选：C．
【点睛】本题主要考查方差，解题的关键是根据方差的公式得出这组数据及其平均数．
【变式8-1】（2020春•孝义市期末）一组数据x1，x2，…，xn的方差是2，那么另一组数据x1+3，x2+3，…，xn+3的方差是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】根据方差的定义求解可得．
【答案】解：∵数据x1，x2，…，xn的方差是2，
∴由于另一组数据x1+3，x2+3，…，xn+3是在原数据基础上每个数据都加上3，
∴新数据的波动幅度没有发生改变，
∴另一组数据x1+3，x2+3，…，xn+3的方差是2，
故选：A．
【点睛】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的定义．
【变式8-2】（2020春•广丰区期末）有一组数据x1、x2、x3、x4、x5的方差S12＝n，那么数据2x1、2x2、2x3、2x4、2x5的方差S22＝（ ）
A．nB．2nC．4nD．4n2
【分析】先x1、x2、x3、x4、x5的方差为n，得出数据2x1，2x2，2x3，2x4，2x5的方差是22×n，再进行计算即可．
【答案】解：∵x1、x2、x3、x4、x5的方差为S12＝n，
∴2x1、2x2、2x3、2x4、2x5的方差为22×n＝4n；
故选：C．
【点睛】本题考查了方差的定义．当数据都乘以一个数（或除以一个数）时，方差变为这个数的平方倍．
【变式8-3】（2023秋•萧山区校级月考）已知一组数据x1，x2，x3，平均数为2，方差为3，那么另一组数2x1﹣1，2x2﹣1，2x3﹣1的平均数和方差分别是（ ）
A．2，B．3，3C．3，12D．3，4
【分析】根据平均数和方差的变化规律，即可得出答案．
【答案】解：∵数据x1，x2，x3，平均数是2，
∴数据2x1﹣1，2x2﹣1，2x3﹣1的平均数是2×2﹣1＝3；
∵数据x1，x2，x3的方差是3，
∴数据2x1﹣1，2x2﹣1，2x3﹣1的方差是3×22＝12，
故选：C．
【点睛】此题考查了平均数与方差，关键是掌握平均数与方差的计算公式和变化规律，一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2[（x1）2+（x2）2+…+（xn）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
【考点9 方差反映数据的稳定性】
【方法点拨】方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
【例9】（2020春•滨城区期末）甲，乙，丙，丁四位同学本学期5次50米短跑成绩的平均数（秒）及方差S2如下表所示．若从这四位同学中选出一位成绩较好且状态稳定的同学参加学校比赛，则应该选的同学是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【分析】方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
【答案】解：∵丙的平均分最好，方差最小，最稳定，
∴应选丙．
故选：C．
【点睛】本题考查了方差，正确理解方差的意义是解题的关键．
【变式9-1】（2020•黄岛区二模）下表记录了甲、乙、丙、丁四名同学最近几次数学考试成绩的平均数与方差．根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加数学竞赛，应该选择 （填“甲”，“乙”，“丙”，“丁”）．
【分析】首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的参加竞赛．
【答案】解：∵甲和丁的平均数较小，
∴从乙和丙中选择一人参加竞赛，
∵乙的方差较小，
∴选择乙竞赛；
故答案为：乙．
【点睛】此题考查了平均数和方差，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
【变式9-2】（2020春•盘龙区期末）2022年将在北京﹣﹣张家口举办冬季奥运会，北京将成为世界上第一个既举办夏季奥运会，又举办冬季奥运会的城市．某队要从两名选手中选取一名参加比赛，为此对这两名队员进行了五次测试，测试成绩如图所示， 选手的成绩更稳定．
【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定．
【答案】解：根据统计图可得出：SA2＜SB2，
则A选手的成绩更稳定，
故答案为：A．
【点睛】本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
【变式9-3】（2020秋•海淀区校级月考）小宇在纸上写了六个两两不等的数x1，x2，x3，x4，x5，x6，并记录下这组数的中位数m1和方差S12，然后他将这六个数中大于m1的三个数分别加1，小于m1的三个数分别减1，得到了新的一组数，再次记录下新的这组数的中位数m2和方差S22，则m1 m2，S12 S22（两空均选填“＞”，“＝”或“＜”）．
【分析】把数x1，x2，x3，x4，x5，x6从小到大排列，先判断原数据和新数据的第3个数和第4个数的位置不改变，利用这两个数的平均数没有变可判断m1＝m2，然后利用新数据的平均数与原数据的平均数相等和方差的意义可判断S12＜S22．
【答案】解：把数x1，x2，x3，x4，x5，x6从小到大排列，将这六个数中大于m1的三个数分别加1，小于m1的三个数分别减1，则第3个数和第4个数的位置不改变，这两个数的平均数没有变，所以m1＝m2，
又因为新数据的平均数与原数据的平均数相等，所以新数据的波动性大，即S12＜S22．
故答案为＝，＜．
【点睛】本题考查了方差：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．也考查了中位数．
【考点10 统计量的选择—中位数场景】
【例10】（2023秋•海陵区期末）某次校运会共有13名同学报名参加百米赛跑，他们的预赛成绩各不相同，现取其中前6名参加决赛，小勇同学在知道自己成绩的情况下，要判断自己能否进入决赛，还需要知道这13名同学成绩的（ ）
A．平均数B．众数C．中位数D．方差
【分析】由于有13名同学参加百米赛跑，要取前6名参加决赛，故应考虑中位数的大小．
【答案】解：共有13名学生参加比赛，取前6名，所以小勇需要知道自己的成绩是否进入前六．
我们把所有同学的成绩按大小顺序排列，第7名学生的成绩是这组数据的中位数，
所以小勇知道这组数据的中位数，才能知道自己是否进入决赛．
故选：C．
【点睛】本题考查了用中位数的意义解决实际问题．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
【变式10-1】（2023秋•景德镇期末）使用某共享单车，行程在m千米以内收费1元，超过m千米的，每千米另收2元．若要让使用该共享单车50%的人只花1元钱，m应取（ ）
A．平均数B．中位数C．众数D．方差
【分析】由于要让使用该共享单车50%的人只花1元钱，根据中位数的意义分析即可．
【答案】解：根据中位数的意义，
故只要知道中位数就可以了．
故选：B．
【点睛】本题考查了中位数意义．解题的关键是正确的求出这组数据的中位数．
【变式10-2】（2023秋•镇江期末）共享单车已经成为城市公共交通的重要组成部分，某共享单车公司经过调查获得关于共享单车租用行驶时间的数据，并由此制定了新的收费标准：每次租用单车行驶a小时及以内，免费骑行；超过a小时后，每半小时收费1元，这样可保证不少于50%的骑行是免费的．制定这一标准中的a的值时，参考的统计量是此次调查所得数据的（ ）
A．方差B．平均数C．中位数D．众数
【分析】中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响，根据中位数的定义求解可得．
【答案】解：因为需要保证不少于50%的骑行是免费的，
所以制定这一标准中的a的值时，参考的统计量是此次调查所得数据的中位数，
故选：C．
【点睛】本题主要考查统计量的选择，解题的关键是掌握中位数的定义及其意义．中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中也可能不在所给的数据中出现，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其趋势．
【变式10-3】（2023春•通州区期末）在国际跳水比赛中，根据规则，需要有7位裁判对选手的表现进行打分，在裁判完成打分后，总裁判会在7位裁判的打分中，去掉一个最高分，再去掉一个最低分，将剩下5位裁判的平均分作为该选手的最终得分．在总裁判去掉最高分与最低分后，一定保持不变的统计量是（ ）
A．平均分B．众数C．中位数D．最高分
【分析】去掉最大数和最小数后排序中位数不变，据此即可作答．
【答案】解：去掉最高分与最低分后得到5个数组成的另一组数据不影响排序，
故中位数不变．
故选：C．
【点睛】本题考查了统计量的选择，解题的关键是弄清去掉最高分与最低分后不影响数据的排序．
【考点11 统计量的选择—众数场景】
【例11】（2023•花溪区一模）能辉专卖店专营雅戈尔衬衫，店主对上一周中不同尺码的衬衫销售情况统计如下：
该店主决定本周进货时，增加一些41码的衬衫，影响该店主决策的统计量是（ ）
A．平均数B．众数C．中位数D．方差
【分析】平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量；方差、标准差是描述一组数据离散程度的统计量．销量大的尺码就是这组数据的众数．
【答案】解：由于众数是数据中出现次数最多的数，故影响该店主决策的统计量是众数．
故选：B．
【点睛】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．
【变式11-1】（2020•南充模拟）一场篮球比赛，A队上场的5名队员和教练年龄如下（单位：岁）21，26，26，3■，40，42，其中一个两位数的个位数字被记号笔墨水覆盖了看不到．将它当作30统计分析，得到的统计量，一定不受影响的是（ ）
A．平均数B．中位数C．众数D．方差
【分析】利用平均数、中位数、方差和众数的定义对各选项进行判断．
【答案】解：这组数据的平均数、方差和中位数都与被涂污数字有关，而这组数据的众数是26，与被涂污数字无关．
故选：C．
【点睛】本题考查了方差：它也描述了数据对平均数的离散程度．也考查了中位数、平均数和众数的概念．
【变式11-2】（2023春•朝阳区期末）5G是新一代信息技术的发展方向和数字经济的重要基础，预计我国5G商用将直接创造更多的就业岗位．小明准备到一家公司应聘普通员，他了解到该公司全体员工的月收入如下：
对这家公司全体员工的月收入，能为小明提供更为有用的信息的统计量是（ ）
A．平均数B．众数C．中位数D．方差
【分析】平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量；方差、标准差是描述一组数据离散程度的统计量．既然小明想了解到该公司全体员工的月收入，那么应该是看多数员工的工资情况，故值得关注的是众数．
【答案】解：由于众数是数据中出现次数最多的数，故小明应最关心这组数据中的众数．
故选：B．
【点睛】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．
【变式11-3】（2020春•海淀区校级月考）某校合唱团有90名成员，下表是合唱团成员的年龄分布统计表：
对于不同的x，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（ ）
A．平均数、中位数B．平均数、方差
C．众数、中位数D．众数、方差
【分析】平均数的求解是先求和再除以个数，方差由平均数得来，中位数由数据排序得到，众数则反映原数据中最多的数值．
【答案】解：平均数的求得，是需要将原表中的频数与年龄相乘求得总和再除以90，因此，对于不同的x，频数和年龄的乘积肯定不同，因此平均数会发生改变．
又因为方差的公式：S2[（x1）2+（x2）2+…+（xn）2]很容易发现，方差和平均数有关，因此方差也会改变．
对于中位数，90名合唱成员，年龄在由小到大排序后，取得的中位数为第45名和第46名年龄的平均值，而年龄为13和14的频数总和为46，说明在年龄由小到大排序后，第45和第46均为14，因此中位数是14，不随x变化而变化．
对于众数，我们发现第15岁和第16岁的频数相加也不过才为26，因此众数肯定是14岁的年龄，频数为29，不随x变化而变化．
故选：C．
【点睛】本题考查平均数、中位数、众数、方差的概念及运算，要求熟练掌握．
【考点12 统计量的选择—方差场景】
【例12】（2023秋•辽阳期末）甲乙两名同学本学期参加了相同的5次数学考试，老师想判断这两位同学的数学成绩谁更稳定，老师需比较这两人5次数学成绩的（ ）
A．平均数B．中位数C．众数D．方差
【分析】方差、极差的意义：体现数据的稳定性，集中程度；方差、极差越小，数据越稳定．故需比较这两人5次数学成绩的方差或极差．
【答案】解：由于方差和极差都能反映数据的波动大小，
故需比较这两人5次数学成绩的方差．
故选：D．
【点睛】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数方差等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．
【变式12-1】（2023秋•肥城市期末）一组数据分别为a，b，c，d，e，将这组数据中的每个数都加上同一个大于0的常数，得到一组新的数据，则这组新数据的下列统计量与原数据相比，一定不发生变化的是（ ）
A．中位数B．方差C．平均数D．众数
【分析】根据平均数和方差的特点，一组数都加上或减去同一个不等于0的常数后，方差不变，平均数，中位数改变，众数改变改变，即可得出答案．
【答案】解：一组数据a，b，c，d，e的每一个数都加上同一数m（m＞0），则新数据a+m，b+m，…e+m的平均数改变，众数改变，中位数改变，但是方差不变；
故选：B．
【点睛】本题考查了方差和平均数，一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，掌握平均数和方差的特点是本题的关键．
【变式12-2】（2023秋•威海期末）一组数据0，1，2，2，3，4，若添加一个数据2，则下列统计量中发生变化的是（ ）
A．方差B．中位数C．平均数D．极差
【分析】依据平均数、中位数、极差、方差的定义和公式求解即可．
【答案】解：A、原来数据的方差＝[（0﹣2）2+（1﹣2）2+2×（2﹣2）2+（3﹣2）2+（4﹣2）2]＝，
添加数字2后的方差＝[（0﹣2）2+（1﹣2）2+3×（2﹣2）2+（3﹣2）2+（4﹣2）2]＝，故方差发生了变化．
B、原来数据的中位数是2，添加数字2后中位数仍为2，故中位数不发生变化；
C．原来数据的平均数是2，添加数字2后平均数仍为2，故平均数不发生变化；
D．原来数据的极差是4，添加数字2后极差仍为4，故极差不发生变化；
故选：A．
【点睛】本题主要考查的是极差、中位数、方差、平均数，熟练掌握相关概念和公式是解题的关键．
【变式12-3】（2020•锦州二模）在一场排球比赛中，某排球队6名场上队员的身高（单位：cm）是：180，184，188，190，192，194．如果用一名身高为190cm的队员替换场上身高为184cm的队员，那么换人后与换人前相比，场上队员身高的平均数和方差大小变化正确的是（ ）
A．平均数变小，方差变小B．平均数变小，方差变大
C．平均数变大，方差变小D．平均数变大，方差变大
【分析】分别计算出原数据和新数据的平均数和方差即可得．
【答案】解：原数据的平均数为（180+184+188+190+192+194）＝188，
方差是：[（180﹣188）2+（184﹣188）2+（188﹣188）2+（190﹣188）2+（192﹣188）2+（194﹣188）2]，
新数据的平均数为（180+190+188+190+192+194）＝189，
方差是：[（180﹣189）2+（190﹣189）2+（188﹣189）2+（190﹣189）2+（192﹣189）2+（194﹣189）2]，
所以平均数变大，方差变小，
故选：C．
【点睛】本题考查方差的定义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2[（x1）2+（x2）2+…+（xn）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
【考点13 四种统计量的意义】
【例13】（2020春•仙居县期末）为了在甲、乙两名运动员中选拔一人参加全省射击比赛，对他们的射击水平进行考核．在相同的情况下，两人的比赛成绩经统计算后如表：
某同学根据表格分析得出如下结论：①甲、乙两名运动员成绩的平均水平相同；②乙运动员优秀的次数多于甲运动员（环数≥8环为优秀）；③甲运动员成绩的波动比乙大．上述结论正确的是（ ）
A．①②③B．①②C．①③D．②③
【分析】分别根据平均数、中位数和方差的意义逐一判断即可得．
【答案】解：∵8，
∴甲、乙两名运动员成绩的平均水平相同，故结论①正确；
∵乙的中位数为8，甲的中位数为7，
∴乙运动员优秀的次数多于甲运动员（环数≥8环为优秀），故结论②正确；
∵1.6，0.7，
∴，
∴甲运动员成绩的波动比乙大，故③正确；
故选：A．
【点睛】本题主要考查方差，解题的关键是掌握平均数、中位数和方差的意义．
【变式13-1】（2020春•武川县期末）武川县教育局准备举办一场“中国汉字听写大赛”，要求每校推选一名同学参加比赛，为此某学校组织了五轮选拔赛，在这五轮选拔赛中，甲同学的得分是：8、7、9、8、8，乙同学的得分是：7、9、6、9、9则下列说法中错误的是（ ）
A．甲乙得分的平均数都是8
B．甲得分的众数是8，乙得分的众数9
C．甲得分的方差比乙得分的方差小
D．甲得分的中位数是9，乙得分的中位数是6
【分析】分别求出甲、乙的平均数、众数、中位数及方差可逐一判断．
【答案】解：A、甲的平均分为8，乙的平均数为8，故此选项正确；
B、甲得分次数最多是8分，即众数为8分，乙得分最多的是9分，即众数为9分，故此选项正确；
C、∵甲得分的方差为[（8﹣8）2+（7﹣8）2+（9﹣8）2+（8﹣8）2+（8﹣8）2]2＝0.4，
乙得分的方差为[（7﹣8）2+（9﹣8）2+（6﹣8）2+（9﹣8）2+（9﹣8）2]8＝1.6，故此选项正确；
D、∵甲得分从小到大排列为：7、8、8、8、9，∴甲的中位数是8分；
∵乙得分从小到大排列为：6、7、9、9、9，∴乙的中位数是9分；故此选项错误；
故选：D．
【点睛】本题主要考查平均数、众数、中位数及方差，熟练掌握这些统计量的意义及计算公式是解题的关键．
【变式13-2】（2020•市南区模拟）如图是甲、乙两人射击成绩的统计图，两人都射击了10次，下列说法错误的是（ ）
A．甲和乙的平均成绩相同
B．甲和乙成绩的众数都是8环
C．甲和乙成绩的中位数都是8环
D．甲成绩的方差比乙成绩的方差大
【分析】根据方差，众数，中位数，平均数的定义一一判断即可．
【答案】解：A、乙的平均成绩为7.6环，甲的平均成绩为7.1环．本选项错误，符合题意．
B、甲和乙的成绩中，8环出现的次数均最多，故众数都是8环．本选项正确，不符合题意．
C、将甲和乙的成绩分别按大小顺序排列，每组数据的中间两个数都是8，故中位数都是8环．本选项正确，不符合题意．
D、根据折线统计图可知，乙成绩的波动较小，甲成绩的波动较大，故乙成绩的方差较小．本选项正确，不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了数据的集中趋势与离散程度，体现了数据分析的核心素养．
【变式13-3】（2023•麒麟区模拟）为积极响应曲靖市政府“举全市之力，集全民之智，力争2020年夺得全国文明城市桂冠”的号召，麒麟区某校举办了一次创文知识竞赛，满分10分，学生得分均为整数，成绩达到6分及6分以上为合格，达到9分或10分为优秀，为了解本次大赛的成绩，校团委随机抽取了甲、乙两组学生成绩作为样本进行统计，绘制了如下统计图表：
则下列说法错误的是（ ）
A．a＝6，b＝7.2
B．甲组的众数是5，乙组的众数是3
C．小英同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中排名属中上游略偏上观察上面的表格可以判断，小英属于甲组
D．从平均数来看，乙组的平均分高于甲组，即乙组的总体平均水平高：从方差来看，乙组的方差比甲组小，即乙组的成绩比甲组的成绩稳定．所以从平均数和方差两方面来看，乙组成绩好于甲组成绩
【分析】根据中位数的定义求出a，根据平均数的定义求出b，即可判断A；根据众数的定义分别求出甲、乙两组的众数，即可判断B；根据表格中的数据即可判断C；比较甲、乙两组的平均数和方差，即可判断D．
【答案】解：A、由折线统计图可知，甲组成绩从小到大排列为：3、6、6、6、6、6、7、9、9、10，
∴其中位数a＝6，
乙组学生成绩的平均分b（5×2+6×1+7×2+8×3+9×2）＝7.2．
故本选项说法正确；
B、甲组的众数为6，乙组的众数为8，
故本选项说法错误；
C、∵甲组的中位数为6，乙组的中位数为7.5，
而小英得了7分，在小组中排名属中上游略偏上，
∴小英属于甲组学生．
故本选项说法正确；
D、从平均数来看，乙组的平均分高于甲组，即乙组的总体平均水平高：从方差来看，乙组的方差比甲组小，即乙组的成绩比甲组的成绩稳定．所以从平均数和方差两方面来看，乙组成绩好于甲组成绩．
故本选项说法正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查折线统计图、加权平均数、中位数及方差，熟练掌握加权平均数、中位数及方差的定义是解题的关键．
【考点14 统计的综合应用】
【例14】（2020秋•北碚区校级期末）拉尼娜现象再次到来，2020﹣2021或成超级寒冬，穿羽绒服是人们防寒保暖的常见方式．某羽绒服制造厂为了更好，更均匀地填充羽绒，准备新购进一种填充机器．现有甲、乙两种机器填充的标准质量均为200g羽绒，工厂的采购员对甲、乙两种机器填充的若干羽绒服进行了抽样调查，对数据进行分类整理分析（羽绒质量用x表示，共分成四组A：190≤x＜195，B：195≤x＜200，C：200≤x＜205，D：205≤x＜210）并给出了下列信息：
从甲、乙两种机器填充的羽绒服中各自随机抽取10件，测得实际质量x（单位：g）如下：
甲机器填充羽绒服中B组的数据是：196，198，198，198
乙机器填充羽绒的数据：200，196，205，197，204，199，203，200，200，198
甲、乙机器填充羽绒质量数据分析表
请回答下列问题：
（1）a＝ ，b＝ ，c＝ ．
（2）请根据以上数据判断羽绒填充机情况比较好的是 （填甲或乙）说明你的理由．
（3）若甲、乙两种机器填充的这批羽绒服各有600件，估计这批羽绒服的质量属于C类的数量共有多少件？
【分析】（1）用B组的数据的个数除以10可得a的值，先求出甲种A组数据的个数，再根据中位数求解可得b的值，继而根据众数的定义即可得出c的值；
（2）比较平均数和方差即可得出答案（答案不唯一，合理均可）；
（3）用总数量乘以样本中C组的数量所占比例即可．
【解答】解：（1）a%100%＝40%，即a＝40，
∵甲种机器填充的羽绒服A组数量为10×20%＝2，
∴甲种机器填充的羽绒服质量的中位数b198（g），
乙种机器填充羽绒服质量的众数c＝200g，
故答案为：40、198、200；
（2）根据以上数据判断羽绒填充机情况比较好的是乙，
理由：乙种机器填充的羽绒服质量的平均数大于甲，且乙种机器填充的羽绒服质量的方差小于甲，即乙机器更加稳定．
故答案为：乙．
（3）600×30%＝180（件），600300（件），
180+300＝480（件），
答：估计这批羽绒服的质量属于C类的数量共有480件．
【点评】本题主要考查方差，解题的关键是掌握中位数、众数和方差的定义及意义．
【变式14-1】（2020秋•沙坪坝区校级期末）“无篮球，不青春”，2020年12月，重庆一中举办了系列篮球活动，展现了同学们积极向上的青春风采．为加强初、高中教师们的联系，提高教师的身体素质，在活动收尾阶段，举办了“初、高中教师友谊赛”．在女教师的比赛环节中，初、高中各随机派出10名女教师，每名女教师定点投篮10次，进球个数（x）作为这名女教师的成绩，学校对数据进行整理，将数据分为5组：（A组：0≤x≤2；B组：3≤x≤4；C组：5≤x≤6；D组：7≤x≤8；E组：9≤x≤10）．通过分析后，得到如下部分信息：
A．初中参赛女教师定点投篮投球成绩频数分布直方图
B．初中参赛女教师定点投篮投球个数在C组：5≤x≤6这一组的数据是：5、5、5、6；
C．高中参赛女教师定点投篮投球成绩统计表
D．初、高中参赛女教师定点投篮投球个数的平均数、中位数、众数如下：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：m＝ ，n＝ ；t＝ ；
（2）根据以上数据分析，你认为初、高中哪支队伍“定点投篮”成绩更优异，请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）若该校初、高中女教师共有800名，估计全校女教师“定点投篮”进球个数不少于5个的人数．
【分析】（1）根据中位数、众数、平均数的计算方法进行计算即可；
（2）从平均数、中位数、众数的比较得出结论；
（3）求出全校女教师“定点投篮”进球个数不少于5个的人数所占得百分比即可．
【解答】解：（1）m＝（8+3+4+5+4+10+3+6+4+7）÷10＝5.4，
将初中女教师“定点投篮”成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数都是5，因此中位数是5，即n＝5，
高中女教师“定点投篮”成绩出现次数最多的是4，共出现3次，因此中位数是4，即t＝4，
故答案为：5.4，5，4；
（2）初中女教师“定点投篮”成绩更优异，理由如下：
初中女教师“定点投篮”成绩的中位数、众数都比高中女教师的高；
（3）800480（人），
答：该校初、高中800名女教师中“定点投篮”进球个数不少于5个的大约有480人．
【点评】本题考查中位数、平均数、众数，理解中位数、众数、平均数的意义，掌握中位数、众数、平均数的计算方法是正确解答的前提．
【变式14-2】（2020秋•桃江县期末）为加强安全教育，某校开展了“防溺水”安全知识检测，现从七年级学生中随机抽取50名学生进行测试，并将他们的测试成绩（百分制）进行整理，部分信息如下：
a．参检学生成绩频数分布直方图（数据分成五组：50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）如图所示．
b．参检学生成绩在70≤x＜80这一组的具体得分是：70 71 73 75 76 76 76 77 77 78 79．
c．参检学生成绩的平均数、中位数、众数如下表：
d．参检学生甲的成绩为79分．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）在这次测试中，求75分以上（含75分）的人数及表中m的值；
（2）在这次测试中，求参赛学生甲的成绩得分排名名次（从高分到低分）；
（3）该校七年级学生有500人，假设全部参加测试，请估计成绩超过平均分的人数．
【分析】（1）将频数分布直方图中第3、4、5组数据相加可得答案；根据中位数的定义求解可得；
（2）由90≤x≤100的频数为8、80≤x＜90的频数为15，据此可得答案；
（3）用总人数乘以样本中七年级成绩超过平均数76.9分的人数占被调查人数的比例即可得．
【解答】解：（1）在这次测试中，七年级在75分以上（含75分）的有8+15+8＝31（人）．
七年级50人中第25、26个数据分别为77、78，
∴m77.5；
（2）在这次测试中，参赛学生甲的竞赛成绩得分排名年级第24名；
（3）估计七年级成绩超过平均数76.9分的人数为500270（人）．
【点评】本题主要考查频数分布直方图、中位数及样本估计总体，解题的关键是根据直方图得出解题所需数据及中位数的定义和意义、样本估计总体思想的运用．
【变式14-3】（2020秋•沙坪坝区校级期末）玉米是一种重要的粮食作物，也是全世界总产量最高的农作物．玉米的容重是指每升玉米的重量，可以反映出玉米的饱满度以及整齐度．超市采购员小李准备进购一批玉米，小李对甲、乙两个乡镇的玉米进行实地考察，各随机采摘了20根玉米进行容重检测，这些玉米的容重记为x（单位：g/L），对数据进行整理后，将所得的数据分为5个等级：五等玉米：600≤x＜630；四等玉米：630≤x＜660；三等玉米：660≤x＜690；二等玉米：690≤x＜720；一等玉米：x≥720．其中二等玉米和一等玉米，我们把它称为“优等玉米”．下面给出了小李整理、描述和分析数据的部分信息．
a．甲乡镇被抽取的20根玉米的容重分别为（单位：g/L）：
整理数据：
b．乙乡镇被抽取的玉米容重频数分布直方图
乙乡镇被抽取的玉米容重在660≤x＜690这一组的数据是：
660 670 685 680 685 685 685
c．分析数据：样本数据的平均数、众数、中位数、“优等玉米”所占的百分比如下表：
根据以上信息：解答下列问题：
（1）上述表中的a＝ ，b＝ ，c＝ ，d＝ ；
（2）若小李只选择一个产地采购玉米，根据以上数据，你认为小李选择哪个乡镇采购玉米比较好？（写出一条理由即可）
（3）小李最终决定在甲乡镇采购400根玉米，在乙乡镇采购600根玉米，估计本次小李采购的玉米中“优等玉米”的数量是多少？
【分析】（1）根据频数统计方法可得a、b的值，再根据中位数的意义求出c的值，计算甲乡镇的“优等玉米”所占得百分比得出d的值；
（2）从众数、中位数比较得出结论；
（3）分别求出甲乡镇，乙乡镇“优等玉米”的数量即可．
【解答】解：（1）将表格中的数据进行频数统计可得a＝8，b＝4；
将乙乡镇的玉米容重从小到大排列处在中间位置的两个数的平均数为682.5，因此中位数是682.5，即c＝682.5；
甲乡镇玉米容重在“优等玉米”的有7个，占比为7÷20＝35%，因此d＝35；
故答案为：8，4，682.5，35；
（2）选择乙乡镇，理由：乙乡镇玉米的中位数，众数均比甲乡镇的高；
（3）400600660（根），
答：本次小李采购的玉米中“优等玉米”的数量是660根．
【点评】本题考查中位数、众数以及频数分布直方图，理解中位数、众数的意义，掌握频数分布直方图的意义是正确解答的关键．分数段
频数
频率
60≤x＜70
6
a
70≤x＜80
20
0.4
80≤x＜90
15
b
90≤x＜100
c
0.18
应聘者
项目
甲
乙
丙
丁
学历
7
9
7
8
经验
9
8
8
8
工作态度
9
7
9
8
气温x
12≤x＜16
16≤x＜20
20≤x＜24
24≤x＜28
28≤x＜32
合计
天数
10
7
3
8
2
30
日需求量
15
18
21
24
27
频数
10
8
7
3
2
地市
太原
大同
阳泉
晋中
吕梁
忻州
朔州
运城
临汾
长治
晋城
人数（人）
146
152
86
24
34
33
16
143
91
98
109
年龄
13
14
15
16
频数
5
7﹣a
13
a
体温
36.3
36.4
36.5
36.6
36.7
36.8
天数
1
2
3
4
3
1
成绩（分）
30
25
20
15
人数（人）
2
x
y
1
甲
乙
丙
丁

7
7
7.5
7.5
s2
0.45
0.2
0.2
0.45
甲
乙
丙
丁
平均数（分）
92
95
95
92
方差
3.6
3.6
7.4
8.1
尺码
39
40
41
42
43
平均每天销售数量
10
12
20
9
9
月收入/元
45000
19000
10000
5000
4500
3000
2000
人数
1
2
3
6
1
11
1
年龄（单位：岁）
13
14
15
16
17
频数（单位：名）
17
29
x
26﹣x
18
运动员
射击次数
中位数（环）
方差
平均数（环）
甲
15
7
1.6
8
乙
15
8
0.7
8
组别
平均分
中位数
方差
合格率
优秀率
甲组
6.8
a
3.76
90%
30%
乙组
b
7.5
1.96
80%
20%
填充机器
甲
乙
平均数
199.3
200.2
中位数
b
200
众数
198
c
方差
15.21
7.96
参赛教师编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
投球个数
8
3
4
5
4
10
3
6
4
7
年级
平均数
中位数
众数
初中
5.4
n
5
高中
m
4.5
t
年级
平均数
中位数
众数
七
76.9
m
80
610
620
635
650
655
635
670
675
680
675
680
680
685
690
710
705
710
660
720
730
容重等级
600≤x＜630
630≤x＜660
660≤x＜690
690≤x＜720
x≥720
甲乡镇
2
4
a
b
2
乡镇
平均数
众数
中位数
“优等玉米”所占的百分比
甲
673.75
680
677.5
d%
乙
673.75
685
c
35%
分数段
频数
频率
60≤x＜70
6
a
70≤x＜80
20
0.4
80≤x＜90
15
b
90≤x＜100
c
0.18
应聘者
项目
甲
乙
丙
丁
学历
7
9
7
8
经验
9
8
8
8
工作态度
9
7
9
8
气温x
12≤x＜16
16≤x＜20
20≤x＜24
24≤x＜28
28≤x＜32
合计
天数
10
7
3
8
2
30
日需求量
15
18
21
24
27
频数
10
8
7
3
2
地市
太原
大同
阳泉
晋中
吕梁
忻州
朔州
运城
临汾
长治
晋城
人数（人）
146
152
86
24
34
33
16
143
91
98
109
年龄
13
14
15
16
频数
5
7﹣a
13
a
体温
36.3
36.4
36.5
36.6
36.7
36.8
天数
1
2
3
4
3
1
成绩（分）
30
25
20
15
人数（人）
2
x
y
1
甲
乙
丙
丁

7
7
7.5
7.5
s2
0.45
0.2
0.2
0.45
甲
乙
丙
丁
平均数（分）
92
95
95
92
方差
3.6
3.6
7.4
8.1
尺码
39
40
41
42
43
平均每天销售数量
10
12
20
9
9
月收入/元
45000
19000
10000
5000
4500
3000
2000
人数
1
2
3
6
1
11
1
年龄（单位：岁）
13
14
15
16
17
频数（单位：名）
17
29
x
26﹣x
18
运动员
射击次数
中位数（环）
方差
平均数（环）
甲
15
7
1.6
8
乙
15
8
0.7
8
组别
平均分
中位数
方差
合格率
优秀率
甲组
6.8
a
3.76
90%
30%
乙组
b
7.5
1.96
80%
20%
填充机器
甲
乙
平均数
199.3
200.2
中位数
b
200
众数
198
c
方差
15.21
7.96
参赛教师编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
投球个数
8
3
4
5
4
10
3
6
4
7
年级
平均数
中位数
众数
初中
5.4
n
5
高中
m
4.5
t
年级
平均数
中位数
众数
七
76.9
m
80
610
620
635
650
655
635
670
675
680
675
680
680
685
690
710
705
710
660
720
730
容重等级
600≤x＜630
630≤x＜660
660≤x＜690
690≤x＜720
x≥720
甲乡镇
2
4
a
b
2
乡镇
平均数
众数
中位数
“优等玉米”所占的百分比
甲
673.75
680
677.5
d%
乙
673.75
685
c
35%